1. Selbsttest Heron-Verfahren Gleichungen

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1 1. Selbsttest 1.1. Heron-Verfahren Mit dem Heron-Verfahren soll ein Näherungswert für 15 gefunden werden. Führe die ersten drei Schritte des Heron- Verfahrens durch. Gib dann unter Verwendung der Werte des 3. Schrittes einen möglichst guten Näherungswert für 15 an. Verwende 5 als Startwert. Schritt Länge Breite 1 l 1 = b 1 = 2 l 2 = b 2 = 3 l 3 = b 3 = Mit den Werten aus Schritt 3 ergibt sich: Gleichungen Gib jeweils die Lösung(en) der Gleichung an. a) x 3 = 7 b) x 2 = 9 c) x 2 = 0 d) x 3 = 8 e) x 2 = 5 f) 2 x = 16 g) x 2 = 16 h) x 2 = 16 i) ( x) 2 = 16 j) ( x) 3 = 27 k) (x 2 25) x = 0 l) (x 2 19) (x + 2) = 0 m) (3x 4) (x 2 3) = 0

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3 2. Selbsttest 2.1. Berechnungen Vereinfache möglichst weit. Radiziere dazu auch teilweise. Für die Variablen gilt: x R und y R +. a) = b) 9x 2 8y 2 = c) 9x = d) 8y + 16 x 10 = e) 40 x4 y 8 2y 2,5 = 2.2. Heron-Verfahren Mit dem Heron-Verfahren soll ein Näherungswert für 15 gefunden werden. Verwende 5 als Startwert. Ergänze die Einträge bzw. Formeln in der Tabellenkalkulation für die ersten drei Schritte. Rechne selbst keine Zahlenwerte aus. 1 Wurzel: 2 Startwert: 3 1. Schritt: 4 2. Schritt: 5 3. Schritt: A B C 2.3. Lineare Funktion Wir betrachten die lineare Funktion g mit der Definitionsmenge D g = R. Ihr Graph wird mit G g bezeichnet und verläuft durch die Punkte A( 3 2) und B(4 1). a) Bestimme rechnerisch den Funktionsterm von g. b) Ermittle rechnerisch die Schnittpunkte von G g mit den Koordinatenachsen. c) G g schließt mit den Koordinatenachsen ein rechtwinkliges Dreieck ein. Berechne den Flächeninhalt dieses Dreieckes, wenn das Koordinatensystem die Längeneinheit 1 cm hat. Gib den Flächeninhalt in der Einheit Hektar an.

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5 3. Selbsttest 3.1. Einfache Gleichungen Gib jeweils die maximale Definitionsmenge an (außer D = R) und löse die Gleichung! a) x 2 = 36 b) x 2 = 3 c) 3 x = x 2 d) (x 2) (x + 3) = 0 e) x 2 5 = 0 f) 7 x 2 5 = 0 g) x 7 x 7 = 0 h) x2 25 x = 0 i) x2 25 x + 5 = 0 j) x3 5x x = 0 k) x2 + x 2 x 1 = 2x l) (x2 1) (x 2 49) x 1 = Funktionsgraph Abgebildet ist der Graph G f einer Funktion f. Entnimm die nötigen Informationen diesem Graphen. Ergänze: f(1,5) = Nullstellen von f: Definitionsmenge von f: D f = Wertemenge von f: W f = Löse graphisch: f(x) = 1 2 ; y x

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7 4. Selbsttest 4.1. Quadratische Funktion will spielen Gegeben ist die Funktion f : x x 2 + 2x + 8 mit der maximalen Definitionsmenge D f. Der Graph von f wird mit G f bezeichnet. a) Gib die maximale Definitionsmenge D f an. b) Bestimme rechnerisch die Nullstellen von f. c) Bestimme rechnerisch den Scheitel von G f. d) Gib die Wertemenge W f an. e) Bestimme rechnerisch, ob der Punkt Q(10 73) über, auf oder unterhalb von G f liegt. f) Gib die Schnittpunkte von G f mit den Koordinatenachsen an. g) Gib f(x) in Nullstellenform an. h) Gib f(x) in Scheitelform an. i) Zeichne G f in ein das abgebildete Koordinatensystem ein. y x 1 2 j) Beschreibe wie G f aus dem Graphen G h der Funktion h: x x 2 ; D h = R hervorgeht. k) Löse die Gleichung x 2 + 2x + 8 = 3 x mit x R rechnerisch. l) Löse die Gleichung x 2 + 2x + 8 = 3 x mit x R graphisch. Verwende dazu obiges Koordinatensystem.

8 4.2. Lösung: Quadratische Funktion will spielen a) D f = R, da keine Wurzel und kein Nenner auftreten. b) Für die Nullstellen setzt man den Funktionswert gleich Null: f(x) = 0 x 2 + 2x + 8 = 0 x 1/2 = 1 2 ( 1) x 1/2 = 1 2 [ 2 ± 6 ] x 1 = 2 x 2 = 4 Die Nullstellen von f sind also x = 2 und x = 4. c) Aus Symmetriegründen gilt für die x Koordinate des Scheitels S: [ ] 2 ± ( 1) 8 x s = 1 2 (x 1 + x 2 ) x s = 1 2 ( 2 + 4) x s = 1 Natürlich kann man auch mit der Formel x s = b 2a arbeiten: x s = b 2a x s = 2 2 ( 1) x s = 1 Die y Koordinate von S ergibt sich durch Einsetzen in den Funktionsterm: Damit hat man den Scheitel S(1 9) bestimmt. y s = f(x s ) y s = f(1) y s = y s = 9 d) W f =] ; 9], da der Scheitel der nach unten geöffneten Parabel S(1 9) ist. e) Um die Lage von Q(10 73) bezüglich G f zu überprüfen, berechnet man zunächst f(x Q ): f(x Q ) = f(10) = = 72 Dies bedeutet, dass der Punkt (10 72) auf G f liegt. Somit liegt Q(10 73) unterhalb von G f. f) Da man die Nullstellen breits in b) ermittelt hat, kann man die Schnittpunkte von G f mit der x Achse direkt angeben: N 1 ( 2 0) N 2 (4 0) Für den Schnittpunkt von G f muss man zunächst f(0) berechnen: f(0) = = 8 Der Schnittpunkt von G f mit der y Achse ist somit S y (0 8). g) f(x) = a (x x 1 ) (x x 2 ) = (x + 2) (x 4) h) f(x) = a (x x s ) 2 + y s = (x 1) 2 + 9

9 i) Da der Graph eine Normalparabel (a = 1) ist, kann man mit der Parabelschablone arbeiten: y G f x 2 j) G h wird an der x Achse gespiegelt, um eine Einheit nach rechts verschoben und um 9 Einheiten nach oben verschoben. k) Um die Lösungsformel für quadratische Gleichungen anwenden zu können, muss man eine Seite der Gleichung zu 0 machen: x 2 + 2x + 8 = 3 x 3 x 2 + 2x + 5 = x x 2 + 3x + 5 = 0 x 1/2 = 1 2 ( 1) [ ] 3 ± ( 1) 5 [ x 1/2 = ± ] 29 [ x 1 = ] 29 1,2 [ x 2 = ] 29 4,2 + x

10 l) Die Gleichung x 2 + 2x + 8 = 3 x kann man geometrisch als die x Werte der Schnittpunkte von G f und y = x 3 deuten: y G g G f x 2 x 1 1,2 x 2 4,2

11 5. Selbsttest 5.1. Schnittpunkte bestimmen y Gegeben ist die Funktion f : x 2,5 4x + x 2 mit D f = R. Ihr Graph wird mit G f bezeichnet. Der Graph G g der linearen Funktion g ist abgebildet. a) Entnimm der Abbildung den Funktionsterm der Funktion g G g b) Bestimme die Schnittpunkte von G f und G g exakt durch eine Rechnung. c) Berechne den Scheitel von G f. d) Bestimme die Schnittpunkte von G f und G g näherungsweise durch ein graphisches Verfahren x 5.2. Öffnungsfaktor berechnen 3 y Abgebildet ist der Graph G f der quadratischen Funktion f. 2 a) Entnimm der Abbildung den Scheitel und bestimme den Öffnungsfaktor der Parabel. b) Berechne die Nullstellen von f und vergleiche mit der Abbildung. x

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13 6. Selbsttest 6.1. Graphische Lösung 5 y Löse die Gleichung (x 1) 2 4 = 2 3 x + 2 näherungsweise mit einem graphischen Verfahren. Verwende dazu das abgebildete Koordinatensystem x Definitionsmenge und Vereinfachung Wir betrachten die Funktion f : x mit G f bezeichnet. a) Bestimme D f. b) Gib alle Nullstellen von f an. c) Vereinfache f(x) möglichst weit. x3 + 10x x 4x x mit der maximalen Definitionsmenge D f. Der Graph von f wird d) Untersuche, ob der Punkt P (3 1) auf G f, über G f oder unter G f liegt.

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15 7. Selbsttest 7.1. Bruchgleichung Bestimme für die Bruchgleichung 2x x + 1 = x 2 die maximale Definitionsmenge über der Grundmenge R und die Lösungen Parabel Gegeben ist die quadratische Funktion f : x 4x 2 24x + 31 mit der maximalen Definitionsmenge D f. Der Graph von f wird mit G f bezeichnet. a) Gib D f an und begründe deine Wahl. b) Gib den Funktionsterm f(x) in Scheitelform an. c) Gib die Wertemenge W f der Funktion f an. d) Bestimme die Schnittpunkte von G f mit den Koordinatenachsen. e) Entscheide rechnerisch, ob der Punkt P (5 10) auf, über oder unterhalb von G f liegt Lineares Gleichungssystem mit drei Variablen a) Der Graph G f der quadratischen Funktion f verläuft durch die Punkte A(1 3), B(3 0) und C(5 5). Bestimme rechnerisch den Funktionsterm von f. b) Der Graph G h der quadratischen Funktion h verläuft durch die Punkte A(3 1), B(5 5) und C( 5 15). Bestimme rechnerisch den Funktionsterm von h. c) Der Graph G g der Funktion g verläuft durch die Punkte A( 2 6), B(0 4) und C(6 2). Bestimme rechnerisch den Funktionsterm von g.

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