Formale Grundlagen der Wirtschaftsinformatik

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1 Formale Grundlagen der Wirtschaftsinformatik Nikolaj Popov Research Institute for Symbolic Computation Sprachen und Grammatiken Teil II

2 Sprache Definition: Ein Alphabet Σ ist eine endliche Menge die Buchstaben. Jedes Element Σ ist ein Zeichen des Alphabets Buchstabe. Die Elemente von Σ n für n N werden als Wörter der Länge n bezeichnet. Das Wort der Länge 0 heisst das leere Wort und wird mit e bezeichnet.

3 Sprache Beispiel: Σ = {a, b} L 1 = {a, b, ab, ba} L 2 = {b, ab, aab, aaab, } L 3 = {e } L 4 = {a, b, aa, bb, aba, bab, aaa, bbb, abba, baab, aaaa, bbbb, }

4 Grammatik Definition: G = (V, Σ, S, P ) heisst Grammatik, wenn: (a) V und Σ Alphabete sind mit V Σ = {} V heisst die Menge der Nichtterminale (Nonterminale) und Σ die Menge der Terminale (Endzeichen, Terminalzeichen)

5 Grammatik Definition: G = (V, Σ, S, P ) heisst Grammatik, wenn: (b) S V S heisst Startvariable (Anfangssymbol)

6 Grammatik Definition: G = (V, Σ, S, P ) heisst Grammatik, wenn: (c) P ist eine endliche Menge von Paaren (P,Q) die Produktionen.

7 Grammatik Definition: Sei G = (V, Σ, S, P ) eine Grammatik, und (P,Q) P eine Produktion. Dann heisst (P,Q) linkslinear, S Aab A Aab B B a

8 Grammatik Definition: Sei G = (V, Σ, S, P ) eine Grammatik, und (P,Q) P eine Produktion. Dann heisst (P,Q) rechtslinear, S S A S abs aa ab a

9 Grammatik Definition: Sei G = (V, Σ, S, P ) eine Grammatik, und (P,Q) P eine Produktion. Dann heisst (P,Q) kontextfrei, falls auf der linken Seite steht nur ein Nichtterminalzeichen.

10 Grammatik Beispiel: Zu welchen Klassen gehören die folgenden Produktionen, wobei S, X Nichtterminalzeichen und a, b Terminalzeichen sind: S e S a S a X S S b (a) (b) (c) (d)

11 Grammatik Beispiel: Zu welchen Klassen gehören die folgenden Produktionen, wobei S, X Nichtterminalzeichen und a, b Terminalzeichen sind: S a S b S b S a a X b a S S b a X b b S X a (e) (f) (g) (h)

12 Grammatik Bemerkungen: Eine Grammatik, die rechtslinear oder linkslinear ist, wird auch regulär genannt. Jede reguläre Grammatik ist auch kontextfrei. Jede kontextfreie Produktion außer der e Produktion (P e ) ist auch kontextsensitiv mit w 1 = w 2 = e.

13 Endliche Automaten DEA Definition: Ein deterministischer endlicher Automat DEA oder DFA über einem Alphabet Σ, ist ein Tupel A = (Q, Σ, d, q 0, F) mit: Q endliche Menge von Zuständen (states) d : Q Σ Q Überleitungsfunktion, Transition q 0 Q Anfangszustand F Q Menge von Endzuständen.

14 Endliche Automaten DEA Beispiel: A 1 = ({q 0, q 1 }, {0, 1}, d, q 0, {q 1 }), wobei die Transition d 1 gegeben ist durch: d = {(q 0,0, q 0 ), (q 1,0, q 1 ), (q 0,1, q 1 ), (q 1,1, q 0 )} d(q 0, 0) = q 0, d(q 1, 0) = q 1, d(q 0, 1) = q 1, d(q 1, 1) = q 0

15 Endliche Automaten DEA Definition: Die von einem DEA A = (Q, Σ, d, q 0, F) akzeptierte Sprache ist definiert als: Zwei Automaten A 1, A 2 heissen sprachäquivalent, wenn L(A 1 ) = L(A 2 ).

16 Endliche Automaten NEA Definition: Ein nichtdeterministischer endlicher Automat NEA (oder NFA) über einem Alphabet Σ, ist ein Tupel A = (Q, Σ, d, q 0, F) mit: Q endliche Menge von Zuständen (states) d : Q Σ Q Überleitungsfunktion q 0 Q Anfangszustand Überleitungsrelation, Transition F Q Menge von Endzuständen.

17 Endliche Automaten NEA Eine Sprache L heisst endlich akzeptierbar, wenn sie von einem NEA akzeptiert wird.

18 Endliche Automaten NEA Beispiel: A 01 = ({q 0, q 1, q 2 }, {0, 1, 2}, d, {q 0 }, {q 2 }), d = {(q 0,0, q 0 ), (q 0,1, q 0 ), (q 0,2, q 0 ), (q 0,0, q 1 ), (q 1,1, q 2 )}

19 Endliche Automaten NEA Satz: Jede Typ 3-Sprache (rechtslineare/ linkslineare/ reguläre Sprache) endlich akzeptierbar ist; Jede endlich akzeptierbare Sprache deterministisch endlich akzeptierbar ist; Jede deterministisch endlich akzeptierbare Sprache eine Typ 3-Sprache ist.

20 Endliche Automaten Beispiel: Sei Σ = {a, b} und die Grammatik G = ({S, R}, Σ, S, P ) mit P : S e ar, R bs Konstruiere einen NEA. Ist er auch DEA?

21 Endliche Automaten Beispiel: Sei Σ = {a, b} und die Grammatik G = ({S, R, X}, Σ, S, P ) mit P : S a ar, R bs Konstruiere einen NEA. Ist er auch DEA?

22 Beispiel: NEA DEA

23 Lösung: NEA DEA

24 Beispiel: NEA DEA

25 Lösung: NEA DEA

26 Beispiel: NEA DEA

27 Lösung: NEA DEA

28 Kellerautomaten und kontextfreie Sprachen Beispiel: Sei L 2 = {a n b n n N}: G 2 = ({S}, {a, b}, S, P ) mit P : S e a S b Diese Grammatik ist weder rechts- noch linkslinear, aber kontextfrei.

29 Kellerautomaten und kontextfreie Sprachen Definition: Eine Grammatik G = (V, S, S, P ) heisst eingeschränkt kontextfrei (e frei), falls: alle Produktionen kontextfrei sind, und es entweder keine e Produktion gibt, oder die einzige e Produktion ist S e und dann kommt S auf keiner rechten Seite einer Produktion vor.

30 Kellerautomaten und kontextfreie Sprachen Jede eingeschränkt kontextfreie Sprache, ist auch kontextfrei. Tatsächlich gilt auch die Umkehr.

31 Kellerautomaten und kontextfreie Sprachen Satz: Sei G = (V, S, S, P ) eine kontextfreie Grammatik. Dann kann aus G eine eingeschränkt kontextfreie Grammatik G 1 erzeugt werden mit L(G) = L(G 1 ).

32 Kellerautomaten und kontextfreie Sprachen Beispiel: Sei L 2 = {a n b n n N}: G 2 = ({S}, {a, b}, S, P ) mit P = { S e, S a S b} G' 2 = ({S 0, S}, {a, b}, S 0, P ' ) mit P ' = {S 0 e, S 0 S, S ab, S a S b}

33 Kellerautomaten und kontextfreie Sprachen Definition: Eine kontextfreie Grammatik G = (V, S, S, P ) ist in Chomsky Normalform genau dann wenn: G ist eingeschränkt kontextfrei. Jede Produktion in P ausser S e ist entweder von der Form A a oder A BC mit a Σ und A,B,C V.

34 Kellerautomat Pushdown Automat PDA

35 Kellerautomaten und kontextfreie Sprachen Beispiel: Sei L 1 = {b m (aaa) n b k m,n,k N}. Diese Sprache ist regulär.

36 Kellerautomaten und kontextfreie Sprachen Beispiel: Sei L 2 = {b m (aaa) n b 2m m,n,k N}. Diese Sprache ist kontextfrei, aber nicht regulär. Sie wird von einem Kellerautomaten akzeptiert.