Systemtheorie Teil A. - Zeitkontinuierliche Signale und Systeme - Musterlösungen. Manfred Strohrmann Urban Brunner

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1 Sytemtheorie eil - Zeitkontinuierliche Signale und Syteme - Muterlöungen Manfred Strohrmann Urban Brunner

2 Inhalt Muterlöungen - Laplace-ranformation zeitkontinuierlicher Signale Berechnung der Laplace-ranformierten über die Definitiongleichung Laplace-ranformierte geometricher Signale Laplace-ranformierte einer abklingenden Schwingung.... Laplace-ranformierte einer tückweie definierten Funktion pproximation einer Rechteckfunktion über Grenzwertbetrachtungen Rücktranformation in Zeitbereich Impul- und Sprungantwort im Zeit- und Laplace-Bereich....8 Interpretation von Laplace-ranformierten... Inhalte 3

3 Muterlöungen - Laplace-ranformation zeitkontinuierlicher Signale. Berechnung der Laplace-ranformierten über die Definitiongleichung Durch Einetzen der Funktion in da Laplace-Integral ergibt ich π ω t X = U in ω t e dt ( ) Die Sinu-Funktion kann mithilfe der Eulerchen Formel umgeformt werden in t e e j ( j ω t j ω ω t = ) Damit folgt für die Laplace-ranformierte π π π ω ω ( jω ) t ( jω + ) t ω U jωt jωt t U ( jω ) t ( jω + ) t U e e X = ( e e ) e dt = e e dt = + j j j jω jω + π π π π j π j π ω ω j ω j ω U e e π π U e e e e = + = + j jω jω + j jω jω + π π ω ω π U e e U j j e ω ω + + ω = + = j j j j ω ω + ω U ω = e +ω π ω. Laplace-ranformierte geometricher Signale a) Dartellung der Signale x i (t) al gechloenen udruck mit Sprungfunktionen x ( t) = σ ( t) +σ( t ) σ( t ) σ( t 3) = σ( ) σ( ) + σ( ) σ( ) x t t t t 3 t 3 = ( σ σ( )) + ( + ) ( σ( ) σ( )) + ( ) ( σ( ) σ( )) x t t t t t t t 3 t t 3 t = tσ t t σ t + (t 3) σ t 3 t σ t

4 Muterlöungen - Laplace-ranformation zeitkontinuierlicher Signale x t t t t t t t t t t = σ σ( ) σ( ) = σ + σ( ) 3 3 = tσ t t σ t 3σ t σ t 3 3 = tσ t t σ t 5σ t b) lle Signale ind kaual, da ie für t < den Wert null aufweien. c) Die zugehörige Laplace-ranformierte X i () ergeben ich au den Korrepondenzen und den Rechenregeln zu X e e e 3 = ( + ) X e e e e 3 = ( + ) X3 e e e 3 = ( + ) 3 3 X e 5 e ² ² =.3 Laplace-ranformierte einer abklingenden Schwingung Die Zeitfunktion wird in die Definitiongleichung der Laplace-ranformation eingeetzt X x t e dt e co t (t) e t = = ω dt t d t ( ) Mithilfe der Eulerchen Formel kann die Koinu-Funktion über Exponentialfunktionen augedrückt werden. Damit ergibt ich dt jωt jωt t ( d + jω ) t ( d jω ) t X = e ( e e ) e dt e e dt + = + = e + e d + jω d jω ( d + jω ) t ( d jω ) t Damit da Integral für t konvergiert, mu der Realteil de rgumente der Exponentialfunktion negativ ein. Re( ) >δ Mit dieer Bedingung ergibt ich die Laplace-ranformierte zu X = + = + δ + jω δ jω δ jω + δ + jω + δ + jω + δ jω + δ = = ( δ ) +ω ( δ ) +ω

5 Muterlöungen - Laplace-ranformation zeitkontinuierlicher Signale 5. Laplace-ranformierte einer tückweie definierten Funktion Die Funktion kann mithilfe von Sprungfunktionen al gechloener udruck dargetellt werden. U t x t co t t U t U t 3 = π ( ( )) + ( ) ( ) U t co t 3 t ( ) + π U t U t co t co t U t U t 3 = π π + U t co + π U t ( t 3) co π ( t ) Um bei den Koinu-und Sprungfunktionen zu denelben Zeitargumenten zu kommen, wird von dem folgender Zuammenhang genutzt: t t t t co co co π co = + π π = π +π = + π Damit ergibt ich für die Funktion x(t): U t U t x t co t co t U t = π + π ( ) + ( ) U t 3 U t U t co t 3 co t π π Mit der Laplace-ranformierten t L coπ t = π + ergibt ich die Laplace-ranformierte der Funktion x(t) zu U U X e U e π π + + = + + U U U e + + e e 3 3 π π + + U U = + e e e e e e + π + 3 3

6 6 Muterlöungen - Laplace-ranformation zeitkontinuierlicher Signale.5 pproximation einer Rechteckfunktion über Grenzwertbetrachtungen a) Da Signal it für = und für ufgabenteil d auch für =. in folgendem Diagramm dargetellt. = =. Signal x(t) b) Da Signal kann dargetellt werden al π x( t) = + in ( t ) t t + + t + t π + in ( t ) t t + c) Für die nwendung der Laplace-ranformation mu da Signal zerlegt werden: π x( t) = + in ( t ) t t + + t + t π + in ( t ) t t + π = t t in ( t ) t + + π in ( t ) t + + t + t π +t t + in ( t ) t π + in ( t ) t Zeit t Während die Sprungfunktionen direkt tranformiert werden können, müen die Sinufunktionen o umgeformt werden, da ich dieelben Zeitargumente für Sinu- und Sprungfunktion ergeben. u dem Hinwei ergibt ich

7 Muterlöungen - Laplace-ranformation zeitkontinuierlicher Signale 7 π π π π π in ( t ) co ( t ) co t co t = = = + beziehungweie π π π π π in ( t ) co ( t ) co t co t = + = + = π π π π π in ( t ) co ( t ) co t co t = = = + π π π π π in ( t ) co ( t ) co t co t = + = + = Damit lät ich da Signal dartellen al π x( t) = t t co t t + π co t + t + + t + t +t t + π π + co t t co t t nwendung der Laplace-ranformation führt mit der Korrepondenztafel und der Verchiebungregel zu X = e e + e e + e e e e + e + e π d) Für den Grenzübergang wird der Übergang immer teiler, im Grenzwert unendlich teil. Damit nähert ich da Signal einer Rechteckfunktion x( t) = σ( t ) σ( t ) Dieer Grenzwert kann auch im Laplace-Bereich betimmt werden. Für ergibt ich die Laplace- ranformierte X e e e e e e lim e e e e ( ) ( = ) + π = e e Die Sinufunktion hat in dem Fall eine unendlich hohe Frequenz.

8 8 Muterlöungen - Laplace-ranformation zeitkontinuierlicher Signale ω= π Damit zeigt die ufgabe, da zur Erzeugung unendlich teiler Flanken harmoniche Funktionen mit unendlich hoher Frequenz benötigt werden..6 Rücktranformation in Zeitbereich a) Zur Rücktranformation der Laplace-ranformierten = G müen zunächt die Pole berechnet werden. Nulletzen de Nenner + + = führt zu den Polen α / = ± j Damit können zwei Verfahren durchgeführt werden, nämlich Durchführung einer Partialbruchzerlegung mit Rücktranformation der Partialbrüche oder die direkte nwendung der Korrepondenzen 9 und/oder. Beide Verfahren werden hier vorgetellt. Bei der Partialbruchzerlegung ergibt ich der natz + + j + j = + G mit den Koeffizienten und ( + ) ( + + ) ( + + ) ( + ) j = = j j ( + ) ( + ) ( + + ) ( + ) = j j = = j j = + j Die Rücktranformation der Partialbruch-Dartellung G = j + j ergibt die Zeitfunktion g(t) g t e e t e e e t e co t t e co t t (+ j) t ( j) t t jt jt t t = ( + ) = ( + ) = = Die direkte nwendung der Korrepondenz mit d = - und ω = direkt zu g t e e t e e e t e co t t e co t t (+ j) t ( j) t t jt jt t t = ( + ) = ( + ) = = Der Weg über die Korrepondenzen 9 und/oder ind damit erheblich effizienter, bei einigen Herleitungen it jedoch die Berechnung über die komplexen Partialbrüche erforderlich. b) Zunächt werden die Nulltellen de Nenner berechnet.

9 Muterlöungen - Laplace-ranformation zeitkontinuierlicher Signale = Der Pol bei α = - kann gezielt erraten werden. Um die weiteren Nulltellen berechnen zu können, wird der Nenner durch den bekannten Linearfaktor dividiert: 3 + :(+ ) = + Die Nulltellen de quadratichen Faktor ind 3 α,3 = ± = ± j, Damit ergibt ich für die Partialbruchzerlegung der natz 3 + = (+ ) ( ) 3 + B. = + X + + Die Kontanten, und B können durch Einetzen pezieller -Werte betimmt werden. u der Identität r b + b + = folgt durch Multiplikation mit ( 3 + ) + = B + Durch Einetzen der Werte = -, = und = ergeben ich durch Koeffizientenvergleich =, = und B = Durch Einetzen der Koeffizienten und die quadratiche Ergänzung im Nenner de zweiten Partialbruch ergibt ich die Laplace-ranformierte = + = + = + X Mit der Korrepondenztabelle ergibt ich die Zeitfunktion t 3 t = + x t e e in t t 3

10 Muterlöungen - Laplace-ranformation zeitkontinuierlicher Signale.7 Impul- und Sprungantwort im Zeit- und Laplace-Bereich a) Da Signal g(t) kann in gechloener Form dargetellt werden al gt = σ( t ) δ( t ) 3σ( t 3) + σ( t ) b) Da Signal kann grafich integriert werden, e ergibt ich da folgende Diagramm: Impulantwort g(t) - Sprungantwort h(t) Zeit t 3 5 Zeit t c) Die Laplace-ranformierte de Signal g(t) ergibt ich zu G = e e 3 e + e = ( e 3 e + e ) e 3 3 Die Laplace-ranformierte de Signal h(t) kann entweder einzeln au den ermen im Zeitbereich betimmt werden oder direkt über die Beziehung G H = = ( e 3e + e ) e 3 Ein Vergleich mit der Zeitfunktion betätigt da Ergebni. d) Der tationäre Endwert de Signal h(t) ergibt ich unmittelbar au dem Diagramm zu t lim h t =.8 Interpretation von Laplace-ranformierten a) Die Pole ergeben ich au den Nulltellen de Nennerpolynom, die Nulltellen au den Nulltellen de Zählerpolynom. E ergibt ich: Signal B Laplace-ranformierte X () = X B() = Nulltelle β = β B = Pole α, = ± 65 = ± j 8 α, = 5 ± 5 89 = 5 ± j 8 Pole und Nulltellen können in der komplexen Ebene dargetellt werden.

11 Muterlöungen - Laplace-ranformation zeitkontinuierlicher Signale B Signal Signal Imaginärteil normiert 5-5,B Signal x(t) B Realteil normiert - Zeit t b) Die beiden Laplace-ranformierten haben identiche Imaginärteile. Die Schwingungfrequenz ergibt ich au dem Imaginärteil de Pol. Die Impulantworten chwingen dehalb mit derelben Frequenz ω = 8. Die Realteile ind eine Maß für da bklingverhalten de Signal. Sytem B (d B = - 5) hat gegenüber Sytem (d = - ) eine um einen Faktor 5 größeren Dämpfungfaktor und klingt dehalb chneller ab. c) Die Laplace-ranformierte hat die Ordnung und konjugiert komplexe Pole. Damit kann die Laplace-ranformierten dargetellt werden al X + = = Da Signal x (t) ergibt ich mithilfe der Korrepondenztafel zu x t e co 8 t t e in 8 t t 8 t t = ( ) ( ) d) Da Integral hat die Laplace-ranformierte Y = X = = Damit ergibt ich die Zeitfunktion y (t) durch Rücktranformation zu y t e in 8 t t 8 t = ( ) e) Der Faltung im Zeitbereich entpricht da Produkt der jeweiligen Laplace-ranformierten im Laplace-Bereich. Y = X = = Damit ergibt ich dieelbe Zeitfunktion wie in ufgabenteil d), nämlich y t e in 8 t t 8 t = ( ) f) Die Faltung der Signale x (t) und σ(t) entpricht dem Integral der Funktion x (t) in dem Bereich von bi t.