Deckblatt. Name der Kursleiterin/des Kursleiters, bei der Sie angemeldet sind: Annelie Gebert. Nur einen Studiengang ankreuzen!!!

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Jürgen Heintze
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1 Deckblatt Name Vorname Matrikelnr. Name in Druckbuchstaben Name der Kursleiterin/des Kursleiters, bei der Sie angemeldet sind: Annelie Gebert Nur einen Studiengang ankreuzen!!! Bachelorstudiengang Sozialökonomie Sozialökonomischer Diplomstudiengang anderer Studiengang: SoSe / WiSe 2013/14 im Kurs: Statistik 2 am mit einer Klausur abgeschlossen. Note: (Unterschrift: Annelie Gebert) Kursnummer: / KP:

2 . 1

3 Statistik 2 Klausur Annelie Gebert 16:00-19:00 Uhr WiSe 2013/14 Länge der Klausur: 180 min Für die Lösungen ist der Platz zwischen den Aufgaben und die Rückseiten der Aufgabenblätter vorgesehen. Verwenden Sie ausschließlich das bereitgestellte Klausurpapier! Lösen Sie die Heftung nicht und entfernen Sie kein Blatt aus den Ihnen zugeteilten Bögen! Hinweis zu den Hilfsmitteln: 8 DIN-A4-Seiten handschriftliche Notizen (keine Kopien, keine Computerausdrucke) nichtprogrammierbarer, zweizeiliger Taschenrechner Aufgabe Summe max. Pkt , , erreichte Pkt. Mit mindestens 50 Punkten haben Sie bestanden! Rechnen Sie in der gesamten Klausur bitte auf 4 Nachkommastellen genau! 2

4 Aufgabe 1( 28Pkt.) Ein Möbelkaufhaus startet am Wochenende eine Rabattaktion. Wieviel Prozent Rabatt der Kunde erhält, wird durch das Drehen eines Glücksrades entschieden. Bevor der Kunde seine Rechnung zahlt, dreht er also einmal das Glücksrad. Die möglichen Rabatte mit ihren Wahrscheinlichkeiten sind in der Tabelle angegeben. Die Höhe des Rabattes in Prozent sei dargestellt durch die Zufallsvariable X. (a) x i P (X = x i ) 0,35 0,25 0,2 0,1 0,07 0,03 Füllen Sie die folgende Tabelle aus! x i P (X x i ) (b) Skizzieren Sie die Verteilungsfunktion von X! 3

5 Aufgabe 1Fortsetzung (c) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X! (d) Geben Sie den Modus von X an und interpretieren Sie den Wert! (e) Bestimmen Sie den Median, das 0,75-Quantil und das 0,9-Quantil! 4

6 Aufgabe 1Fortsetzung (f) Familie Müller kauft sich eine neue Couch an dem Wochenende, die ohne Rabatt 3550 e kosten soll. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie einen Rabatt von (Geben Sie für diesen Aufgabenteil stets P(X...) mit an.) höchstens 30 % erhalten? mindestens 25 % erhalten? weniger als 50 % erhalten? mindestens 5 % erhalten? (g) Die Zufallsvariable Y gebe an, wie viel die Familie Müller für ihre Couch zahlen muss. Geben Sie tabellarisch die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Y an, also die Realisationsmöglichkeiten von Y zusammen mit ihren Wahrscheinlichkeiten. Berechnen Sie den Erwartungswert von Y! 5

7 Notizen 6

8 Aufgabe 2(6 Pkt.) Ein Frau Anfang 40 erkrankt mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 0,01 an Brustkrebs. Eine gängige Methode zur Früherkennung ist die Mammografie, deren Ergebnis - das Mammogramm - mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,9 positiv ist, wenn die untersuchte Frau tatsächlich Krebs hat. Hat sie keinen Brustkrebs, ist die Wahrscheinlichkeit 0,09, dass der Test trotzdem positiv ausfällt. (a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt ein Mammogramm positiv aus? (b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Frau Anfang 40 tatsächlich Brustkrebs hat, wenn ihr Mammogramm positiv ist? (c) Stellen Sie sich vor, dass eine gesunde Frau ab ihrem 40. Lebensjahr alle 2 Jahre bis zu ihrem 70. Lebensjahr ein Mammogramm erstellen lässt. Sie wird dann 16 Mammografien durchlaufen. Wenn Sie in diesem Zeitraum nicht an Brustkrebs erkrankt, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass Sie dennoch mindestens einmal ein positives Mammogramm erhält? 7

9 Notizen 8

10 Aufgabe 3(7 Pkt.) Im Fernsehen wird am Freitagabend für den Samstag eine Regenwahrscheinlichkeit von 45 % und für Sonntag 60% angegeben. (a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird es am Wochenende regnen, also an mindestens einem der beiden Tage? Dabei können Sie zunächst davon ausgehen, dass die Wahrscheinlichkeit für Regen am Sonntag nicht davon abhängt, ob es am Samstag geregnet hat. (b) Wir gehen nun davon aus, dass es am Sonntag mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,8 regnet, wenn es am Samstag geregnet hat. Dann zieht nämlich ein Tiefdruckgebiet über die Region und wird eben höchstwahrscheinlich auch am Sonntag noch Regen bringen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird es dann an beiden Wochenendtagen regnen? Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird es an beiden Wochenendtagen trocken bleiben? 9

11 Aufgabe 4(14,5 Pkt.) Gegeben seien die Ereignisse A, B, C und D und die folgenden Wahrscheinlichkeiten P (A) =0, 4 P (B) =0, 3 P (C) =0, 2 P (D) =0, 1 P (B A) =0, 12 P (D C) =0 P (B C) =0, 2 (a) Bestimmen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten: P (A B) P (A B) P (B C) P (C D) P (B C) P (B) (b) Geben Sie an, welches Ereignis von welchem impliziert wird. 10

12 Aufgabe 4Fortsetzung (c) Geben Sie an, welche zwei Ereignisse disjunkt sind. (d) Sind A und B stochastisch unabhängige Ereignisse? Begründen Sie Ihre Aussage. (e) Das Ereignis Z habe die Wahrscheinlichkeit 0,6. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass A und Z eintreten, wenn die Ereignisse stochastisch unabhängig sind. Geben Sie auch die zwei bedingten Wahrscheinlichkeiten von A unter Z und Z unter A an. 11

13 Aufgabe 5( 14Pkt.) Ein kleines Einzelhandelsunternehmen mit 10 Mitarbeitern sammelt das ganze Jahr über die Werbegeschenke, die es von seinen Lieferanten erhält. Diese werden dann unter den Mitarbeitern verlost. 40 Werbegeschenke werden in diesem Jahr verlost. Tim ist auch ein Mitarbeiter und favorisiert 10 von den 40 Werbegeschenken. Er erhält wie alle anderen 4 Lose. Die Anzahl von Tims Favoriten unter seinen gelosten Werbegeschenken sei die Zufallsvariable X. (a) Wie ist X verteilt? (b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit lost Tim genau eins seiner Favoriten? (Geben Sie bitte für diesen Aufgabenteil und die folgenden stets P(X...) mit an.) (c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle 4 gelosten Werbegeschenke zu Tims Favoriten gehören? (d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Tim mindestens 2 seiner Favoriten lost? 12

14 Notizen 13

15 Aufgabe 6(12 Pkt.) Der Risikoanalyst einer Bank geht davon aus, dass die Summe der Kreditausfälle seiner Bank im nächsten Geschäftsjahr normalverteilt ist mit dem Erwartungswert 10 Mio. e und der Standardabweichung von 2 Mio. Die Zufallsvariable X gebe die Summe der Kreditausfälle im nächsten Geschäftsjahr in Millionen e an. (a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Bank im nächsten Geschäftsjahr Kreditausfälle in Höhe von (Geben Sie für diesen Aufgabenteil P(X...) mit an.) genau 10 Mio. e hat. über 10 Mio. e hat. unter 6 Mio. e hat. höchstens 13 Mio. e hat. mehr als 5 Mio. e und weniger als 15 Mio. e hat. 14

16 (b) Bestimmen Sie bitte das 0,05- und das 0,95-Quantil von X. Interpretieren Sie bitte die beiden Werte. 15

17 Aufgabe 7(8,5 Pkt.) (a) Ein neues Medikament wird auf Nebenwirkungen getestet. Dazu werden 1000 Patienten mit dem Medikament behandelt. Bei 80 Patienten kam es zu Durchfall. Bestimmen Sie bitte das 0,95-Konfidenzintervall für die Wahrscheinlichkeit, mit der bei einem Patienten Durchfall als Nebenwirkung auftritt. (b) Frau Dr. Sander behandelt 25 ihrer Patienten mit einem Medikament, bei dem mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,1 als Nebenwirkung Kopfschmerzen auftreten. Die Zufallsvariable X gebe an, wie viele der 25 Patienten als Nebenwirkung Kopfschmerzen haben. Wie ist X verteilt? Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird kein Patient an der Nebenwirkung leiden? werden mindestens 5 Patienten an der Nebenwirkung leiden? wird genau 1 Patient an der Nebenwirkung leiden? werden höchstens 3 Patienten an der Nebenwirkung leiden? 16

18 Aufgabe 8(11 Pkt.) Die Maine-Coon-Katze ist eine große Rassekatze. Die ausgewachsenen Weibchen werden 5 bis 7 kg schwer. Wir nehmen nun an, dass das Gewicht von Maine- Coon-Weibchen normalverteilt ist mit dem Erwartungswert 6 kg. Ein Züchter behauptet, dass seine Maine-Coon-Katzen ganz besonders groß und schwer sind. Die 16 Weibchen, die er bisher gezüchtet hat, sind durchschnittlich 6,4 kg schwer. Die geschätzte Standardabweichung ˆσ des Gewichtes der 16 Katzen beträgt 0,7 kg. (a) Testen Sie zur Irrtumswahrscheinlichkeit 0,01, ob der Züchter tatsächlich überdurchschnittlich schwere Maine-Coon-Katzen züchtet. H 0 : µ 6 vs. H 1 : µ>6 µ = Erwartungswert des Gewichtes der Maine-Coon-Katzen des Züchters Geben Sie dazu den Annahme- und Ablehnbereich des Tests an. Mit welchem Fehler ist das Testergebnis möglicherweise verbunden? (b) Testen Sie nun noch einmal die in (a) genannten Hypothesen zur Irrtumswahrscheinlichkeit 0,05. 17

19 Aufgabe 8Fortsetzung Mit welchem Fehler ist das Testergebnis möglicherweise verbunden? (c) Berechnen Sie bitte das 0,95-Konfidenzintervall für µ. 18

20 Notizen 19

21 Binomialverteilung (n,p) X B(n, p), diewertesindverteilungsfunktionswerte:p (X x). n x p=

22 Normalverteilung Z N(0, 1), diewertesindverteilungsfunktionswerte:φ(z) =P (Z z) = 1 2π z e x2 /2 dx. z

23 Normalverteilung - Fortsetzung Z N(0, 1),dieWertedergebenan:φ(z) =P (Z z) = 1 2π z e x2 /2 dx. z

24 p-quantile der Standardnormalverteilung: κ p Φ(κ p )=p p κ p 0, , ,9 1,2816 0,95 1,6449 0,975 1,9600 0,99 2,3263 0,995 2,

25 t-verteilung Quantile t 1 α;n der t-verteilung 1 α n

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