3 Bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit von Ereignissen. Bsp (3-maliges Werfen einer Münze) Menge der Elementarereignisse:

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1 3 Bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit von Ereignissen Bsp (3-maliges Werfen einer Münze) Menge der Elementarereignisse: Ω {zzz, zzw,zwz,wzz,zww,wzw,wwz,www}. Dabei gilt: Ω N. Wir definieren zwei Ereignisse: A: Das Wappen fällt genau einmal, d.h.: A {zzw,zwz,wzz}. P(A) n(a) N 3 8. B: Die Anzahl der Wappenwürfe ist ungerade,d.h.: B {zzw,zwz,wzz,www}. n(b) N W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

2 Wir nehmen jetzt an, das Ereignis B sei bereits eingetreten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß unter dieser Bedingung das Ereignis A eintritt? Offenbar A B. Bei diesem Experiment ist die Menge der Elementarereignisse die Menge B. Damit gilt N 4. Folglich erhalten wir: P(A, falls B bereits eingetreten ist) P(A/B) 3 4. Def. 1.9 Es seien A, B E zwei zufällige Ereignisse und es gelte > 0. Dann wird P(A/B) P(A B). als bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B bezeichnet. Bem.: Oft wird auch die folgende Bezeichnung verwendet: P B (A) : P(A/B). 68 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

3 Bem.: Wir unterscheiden folgende Fälle: 1. A B: Dann gilt: P(A/B) P(A B) 2. A B: Dann gilt: P(A/B) P(A B) 1. P(A). 3. A B (teilweise Überschneidung): Dann gilt: P(A/B) P(A B). Def Zwei Ereignisse A, B E heißen unabhängig, wenn gilt: P(A/B) P(A). Bem.: Für zwei unabhängige Ereignisse gilt: P(A B) P(A). 69 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

4 Bsp (Skatblatt) Skatspiel mit 32 Karten. Daraus wird eine Karte gezogen. (N Ω 32). Wir betrachten die beiden folgenden zufälligen Ereignisse: A: Ziehen eines Königs. B: Ziehen einer Herzkarte. P(A) n(a) N n(b) N Sind diese beiden Ereignisse voneinander unabhängig? Offenbar > 0. Es sei eine Herzkarte gezogen worden (Ereignis B also eingetreten). Wahrscheinlichkeit, daß dann der Herzkönig gezogen wurde: P(A/B) P(A B) P(A). Folglich sind nach Definition 1.10 die Ereignisse A und B voneinander unabhängig. 70 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

5 Satz 1.4 Es seien A, B E zwei Ereignisse, wobei > 0 gelte. Dann ist das Tripel (Ω, E, P B ) ein Wahrscheinlichkeitsraum, d.h. die bedingte Wahrscheinlichkeit P B genügt den KOLMOGOROFF Axiomen. Beweis: Wir zeigen stellvertretend Axiom 2. Es gilt: P B (Ω) P(Ω/B) P(Ω B) 1 Die anderen beiden Axiome (vgl. Definition 1.6) sind ebenfalls erfüllt. 71 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

6 Satz 1.5 Es seien A, B,C E drei Ereignisse. Dann gilt: Beweis: Es gilt: P B (A/C) P(A/B C). P B (A/C) P B(A C) P B (C) P(A C/B) P(C/B) P(A B C) P(B C) P(A B C) P(B C) P(A/B C) 72 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

7 Lemma 1.6 Es seien A, B E zwei unabhängige Ereignisse. Dann sind die Ereignisse A und B ebenfalls unabhängig. Gleiches gilt für die Ereignisse A und B sowie für A und B. Beweis: Wir zeigen die Aussage am Beispiel der Ereignisse A und B. Es gilt: P(A B) P(A/B) P(A \ (A B)) (Folgerung 2.1)) 1 P(A) P(A B) (Folgerung 2.3b)) 1 P(A) P(A) 1 P(A)(1 ) 1 P(A) Diese beiden Ereignisse sind folglich unabhängig. 73 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

8 Zusammenfassend gilt P(A/B) P(A) P(A/B) P(A) P(A/B) P(A) P(A/B) P(A) Def Es sei (Ω, E, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Eine Folge von Ereignissen {A n } n1 (A n E, n N) heißt vollständig (oder ausschöpfend), falls folgende Bedingungen erfüllt sind: 1. A n Ω; n1 2. A i A j, für alle i j. 74 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

9 Satz 1.7 Es sei A 1, A 2,... eine vollständige Folge von Ereignissen. Weiterhin sei B ein beliebiges Ereignis und es gelte P(A i ) 0 für alle i. Dann gilt: P(B A i )P(A i ). i1 Dieser Ausdruck heißt Formel der totalen Wahrscheinlichkeit. Beweis: Aus B B ( i1 A i) i1 (B A i) folgt (da die (B A i ) ebenfalls unvereinbar sind): ( ) P (B A i ) i1 P(B A i ) i1 P(B A i )P(A i ) i1 75 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

10 Gegeben: P(A i ) und P(A/A i ), (i N). Gesucht: P(A i /A). Unter Benutzung der Definition der bedingte Wahrscheinlichkeit und der Formel für die totale Wahrscheinlichkeit erhalten wir: P(A i /A) P(A i A) P(A) P(A i) P(A/A i ) P(A) P(A i ) P(A/A i ) (P(A/A j ) P(A j )) j1 Der Ausdruck P(A i /A) P(A i) P(A/A i ) (P(A/A j ) P(A j )) j1 (Formel der totalen Wkt) heißt Formel von BAYES (bzw. Theorem von BAYES). 76 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin