( ) = ( ) ( ) ( ) = mit p > 0 begrenzen mit Komplexe Kurvenuntersuchungen. Gegeben ist eine Funktion f mit der Funktionsgleichung 1 x f(x) x e 2

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1 3.4. Komplee Kurvenuntersuchungen Gegeben ist eine Funktion f mit der Funktionsgleichung f() e = ; R a) Führen ie eine Kurvendiskussion durch (ymmetrie, Verhalten im Unendlichen, chnittpunkte mit den Achsen, Etrempunkte, Wendepunkte, Definitionsbereich, Wertebereich, Graph). b) Die Parallelen zu den Koordinatenachsen durch den Punkt P ( p f ( p) ) = mit p > 0 begrenzen mit den Koordinatenachsen ein Rechteck. Ermitteln ie die Koordinaten von P so, dass der Flächeninhalt des Rechtecks maimal wird. c) Der Graph von f stellt nun im Intervall [,5 5] den Verlauf einer traße dar. Ab der telle = 5 soll ein neuer Verlauf konzipiert werden. Die traße soll knickfrei weitergeführt werden, die Achse an der telle berühren und dann in einem sanften Bogen im. Quadranten nach oben weiterlaufen. Unterbreiten ie einen Vorschlag. a) Kurvendiskussion ymmetrie: Achsensymmetrie: f = f ( ) Punktsymmetrie: f = f ( ) Überprüfung auf Achsensymmetrie: ( ) = f e f keine ymmetrie zur. Achse Überprüfung auf Punktsymmetrie: f = e f keine ymmetrie zum Ursprung Verhalten im Unendlichen Die stärkste Funktion im Term ist die Grundfunktion e. ie bestimmt wesentlich das Verhalten im Unendlichen. Alle anderen Komponenten der Funktionsgleichung haben nur auf das Vorzeichen Einfluss. lim e = lim e = = + 0= 0 chnittpunkte mit den Achsen: chnittpunkt mit der y-achse = 0 0 f(0) 0 e 0 0 = = = = ( 0 0) y

2 chnittpunkt mit der -Achse (Nullstellen) f( ) = 0 f() = e 0 = e = 0 Etremwerte: = notwendige Bedingung: f 0 hinreichende Bedingung f f ( t) ( t) ( t) 0 Hochpunkt 0 Tiefpunkt Untersuchung der notwendigen Bedingung f = 0 Vorzeichenwechselkriterium!Ein Produkt ist Null, wenn einer der beiden Faktoren Null ist!!die e-funktion hat keine Nullstelle! f() = e f '() = e + e = e 0 = e : e 0 = =!Die e-funktion ausklammern!!die e-funktion hat keine Nullstelle! Untersuchung der hinreichenden Bedingung f'() = e f''() = e + e f''() = e 4 f''() = e f''() = 0 Maimum(Hochpunkt) e Bestimmen der y-werte f() = e f() 0,736 Zusammenfassung Etrempunkte Hochpunkt H( 0,736 )

3 Wendepunkte: = notwendige Bedingung: f 0 f hinreichende Bedingung: f f = 0 Links-Rechts 0 Rechts-Links 0 Vorzeichenwechselkriterium Wendepunkt stärkstes Gefälle bzw. größte teigung Untersuchung der notwendigen Bedingung f''() = e 4 0 = e : e 4 0 = 4 = 4!Die e-funktion hat keine Nullstelle! Untersuchung der hinreichenden Bedingung f''() = e 4 f'''() = e + e f'''() = e f'''(4) = e + 4 f'''(4) = 0 Wendepunkt R L 4e Bestimmen der y-werte f(4) = 4 e f(4) 0,54 Zusammenfassung Wendepunkte W( 4 0,54 ) Definitionsbereich: Alle Teilausdrücke der Funktion haben den Definitionsbereich R. DB: R Wertebereich: Der Wertebereich wird nach oben durch den Hochpunkt begrenzt. WB: y -0,736, y R

4 kizze: Beim kizzieren der Funktion werden alle Ergebnisse aus der Kurvendiskussion in ein Koordinatensystem übertragen. b) Maimaler Flächeninhalt A = pf(p) A = ppe A A = p e D = 0; + A = p e A' = p e + p e A' = e p 0 = e p 0 = p 0 = p p = 0 D A p = 4

5 A' = e p p A'' = e p + e p A'' = e p + 4 A''(4) 0,7 0 Maimum A = p e A(4),7 P (4,7) c) Neue traße k = a + y. Eine mögliche Lösung ist eine Parabel mit. Bedingung: = 5 Es muss gelten: f (5) = k (5) 5 5 f'(5) = e f'(5) 0, k'(5) = 0, = ( ) 0, a ( 5 ) k = a + y k'() a =. Bedingung: f(5) = k(5) f(5) = 5e 5 f(5) 0,4 k(5) = 0,4 0,4 = a 5 + y

6 3. Bedingung: y = 0 Man erhält das folgende Gleichungssystem: I 0, = a( 5 ) 0,4 = a II I nach a umstellen 0, = a 5 I II 0, a = 5 I in II einsetzen: 0, 0,4 = 5 5 ( ) 0,8 = 0,5+ 0, = 3, in I einsetzen: 0, a = 5 3, I a 0,006 Damit lautet die Gleichung der Kurve k = 0,006 ( 3,) Da a <<, ist auch die Forderung nach einem sanften Anstieg erfüllt.