24 UNEIGENTLICHE INTEGRALE 146. F (x) F (x ) f(x, t) dt. 3(b a) (b a) + ɛ 3 + ɛ 3 = ɛ.

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1 24 UNEIGENTLICHE INTEGRALE 146 für lle t [, b] und lle x D mit x x < δ. Für lle x D mit x x < δ gilt lso = F (x) F (x ) b f(x, t) dt b b f(x, t) dt + f(x, t) f(x, t) dt + ɛ 3(b ) (b ) + ɛ 3 + ɛ 3 = ɛ. b b f(x, t) dt f(x, t) dt + b b f(x, t) dt f(x, t) dt Um gegebenenflls gleichmäßige Konvergenz uneigentlicher Integrle nchweisen zu können, hben wir ein Mjorntenkriterium zur Verfügung: (24.4) Stz. Sei f : D [, ) R eine Funktion derrt, dß für jedes x D und jedes b [, ) die Funktion f(x, ) [, b] eine Regelfunktion ist. Es gebe eine Funktion g : [, ) R derrt, dß jede Einschränkung g [, b] Regelfunktion ist, dß f(x, t) g(t) für lle x D, t gilt und ds Integrl g(t) dt konvergiert. Dnn ist ds Integrl gleichmäßig konvergent. f(x, t) dt Beweis. Sei ɛ R +. Nch dem Cuchy-Kriterium (24.1) gibt es ein u [, ) mit u 2 g(t) dt < ɛ für lle u 1, u 2 u. u 1 Für lle x D und lle u u 1 < u 2 gilt lso u 2 u 2 u 2 f(x, t) dt f(x, t) dt g(t) dt < ɛ. u 1 u 1 u 1

2 24 UNEIGENTLICHE INTEGRALE 147 Nch (24.1) ist dher für jedes x D ds Integrl f(x, t) dt konvergent. Lssen wir in der obigen Ungleichung u 2 gegen gehen, so folgt f(x, t) dt ɛ. u 1 Zu jedem ɛ R + existiert lso ein u [, ), so dß für u 1 u und lle x D diese Ungleichung gilt. Also ist f(x, t) dt gleichmäßig konvergent.

3 25 KONVERGENZ VON FUNKTIONENFOLGEN 148 Kpitel 8. Funktionenreihen In diesem Kpitel wollen wir etws usführlicher die Möglichkeit studieren, Funktionen durch unendliche Reihen drzustellen. Wir htten schon im Anschluß n die Tylorformel kurz die Möglichkeit erörtert, bei beliebig oft differenzierbren Funktionen von den Tylorpolynomen zur Tylorreihe überzugehen. Schon wesentlich früher htten wir unendliche Reihen benutzt, um gewisse spezielle Funktionen einzuführen, zum Beispiel die Exponentilfunktion durch exp x = Hierbei ergibt sich unter nderem die Frge, wie mn von Eigenschften der Reihenglieder uf Eigenschften der Funktion schließen knn. Wir können zum Beispiel zur Berechnung der Ableitung versuchen, gliedweise zu differenzieren. Forml vorgehend, erhält mn exp x = 1 dx k k! dx = k=1 x k k!. x k 1 (k 1)! = n=0 x n n! = exp x. Ds Ergebnis ist richtig; ber führt ein solches Vorgehen in jedem Fll zum richtigen Ergebnis? Diese und ähnliche Frgen werden im folgenden bentwortet. Wir betrchten zunächst llgemein konvergente Folgen von Funktionen und erst dnn spezielle Reihen. 25 Konvergenz von Funktionenfolgen Wir kennen bereits zwei verschiedene Konvergenzbegriffe für Funktionenfolgen, und n diese sei zunächst erinnert. Sei (f n ) n N eine Folge von reellen Funktionen, die sämtlich denselben Definitionsbereich D hben. Für jedes x D ist dnn (f n (x)) n N eine Folge reeller Zhlen, und für diese ist ein Konvergenzbegriff wohldefiniert. Wenn für jedes x D die Folge (f n (x)) n N konvergiert, ist durch f(x) := lim f n (x) (x D) eine neue Funktion f uf D erklärt, die wir ls Grenzfunktion der Folge bezeichnen können. Definition. Seien f, f n (n N) reelle Funktionen uf D. Die Folge (f n ) n N konvergiert (punktweise) gegen f, geschrieben lim f n = f oder f n f (n ),

4 25 KONVERGENZ VON FUNKTIONENFOLGEN 149 wenn lim f n (x) = f(x) für lle x D gilt. Beispiele. (1) Sei D = R und f n (x) := Dnn konvergiert (f n ) n N gegen exp. n x k k!. (2) Sei D = [0, 1] und f n (x) := x n. Dnn konvergiert (f n ) n N gegen die durch { 1 für x = 1 f(x) := 0 für 0 x < 1 erklärte Funktion f. Bei diesem Beispiel fällt uf, dß zwr jede Funktion f n der Folge stetig ist, dß ber die Grenzfunktion unstetig ist. Stetigkeit überträgt sich lso bei punktweiser Konvergenz i.. nicht uf die Grenzfunktion. Um den oft wünschenswerten Schluß von der Stetigkeit der Folgenglieder uf die Stetigkeit der Grenzfunktion zu ermöglichen, brucht mn einen Konvergenzbegriff, der schärfer ist ls punktweise Konvergenz. Dies ist die bereits in 20 benutzte gleichmäßige Konvergenz, die wir jetzt etws llgemeiner definieren wollen. Definition. Seien f, f n (n N) reelle Funktionen uf D, sei D D. Die Folge (f n ) n N konvergiert gleichmäßig in D gegen f, wenn gilt ɛ R + n 0 N n n 0 x D : f n (x) f(x) ɛ. Sttt gleichmäßig in D sgt mn kurz gleichmäßig. Ist ein fester Definitionsbereich D gegeben, so können wir wie früher für Intervlle die Supremumsnorm einer beschränkten Funktion f : D R erklären durch f := sup f(x). x D Dnn gilt lso (für Funktionen f, f n uf D): (f n ) n N konvergiert gleichmäßig gegen f ɛ R + n 0 N n n 0 : f n f ɛ lim f n f = 0.

5 25 KONVERGENZ VON FUNKTIONENFOLGEN 150 Für die Konvergenz von Folgen reeller Zhlen kennen wir ds Kriterium von Cuchy. Ein gnz nloges Kriterium gilt uch für die gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen. Im folgenden liege stets ein fester Definitionsbereich D zugrunde. Definition. Die Folge (f n ) n N von Funktionen uf D heißt Cuchy-Folge genu dnn, wenn ɛ R + n 0 N n, m n 0 : f n f m < ɛ. ( f n f m < ɛ impliziert, dß f n f m definiert, lso f n f m beschränkt ist. Es wird ber nicht vorusgesetzt, dß f n beschränkt ist.) (25.1) Stz. Die Folge (f n ) n N konvergiert genu dnn gleichmäßig, wenn sie eine Cuchy-Folge ist. Beweis. : Sei (f n ) n N gleichmäßig konvergent gegen f. Sei ɛ R +. Es gibt ein n 0 N mit f n f < ɛ/2 für n n 0. Für lle n, m n 0 gilt lso f n f m f n f + f f m < ɛ, wobei die Dreiecksungleichung für die Supremumsnorm benutzt wurde. : Sei (f n) n N eine Cuchy-Folge. Sei ɛ R +. Nch Vorussetzung existiert ein n 0 N mit f n f m < ɛ für lle n, m n 0. Insbesondere gilt lso für jedes x D f n (x) f m (x) < ɛ für n, m n 0. Die Folge (f n (x)) n N ist lso eine Cuchy-Folge und dher nch dem gewöhnlichen Cuchy-Kriterium konvergent gegen eine Zhl, die wir f(x) nennen. D x D beliebig wr, ist dmit eine Funktion f : D R erklärt. Wir behupten, dß (f n ) n N gleichmäßig gegen f konvergiert. Sei ɛ R + und dzu n 0 wie oben. Für beliebiges x D gilt dnn Der Grenzübergng m liefert f n (x) f m (x) < ɛ für n, m n 0. f n (x) f(x) ɛ für n n 0. D dies für lle x D gilt, folgt f n f ɛ für lle n n 0. Der folgende Stz rückt die Bedeutung der gleichmäßigen Konvergenz ins rechte Licht. (25.2) Stz. Seien f n, f Funktionen uf D (n N), sei D. Sind lle f n stetig in und konvergiert (f n ) n N gleichmäßig gegen f, so ist f stetig in.

6 25 KONVERGENZ VON FUNKTIONENFOLGEN 151 Beweis. Sei ɛ R +. Es gibt ein m N mit f m f < ɛ/3, lso f m (x) f(x) < ɛ 3 für lle x D. D f m in stetig ist, existiert ein δ R + mit f m (x) f m () < ɛ 3 für lle x D mit x < δ. Sei jetzt x D und x < δ. Dnn gilt f(x) f() f(x) f m (x) + f m (x) f m () + f m () f() < ɛ 3 + ɛ 3 + ɛ 3 = ɛ. Bemerkung. Ntürlich knn mn nicht umgekehrt schließen, d.h. wenn (f n ) n N punktweise gegen f konvergiert und lle f n sowie f stetig sind, brucht keineswegs die Konvergenz gleichmäßig zu sein. Knn mn in Stz (25.2) stetig durch differenzierbr ersetzen? Ds ist nicht der Fll. Beispiel. Sei D = R, f n (x) := x (n N) und f(x) := x für x R. Dnn n konvergiert (f n ) n N gleichmäßig gegen f, wie us f n (x) f(x) = x n x 2 = x2 + 1 n x2 x n + x 2 1 n folgt. Jede Funktion f n ist differenzierbr, ber f ist in 0 nicht differenzierbr. Es knn uch sein, dß zwr die Grenzfunktion f der Folge (f n ) n N differenzierbr ist, ber die Folge (f n) n N nicht gegen f konvergiert. Beispiel. Sei f n (x) = 1 n sin nx und f(x) = 0 für x R. Dnn konvergiert (f n) n N gleichmäßig gegen f, lle f n sowie f sind differenzierbr, ber (f n) n N konvergiert nicht punktweise gegen f. Es ist nämlich f n(x) = cos nx und z.b. lim f n(0) = 1, f (0) = 0. Um wirklich Grenzübergng und Differentition vertuschen zu können, brucht mn stärkere Vorussetzungen, z.b. die folgenden.

7 25 KONVERGENZ VON FUNKTIONENFOLGEN 152 (25.3) Stz. Sei (f n ) n N eine Folge differenzierbrer Funktionen uf [, b]. Die Folge (f n) n N konvergiere gleichmäßig, und (f n ) n N konvergiere n wenigstens einer Stelle x 0 [, b]. Dnn konvergiert (f n ) n N gleichmäßig gegen eine differenzierbre Funktion f und (f n) n N gleichmäßig gegen f. Beweis. Wir zeigen zuerst, dß (f n ) n N eine Cuchy-Folge ist. Sei ɛ R + gegeben. Nch Vorussetzung und (25.1) existiert ein n 1 N mit f m f n < ɛ 2(b ) für lle m, n n 1. D (f n (x 0 )) n N eine Cuchy-Folge ist, existiert ein n 2 N mit f m (x 0 ) f n (x 0 ) < ɛ 2 für m, n n 2. Sei x [, b]. Es ist f m (x) f n (x) (f m f n )(x) (f m f n )(x 0 ) + f m (x 0 ) f n (x 0 ). Nch dem Mittelwertstz (17.2) existiert ein z [, b] mit (f m f n )(x) (f m f n )(x 0 ) = (f m(z) f n(z))(x x 0 ). Für lle m, n n 0 := mx{n 1, n 2 } folgt f m (x) f n (x) f m(z) f n(z) x x 0 + ɛ 2 f m f n (b ) + ɛ 2 < ɛ. D x [, b] beliebig wr, folgt f m f n ɛ für m, n n 0. Also ist (f n ) n N eine Cuchy-Folge und dher nch (25.1) gleichmäßig konvergent gegen eine Funktion f. Wir zeigen jetzt die Differenzierbrkeit von f. Sei c [, b]. Setze f n (x) f n (c) x c f n(c) für x [, b] \ {c}, g n (x) := 0 für x = c. Wegen der Differenzierbrkeit von f n in c ist g n in c stetig. Wir zeigen zunächst, dß (g n ) n N eine Cuchy-Folge ist. Sei ɛ R + vorgegeben. Nch Vorussetzung und (25.1) existiert ein n 0 N mit f m f n < ɛ 2 für lle m, n n 0.

8 26 POTENZREIHEN 153 Sei x [, b]. Im Fll x c ist g m (x) g n (x) = (f m f n )(x) (f m f n )(c) x c Nch dem Mittelwertstz existiert ein z [, b] mit (f m f n ) (c). Für m, n n 0 folgt (f m f n )(x) (f m f n )(c) x c = (f m f n ) (z). g m (x) g n (x) f m(z) f n(z) + f m(c) f n(c) 2 f m f n ɛ. Dies gilt trivilerweise uch für x = c. D x [, b] beliebig wr, ist lso g m g n ɛ für m, n n 0. Also ist (g n ) n N eine Cuchy-Folge. Nch (25.1) ist (g n ) n N gleichmäßig konvergent gegen eine Funktion g, die g(c) = 0 erfüllt und nch (25.2) in c stetig ist. Nun gilt für lle x [, b] \ {c} worus durch Grenzübergng f n (x) f n (c) x c f(x) f(c) x c folgt. Wegen lim x c g(x) = g(c) = 0 folgt f(x) f(c) lim x c x c f n(c) = g n (x), lim f n(c) = g(x) = lim f n(c). Also ist f in c differenzierbr und f (c) = lim f n(c). Dmit ist die Differenzierbrkeit von f gezeigt, ferner die punktweise Konvergenz von (f n) n N gegen f. Diese Konvergenz ist nch Vorussetzung gleichmäßig. 26 Potenzreihen Nchdem wir früher Reihen reeller Zhlen und jetzt Funktionenfolgen betrchtet hben, ist klr, ws llgemein unter einer Funktionenreihe zu verstehen ist. Sei (f k ) k N0 eine Funktionenfolge uf D. Dnn verstehen wir unter f k

9 26 POTENZREIHEN 154 die Funktionenfolge ( n f k) n N, und wir bezeichnen f k ls Funktionenreihe. Ist die Folge punktweise konvergent, so bezeichnen wir mit f k uch die Grenzfunktion. Die Schreibweise bedeutet lso definitionsgemäß: lim f k = f in D n f k (x) = f(x) für lle x D. Konvergiert die Folge ( n f k) n N in D D gleichmäßig (gegen f), so sgen wir, dß die Reihe f k in D gleichmäßig (gegen f) konvergiert. Die Begriffe der punktweisen oder gleichmäßigen Konvergenz von Reihen sind lso nichts Neues gegenüber den Funktionenfolgen. Auch die Sätze us 25 gelten ntürlich sinngemäß für Funktionenreihen. Neu gegenüber der Folgenkonvergenz ist lediglich - wie schon bei Zhlenreihen - der Begriff der bsoluten Konvergenz. Definitionsgemäß konvergiert die Reihe f k bsolut, wenn die Reihe f k konvergiert. In Verllgemeinerung von (8.8) hben wir ds folgende wichtige Kriterium für gleichmäßige und bsolute Konvergenz. (26.1) Stz (Mjorntenkriterium). Sei f k : D R, c k R (k N 0 ) gegeben. Gilt f k c k für lle k N 0 und ist die Reihe c k konvergent, so konvergiert die Reihe f k bsolut und gleichmäßig. Beweis. Sei ɛ R +. D c k konvergiert, existiert ein n 0 N mit m+p k=m c k < ɛ für lle m n 0, p N 0. Für diese m, p gilt lso m+p m+p m+p f k f k f k k=m k=m k=m m+p k=m c k < ɛ. Die Folge der Prtilsummen von f k und die Folge der Prtilsummen von fk sind lso Cuchyfolgen und dher nch (25.1) gleichmäßig konvergent.

10 26 POTENZREIHEN 155 Ds Vorstehende und die Ergebnisse us 25 wollen wir jetzt nwenden uf den besonders wichtigen Spezilfll der Potenzreihen. Unter einer Potenzreihe zur Stelle versteht mn eine Funktionenreihe f k mit f k (x) = k (x ) k für x R, wo R und ( k ) k N0 eine Folge reeller Zhlen ist. Hier ist die folgende ungenue, ber bequeme Sprechweise üblich. Mn sgt sttt die Potenzreihe k (x ) k die Potenzreihe f k mit f k (x) = k (x ) k für x R. Wir frgen jetzt nch der Menge ller x R, für die eine gegebene Potenzreihe k (x ) k ( ) konvergiert. Auf jeden Fll konvergiert sie trivilerweise für x = (es gibt Potenzreihen, die für kein nderes x konvergieren). Allgemein gibt ds Wurzelkriterium (8.10) Auskunft. Nch ihm ist (für gegebenes x R) die Reihe ( ) bsolut konvergent, wenn lim sup n n (x ) n = x lim sup n n < 1 ist, und sie ist divergent, wenn x lim sup n n > 1 ist. Zur Vermeidung lästiger Fllunterscheidungen schreiben wir R := R {, } (mit beliebigen Symbolen,, die keine reellen Zhlen sind) und definieren < y < für y R. Außerdem definieren wir 1 = 0 und 1 =, ferner y + =, y = für 0 y R. Es sei drn erinnert, dß wir in 8 lim sup n n = definiert htten im Fll, dß die Folge ( n n ) n N nicht beschränkt ist. Für unsere gegebene Potenzreihe setzen wir jetzt r := 1 n lim sup n.

11 26 POTENZREIHEN 156 Dnn gilt lso: Für lle x R mit x < r ist ( ) bsolut konvergent, für lle x R mit x > r ist ( ) divergent. Ds Intervll ( r, + r) heißt dher Konvergenzintervll der Potenzreihe. Wie steht es mit gleichmäßiger Konvergenz? Sei ( ) bsolut konvergent für ein x 0. Für lle x R mit x x 0 gilt dnn k (x ) k k x 0 k für k N 0, und die Reihe k x 0 k ist konvergent. Nch dem Mjorntenkriterium (26.1) folgt, dß die Reihe ( ) in [ x 0, + x 0 ] bsolut und gleichmäßig konvergiert. Wir fssen zusmmen: (26.2) Stz und Definition. Zu der Potenzreihe k (x ) k ( ) gibt es ein r R, r 0, so dß die Reihe ( ) für x < r bsolut konvergiert und für x > r divergiert. Die Zhl r heißt Konvergenzrdius der Reihe ( ) und wird gegeben durch 1 r = n. n lim sup Ds offene Intervll ( r, + r) heißt Konvergenzintervll der Reihe ( ). In jedem kompkten Teilintervll des Konvergenzintervlls konvergiert die Reihe ( ) gleichmäßig. Achtung! Über die Konvergenz in den Endpunkten des Konvergenzintervlls wird hier nichts usgesgt (und läßt sich uch llgemein nichts sgen). Es gibt Potenzreihen, die in keinem, einem oder beiden Endpunkten des Konvergenzintervlls konvergieren. Ferner bechte mn, dß i.. nicht im gnzen Konvergenzintervll gleichmäßige Konvergenz vorliegt, sondern nur in kompkten Teilintervllen. Beispiel. k=1 1 k m xk mit einem m N 0. (1) Wegen lim n n = 1 (vgl. (13.11)) ist der Konvergenzrdius = 1. Ferner gilt: für m = 0 ist (1) divergent in 1 und 1 für m = 1 ist (1) konvergent in 1, divergent in 1 für m = 2 ist (1) konvergent in 1 und 1.

12 26 POTENZREIHEN 157 Nehmen wir n, die Potenzreihe k (x ) k ( ) hbe den Konvergenzrdius 0 < r < und konvergiere etw uch noch im Endpunkt +r des Konvergenzintervlls. Wir wollen zeigen, dß sie dnn im Intervll [, + r] gleichmäßig konvergiert. Der Unterschied zur früheren Argumenttion ist, dß jetzt nicht notwendig bsolute Konvergenz vorliegt, dher ist ds Mjorntenkriterium nicht nwendbr. O.B.d.A. können wir uns uf den Fll = 0, r = 1 beschränken, der durch eine einfche Trnsformtion erreichbr ist. (26.3) Stz. Ist k konvergent, so ist kx k gleichmäßig konvergent in [0,1]. Beweis. Setze b k := j=k+1 j für k N 0. Dnn ist (b k ) k N eine Nullfolge, und es ist b k 1 b k = k. Trivile Umformung ergibt für n > m n k=m+1 k x k = b m x m+1 b n x n + n 1 k=m+1 b k (x k+1 x k ). Sei ɛ R +. Es gibt ein n 0 N mit b k < ɛ/3 für k n 0. Sei jetzt m n 0, p N. Dnn gilt für beliebiges x [0, 1] m+p k=m+1 ɛ 3 + ɛ 3 + ɛ 3 k x k b m + b m+p + m+p 1 k=m+1 (x k x k+1 ) ɛ. }{{} x m+1 x m+p 1 m+p 1 k=m+1 b k x k+1 x k Aus dem Cuchy-Kriterium (25.1) folgt jetzt die behuptete gleichmäßige Konvergenz. Aus (26.3) und (25.2) folgt insbesondere: (26.4) Korollr. Ist f(x) = k x k für x [0, 1], so ist f in [0, 1] stetig.

13 26 POTENZREIHEN 158 Eine durch eine konvergente Potenzreihe drgestellte Funktion ist lso stetig. Allgemein sgen wir, flls f(x) = k (x ) k für x ( r, + r) ( ) mit r > 0 gilt, die Funktion f sei durch die obige Potenzreihe drgestellt, oder sie sei in eine Potenzreihe um entwickelt. Wir untersuchen jetzt die Differenzierbrkeit einer derrt drgestellten Funktion. Dzu betrchten wir die durch gliedweise Differentition von ( ) entstehende Potenzreihe k k (x ) k 1 ( ) k=1 Wegen lim sup n (n + 1) n+1 = lim sup n n ht sie denselben Konvergenzrdius wie ( ). In jedem kompkten Teilintervll des Konvergenzintervlls ( r, + r) ist lso ( ) nch (26.2) gleichmäßig konvergent; us (25.3) folgt dher die Differenzierbrkeit von f und die Konvergenz von ( ) gegen f. Auf f knn mn ntürlich wieder denselben Schluß nwenden, usw. Auf diese Weise erhlten wir den folgenden Stz: (26.5) Stz. Sei f(x) = k (x ) k für x ( r, + r) mit positivem Konvergenzrdius r. Dnn ist f beliebig oft differenzierbr, und für n N gilt f (n) (x) = k(k 1) (k n + 1) k (x ) k n, k=n wo die rechts stehende Reihe denselben Konvergenzrdius r ht. Speziell ist n = f (n) (). n! Die letzte Aussge zeigt insbesondere, dß zwei verschiedene Potenzreihen (zur selben Stelle ) nicht dieselbe Funktion drstellen können. Mit nderen Worten: Aus k (x ) k = b k (x ) k mit Konvergenz in einem Intervll um folgt k = b k für k N 0 (Eindeutigkeitsstz für Potenzreihen).

14 26 POTENZREIHEN 159 Tylorreihen Wir hben eben gezeigt: Wenn die Funktion f durch eine (in einer Umgebung von konvergente) Potenzreihe um drgestellt wird, so ist diese gegeben durch f(x) = f (k) () (x ) k. k! Hier sei kurz n 18 erinnert: Ist f in einer Umgebung von beliebig oft differenzierbr, so htten wir die Reihe f (k) () (x ) k k! ls die Tylorreihe von f zur Stelle bezeichnet. Wenn lso f überhupt durch eine Potenzreihe um drgestellt werden knn, dnn nur durch die Tylorreihe. Im konkreten Fll kommt es lso druf n, den Konvergenzrdius der Tylorreihe zu ermitteln. Ist er positiv, so folgt ber llein drus noch nicht, dß die Tylorreihe gegen die Funktion konvergiert, wie ein Beispiel in 18 zeigte. Um zu zeigen, dß eine gegebene Funktion im Konvergenzintervll wirklich durch ihre Tylorreihe drgestellt wird, muß mn lso entweder zeigen, dß ds Restglied gegen Null konvergiert, oder, flls dies nicht gelingt, uf ndere Weise schließen. Hierfür im folgenden einige Beispiele. Für die Abschätzung des Restgliedes hben wir die durch die Tylorformel gegebenen Drstellungen zur Verfügung: Wird f(x) = n f (k) () (x ) k + R n+1 (x) k! gesetzt (und ist f uf einem Intervll definiert), so gilt nch (18.1) R n+1 (x) = f (n+1) (c) (x )n+1 (n + 1)! mit einem (von n und x bhängenden) c zwischen und x, und nch (21.4) gilt R n+1 (x) = 1 n! x f (n+1) (t)(x t) n dt. In mnchen, ber nicht in llen Fällen knn mn hiermit die gewünschte Konvergenz der Tylorreihe gegen f zeigen. Wir wollen ls Beispiele die Tylorreihen für einige der im Kpitel über spezielle Funktionen betrchteten Funktionen untersuchen. Für die Funktionen exp, sin, cos wurde (für = 0) bereits früher gezeigt, dß ds Restglied gegen Null geht.

15 26 POTENZREIHEN 160 Wir betrchten die Logrithmus-Funktion. Als Entwicklungsstelle kommt nur ein Punkt des Definitionsbereiches R + in Frge. Wir wählen = 1. Für f = ln beweist mn leicht durch vollständige Induktion f (k) (x) = ( 1) k 1 (k 1)!x k, (k N) speziell f (k) (1) = ( 1) k 1 (k 1)!. Die Tylorreihe zur Stelle 1 lutet lso ( 1) k 1 (x 1) k. k k=1 Der Konvergenzrdius dieser Reihe ist offenbr 1; sie stellt lso in (0,2) eine Funktion g dr. Eine Abschätzung des Restgliedes stößt uf Schwierigkeiten: D mn nichts über c n weiß, knn mn nicht usschließen, dß c n = 1/2 für lle n ist. Wegen R n+1 (x) = ( 1)n (x 1) n+1 n + 1 c n+1 n würde dnn ber für 0 < x < 1/2 gelten: x 1 c n > 1, lso R n+1 (x) 0. Mn knn ber uf ndere Weise leicht zeigen, dß g in (0,2) mit der Funktion ln übereinstimmt. Dzu differenzieren wir die Funktion ln g: Es ist ln x g (x) = 1 x ( 1) k 1 (x 1) k 1 = 1 x (x 1) = 0. k=1 Die Funktion ln g ist lso in (0,2) konstnt; d sie n der Stelle x = 1 gleich Null ist, ist sie überll Null. Dmit ist ln x = ( 1) k 1 (x 1) k für x (0, 2) k k=1 gezeigt. Die rechts stehende Reihe konvergiert nch dem Leibnizkriterium uch für x = 2. D die drgestellte Funktion nch (26.4) (pssend trnsformiert) in 2 noch stetig ist, stimmt sie dort mit ln 2 überein. Wir können ds Ergebnis uch in der Form ( 1) k 1 ln(1 + x) = x k für 1 < x 1 k schreiben. k=1