Rechnen in B. Ralf Dorn. 3. September Heinrich-Hertz-Gymnasium. R. Dorn (H 2 O) Informatik LK 3. September / 6

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1 Rechnen in B Ralf Dorn 3. September 2018 R. Dorn (H 2 O) Informatik LK 3. September / 6

2 Festkommazahlen Wie werden Kommazahlen dargestellt? R. Dorn (H 2 O) Informatik LK 3. September / 6

3 Festkommazahlen Wie werden Kommazahlen dargestellt? z = R. Dorn (H 2 O) Informatik LK 3. September / 6

4 Festkommazahlen Wie werden Kommazahlen dargestellt? z = z = = Berechnung des Nachkommaanteiles mit Mutliplikation mit Rest R. Dorn (H 2 O) Informatik LK 3. September / 6

5 Festkommazahlen Wie werden Kommazahlen dargestellt? z = z = = Berechnung des Nachkommaanteiles mit Mutliplikation mit Rest z = R. Dorn (H 2 O) Informatik LK 3. September / 6

6 Festkommazahlen Wie werden Kommazahlen dargestellt? z = z = = Berechnung des Nachkommaanteiles mit Mutliplikation mit Rest z = z = = (Runden!) R. Dorn (H 2 O) Informatik LK 3. September / 6

7 Festkommazahlen Wie werden Kommazahlen dargestellt? z = z = = Berechnung des Nachkommaanteiles mit Mutliplikation mit Rest z = z = = (Runden!) }{{} Vorkommaanteil }{{} Nachkommaanteil R. Dorn (H 2 O) Informatik LK 3. September / 6

8 c = km s = m s R. Dorn (H 2 O) Informatik LK 3. September / 6

9 c = km s = m s Aufteilung in Mantisse und Exponent R. Dorn (H 2 O) Informatik LK 3. September / 6

10 c = km s = m s Aufteilung in Mantisse und Exponent IEEE 754 Standard: Festlegung der Bitbreite n Aufteilung von Mantisse M und Exponent E R. Dorn (H 2 O) Informatik LK 3. September / 6

11 c = km s = m s Aufteilung in Mantisse und Exponent IEEE 754 Standard: Festlegung der Bitbreite n Aufteilung von Mantisse M und Exponent E 32bit Single Precision Format R. Dorn (H 2 O) Informatik LK 3. September / 6

12 c = km s = m s Aufteilung in Mantisse und Exponent IEEE 754 Standard: Festlegung der Bitbreite n Aufteilung von Mantisse M und Exponent E 32bit Single Precision Format S Exponent E Mantisse M R. Dorn (H 2 O) Informatik LK 3. September / 6

13 c = km s = m s Aufteilung in Mantisse und Exponent IEEE 754 Standard: Festlegung der Bitbreite n Aufteilung von Mantisse M und Exponent E 32bit Single Precision Format S Exponent E Mantisse M R. Dorn (H 2 O) Informatik LK 3. September / 6

14 64bit Double Precision Format R. Dorn (H 2 O) Informatik LK 3. September / 6

15 64bit Double Precision Format allgemein: z = ( 1) VZ M 2 E R. Dorn (H 2 O) Informatik LK 3. September / 6

16 64bit Double Precision Format allgemein: z = ( 1) VZ M 2 E Definition: Eine Gleitkommazahl z heißt normalisiert, wenn 1 M < 2, d.h. wenn M von der Form 1.m 1 m 2... m k ist. Die Mantisse M ergibt sich bei der normalisierten Form M = 1 + k i= 1 m i 2 i R. Dorn (H 2 O) Informatik LK 3. September / 6

17 64bit Double Precision Format allgemein: z = ( 1) VZ M 2 E Definition: Eine Gleitkommazahl z heißt normalisiert, wenn 1 M < 2, d.h. wenn M von der Form 1.m 1 m 2... m k ist. Die Mantisse M ergibt sich bei der normalisierten Form M = 1 + k i= 1 m i 2 i Da vor dem Komma stets die 1 steht, wird diese weggelassen ("hidden bit") R. Dorn (H 2 O) Informatik LK 3. September / 6

18 Somit folgt für die Darstellung: z = ( 1) VZ (1 + m) 2 E, m = k i= 1 m i2 i R. Dorn (H 2 O) Informatik LK 3. September / 6

19 Somit folgt für die Darstellung: z = ( 1) VZ (1 + m) 2 E, m = k i= 1 m i2 i Problem: negative Exponenten R. Dorn (H 2 O) Informatik LK 3. September / 6

20 Somit folgt für die Darstellung: z = ( 1) VZ (1 + m) 2 E, m = k i= 1 m i2 i Problem: negative Exponenten Es wird auf den ermittelten Exponenten ein BIAS addiert. Wie groß? R. Dorn (H 2 O) Informatik LK 3. September / 6

21 Somit folgt für die Darstellung: z = ( 1) VZ (1 + m) 2 E, m = k i= 1 m i2 i Problem: negative Exponenten Es wird auf den ermittelten Exponenten ein BIAS addiert. Wie groß? Bias = 2 n 1 1 bei n = 8 folgt Bias = 127 (einfache Genauigkeit) R. Dorn (H 2 O) Informatik LK 3. September / 6

22 Somit folgt für die Darstellung: z = ( 1) VZ (1 + m) 2 E, m = k i= 1 m i2 i Problem: negative Exponenten Es wird auf den ermittelten Exponenten ein BIAS addiert. Wie groß? Bias = 2 n 1 1 bei n = 8 folgt Bias = 127 (einfache Genauigkeit) Exzessdarstellung des Exponenten: C = E = i=0,...,7 e i2 i R. Dorn (H 2 O) Informatik LK 3. September / 6

23 Somit folgt für die Darstellung: z = ( 1) VZ (1 + m) 2 E, m = k i= 1 m i2 i Problem: negative Exponenten Es wird auf den ermittelten Exponenten ein BIAS addiert. Wie groß? Bias = 2 n 1 1 bei n = 8 folgt Bias = 127 (einfache Genauigkeit) Exzessdarstellung des Exponenten: C = E = i=0,...,7 e i2 i Somit gilt abschließend für z(s, C, m) in einfacher Genauigkeit: z = ( 1) s ( i= 1 m i 2 i ) 2 ( 7 i=0 e i 2 i (2 7 1)) R. Dorn (H 2 O) Informatik LK 3. September / 6

24 Somit folgt für die Darstellung: z = ( 1) VZ (1 + m) 2 E, m = k i= 1 m i2 i Problem: negative Exponenten Es wird auf den ermittelten Exponenten ein BIAS addiert. Wie groß? Bias = 2 n 1 1 bei n = 8 folgt Bias = 127 (einfache Genauigkeit) Exzessdarstellung des Exponenten: C = E = i=0,...,7 e i2 i Somit gilt abschließend für z(s, C, m) in einfacher Genauigkeit: z = ( 1) s ( i= 1 m i 2 i ) 2 ( 7 i=0 e i 2 i (2 7 1)) S e 7 e 6... e 0 m 1 m 2... m 23 R. Dorn (H 2 O) Informatik LK 3. September / 6

25 Übungen Bearbeite selbständig die vorbereiteten Übungen. Nutze Kontrollmöglichkeiten (Gleitkommazahlumrechner)! Individuelle Hilfe (durch mich) möglich. Bitte melden. R. Dorn (H 2 O) Informatik LK 3. September / 6