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1 Aufgabe M01 Lösen Sie das lineare Gleichungssystem Aufgabe M02 14 Stellen Sie den Vektor 5 als Linearkombination der drei Vektoren , 3 und 2 dar Aufgabe M Gegeben sind die Ebenen : 0 30 und a) Stellen Sie die Ebenen und in einem gemeinsamen Koordinatensystem dar. b) Zeichnen Sie die Schnittgerade von und ein und bestimmen Sie die Gleichung der Schnittgeraden. Aufgabe M04 Gegeben sind die Ebenen : 2 4 und a) Stellen Sie die Ebenen und in einem gemeinsamen Koordinatensystem dar. b) Zeichnen Sie die Schnittgerade von und ein und bestimmen Sie die Gleichung der Schnittgeraden. Aufgabe M05 a) Geben Sie die Gleichung der Ebene an, welche die Spurpunkte "0 0 4$ und "0 3 0$ und keinen Schnittpunkt mit der -Achse hat. b) Geben Sie die Gleichung der Ebene an, welche den Punkt %"3 3 1$ enthält und parallel zur Ebene : 2 ist. c) Geben Sie die Gleichung der Geraden an, welche durch den Punkt 1 2 &"5 1 4$ geht und senkrecht zur Ebene : steht. 0 0
2 Aufgabe M Gegeben sind die Geraden : 1' 1 und h: 1* a) Zeigen Sie, dass und h parallel, aber nicht identisch sind. b) Geben Sie eine Gleichung der Ebene an, in der die Geraden und h liegen. Aufgabe M07 Gegeben sind die beiden Ebenen und mit: : 2* 0, 1; *,, R : 1 a) Weisen Sie nach, dass und parallel zueinander liegen. b) Bestimmen Sie den Abstand von und. Aufgabe M08 Gegeben sind die Punkte %"3 0 1$, 1"6 2 2$ und 2"0 3 5$. Die Ebene enthält die Punkte %, 1 und 2. a) Bestimmen Sie die Gleichung von in Normalenform und Koordinatenform. b) Untersuchen Sie die Lage der Ebene zur Geraden mit 4 2 : 0, Aufgabe M Gegeben sind die Geraden mit : 2, 1;, R und h mit h: 3* 2; * R. 5 1 a) Zeigen Sie, dass die Geraden und h orthogonal zueinander liegen. b) Untersuchen Sie, ob sich und h auch schneiden. Aufgabe M10 Gegeben sind die Punkte %"12 0 0$, 1"4 10 5$ und 2"2 8 4$. a) Zeigen Sie, dass das Dreieck %12 rechtwinklig ist. b) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks %12.
3 Aufgabe M11 Gegeben sind die Punkte %"7 0 1$, 1"5 3 1$ und 2"4 0 1$. a) Zeigen Sie, dass das Dreieck %12 gleichschenklig ist. b) Das Dreiecks %12 lässt sich durch einen Punkt & ergänzen, dass eine Raute entsteht. Bestimmen Sie die Koordinaten von &. c) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks %12. Aufgabe M12 Gegeben sind die Punkte %"1 3 0$, 1"3 7 7$ und 2"2 8 1$. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks %12.
4 Lösung M01 Wegen des Pflichtteils ist hier die Verwendung eines WTR ausgeschlossen, das Gleichungssystem muss manuell gelöst werden nach dem Gaußschen Eliminierungsverfahren. Gauß-Schema Nr. Operation I II III Nr. Operation I II III II 3 III Nr. Operation I II III Die untere Dreiecksmatrix ist erstellt, wir lesen die Ergebnisse ab: Lösung M02 Wir stellen die Linearkombination! "# $ % & und lösen das entstehende Gleichungssystem nach,! und $ auf.! "# $ % & ' 1(! ' 3 ( $ ' 2( ' 5( Gauß-Schema Nr.! $ Operation I II III
5 Wegen der Null in der ersten Spalte der ersten Zeile vertauschen wir die Zeile I mit der Zeile III. Nr.! $ Operation I II III Nr.! $ Operation I II III Nr.! $ Operation I II III Die untere Dreiecksmatrix ist erstellt, wir lesen die Ergebnisse ab: 2$ 6 $ 3 2! ! ' 1( 1 ' 3 ( 3 ' 2( ' 5( Lösung M03 Wir stellen zunächst die Koordinatengleichung der Ebene + auf und errechnen deren Spurpunkte. Die Ebene + ist eine parallele Ebene zur -Ebene im Abstand 2. Wir zeichnen die beiden Ebenen ein und bestimmen danach die Gleichung der Schnittgeraden durch Gleichsetzung von + mit +. Koordinatengleichung von + : 2 3 2, , Punktprobe mit Aufpunkt, :12. / Achsenabschnittsform 4./ 6 0 0; ;
6 Schnittgerade 6: Wir wählen eine Unbekannte frei, z.b. $. 2 3$ $ $ 8 $ 2 Daraus folgt: 4 6: ' 0( $ : ' 0( $ ' 2( 2 0 Lösung M04 Wir bestimmen die Spurpunkte der Ebene + und : und zeichnen damit die Ebenen und die Schnittgerade in das Koordinatensystem. Danach berechnen wir die Gleichung der Schnittgeraden durch Gleichsetzung von + mit :. 2 4 :4. /. 1 1 Achsenabschnittsform ;</ 4 0 0; 4 ; :8. / Achsenabschnittsform : 2 = 2 4 ></ 4 0 0; 4 > ; 4 > : Wir wählen eine Variable frei, z.b. $ (1) 2 4 (2) 2 8 2$ (1) 4 2 (1)->(2) $ $ $ ->(1) 2 $ $
7 4 4 3 $ 2 3 $ $ Daraus folgt: : ' 0( $ : ' 0( $ ' 2( 0 3 Lösung M05 a) Über die gegebenen Spurpunkte stellen wir die Achsenabschnittsform der Ebene + auf. b) Die Ebene + hat die Gleichung +: 2. Eine zu parallele Ebene : hat denselben Normalenvektor und die Gleichung ::,. Über eine Punkteprobe mit F errechnen wir dann, von : neu. c) Eine Gerade steht dann senkrecht auf einer Ebene, wenn ihr Richtungsvektor ein Vielfaches des Normalenvektors der Ebene ist. a) +: b) +: 2 : +:, 3, Punktprobe mit F3 3 1 :: c) 6: ' 1 ( ' 1 ( 4 0 Lösung M06 a) Die Richtungsvektoren von 6 und h sind ein Vielfaches voneinander und der Aufpunkt von 6 liegt nicht auf h. b) Wir nehmen den Aufpunkt von 6 als Aufpunkt der Ebene, ein Richtungsvektor der Ebene ist gleich dem Richtungsvektor der parallelen Geraden, der zweite Richtungsvektor der Ebene ist der Vektor vom Aufpunkt von 6 zum Aufpunkt von h.
8 9 3 a) ' 3 ( 3 ' 1( 15 5 Die Richtungsvektoren von 6 und h sind ein Vielfaches voneinander 4 4 ' 1( 6 ' 1( h und h sind parallel aber nicht identisch b) +: ' 1(! ' 1( $ ' 1 1( : ' 1(! ' 1( $ ' 0( Lösung M07 a) Wir bilden den Normalenvektor von + über das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren von + und vergleichen diesen mit dem von :. b) Wir berechnen den Abstand des Aufpunktes von + zur Ebene : mithilfe der HNF a) K L #### ; & ###### M & ###### ' 0 ( M ' 1( ' 1( L #### ; ' 1( 1 #### L > ' 1( Die Normalenvektoren von + und : sind identisch, die Ebenen liegen parallel. b) HNF von :: ::. / N. 1 O. 3 O OO 0 F1 2 3 Aufpunkt von +,:;F NOO 3 Der Abstand der beiden Ebenen beträgt 3 Q+. Lösung M a) K L #### ; FR ##### M FS ##### ' 2( M ' 3 ( ' 15( 5 ' 3( L #### ; ' 3( : T ' 2(U ' 3( , ,, 6 +: 3 3 6
9 b) Lage von + zur Geraden 6: 4 2$ $ 1 Einsetzen in Ebenengleichung: 4 2$ 3 $ $ 6 W $ X4 ##### ' 0( 1 ' 1( ' 1( Die Geraden 6 schneidet + in Lösung M09 a) Orthogonalität von Geraden bedeutet, dass das Skalarprodukt der beiden Richtungsvektoren Null sein muss. b) Wir setzen die beiden Geradengleichungen gleich, stellen das LGS auf und prüfen, ob dieses eine Lösung hat. 6 h: 2 1 ' 1 ( ' 2( Die Geraden 6 und h sind orthogonal. 6 h: ' 2( $ ' 1 ( ' 3(! ' 2( $ ' 1 (! ' 2( ' 3( ' 2( ' 5 ( (1) 2$! 4 (2) $ 2! 5 W $ 2! 5 (3) 4$! 2 (2)->(1) 2 2! 5! 4 3! 10 4! 2! 2 (2) $ !;$ 3 (3) Die Geraden 6 und h schneiden sich. Schnittpunkt 4: X4 ##### ' 2( 1 ' 1 ( ' 1( Der Schnittpunkt von 6 und h hat die Koordinaten
10 Lösung M FR ##### ' 10 0( ' 10(; FS ##### ' 8 0 ( ' 8 (; RS ##### ' 8 10( ' 2( FR ##### FS ##### ' 10( ' 8 ( FR ##### RS ##### ' 10( ' 2( FS ##### RS ##### ' 8 ( ' 2( Wegen FS ##### RS ##### 0 ist das Dreieck FRS rechtwinklig. F [\] ^FS ##### ^ ^RS ##### ^ Das Dreieck FRS hat eine Fläche von 9 5 :+. Lösung M11 a) Die Länge von zwei Seiten muss gleich lang sein, die dritte Seite ist dann die Basis des gleichschenkligen Dreiecks. b) Der Punkt muss von der Basisseite genau denselben Abstand haben, wir der Abstand des Punktes gegenüber der Basis zur Basis. c) Wir berechnen die Fläche des Dreiecks über die Formel: F _`abacd ^FR ##### M FS ##### ^ a) FR ##### ' 3 0 ( ' 3(; FS ##### ' 0 0 ( ' 0 (; RS ##### ' 0 3 ( ' 3( ^FR ##### ^ ; ^FS ##### ^ ^RS ##### ^ Wegen ^FR ##### ^ ^FS ##### ^ ist das Dreieck FRS gleichschenklig mit der Basis RS. b) ##### Xe XS ##### FR ##### Xe ##### ' 0 3 ( ' 3 ( Der Punkt e hat die Koordinaten e c) F _`abacd ^FR ##### M FS ##### ^ f' 3( M ' 0 (f f' 4 (f Das Dreieck FRS ist 133 :+ groß.
11 Lösung M12 Wir berechnen die Fläche des Dreiecks über die Formel: F _`abacd ^FR ##### M FS ##### ^ FR ##### ' 7 3 ( ' 4 (; FS ##### ' 8 3( ' 5( F _`abacd ^FR ##### M FS ##### ^ f' 4 ( M ' 5(f f' 6(f Das Dreieck FRS hat einen Flächeninhalt von 9 2 :+.
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