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Caroline Beltz
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1 Polynomfunktion In der nachstehenden Abbildung ist der Graph einer Polynomfunktion f dargestellt. f(), f (),5 f,5,5,5,5,5 Skizzieren Sie in der obigen Abbildung den Graphen der Ableitungsfunktion f von f! Achten Sie dabei besonders darauf, die Nullstellen von f korrekt einzuzeichnen und das Monotonieverhalten von f korrekt darzustellen! Begründen Sie, warum die Polynomfunktion f mindestens vom Grad 4 sein muss! Eine Funktionsgleichung der Polynomfunktion f vom Grad 4 lautet allgemein: f() = a 4 + b + c + d + e mit a, b, c, d, e. Begründen Sie, warum für die in der Abbildung dargestellte Polynomfunktion c = d = e = gilt! Kompensationsprüfung / Oktober 5 / MAT / Kandidat/in S. 6/7 öffentliches Dokument

2 Funktionseigenschaften Krümmung Gegeben ist eine allgemeine Polynomfunktion f mit f() = a + b + c + d (a, b, c, d ; a ). Geben Sie an, in welchem Intervall der Graph der Funktion f mit den Parametern a =, b = 6, c = und d = linksgekrümmt ist! Erklären Sie Ihre Vorgehensweise! Ermitteln Sie die zweite Ableitung der allgemeinen Polynomfunktion f und lösen Sie dann die beiden folgenden Teilaufgaben! Begründen Sie, warum die Krümmung des Graphen von f nicht von den Parametern c und d abhängt! Begründen Sie, warum der Graph der Funktion f immer zwei verschiedene Krümmungsbereiche aufweist! Kompensationsprüfung / Juni 6 / MAT / Kandidat/in S. 6/7 öffentliches Dokument

3 Polynomfunktion vierten Grades Für eine Funktionsgleichung einer Polynomfunktion f vierten Grades mit f() = a c gilt: a > und c. Ermitteln Sie für a = die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion f an der Stelle = und erklären Sie, warum die Angabe des Wertes c für die Bearbeitung dieser Aufgabe nicht erforderlich ist! Geben Sie eine Gleichung an, mit deren Hilfe man für alle a > die Wendestellen berechnen kann, und schließen Sie anhand dieser Gleichung auf die Anzahl der Wendestellen der Funktion f! Kompensationsprüfung / Mai 7 / MAT / Kandidat/in S. 6/7

4 Funktionsgraphen Nachstehend sind die Graphen von vier Funktionen f, g, h und k dargestellt. f(t), g(t), h(t), k(t) N N N t t Für die vier Funktionen f, g, h und k gelten für alle t (; t ) folgende Aussagen: f (t) = und f (t) > g (t) > und g (t) > h (t) < und h (t) > k (t) > und k (t) < Beschriften Sie in der obigen Abbildung die Graphen korrekt mit f, g, h und k und begründen Sie Ihre Entscheidungen! Ermitteln Sie unter Verwendung von N und t die Funktionsgleichung der Funktion f in Abhängigkeit von t und erläutern Sie Ihre Vorgehensweise! Geben Sie an, ob für die Funktion f die Aussage Die Verdoppelungszeit ist konstant richtig oder falsch ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung! Kompensationsprüfung 7 / Mai 7 / MAT / Kandidat/in S. 6/7

5 Aufgabe Ableitungsfunktion In der nachstehenden Abbildung ist der Graph einer Polynomfunktion f dritten Grades dargestellt. 4 f(), f () f 4 Skizzieren Sie den Graphen der Ableitungsfunktion f im gegebenen Koordinatensystem und erläutern Sie Ihre Vorgehensweise! Die abgebildete Polynomfunktion f ist die Ableitungsfunktion einer Polynomfunktion F. Nachstehend sind fünf Aussagen über die Polynomfunktion F angeführt. Aussage : Die Funktion F ist eine Polynomfunktion vom Grad. Aussage : Die Funktion F ist für positive -Werte (streng) monoton steigend. Aussage : Die Funktion F hat an der Stelle = eine Minimumstelle. Aussage 4: Die Funktion F hat an der Stelle = eine Wendestelle. Aussage 5: Die Funktion F ist für alle > rechtsgekrümmt (negativ gekrümmt). Geben Sie für jede der angeführten Aussagen an, ob sie wahr oder falsch ist, und begründen Sie jeweils Ihre Entscheidung! Kompensationsprüfung / Oktober 7 / MAT / Kandidat/in S. 5/7

6 Aufgabe Ableitungsfunktion Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen einer Polynomfunktion f zweiten Grades. Die Funktion f ist die Ableitungsfunktion einer Funktion f. f () f Bestimmen Sie die Wendestelle der Funktion f und erläutern Sie das Krümmungsverhalten von f! Die erste Ableitungsfunktion f einer Polynomfunktion f ist durch die Gleichung f () = + c mit c gegeben. Beschreiben Sie die Abhängigkeit der Anzahl der (lokalen) Etremstellen der Polynomfunktion f vom Wert des Parameters c und begründen Sie Ihre Aussagen! Kompensationsprüfung / Jänner 8 / MAT / Kandidat/in S. 5/7

7 Aufgabe Graph einer Polynomfunktion Eine Polynomfunktion f erfüllt die nachstehend angeführten Bedingungen. f ( ) < f () > f () = f(4) = 4 f (4) = Skizzieren Sie im nachstehenden Koordinatensystem einen möglichen Graphen einer solchen Funktion f mit kleinstmöglichem Grad! 6 f() Eine Funktion g soll zusätzlich zu den für f gegebenen Bedingungen auch g (4) = erfüllen. Begründen Sie, warum der Grad von g mindestens um höher als der Grad von f sein muss! Erläutern Sie, wie sich das Monotonieverhalten der Funktion g von jenem der Funktion f unterscheidet, wenn der Grad von g um genau höher als jener von f ist! Kompensationsprüfung 4 / Juni 8 / MAT / Kandidat/in S. 5/7

8 Funktionseigenschaften Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion f einer Polynomfunktion f vierten Grades. 5 f () 4 f Geben Sie zu jeder der drei nachstehenden Aussagen an, ob sie wahr oder falsch ist, und begründen Sie jeweils Ihre Entscheidung! Aussage : Die Funktion f hat im Intervall ( 4; 4) genau zwei lokale Etremstellen. Aussage : Die Funktion f ist im Intervall (; ) streng monoton fallend. Aussage : Die Funktion f ist im Intervall ( ; ) rechtsgekrümmt (negativ gekrümmt). Skizzieren Sie in der gegebenen Abbildung einen möglichen Graphen von f und erklären Sie den Zusammenhang zwischen den Verläufen der Graphen von f und f! Kompensationsprüfung / Oktober 8 / MAT / Kandidat/in S. 6/7

9 Ableitungs- und Stammfunktionen Die nachstehende Abbildung zeigt den Ausschnitt eines Graphen einer Polynomfunktion f vierten Grades mit den Wendepunkten W und W. 4 f() f W 4 4 W 4 Geben Sie zu jeder der nachstehenden Aussagen an, ob sie wahr oder falsch ist, und begründen Sie jeweils Ihre Entscheidung! Aussage : Für alle [ ; ] gilt: f () >. Aussage : Es gibt ein [; ] mit f () =. Aussage : Für alle [ 4; ] gilt: f () <. Aussage 4: Es gibt ein [; ] mit f () =. Geben Sie an, in welchen Teilintervallen von [ 4; ] eine Stammfunktion von f streng monoton steigend ist, und erläutern Sie Ihre Antwort! Kompensationsprüfung / Jänner 9 / MAT / Kandidat/in S. 6/7

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