Klausur Modellbildung und Simulation (Prof. Bungartz) SS 2007 Seite 1/7

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1 Klausur Modellbildung und Simulation (Prof. Bungartz) SS 2007 Seite /7 Matrikelnummer: Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen (3 + 3 = 6 Pkt.) Die Abbildung zeigt die Richtungsfelder von drei Differentialgleichungssystemen der Form (ẋ(t) ) ( ) ( ) a b x(t) = ẏ(t) c d y(t) (jeweils ein Ausschnitt um den Gleichgewichtspunkt): ) 2) 3) a) Was für eine Art von Gleichgewicht (attraktiv,... ) liegt jeweils vor? ) attraktiv 2) nicht attraktiv (instabil) 3) nicht attraktiv, aber stabil b) Die charakteristischen Polynome der Koeffizientenmatrizen lauten (nicht unbedingt in der Reihenfolge der Bilder): i) λ 2 ii) λ 2 + iii) λ 2 + 3λ + 2 Ordnen Sie die Richtungsfelder ), 2) und 3) dem jeweils zugehörigen Polynom i), ii) und iii) zu und begründen Sie Ihre Zuordnung! i) 2), EW λ = > 0 instabil ii) 3), EW ±i mit Betrag, aber komplex iii) ), EW λ =, λ 2 = 2, beide < 0

2 Klausur Modellbildung und Simulation (Prof. Bungartz) SS 2007 Seite 2/7 2 Auftragsbearbeitung ( = 4 Punkte) Im Rechenzentrum eines großen Unternehmens fallen im Mittel 0 Rechner pro Woche aus. Da das Unternehmen Rechenzeit verkauft, kostet der Ausfall der wöchentlichen Rechenleistung eines Rechners 500 Taler. Es soll nun eine Arbeitskraft zur Reparatur eingestellt werden. Die Personalabteilung hat die folgenden beiden Optionen:. Die Einstellung eines Elektrotechnikers mit einem Wochenlohn von 200 Talern, der im Mittel 4 Rechner pro Woche reparieren kann. 2. Die Einstellung eines Informatikers mit einem Wochenlohn von 400 Talern, der im Mittel 5 Rechner pro Woche reparieren kann. Die Zwischenausfalls- und Reparaturzeiten sind jeweils exponentialverteilt; der stochastische Prozess soll im stationären Zustand betrachtet werden. a) Skizzieren Sie die Zustandsübergangsdiagramme, wobei als Zustände die Anzahl der defekten Rechner verwendet werden soll. λ λ λ λ p 0 p p 2 p 3 μ μ μ μ mit den Übergangsraten λ = 0 und µ = {4, 5}.

3 Klausur Modellbildung und Simulation (Prof. Bungartz) SS 2007 Seite 3/7 b) Die Zustandswahrscheinlichkeit p 0 (0 defekte Rechner) sei bekannt. Geben Sie für Elektrotechniker und Informatiker p und p 2 in Abhängigkeit von p 0 an. p 0 λ = p µ p λ = p 2 µ, denn es existiert stationärer Zustand und somit statische Zustandswahrscheinlichkeiten p i. Damit ist p = λ µ p 0, p 2 = λ2 µ 2p 0 mit p = 0 4 p 0 = 5 7 p 0 und p 2 = p 0 für den Elektrotechniker und p = 0 5 p 0 = 2 3 p 0 und p 2 = 4 9 p 0 für den Inf. c) Berechnen Sie nun p 0 für Eletrotechniker und Informatiker. (Hinweis: Geometrische Reihe: a 0q i = a 0 für q < ) q p i = = p 0 ( λ µ )i = p 0 λ µ p 0 = λ µ mit p 0 = 0 4 = 4 4 für den Elektrotechniker und p = 0 5 = 5 5 für den Inf.

4 Klausur Modellbildung und Simulation (Prof. Bungartz) SS 2007 Seite 4/7 d) Wie viele Rechner sind beim Elektrotechniker, wieviele beim Informatiker durchschnittlich in der Reparatur? Welche Größe wird hierfür benötigt? (Hinweis: Verwenden Sie den Ableitungstrick.) Gesucht ist je der Erwartungswert der Füllung, E(F ) E(F ) = ip i = p 0 i( λ µ )i, mit r := λ µ = p 0 r ir i = p 0 r d r i dr Eingesetzt: = p 0 r d dr + r = p 0r ( + r) = r λ 2 r = µ λ µ. Elektrotechniker: E(F ) = 0/4 0/4 = 2, 5 2. Informatiker: E(F ) = 0/5 0/5 = 2 e) Zeigen Sie, wer von beiden für die Firma günstiger ist. (Zwischenergebnis aus d): Elektrotechniker: 2, 5 Informatiker: 2, 0.) Kosten:. Elektrotechniker: 2, = 2450 Taler 2. Informatiker: = 2400 Taler Der Informatiker ist günstiger

5 Klausur Modellbildung und Simulation (Prof. Bungartz) SS 2007 Seite 5/7 3 Neuronale Netze ( = 0 Punkte) Für die verarbeitende Einheit eines Perzeptrons gelten die folgenden Funktionen: NET v : net v := u U I W (u, v)o u A v : a v := O v : o v := a v { 0, falls net v θ, sonst Im Folgenden sollen alle Eingabewerte reelle Zahlen [0, ] sein. Mit Hilfe von Perzeptronen soll folgende Lernaufgabe gelöst werden: Dabei soll das zu erstellende Neuronale Netz die Ausgabe liefern, wenn ein Muster (x, x 2 ) [0, ] 2 im grauen Bereich liegt. Die Trenngerade zwischen den beiden Klassen gehöre zur Klasse 0. a) Begründen Sie, weshalb diese Lernaufgabe nicht mit einem einzelnen Perzeptron lösbar ist. Die Klassifikationsaufgabe ist nicht linear separierbar; ein Perzeptron kann nur ein linear separierbares Prädikat entscheiden.

6 Klausur Modellbildung und Simulation (Prof. Bungartz) SS 2007 Seite 6/7 b) Nun sollen mehrere Perzeptronen hintereinander geschaltet werden, so dass die Ausgabe von Perzeptronen als Eingabe von Perzeptronen dient. Wie viele Neuronen brauchen wir für die Eingabeschicht (Begründung)? Zwei Neuronen, da es sich um ein 2D-Problem handelt; zwei Merkmale; 2D-Merkmalsraum. c) Geben Sie ein neuronales Netz aus Perzeptronen an, das die Lernaufgabe löst und erklären Sie seine Funktionsweise. (Hinweis: Für den Fall, dass Sie diese Aufgabe nicht lösen können, vereinfachen Sie die Lernaufgabe und klassifizieren Sie zumindest die vereinfachte Version.) x -/4 3/8 x 2 Zwei Eingabeneuronen, da R 2 Innere Schicht mit zwei Neuronen, die den Merkmalsraum je in zwei Halbebenen unterteilen: 0 für x 2 /4x + 3/8 /4x x 2 3/8 /4x + x 2 3/8 0 für x 2 x + x x 2 x + x 2 Ausgabeschicht, die ein logisches AND realisiert

7 Klausur Modellbildung und Simulation (Prof. Bungartz) SS 2007 Seite 7/7 4 Lineare Rückführungsregelung (5 + 5 = 0 Punkte) a) Zunächst betrachten wir ein ungeregeltes lineares System ẋ(t) = A x(t) mit ( ) α A := α mit Parameter α > 0. Berechnen Sie die Eigenwerte von A. Für welche Werte von α ist der Nullpunkt ein attraktiver Gleichgewichtspunkt? Das charakteristische Polynom lautet mit Nullstellen ± α. χ(λ) = (λ + ) 2 α 2 = (λ + + α)(λ + α) Genau für α < sind beide Eigenwerte negativ, also attraktives Gleichgewicht. b) Nun soll das System geregelt werden mittels Stellkoeffizienten-Matrix B und Rückführmatrix K, die gewählt werden als ( ) B :=, K := ( γ γ ), γ R. Geben Sie die Systemmatrix M des geregelten Systems an und bestimmen Sie deren Eigenwerte. Wie ist (in Abhängigkeit von α) der Wert von γ zu wählen, damit der Nullpunkt attraktiver Gleichgewichtspunkt ist? ( ) γ α γ M = A BK = α γ γ Das charakteristische Polynom lautet χ(λ) = (λ + + γ) 2 ( α + γ) 2 = (λ + + α)(λ + α + 2γ) mit Nullstellen α < 0 und + α 2γ. Damit der zweite Eigenwert negativ wird, muss γ > (α )/2 sein.