Schaltalgebra. Franz Pauer, Florian Stampfer. Institut für Fachdidaktik und Institut für Mathematik. Universität Innsbruck

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1 Schaltalgebra Franz Pauer, Florian Stampfer Institut für Fachdidaktik und Institut für Mathematik Universität Innsbruck Lehrer/innen/fortbildungstag Wien April 2019

2 Eine Lampe mit drei Schaltern Die Lampe eines Stiegenhauses kann von Schaltern im Keller, im Erdgeschoß und im ersten Stock bedient werden.

3 Eine Lampe mit drei Schaltern Die Lampe eines Stiegenhauses kann von Schaltern im Keller, im Erdgeschoß und im ersten Stock bedient werden. Man möchte haben, dass sich bei jedem Druck auf einen der drei Schalter der Zustand der Lampe (leuchtet oder leuchtet nicht) ändert.

4 Eine Lampe mit drei Schaltern Die Lampe eines Stiegenhauses kann von Schaltern im Keller, im Erdgeschoß und im ersten Stock bedient werden. Man möchte haben, dass sich bei jedem Druck auf einen der drei Schalter der Zustand der Lampe (leuchtet oder leuchtet nicht) ändert. Wie müssen die Leitungen zwischen den Schaltern und der Lampe verlegt werden, um das zu erreichen?

5 Eine Lampe mit drei Schaltern Eine Lösung: s 1 s 2 s 3

6 Eine Lampe mit drei Schaltern Eine andere Lösung: s 1 s 2 s 3

7 Beschreibung dessen, was man will: Schaltfunktion Für jeden Schalter gibt es zwei Positionen: 0 und 1.

8 Beschreibung dessen, was man will: Schaltfunktion Für jeden Schalter gibt es zwei Positionen: 0 und 1. Es gibt zwei Zustände der Lampe: 1 (Licht leuchtet) und 0 (Licht leuchtet nicht).

9 Beschreibung dessen, was man will: Schaltfunktion Für jeden Schalter gibt es zwei Positionen: 0 und 1. Es gibt zwei Zustände der Lampe: 1 (Licht leuchtet) und 0 (Licht leuchtet nicht). Z 2 := {0, 1}

10 Beschreibung dessen, was man will: Schaltfunktion Für jeden Schalter gibt es zwei Positionen: 0 und 1. Es gibt zwei Zustände der Lampe: 1 (Licht leuchtet) und 0 (Licht leuchtet nicht). Z 2 := {0, 1} Menge aller möglichen Positionen der drei Schalter: Z 3 2 := {0, 1}3 (dazu zuerst Reihenfolge der Schalter festlegen und Bezeichnung der Position wählen)

11 Beschreibung dessen, was man will: Schaltfunktion Für jeden Schalter gibt es zwei Positionen: 0 und 1. Es gibt zwei Zustände der Lampe: 1 (Licht leuchtet) und 0 (Licht leuchtet nicht). Z 2 := {0, 1} Menge aller möglichen Positionen der drei Schalter: Z 3 2 := {0, 1}3 (dazu zuerst Reihenfolge der Schalter festlegen und Bezeichnung der Position wählen) Es gibt 8 verschiedene Positionen der drei Schalter.

12 Beschreibung dessen, was man will: Schaltfunktion Für jeden Schalter gibt es zwei Positionen: 0 und 1. Es gibt zwei Zustände der Lampe: 1 (Licht leuchtet) und 0 (Licht leuchtet nicht). Z 2 := {0, 1} Menge aller möglichen Positionen der drei Schalter: Z 3 2 := {0, 1}3 (dazu zuerst Reihenfolge der Schalter festlegen und Bezeichnung der Position wählen) Es gibt 8 verschiedene Positionen der drei Schalter. (0, 1, 1) beschreibt: Schalter 1 in Position 0, Schalter 2 und 3 in Position 1.

13 Beschreibung dessen, was man will: Schaltfunktion Beschreibung des Zusammenhangs zwischen der Menge der Schalterpositionen und der Menge der Zustände der Lampe: Schaltfunktion f : Z 3 2 Z 2 mit f (x 1, x 2, x 3 ) := Zustand der Lampe, wenn die drei Schalter in Position (x 1, x 2, x 3 ) sind.

14 Beschreibung dessen, was man will: Schaltfunktion Beschreibung des Zusammenhangs zwischen der Menge der Schalterpositionen und der Menge der Zustände der Lampe: Schaltfunktion f : Z 3 2 Z 2 mit f (x 1, x 2, x 3 ) := Zustand der Lampe, wenn die drei Schalter in Position (x 1, x 2, x 3 ) sind. Darstellung durch eine Tabelle: x 1 x 2 x 3 f (x 1, x 2, x 3 )

15 Einfach: Von der Schaltung zur Schaltfunktion Ist eine Schaltung gegeben, kann die Schaltfunktion daraus leicht ermittelt werden. Die Schaltfunktion der Schaltung s 1 s 2 s 3 ist g : Z 3 2 Z 2 mit g(x 1, x 2, x 3 ) := Zustand der Lampe, wenn die drei Schalter in Position (x 1, x 2, x 3 ) sind.

16 Einfach: Von der Schaltung zur Schaltfunktion Darstellung der Schaltfunktion g : Z 3 2 Z 2 durch ihren Graphen (eine Tabelle): x 1 x 2 x 3 g(x 1, x 2, x 3 ) Graph einer Funktion h : D W : { (d, h(d)) d D } D W

17 Schwieriger: Von der Schaltfunktion zur Schaltung Strategie: Finde zuerst Schaltungen für einfache Schaltfunktionen und baue dann damit die gesuchte Schaltung zusammen.

18 Schwieriger: Von der Schaltfunktion zur Schaltung Strategie: Finde zuerst Schaltungen für einfache Schaltfunktionen und baue dann damit die gesuchte Schaltung zusammen. Strategie bereits in den folgenden Fällen erfolgreich verwendet:

19 Schwieriger: Von der Schaltfunktion zur Schaltung Strategie: Finde zuerst Schaltungen für einfache Schaltfunktionen und baue dann damit die gesuchte Schaltung zusammen. Strategie bereits in den folgenden Fällen erfolgreich verwendet: Lösen ganzzahliger linearer Gleichungen ax + by = c (erweiterter Euklidischer Algorithmus) Löse zuerst (durch Hinschauen ) die ganzzahligen linearen Gleichungen ax + by = a und ax + by = b, dann ax + by = a mb usw.... bis ax + by = ggt(a, b)

20 Schwieriger: Von der Schaltfunktion zur Schaltung Strategie: Finde zuerst Schaltungen für einfache Schaltfunktionen und baue dann damit die gesuchte Schaltung zusammen. Strategie bereits in den folgenden Fällen erfolgreich verwendet: Lösen ganzzahliger linearer Gleichungen ax + by = c (erweiterter Euklidischer Algorithmus) Löse zuerst (durch Hinschauen ) die ganzzahligen linearen Gleichungen ax + by = a und ax + by = b, dann ax + by = a mb usw.... bis ax + by = ggt(a, b) Interpolation nach Lagrange

21 Exkurs: Lagrange-Interpolation Gegeben: x 0,..., x n R paarweise verschieden, y 0,..., y n R. Gesucht: eine reelle Polynomfunktion f mit grad(f ) n und der Eigenschaft f (x i ) = y i, 0 i n.

22 Exkurs: Lagrange-Interpolation Gegeben: x 0,..., x n R paarweise verschieden, y 0,..., y n R. Gesucht: eine reelle Polynomfunktion f mit grad(f ) n und der Eigenschaft f (x i ) = y i, 0 i n. Aufgabe leicht lösbar, wenn fast alle y j = 0 sind und nur y i = 1 ist.

23 Exkurs: Lagrange-Interpolation Gegeben: x 0,..., x n R paarweise verschieden, y 0,..., y n R. Gesucht: eine reelle Polynomfunktion f mit grad(f ) n und der Eigenschaft f (x i ) = y i, 0 i n. Aufgabe leicht lösbar, wenn fast alle y j = 0 sind und nur y i = 1 ist. In diesem Fall: eindeutig bestimmte Lösung f i mit f i (x) := j i 1 x i x j (x x j )

24 Exkurs: Rechnen mit Funktionen von R nach R Mit Funktionen kann man rechnen, wenn man in ihrem Bildbereich (hier: R) rechnen kann. u, v Funktionen von R nach R Addition: u + v ist die Funktion von R nach R mit (u + v)(x) := u(x) + v(x) Dabei ist u(x) + v(x) die Summe in R.

25 Exkurs: Rechnen mit Funktionen von R nach R Mit Funktionen kann man rechnen, wenn man in ihrem Bildbereich (hier: R) rechnen kann. u, v Funktionen von R nach R Addition: u + v ist die Funktion von R nach R mit (u + v)(x) := u(x) + v(x) Dabei ist u(x) + v(x) die Summe in R. Multiplikation: u v ist die Funktion von R nach R mit (u v)(x) := u(x) v(x) Dabei ist u(x) v(x) das Produkt in R.

26 Exkurs: Rechnen mit Funktionen von R nach R Mit Funktionen kann man rechnen, wenn man in ihrem Bildbereich (hier: R) rechnen kann. u, v Funktionen von R nach R Addition: u + v ist die Funktion von R nach R mit (u + v)(x) := u(x) + v(x) Dabei ist u(x) + v(x) die Summe in R. Multiplikation: u v ist die Funktion von R nach R mit (u v)(x) := u(x) v(x) Dabei ist u(x) v(x) das Produkt in R. Es gelten die gleichen Rechenregeln wie für ganze Zahlen (Assoziativgesetze, Distributivgesetze,...).

27 Exkurs: Rechnen mit Funktionen von R nach R Mit Funktionen kann man rechnen, wenn man in ihrem Bildbereich (hier: R) rechnen kann. u, v Funktionen von R nach R Addition: u + v ist die Funktion von R nach R mit (u + v)(x) := u(x) + v(x) Dabei ist u(x) + v(x) die Summe in R. Multiplikation: u v ist die Funktion von R nach R mit (u v)(x) := u(x) v(x) Dabei ist u(x) v(x) das Produkt in R. Es gelten die gleichen Rechenregeln wie für ganze Zahlen (Assoziativgesetze, Distributivgesetze,...). cf. Summen- und Produktregel der Differentialrechnung, Summen von Zufallsvariablen,...

28 Exkurs: Rechnen mit Funktionen von R nach R Mit Funktionen kann man rechnen, wenn man in ihrem Bildbereich (hier: R) rechnen kann. u, v Funktionen von R nach R Addition: u + v ist die Funktion von R nach R mit (u + v)(x) := u(x) + v(x) Dabei ist u(x) + v(x) die Summe in R. Multiplikation: u v ist die Funktion von R nach R mit (u v)(x) := u(x) v(x) Dabei ist u(x) v(x) das Produkt in R. Es gelten die gleichen Rechenregeln wie für ganze Zahlen (Assoziativgesetze, Distributivgesetze,...). cf. Summen- und Produktregel der Differentialrechnung, Summen von Zufallsvariablen,... Mit c bezeichnen wir nicht nur das Element c R, sondern auch die konstante Funktion c von R nach R: c(x) := c.

29 Exkurs: Lagrange-Interpolation Gegeben: x 0,..., x n R paarweise verschieden, y 0,..., y n R. Gesucht: eine reelle Polynomfunktion f mit grad(f ) n und der Eigenschaft f (x i ) = y i, 0 i n.

30 Exkurs: Lagrange-Interpolation Gegeben: x 0,..., x n R paarweise verschieden, y 0,..., y n R. Gesucht: eine reelle Polynomfunktion f mit grad(f ) n und der Eigenschaft f (x i ) = y i, 0 i n. Lösung, wenn fast alle y j = 0 sind und nur y i = 1 ist: f i mit f i (x) := j i 1 x i x j (x x j )

31 Exkurs: Lagrange-Interpolation Gegeben: x 0,..., x n R paarweise verschieden, y 0,..., y n R. Gesucht: eine reelle Polynomfunktion f mit grad(f ) n und der Eigenschaft f (x i ) = y i, 0 i n. Lösung, wenn fast alle y j = 0 sind und nur y i = 1 ist: f i mit f i (x) := j i 1 x i x j (x x j ) Dann ist y i f i eine Lösung für: fast alle y j = 0 und y i beliebig.

32 Exkurs: Lagrange-Interpolation Gegeben: x 0,..., x n R paarweise verschieden, y 0,..., y n R. Gesucht: eine reelle Polynomfunktion f mit grad(f ) n und der Eigenschaft f (x i ) = y i, 0 i n. Lösung, wenn fast alle y j = 0 sind und nur y i = 1 ist: f i mit f i (x) := j i 1 x i x j (x x j ) Dann ist y i f i eine Lösung für: fast alle y j = 0 und y i beliebig. Die Summe der Funktionen f := y 1 f 1 + y 2 f y n f n ist die Lösung der ursprünglichen Interpolationsaufgabe, denn: (y 1 f y n f n )(x i ) = (y 1 f 1 )(x i ) + + (y n f n )(x i ) = y i.

33 Exkurs: Lagrange-Interpolation Beispiel: Es sei x 0 = 1, x 1 = 0, x 2 = 1 und y 0 = 2, y 1 = 1, y 2 = 1.

34 Exkurs: Lagrange-Interpolation Beispiel: Es sei x 0 = 1, x 1 = 0, x 2 = 1 und y 0 = 2, y 1 = 1, y 2 = 1. Interpolation nach Lagrange: =

35 Exkurs: Lagrange-Interpolation Beispiel: Es sei x 0 = 1, x 1 = 0, x 2 = 1 und y 0 = 2, y 1 = 1, y 2 = 1. Interpolation nach Lagrange: = f 0 (x) = 1 2 x(x 1) f 1(x) = (x + 1)(x 1) f 2 (x) = 1 x(x + 1) 2 f = 2f 0 + f 1 + f 3, also f (x) = 1 2 x x + 1

36 Exkurs: Lagrange-Interpolation und (künstliche?) Intelligenz So kann ein Computer das Zahlenreihen fortsetzen in diversen Intelligenz- oder Zulassungstests lösen:

37 Exkurs: Lagrange-Interpolation und (künstliche?) Intelligenz So kann ein Computer das Zahlenreihen fortsetzen in diversen Intelligenz- oder Zulassungstests lösen: x 0 = 0, x 1 = 1,..., x n = n, y 0,..., y n R vorgegeben.

38 Exkurs: Lagrange-Interpolation und (künstliche?) Intelligenz So kann ein Computer das Zahlenreihen fortsetzen in diversen Intelligenz- oder Zulassungstests lösen: x 0 = 0, x 1 = 1,..., x n = n, y 0,..., y n R vorgegeben. Berechne wie oben eine reelle Polynomfunktion f mit grad(f ) n und der Eigenschaft f (i) = y i, 0 i n.

39 Exkurs: Lagrange-Interpolation und (künstliche?) Intelligenz So kann ein Computer das Zahlenreihen fortsetzen in diversen Intelligenz- oder Zulassungstests lösen: x 0 = 0, x 1 = 1,..., x n = n, y 0,..., y n R vorgegeben. Berechne wie oben eine reelle Polynomfunktion f mit grad(f ) n und der Eigenschaft f (i) = y i, 0 i n. Setze y 0,..., y n mit f (n + 1) fort.

40 Exkurs: Lagrange-Interpolation und (künstliche?) Intelligenz So kann ein Computer das Zahlenreihen fortsetzen in diversen Intelligenz- oder Zulassungstests lösen: x 0 = 0, x 1 = 1,..., x n = n, y 0,..., y n R vorgegeben. Berechne wie oben eine reelle Polynomfunktion f mit grad(f ) n und der Eigenschaft f (i) = y i, 0 i n. Setze y 0,..., y n mit f (n + 1) fort. Häufig Vorgabe: für das Bildungsgesetz dürfen nur Addition und Multiplikation verwendet werden (f Polynomfunktion!) Ohne Bedingung an den Grad von f gibt es aber unendlich viele mögliche Bildungsgesetze.

41 Rechnen in Z 2 Addition: := 0, := 1, := 1, := 0

42 Rechnen in Z 2 Addition: := 0, := 1, := 1, := 0 Multiplikation: 0 0 := 0, 0 1 := 0, 1 0 := 0, 1 1 := 1

43 Rechnen in Z 2 Addition: := 0, := 1, := 1, := 0 Multiplikation: 0 0 := 0, 0 1 := 0, 1 0 := 0, 1 1 := 1 Es gelten die gleichen Rechenregeln wie für reelle Zahlen (Assoziativgesetze, Distributivgesetze,...).

44 Rechnen in Z 2 Addition: := 0, := 1, := 1, := 0 Multiplikation: 0 0 := 0, 0 1 := 0, 1 0 := 0, 1 1 := 1 Es gelten die gleichen Rechenregeln wie für reelle Zahlen (Assoziativgesetze, Distributivgesetze,...). Bei jeder Änderung von einer der drei Schalterpositionen ändert sich der Zustand der Lampe.

45 Rechnen in Z 2 Addition: := 0, := 1, := 1, := 0 Multiplikation: 0 0 := 0, 0 1 := 0, 1 0 := 0, 1 1 := 1 Es gelten die gleichen Rechenregeln wie für reelle Zahlen (Assoziativgesetze, Distributivgesetze,...). Bei jeder Änderung von einer der drei Schalterpositionen ändert sich der Zustand der Lampe. Also kann f zum Beispiel durch f (x 1, x 2, x 3 ) := x 1 + x 2 + x 3 beschrieben werden.

46 Rechnen in Z 2 Addition: := 0, := 1, := 1, := 0 Multiplikation: 0 0 := 0, 0 1 := 0, 1 0 := 0, 1 1 := 1 Es gelten die gleichen Rechenregeln wie für reelle Zahlen (Assoziativgesetze, Distributivgesetze,...). Bei jeder Änderung von einer der drei Schalterpositionen ändert sich der Zustand der Lampe. Also kann f zum Beispiel durch f (x 1, x 2, x 3 ) := x 1 + x 2 + x 3 beschrieben werden. Dann ist f (1, 1, 0) = = 0 und f (0, 1, 0) = = 1

47 Die einfachen Fälle: Serienschaltung Die 8 Schaltfunktionen f 000, f 001, f 010,..., f 111 von Z 3 2 nach Z 2 mit f 000 (x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 + 1)(x 2 + 1)(x 3 + 1), f 001 (x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 + 1)(x 2 + 1)(x 3 ), f 010 (x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 + 1)x 2 (x 3 + 1),..., f 111 (x 1, x 2, x 3 ) = x 1 x 2 x 3 haben an einer einzigen Stelle den Funktionswert 1 und an allen (sieben) anderen Stellen den Funktionswert 0.

48 Die einfachen Fälle: Serienschaltung Die 8 Schaltfunktionen f 000, f 001, f 010,..., f 111 von Z 3 2 nach Z 2 mit f 000 (x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 + 1)(x 2 + 1)(x 3 + 1), f 001 (x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 + 1)(x 2 + 1)(x 3 ), f 010 (x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 + 1)x 2 (x 3 + 1),..., f 111 (x 1, x 2, x 3 ) = x 1 x 2 x 3 haben an einer einzigen Stelle den Funktionswert 1 und an allen (sieben) anderen Stellen den Funktionswert 0. Die Tabelle von f 010 ist x 1 x 2 x 3 f 010 (x 1, x 2, x 3 )

49 Die einfachen Fälle: Serienschaltung Bei der Schaltfunktion f 010 darf die Lampe nur dann leuchten, wenn die Schalter in den Positionen 0, 1, 0 sind. Die entsprechende Schaltung ist die Serienschaltung der drei Schalter, wobei durch den ersten bzw. zweiten bzw. dritten Strom fließt, wenn er in Position 0 bzw. 1 bzw. 0 ist.

50 Die einfachen Fälle: Serienschaltung Bei der Schaltfunktion f 010 darf die Lampe nur dann leuchten, wenn die Schalter in den Positionen 0, 1, 0 sind. Die entsprechende Schaltung ist die Serienschaltung der drei Schalter, wobei durch den ersten bzw. zweiten bzw. dritten Strom fließt, wenn er in Position 0 bzw. 1 bzw. 0 ist. Bild: 0 0 0

51 Rechnen mit Funktionen von Z 3 2 nach Z 2 Mit Funktionen kann man rechnen, wenn man in ihrem Bildbereich (hier: Z 2 ) rechnen kann. u, v Funktionen von Z 3 2 nach Z 2 Addition: u + v ist die Funktion von Z 3 2 nach Z 2 mit (u + v)(x) := u(x) + v(x) Dabei ist u(x) + v(x) die Summe in Z 2.

52 Rechnen mit Funktionen von Z 3 2 nach Z 2 Mit Funktionen kann man rechnen, wenn man in ihrem Bildbereich (hier: Z 2 ) rechnen kann. u, v Funktionen von Z 3 2 nach Z 2 Addition: u + v ist die Funktion von Z 3 2 nach Z 2 mit (u + v)(x) := u(x) + v(x) Dabei ist u(x) + v(x) die Summe in Z 2. Multiplikation: u v ist die Funktion von Z 3 2 nach Z 2 mit (u v)(x) := u(x) v(x) Dabei ist u(x) v(x) das Produkt in Z 2.

53 Rechnen mit Funktionen von Z 3 2 nach Z 2 Mit Funktionen kann man rechnen, wenn man in ihrem Bildbereich (hier: Z 2 ) rechnen kann. u, v Funktionen von Z 3 2 nach Z 2 Addition: u + v ist die Funktion von Z 3 2 nach Z 2 mit (u + v)(x) := u(x) + v(x) Dabei ist u(x) + v(x) die Summe in Z 2. Multiplikation: u v ist die Funktion von Z 3 2 nach Z 2 mit (u v)(x) := u(x) v(x) Dabei ist u(x) v(x) das Produkt in Z 2. Es gelten die gleichen Rechenregeln wie für ganze Zahlen (Assoziativgesetze, Distributivgesetze,...).

54 Rechnen mit Funktionen von Z 3 2 nach Z 2 Mit p i bezeichnen wir die i-te Projektion von Z 3 2 nach Z 2: p i (x 1, x 2, x 3 ) := x i (i = 1, 2 oder 3).

55 Rechnen mit Funktionen von Z 3 2 nach Z 2 Mit p i bezeichnen wir die i-te Projektion von Z 3 2 nach Z 2: p i (x 1, x 2, x 3 ) := x i (i = 1, 2 oder 3). Mit 1 bezeichnen wir nicht nur das Element 1 Z 2, sondern auch die konstante Funktion 1 von Z 3 2 nach Z 2: 1(x 1, x 2, x 3 ) := 1.

56 Rechnen mit Funktionen von Z 3 2 nach Z 2 Mit p i bezeichnen wir die i-te Projektion von Z 3 2 nach Z 2: p i (x 1, x 2, x 3 ) := x i (i = 1, 2 oder 3). Mit 1 bezeichnen wir nicht nur das Element 1 Z 2, sondern auch die konstante Funktion 1 von Z 3 2 nach Z 2: 1(x 1, x 2, x 3 ) := 1. Dann ist f mit f (x 1, x 2, x 3 ) := x 1 + x 2 + x 3 die Summe der 3 Projektionen: f = p 1 + p 2 + p 3.

57 Rechnen mit Funktionen von Z 3 2 nach Z 2 Mit p i bezeichnen wir die i-te Projektion von Z 3 2 nach Z 2: p i (x 1, x 2, x 3 ) := x i (i = 1, 2 oder 3). Mit 1 bezeichnen wir nicht nur das Element 1 Z 2, sondern auch die konstante Funktion 1 von Z 3 2 nach Z 2: 1(x 1, x 2, x 3 ) := 1. Dann ist f mit f (x 1, x 2, x 3 ) := x 1 + x 2 + x 3 die Summe der 3 Projektionen: f = p 1 + p 2 + p 3. f 111 = p 1 p 2 p 3 und f 010 = (p 1 + 1) p 2 (p 3 + 1)

58 Rechnen mit Funktionen von Z 3 2 nach Z 2 Mit p i bezeichnen wir die i-te Projektion von Z 3 2 nach Z 2: p i (x 1, x 2, x 3 ) := x i (i = 1, 2 oder 3). Mit 1 bezeichnen wir nicht nur das Element 1 Z 2, sondern auch die konstante Funktion 1 von Z 3 2 nach Z 2: 1(x 1, x 2, x 3 ) := 1. Dann ist f mit f (x 1, x 2, x 3 ) := x 1 + x 2 + x 3 die Summe der 3 Projektionen: f = p 1 + p 2 + p 3. f 111 = p 1 p 2 p 3 und f 010 = (p 1 + 1) p 2 (p 3 + 1) g wie oben: g = p 1 (p 2 + p 3 + p 2 p 3 ) = p 1 p 2 + p 1 p 3 + p 1 p 2 p 3, also g(x 1, x 2, x 3 ) = x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 1 x 2 x 3.

59 Zusammenbau: Parallelschaltung von Serienschaltungen Bei der Schaltfunktion f f 111 leuchtet die Lampe genau dann, wenn die Schalter in den Positionen 0, 1, 0 oder 1, 1, 1 sind. Die entsprechende Schaltung ist die Parallelschaltung der zwei Serienschaltungen der drei Schalter, wobei durch den ersten bzw. zweiten bzw. dritten Strom fließt, wenn er in Position 0 bzw. 1 bzw. 0 ist.

60 Zusammenbau: Parallelschaltung von Serienschaltungen Bei der Schaltfunktion f f 111 leuchtet die Lampe genau dann, wenn die Schalter in den Positionen 0, 1, 0 oder 1, 1, 1 sind. Die entsprechende Schaltung ist die Parallelschaltung der zwei Serienschaltungen der drei Schalter, wobei durch den ersten bzw. zweiten bzw. dritten Strom fließt, wenn er in Position 0 bzw. 1 bzw. 0 ist. Bild:

61 Zusammenbau: Parallelschaltung von Serienschaltungen p 1 + p 2 + p 3 = f = = f (0, 0, 0)f f (0, 0, 1)f f (0, 1, 0)f f (1, 1, 1)f 111 = = f (x)f x = f x = x Z 3 2 x Z 3 2, f (x)=1 = f f f f 111 = = (p 1 +1) (p 2 +1) p 3 +(p 1 +1) p 2 (p 3 +1)+p 1 (p 2 +1) (p 3 +1)+p 1 p 2 p 3

62 Zusammenbau: Parallelschaltung von Serienschaltungen p 1 + p 2 + p 3 = f = = f (0, 0, 0)f f (0, 0, 1)f f (0, 1, 0)f f (1, 1, 1)f 111 = = f (x)f x = f x = x Z 3 2 x Z 3 2, f (x)=1 = f f f f 111 = = (p 1 +1) (p 2 +1) p 3 +(p 1 +1) p 2 (p 3 +1)+p 1 (p 2 +1) (p 3 +1)+p 1 p 2 p 3 Bild: s 1 s 2 s 3

63 Von der Schaltfunktion zur Schaltung u, v Funktionen von Z 3 2 nach Z 2 Schreibweise: u v := u v, u := u + 1, u v := u + v + u v

64 Von der Schaltfunktion zur Schaltung u, v Funktionen von Z 3 2 nach Z 2 Schreibweise: u v := u v, u := u + 1, u v := u + v + u v Ist u v = 0, z.b. wenn u = f x, v = f y mit x y Z 3 2, dann ist u v := u + v.

65 Von der Schaltfunktion zur Schaltung u, v Funktionen von Z 3 2 nach Z 2 Schreibweise: u v := u v, u := u + 1, u v := u + v + u v Ist u v = 0, z.b. wenn u = f x, v = f y mit x y Z 3 2, dann ist u v := u + v. Sind u und v zwei Schaltfunktionen für Schaltungen mit denselben Schaltern, dann ist u v die Schaltfunktion der Serienschaltung und u v die Schaltfunktion der Parallelschaltung dieser zwei Schaltungen. u u v v

66 Von der Schaltfunktion zur Schaltung In dieser Schreibweise ist p 1 + p 2 + p 3 = f = = (p 1 +1) (p 2 +1) p 3 +(p 1 +1) p 2 (p 3 +1)+p 1 (p 2 +1) (p 3 +1)+p 1 p 2 p 3 = ( ( p 1 ) ( p 2 ) p 3 ) ( ( p1 ) p 2 ( p 3 ) ) ( p 1 ( p 2 ) ( p 3 ) ) ( p 1 p 2 p 3 ) disjunktive Normalform von f, zum Bau der Schaltung als Parallelschaltung von Serienschaltungen f = (p 1 p 2 p 3 ) (p 1 ( p 2 ) ( p 3 )) (( p 1 ) p 2 ( p 3 )) (( p 1 ) ( p 2 ) p 3 ) konjunktive Normalform von f, zum Bau der Schaltung als Serienschaltung von Parallelschaltungen

67 Normalformen Es gibt 2 8 Funktionen von Z 3 2 nach Z 2, jede ist Linearkombination (mit Koeffizienten 0 oder 1) der 8 Monome 1, p 1, p 2, p 3, p 1 p 2, p 1 p 3, p 2 p 3, p 1 p 2 p 3 dargestellt werden. Darstellung von f als Summe (bzw. Linearkombination) von Potenzprodukten: p 1 + p 2 + p 3, zum Auswerten der Funktion f Ob eine Normalform einfacher oder besser ist als eine andere, hängt vom jeweiligen Kontext ab. (Analog: Soll a 2 b 2 zu (a + b)(a b) vereinfacht werden oder umgekehrt?)

68 Abstimmungsmaschinen Abstimmungsmaschine für 5 Personen, Lampe leuchtet wenn Mehrheit auf ja drückt.

69 Abstimmungsmaschinen Abstimmungsmaschine für 5 Personen, Lampe leuchtet wenn Mehrheit auf ja drückt. Schaltfunktion f mit f (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) = x 1 x 2 x 3 x 4 + x 1 x 2 x 3 x 5 + x 1 x 2 x 4 x 5 + x 1 x 3 x 4 x 5 + x 2 x 3 x 4 x 5 + x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 4 + x 1 x 2 x 5 + x 1 x 3 x 4 + x 1 x 3 x 5 + x 1 x 4 x 5 + x 2 x 3 x 4 + x 2 x 3 x 5 + x 2 x 4 x 5 + x 3 x 4 x 5 (Summe aller Produkte von x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 mit drei oder vier verschiedenen Faktoren)

70 Abstimmungsmaschinen Abstimmungsmaschine für 5 Personen, Lampe leuchtet wenn Mehrheit auf ja drückt. Schaltfunktion f mit f (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) = x 1 x 2 x 3 x 4 + x 1 x 2 x 3 x 5 + x 1 x 2 x 4 x 5 + x 1 x 3 x 4 x 5 + x 2 x 3 x 4 x 5 + x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 4 + x 1 x 2 x 5 + x 1 x 3 x 4 + x 1 x 3 x 5 + x 1 x 4 x 5 + x 2 x 3 x 4 + x 2 x 3 x 5 + x 2 x 4 x 5 + x 3 x 4 x 5 (Summe aller Produkte von x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 mit drei oder vier verschiedenen Faktoren) disjunktive Normalform: f (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) = x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 +x 1 x 2 x 3 (1+x 4 )x 5 +x 1 x 2 (1+x 3 )x 4 x 5 +x 1 (1+x 2 )x 3 x 4 x 5 + (1+x 1 )x 2 x 3 x 4 x 5 +x 1 x 2 x 3 (1+x 4 )(1+x 5 )+x 1 x 2 (1+x 3 )x 4 (1+x 5 )+ x 1 x 2 (1 + x 3 )(1 + x 4 )x 5 + x 1 (1 + x 2 )x 3 x 4 (1 + x 5 ) + x 1 (1 + x 2 )x 3 (1 + x 4 )x 5 + x 1 (1 + x 2 )(1 + x 3 )x 4 x 5 + (1 + x 1 )x 2 x 3 x 4 (1 + x 5 ) + (1 + x 1 )x 2 x 3 (1 + x 4 )x 5 + (1 + x 1 )x 2 (1 + x 3 )x 4 x 5 + (1 + x 1 )(1 + x 2 )x 3 x 4 x 5

71 Abstimmungsmaschinen Abstimmungsmaschine für 5 Personen, Lampe leuchtet wenn Mehrheit auf ja drückt. Schaltfunktion f mit f (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) = x 1 x 2 x 3 x 4 + x 1 x 2 x 3 x 5 + x 1 x 2 x 4 x 5 + x 1 x 3 x 4 x 5 + x 2 x 3 x 4 x 5 + x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 4 + x 1 x 2 x 5 + x 1 x 3 x 4 + x 1 x 3 x 5 + x 1 x 4 x 5 + x 2 x 3 x 4 + x 2 x 3 x 5 + x 2 x 4 x 5 + x 3 x 4 x 5 (Summe aller Produkte von x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 mit drei oder vier verschiedenen Faktoren) disjunktive Normalform: f (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) = x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 +x 1 x 2 x 3 (1+x 4 )x 5 +x 1 x 2 (1+x 3 )x 4 x 5 +x 1 (1+x 2 )x 3 x 4 x 5 + (1+x 1 )x 2 x 3 x 4 x 5 +x 1 x 2 x 3 (1+x 4 )(1+x 5 )+x 1 x 2 (1+x 3 )x 4 (1+x 5 )+ x 1 x 2 (1 + x 3 )(1 + x 4 )x 5 + x 1 (1 + x 2 )x 3 x 4 (1 + x 5 ) + x 1 (1 + x 2 )x 3 (1 + x 4 )x 5 + x 1 (1 + x 2 )(1 + x 3 )x 4 x 5 + (1 + x 1 )x 2 x 3 x 4 (1 + x 5 ) + (1 + x 1 )x 2 x 3 (1 + x 4 )x 5 + (1 + x 1 )x 2 (1 + x 3 )x 4 x 5 + (1 + x 1 )(1 + x 2 )x 3 x 4 x 5...

72 Danke für die Aufmerksamkeit!