Höhere Mathematik III für Wirtschaftsinformatiker

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1 TU Ilmenau Institut für Mathematik Prof. Dr. S. Vogel Höhere Mathematik III für Wirtschaftsinformatiker Funktionen von mehreren Variablen. Grenzwerte und Stetigkeit Betrachtet werden Funktionen f : D f R n R. Beispiele: a) n = 2, z = f(x, y) In diesem Fall ist eine Veranschaulichung im R 3 (z.b. 3D-Plots mittels Computer) oder mit Hilfe von ebenen Schnitten (insbesondere Höhenlinien) möglich..) z = x 2 + y 2 α) Schnitte mit den Ebenen z = c, c R (Höhenlinien, Niveaulinien) liefern x 2 + y 2 = c (c 0), also Kreise mit Radius c. β) Der Schnitt z. B. mit der Ebene x = 0 ergibt z = y 2, der Schnitt mit y = 0 ergibt z = x 2. Die Funktion beschreibt ein Rotationsparaboloid. 2.) z = x 2 + y 2 beschreibt einen Kegel. 3.) z = x2 a 2 + y2 stellt ein elliptisches Paraboloid dar. b2 Die Höhenlinien x2 a 2 + y2 b 2 = c (c 0) bzw. x 2 Ellipsen. (a c) 2 + y2 (b c) 2 = sind 4.) z = x y Die Betrachtung der Höhenlinien zeigt, dass im Nullpunkt ein sogenannter Sattelpunkt vorliegt.

2 5.) Als Cobb-Douglas-Funktion (im R 2 ) bezeichnet man die Funktion z = cx α y d 2, wobei z den Output (Wertschöpfung), x den Kapitaleinsatz und y den Arbeitseinsatz bezeichnen. b) Nun sei n beliebig und x = (x,..., x n ). Wichtige Funktionstypen sind.) lineare Funktionen y = f( x) = f(x,..., x n )= a o + a x +..., +a n x n und 2.) quadratische Funktionen y = f( x) = f(x,..., x n ) = a o + a x +... a n x n + a x a nnx 2 n +a 2 x x a n,n x n x n. Als Abstandsbegriff im R n wird in der Regel die Euklidische Norm. verwendet: Es seien x = (x,..., x n ), y = (y,..., y n ). Dann n x y = (x i y i ) 2. i= Bemerkung: Es gibt auch andere Abstandsbegriffe, z. B. die sogenannte Maximumnorm. M mit x y M := max i n x i y i. Analog zum Eindimensionalen definiert man eine ɛ-umgebung von x : U ɛ { x} := { y x y < ɛ}. Im Weiteren sei x k = (x (k),..., x(k) n ). Definition: Eine Folge ( x k ) k N heißt konvergent gegen x o, falls lim k x k x o = 0 erfüllt ist. (Schreibweise: lim k x k = x o ) Es gilt: lim x k = x o lim k k x(k) i = x (o) i i {,..., n} ɛ > 0 k o k k o : x k U ɛ { x o }. Definition: Die Zahl η heißt Grenzwert von f an der Stelle x o D f, wenn lim f( x k) = η für alle Folgen ( x k ) k N mit x k D f \ { x o } und lim x k = x o k k gilt. Schreibweise: lim x x o f( x) = η oder lim f(x,..., x n ) = η x x (o),...,x n x (o) n 2

3 Definition: f heißt stetig in x o, wenn lim x x o f( x) = f( x o ) gilt. f heißt stetig, wenn f in allen Punkten x o D f stetig ist. Für zwei im Punkt x o stetige Funktionen sind auch die Verknüpfungen f + g, αf (α R) und f g stetig in x o. Die Funktion f g ist stetig in x o, falls zusätzlich g( x o ) 0 gilt. Beispiele:.) Die Funktion f mit f(x, y) = x2 y 2 x 2 + y 2 ist stetig in allen Punkten (x, y) (0, 0). Weiterhin gilt wegen 0 x2 y 2 x 2 + y 2 y 2 die Beziehung lim x 2 y 2 x 0,y 0 x 2 = 0. Also kann die Funktion f im Nullpunkt + y2 stetig fortgesetzt werden zu der stetigen Funktion f mit f(x, y) = { f(x, y) (x, y) (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0) 2.) Die Funktion f mit f(x, y) = x y x 2 + y 2 ist stetig in allen Punkten (x, y) (0, 0). Zur Untersuchung des Verhaltens in (0, 0) kann man verschiedene Folgen betrachten, die gegen (0, 0) konvergieren. ( ) α) Für die Folge ( x k ) k N mit x k = (x (k), y (k) ) = k, 0 ergibt sich lim f( x k) = 0. k ( β) Für die Folge ( x k ) k N mit x k = k, ) ergibt sich k k 2 2 k 2 = 2. lim f( x k) = lim k k Also existiert der Limes f kann nicht stetig fortgesetzt werden..2 Partielle Ableitungen. lim f(x, y) nicht, und die Funktion x 0,y 0 Es seien zunächst n = 2 und z = f(x, y). Für ein fest gewähltes y o wird die Funktion ϕ (yo) R R mit ϕ (y o) (x) := f(x, y o ) betrachtet. (Der Graph dieser Funktion kann als Schnittkurve der Fläche z = f(x, y) mit der Ebene y = y o aufgefasst werden.) 3

4 Definition: Ist ϕ (yo) in x o differenzierbar (d. h., existiert ϕ (yo) (x o + h) ϕ (yo) (x o ) f(x o + h, y o ) f(x o, y o ) lim = lim ), h 0 h h o h so heißt (ϕ (y o) ) (x o ) die partielle Ableitung von f nach x im Punkt (x o, y o ). Anstelle von ϕ (y o) (x o ) schreibt man f x (x o, y o ) oder auch f x (x o, y o ). f x (x o, y o ) beschreibt den Anstieg der Tangente an ϕ (y o) im Punkt x o oder, mit anderen Worten, den Anstieg der Tangente an f in (x o, y o ) in Richtung der x-achse. Es sei nun D x R 2 die Menge aller Punkte (x o, g o ), in denen f partiell nach x differenzierbar ist. Die partielle Ableitung nach x kann dann ihrerseits als Funktion aufgefasst werden: f x D x R. Analog zur obigen Herleitung werden durch Vertauschung der Rolle von x und y die Ableitung f y (x o, y o ) von f nach y im Punkt (x o, y o ) bzw. die partielle Ableitung f y D y R definiert. Beispiel: Es sei f(x, y) = x 2 y 2 + x. Dann ergeben sich f x (x, y) = 2xy 2 + und f y (x, y) = 2x 2 y sowie (zum Beispiel) f x (, 2) = 9, f y (, 2) = 4. Analog zum zweidimensionalen Fall wird für eine Funktion f D f R n R die partielle Ableitung f xi nach x i in folgender Weise erklärt: f(x (o) f xi ( x o ) := lim,..., x(o) i, x(o) i + h, x (o) i+,..., x(o) n ) f(x (o),..., x(o) n ). h o h (Dabei seien x = (x,..., x n ) und x o = (x (o),..., x(o) n ). Sind alle f xi, i =... n, stetige Funktionen, so heißt f stetig partiell differenzierbar. Satz: Wenn eine ɛ Umgebung U ɛ { x o } derart existiert, daß alle f xi, i =,..., n, auf U ɛ { x o } existieren und beschränkt sind, dann ist f stetig in x o. Höhere partielle Ableitungen Definition: Es sei f D f R n R partiell differenzierbar nach allen Variablen x,..., x n. Sind die Ableitungen f xi, i =,..., n, ihrerseits partiell differenzierbar, so heißt f zweimal partiell differenzierbar. 4

5 f xi ( x o ) wird mit f xi,x f j (x (o),..., x(o) n ) bezeichnet, d.h., nach der näher xj an f stehenden Variablen wird zuerst abgeleitet. Üblich ist auch die Schreibweise f(x (o) 2 f x j x,..., x(o) n ) für f xi,x j (x (o),..., x(o) n ). i Satz: (Vertauschungsregel) (für R 2, gilt im R n analog) Wenn f x und f y sowie f xy auf U ɛ {(x o, y o )} existieren und f xy in (x o, y o ) stetig ist, gilt f xy (x o, y o ) = f yx (x o, y o )..3 Ableitung mittelbarer Funktionen (verallgemeinerte Kettenregel) Gegeben seien eine Funktion f D f R n R sowie eine Parameterdarstellung für einen Weg im R n in der Gestalt x = g (t),..., x n = g n (t), t D g. Dabei wird vorausgesetzt, dass (g (t),..., g n (t)) für alle t D g zu D f gehört. Durch F (t) := f(g (t), g 2 (t),..., g n (t)) ist dann eine Funktion F D g R erklärt. Gesucht ist die Ableitung F. Satz (verallgemeinerte Kettenregel) Die Funktion f D f R n R sei stetig differenzierbar nach allen Variablen, und die Funktionen g i D g R, i =,..., n, seien differenzierbar. Dann ist die Funktion F differenzierbar, und es gilt F (t o ) = f x (g (t o ), g 2 (t o ),..., g n (t o ))g (t o )+...+f xn (g (t o ),..., g n (t o ))g n (t o ). Beispiel: Es seien f(x, y) = x 2 y + y, x(t) = g (t) = t 2, y(t) = g 2 (t) = 2t +. Dann kann die Ableitung von F einerseits nach Einsetzen der Parameterdarstellung gebildet werden: F (t) = ( (t 2 ) 2 (2t + ) + (2t + ) ) =... = 0t 4 + 4t Unter Ausnutzung des obigen Satzes erhält man andererseits F (t) = 2t 2 (2t + ) 2t + ((t 2 ) 2 + ) 2 = 4t 3 (2t + ) + 2t = 0t 4 + 4t Es sei nun insbesondere g (t) = x (o) + ta,..., g n (t) = x (o) n + ta n, wobei a 2 = angenommen wird. Weiterhin werden a = (a,..., a n ) T, x o = (x (o),..., x(o) n ) sowie t o = 0 gesetzt. Nach der verallgemeinerten Kettenregel erhält man F (0) = f x (x (o),..., x(o) n ) a f xn (x (o),..., x(o) n )a n. 5

6 Im R 2 gibt F (0) den Anstieg der Tangenten im Punkt x o an die Fläche z = f(x, x 2 ) in Richtung a an. Definition: Die Zahl f a (x(o),..., x(o) n ) := n f xi (x (o),..., x(o) n )a i i= heißt Richtungsableitung von f an der Stelle x o in Richtung a. Definition: Der Vektor f( x o ) = f(x (o),..., x(o) n ) := (f x ( x o ),..., f xn ( x o )) T heißt Gradient von f im Punkt x o. (Für den Gradienten ist auch die Schreibweise grad f( x o ) üblich.) Für die Richtungsableitung gilt damit f a ( x o) = a T f( x o ). Das Skalarprodukt a T f( x o ) wird maximal für a = ( xo) ( x o ), d. h., f( x o) gibt die Richtung des steilsten Anstiegs und entsprechend f( x o ) die Richtung des steilsten Abstiegs einer Funktion an. Beispiel: Es seien z = x 2 + y 2, a = ( ) und a = ( ). 2 ( ) ( ) 2x 2 Dann erhält man f(x, y) =, f(, ) = sowie 2y 2 f (, ) = ( ) 2 ( 2) = 6 f, (, ) = ( ) 2 ( ) = 2 2. a a Die durch den Gradienten gegebene Richtung des steilsten Anstiegs stimmt f hier mit der durch a 2 gegebenen Richtung überein, d.h., (, ) ist der a 2 steilste Anstieg von f im Punkt (, )..4 Das totale Differential Betrachtet wird eine Funktion f D f R 2 R, die in einer ɛ Umgebung von (x o, y o ) stetig partiell differenzierbar ist. Der Wert f(x o, y o ) sei bekannt; gesucht ist (näherungsweise) der Wert f(x o + h, y o + k) für kleine Werte h und k. Bemerkung: Anstelle von h und k werden in der Regel die Schreibweisen dx und dy verwendet. Es gilt f(x o + dx, y o + dy) f(x o, y o ) = f x (x o, y o )dx + f y (x o, y o )dy +η(dx, dy). } {{ } =:df(x o,y o) 6

7 Der Wert η(dx, dy) gibt gerade die Differenz zwischen dem wahren Funktionswert an der Stelle (x o + dx, y + dy) und dem Funktionswert der Tangentialebene f(x o, y o ) + f x (x o, y o )dx + f y (x o, y o )dy an dieser Stelle an. Gilt für η die Beziehung η(dx, dy) lim (dx,dy) (0,0) (dx, dy) = 0, ( ) so heißt f im Punkt (x o, y o ) total (oder vollständig) differenzierbar, und df(x o, y o ) := f x (x o, y o )dx + f y (x o, y o )dy heißt totales (oder vollständiges) Differential von f an der Stelle (x o, y o ). Bemerkungen:. Die vorausgesetzte Stetigkeit der partiellen Ableitungen sichert die Gültigkeit von (*). 2. Eine in (x o, y o ) total differenzierbare Funktion f kann dort lokal durch die Tangentialebene angenähert werden. Für eine Funktion f D f R n R wird das totale Differential in analoger Weise erklärt: df(x (o),..., x(o) n ) = f x (x (o),..., x(o) n )dx + + f xn (x (o),..., x(o) n )dx n. Anwendungsbeispiele für das totale Differential:.) Fehlerrechnung: Zwei Einflussgrößen können jeweils nur bis auf einen Fehler dx bzw. dy genau angegeben werden. Mit welchem (näherungsweisen) Fehler ist bei der Angabe von z = f(x o, y o ) zu rechnen? Lösung: Es seien x = x o ± x, y = y o ± y, z = f(x o, y o ) ± f. Man verwendet den Näherungswert df(x o, y o ) für die wahre Abweichung f, wobei x mit dx und y mit dy identifiziert werden. 2.) Gegeben sei eine Outputfunktion der Gestalt f(x, y) = cx α y α 2, c > 0, α > 0, α 2 > 0. a) Wie verändert sich der Output, wenn sich die Produktionsfaktoren x und y um dx bzw. dy ändern (Ausgangspunkt (x o, y o ))? Lösung: Die Änderung ergibt sich näherungsweise zu df(x o, y o ) = cα x α o y α 2 o dx + cα 2 x α o y α 2 o dy. b) Der erste Produktionsfaktor ändert sich um dx. Um wieviel (dy) muss man den zweiten Produktionsfaktor ändern, damit das Ausgangsniveau des Outputs erhalten bleibt? 7

8 Lösung: Das Ausgangsniveau sei f(x o, y o ). Der Output soll sich nicht ändern, also muss df(x o, y o ) = 0 gelten. Daraus folgt 0 = f x (x o, y o )dx + f y (x o, y o )dy und schließlich dy = f x(x o, y o ) f y (x o, y o ) dx. Der Quotient f x(x o, y o ) heißt Substitutionsrate oder auch f y (x o, y o ) Grenzwert der Faktorsubstitution..5 Implizite Funktionen Gegeben sei die Gleichung F (x, y) = 0. Wann beschreibt die Lösungsmenge dieser Gleichung (lokal) eine Funktion? (Erinnerung: Funktionen wurden mit ihrem Graphen identifiziert.) Beispiele:.) Betrachtet wird die Gleichung x 2 + y 2 = 0. α) {(x, y) R 2 x 2 + y 2 = 0} stellt nicht den Graphen einer Funktion, sondern nur eine Relation dar. β) {(x, y) R [0, ) x 2 + y 2 = 0} stellt eine Funktion f mit der expliziten Form y = x 2, x, dar. γ) {(x, y) [0, ) R x 2 + y 2 = 0} stellt eine Funktion g mit der expliziten Form x = g(y) = y 2, y, dar. 2.) Gegeben sei die Relation x 3 + y 3 3xy = 0 (Kartesisches Blatt). In jeder Rechteckumgebung des Nullpunktes ist die Relation x 3 + y 3 3xy = 0 weder als Funktion von x noch als Funktion von y darstellbar. Betrachtet wird eine Rechteckumgebung R δ δ 2 (x o, y o ) := {(x, y) (x x o ) < δ, y y o < δ 2 } eines Punktes (x o, y o ). Eine Funktion y = f(x) bzw. x = g(y)) mit (x, y) R δ δ 2 (x o, y o ), die in der Form F (x, y) = F (x, f(x)) = 0 (bzw. F (x, y) = F (g(y), y) = 0) vorliegt, heißt implizit gegeben oder implizite Funktion. Satz: Die Funktion F sei auf einer Rechteckumgebung R δ δ 2 (x o, y o ) definiert, und die folgenden Bedingungen seien erfüllt:.) F (x o, y o ) = 0, 2.) F y existiert auf R δ δ 2 (x o, y o ) und ist dort stetig, und es gilt F y (x o, y o ) 0. 8

9 Dann existieren eine Rechteckumgebung R α α 2 (x o, y o ) und eine Funktion y = f(x) derart, dass für alle x (x o α, x o + α ) die Beziehungen F (x, f(x)) = 0 und f(x) y o < α 2 gelten. Sind darüber hinaus die Ableitungen F x und F y stetig auf R δ δ 2 (x o, y o ), so ist f in allen Punkten x (x o α, x o + α ) differenzierbar, und es gilt f (x) = dy dx = F x(x, f(x)) F y (x, f(x)). (*) Herleitung für (*): Aus F (x, f(x)) = 0 folgt F x (x, f(x)) + F y (x, f(x)) f (x) = 0. Bemerkungen:.) Eine analoge Aussage gilt im Fall F x (x o, y o ) 0: Ist Bedingung.) erfüllt und gilt Bedingung 2.) für F x, dann existieren eine Rechteckumgebung R α α 2 (x o, y o ) und eine Funktion x = g(y) derart, dass für y (y o α 2, y o + α 2 ) die Beziehungen F (g(y), y) = 0 und g(y) x o < α gelten. Sind darüber hinaus die Ableitungen F x und F y stetig auf R δ δ 2 (x o, y o ), so ist g in allen Punkten y (y o α 2, y o + α 2 ) differenzierbar, und es gilt g (y) = dx dy = F y(g(y), y) F x (g(y), y). 2.) Sind die Voraussetzungen des Satzes erfüllt, muss es nicht notwendig möglich sein, die Gleichung F (x, y) = 0 rechnerisch (in geschlossener Form) nach einer Variablen aufzulösen. Beispiel: Betrachtet wird das Kartesische Blatt in den Punkten (x o, y o ) = (0, 0) und (x, y ) = ( 3 2, 3 4). Es ergibt sich F x (x, y) = 3x 2 3y = 3(x 2 y), F x (0, 0) = 0, F x (x, x 2 ) = 3( ) = 0 und F y (x, y) = 3y 2 3x = 3(y 2 x), F y (0, 0) = 0, F y (x, x 2 ) = 3( ) > 0. Im Punkt (x o, y o ) sind die Voraussetzungen des Satzes nicht erfüllt. Im Punkt (x, y ) ist ein Auflösung in der Gestalt y = f(x) möglich. Wegen f (x ) = F x(x, y ) F y (x, y ) = 0 besitzt die durch x3 + y 3 3xy = 0 in einer Umgebung von (x, y ) gegebene Kurve in (x, y ) eine waagerechte Tangente..6 Extremwerte für Funktionen von mehreren Veränderlichen.6. Definitionen Betrachtet wird eine Funktion f D f R n R. 9

10 Definition: Ein Punkt x o D f heißt lokale Maximalstelle (bzw. lokale Minimalstelle) und f( x o ) lokales Maximum (bzw. lokales Minimum) von f, falls eine ɛ-umgebung U ɛ { x o } derart existiert, dass f( x o ) f( x) x U ɛ { x o } (f( x o ) f( x) x U ɛ { x o }) gilt. Falls f( x o ) > f( x) x U ɛ { x o }\{ x o } erfüllt ist, nennt man f( x o ) auch isoliertes (oder eigentliches) lokales Maximum. Definition: Falls f( x o ) f( x) x M gilt, heißt f( x o ) globales Maximum von f über M. Entsprechend heißt f( x o ) globales Minimum von f über M, falls f( x o ) f( x) x M erfüllt ist. Beispiele:.) f(x, y) = x 2 + y 2 besitzt auf M = R 2 ein globales Minimum im Punkt (0, 0), aber kein lokales oder globales Maximum. 2.) f(x, y) = x 2 +y 2 besitzt auf [ 2, +2] [ 2, +2] ein globales Minimum im Punkt (0, 0) und globale Maxima in den Punkten (+2, +2), (+2, 2), ( 2, +2), ( 2, 2). Definition: a) Eine Menge M R n heißt beschränkt, wenn es eine Konstante K R mit x K x M gibt. b) Eine Menge M R n heißt abgeschlossen, wenn für alle Folgen ( x n ) n N mit x n M n N und lim = x o die Beziehung x o M gilt. n x n Beispiele: R n ist abgeschlossen, Q ist nicht abgeschlossen. Die Menge [a, b] [c, d] ist abgeschlossen, [a, b) [c, d] ist nicht abgeschlossen. Bemerkung: Sind Teilmengen des R n sowohl abgeschlossen als auch beschränkt, werden sie auch kompakte Mengen genannt. Satz: Stetige Funktionen f D f R n R nehmen auf einer beschränkten und abgeschlossenen Menge ihr globales Maximum und ihr globales Minimum an. 0

11 .6.2 Lokale Extrema Satz: f D f R n R sei auf einer ɛ-umgebung U ɛ { x o } erklärt, und es existieren alle partiellen Ableitungen. Wenn f in x o eine lokale Maximalstelle oder Minimalstelle besitzt, dann gilt f xi ( x o ) = 0 i {,..., n}. Beweis: Für i =,..., n sei g i (t) := f(x (o),..., x(o) i, t, x(o) i+,..., x(o) n ). g i, i {... n}, ist jeweils eine Funktion einer Veränderlichen, die in t = x (o) i differenzierbar ist und dort ein Extremum besitzt. Also gilt g i (x(o) i ) = 0 = f xi ( x o ). Punkte (x (o),..., x(o) n ) mit f xi (x (o),..., x(o) n ) = 0 i {,..., n} heißen stationäre Punkte. Sie sind extremwertverdächtig. Beispiele:.) Betrachtet wird die Funktion f(x, y) = x 2 y 2xy ey. Die partiellen Ableitungen haben die Gestalt f x (x, y) = 2xy 2y, f y (x, y) = x 2 2x ey. Die notwendigen Bedingungen für das Vorliegen eines Extremums lauten damit: f x (x, y) = 2xy 2y = 0 () f y (x, y) = x 2 2x ey = 0 (2). Aus () folgt x = y = 0. Für die Gleichung (2) ergeben sich folglich zwei Fälle: a) Für x = nimmt (2) die Gestalt 3 4 ey = an. Daraus erhält man y = ln 4 3. b) Für y = 0 nimmt (2) die Gestalt x 2 2x = 0 an. Diese Gleichung besitzt die Lösungen x,2 = ± 3 4. Damit sind alle Lösungen des Gleichungssystems ()+(2) gefunden. Es gibt 3 stationäre Punkte: P ( 2, 0), P 2( 3 2, 0), P 3(, ln 4 3 ). Diese stationären Punkte können z.b. unter Zuhilfenahme von Höhenlinien weiter untersucht werden. Hinreichende Bedingungen, die die zweiten partiellen Ableitungen nutzen, werden später angegeben. 2.) Für die Funktion f mit f(x, y) = xy gilt f x (0, 0) = 0 = f y (0, 0). Im Punkt (0, 0) liegt aber kein Extremum, sondern ein Sattelpunkt vor.

12 Definition: a) Eine Menge M R n heißt konvex, wenn aus x M und x 2 M auch λ x + ( λ) x 2 M λ [0, ] folgt. b) D R n sei eine konvexe Menge. Die Funktion f D R heißt konvex, (streng konvex) wenn f(λ x +( λ) x 2 ) λf( x )+( λ)f( x 2 ) x D, x 2 D, λ [0, ] (f(λ x + ( λ) x 2 ) < λf( x ) + ( λ)f( x 2 ) x D, x 2 D, λ (0, )) gilt. c) Eine Funktion f heißt konkav (streng konkav), wenn f konvex (streng konvex) ist. Beispiele: a) ɛ-umgebungen und Rechteckumgebungen im R 2 sind konvexe Mengen. b) f mit f(x, y) = x 2 + y 2 ist eine (streng) konvexe Funktion. c) f mit f(x, y) = (x 2 + y 2 ) ist eine (streng) konkave Funktion. Satz: f D R n R sei konvex (konkav) und stetig partiell differenzierbar. Gilt in x o D die Beziehung f( x o ) = 0, dann besitzt f in x o ein globales Minimum (Maximum). Zur Untersuchung, ob eine gegebene Funktion lokal, d.h. in einer ɛ-umgebung eines Punktes, konvexes oder konkaves Verhalten aufweist, kann die Hessematrix H( x o ) herangezogen werden: H( x o ) := fx x ( x o ) fx x 2 ( x o )... fx x n ( x o )... fx n x ( x o ) fx n x 2 ( x o )... fx n x n ( x o ) = ( 2 ) f ( x o ). x i x j i,j Falls f zweimal stetig differenzierbar ist, ist die Hessematrix symmetrisch. Satz: Eine Funktion f sei auf einer ɛ-umgebung U ɛ { x o } von x o zweimal stetig differenzierbar. Dann gilt a) f konvex auf U ɛ { x o } H( x o ) positiv semidefinit x o U ɛ { x o }. b) f streng konvex auf U ɛ { x o } H( x o ) positiv definit x U ɛ { x o }. Es sei nun f D f R 2 R zweimal stetig differenzierbar. Die Hessematrix im Punkt x o besitzt dann die Gestalt H f ( x o ) = 2 ( ) fxx ( x o ) f xy ( x o ). f xy ( x o ) f yy ( x o )

13 Die Hauptminoren der Hessematrix sind also f xx ( x o ) und det H f ( x o ). Aus dem Abschnitt über quadratische Formen ist bekannt, dass eine Matrix genau dann positiv definit (negativ definit) ist, wenn alle Hauptminoren positiv (positiv für gerade Zeilenzahl und negativ für ungerade Zeilenzahl) sind. Daraus ergibt sich, dass eine Hessematrix im vorliegenden zweidimensionalen Fall nur dann positiv definit oder negativ definit sein kann, wenn die sogenannte Diskriminante δ(x, y) := det(h f ( x o )) = f xx (x, y) f yy (x, y) (f xy (x, y)) 2 positiv ist. In Abhängigkeit vom Vorzeichen von f xx ( x o ) kann dann auf positive oder negative Definitheit geschlossen werden. Satz: f D f R 2 R sei in einer ɛ-umgebung U ɛ { x o } zweimal stetig differenzierbar, und es gelte f x (x o, y o ) = 0, f y (x o, y o ) = 0. a) Ist δ(x o, y o ) > 0, besitzt f an der Stelle (x o, y o ) ein lokales Extremum. Es handelt sich dabei um ein lokales Minimum, falls f xx (x o, y o ) > 0 gilt, und um ein lokales Maximum, falls f xx (x o, y o ) < 0 erfüllt ist. b) Gilt δ(x o, y o ) < 0, liegt an der Stelle x o kein Extremwert vor. c) Für δ(x o, y o ) = 0 ist eine Entscheidung ohne weitere Untersuchung nicht möglich. Zum Beweis von a): Es seien δ(x o, y o ) > 0 und f xx (x o, y o ) > 0. Wegen der Stetigkeit der 2. Ableitung gibt es eine ɛ-umgebung U ɛ {(x o, y o )}, so dass f xx (x, y) > 0 und δ(x, y) > 0 (x, y) U ɛ {(x o, y o )} gilt. Also ist f dort (streng) konvex. Somit liegt in (x o, y o ) ein lokales Minimum vor. Gilt δ(x o, y o ) > 0 und f xx (x o, y o ) < 0, sind die obigen Überlegungen für g(x, y) = f(x, y) durchführbar. f ist dann (streng) konkav, und in (x o, y o ) liegt ein lokales Maximum vor. Allgemeiner gilt für Funktionen f D f R n R, die zweimal stetig differenzierbar sind, die folgende Aussage: Es sei f( x o ) =0 erfüllt. Ist dann die Hessematrix H f ( x o ) positiv definit, liegt in x o ein lokales Minimum vor, negativ definit, liegt in x o ein lokales Maximum vor, indefinit, liegt in x o kein Extremun vor, positv semidefinit oder negativ semidefinit, ist eine Entscheidung ohne weitere Untersuchungen nicht möglich. Fortsetzung des Beispiels: Betrachtet wird die Funktion f mit f(x, y) = x 2 y 2xy+ 3 4 ey, für die die stationären Punkte ( 2, 0), ( 3 2, 0), (, ln 4 3 ) ermittelt wurden. 3

14 Mit den zweiten partiellen Ableitungen f xx (x, y) = 2y, f xy (x, y) = 2x 2 = f yx (x, y), f yy (x, y) = 3 4 ey erhält man δ(x, y) = 2y 2(x ) 3 2(x ) = 2y 3 4 ey 4(x ) 2. 4 ey Einsetzen der stationären Punkte ergibt nun δ( 2, 0) < 0 und δ( 3 2, 0) < 0, d.h., in den Punkten ( 2, 0) und ( 3 2, 0) liegen keine Extremwerte vor. Weiterhin ergibt sich für den dritten stationären Punkt δ(, ln 4 3 ) = 2 ln 4 3 > 0, d.h., hier liegt ein Extremwert vor. Wegen f xx (, ln 4 3 ) = 2 ln 4 3 > 0 handelt es sich dabei um ein Minimum..6.3 Die Methode der kleinsten Quadrate Aufgabenstellung: Gegeben seien Wertepaare (x i, y i ), i =..., n. Gesucht ist eine Funktion f, die möglichst gut den durch Wertpaare (x i, y i ) gegebenen Zusammenhang widerspiegelt (Regressionsanalyse). Vorgehen: Ausgangspunkt ist eine Vermutung über die Gestalt von f, die gewisse Parameter a,..., a p enthält (z.b. y = ax + b mit den Parametern a, b). Die Parameter werden durch Lösung der Optimierungsaufgabe min a,...,a p R p i= n (y i f(x i, a,..., a p )) 2 ( ) ermittelt. Die Berechnung der stationären Punkte der Extremwertaufgabe (*) führt im Allgemeinen auf ein nichtlineares Gleichungssystem. Im Folgenden soll der Spezialfall der einfachen linearen Regression betrachtet werden. Der vermutete lineare Zusammenhang lautet dabei y = ax + b. Gesucht sind die Minimalstellen der Funktion ϕ mit ϕ(a, b) := n (y i ax i b) 2, a R, b R. i= Das Gleichungssystem zur Bestimmung der stationären Punkte lautet: ϕ a (a, b) = n 2(y i ax i b)( x i ) = 0, () i= ϕ b (a, b) = n 2(y i ax i b)( ) = 0. (2) i= 4

15 Aus () ergibt sich aus (2) erhält man a n x 2 i + b n x i = n x i y i, i= i= i= a n x i + bn = n y i. i= i= Damit liegt ein lineares Gleichungssystem zur Bestimmung von a, b vor. Es kann in der Gestalt n ( ) a x i y i A = i= b n (*) y i i= n mit der Koeffizientenmatrix A = i= n x 2 i x i i= n x i i= n geschrieben werden. Es wird nun vorausgesetzt, dass mindestens 2 der x i -Werte verschieden sind (anderenfalls ist die Aufgabenstellung sinnlos). Dann folgt det A > 0. Das ergibt sich aus der folgenden Rechnung: n det A = n i= x 2 i n = n x 2 i 2 n i= = n (x i n i= ( ) 2 n x j j= ( n n n ) 2 x j + n x n 2 j j= i= n x j ) 2 > 0. x i i= j= Somit ist das lineare Gleichungssystem (*) eindeutig lösbar. Die Lösung kann z.b. mittels Cramerscher Regel angegeben werden: n n x i y i x i i= i= n y i n n n x i y i n n x i y j i= i= i= j= â = = det A n n x 2 i ( n, x j ) 2 i= j= n x 2 i xi y i i= n n n n x i y i x 2 i y i n n x i y i x j i= i= i= j= i= j= ˆb = = det A n n x 2 i ( n. x i ) 2 i= (â, ˆb) ist der einzige stationäre Punkt. (Die Entscheidung, ob es sich dabei um ein Minimalstelle handelt, wäre an dieser Stelle auch durch Betrachtung des Verhaltens von ϕ an den Rändern des Definitionsgebietes möglich.) Im Folgenden sollen die hinreichenden Bedingungen aus.6.2 angewandt werden. Die zweiten partiellen Ableitungen haben die Gestalt 5 i=

16 ϕ aa (a, b) = 2 n x 2 i, ϕ ab(a, b) = ϕ ba (a, b) = 2 n x i, ϕ bb (a, b) = 2n. i= i= 2 n x 2 i 2 n x i Damit ergibt sich δ(a, b) = i= i= 2 n = 4 det A > 0, x i 2n i= unabhängig von den Parameterwerten a, b. Somit ist die Funktion ϕ streng konvex. Außerdem gilt 2 n > 0, also liegt im stationären Punkt eine globale Minimalstelle vor. Als Ergebnis erhält man min ϕ(a, b) = n (a,b) R 2 y = âx + ˆb. i= x 2 i i= (y i âx i ˆb) 2, und die gesuchte Funktion lautet.6.4 Extremwerte mit Nebenbedingungen Es werden nur Punkte x R n, die den Bedingungen g i ( x) 0, i =,..., m, genügen, bei der Suche nach Extremwerten zugelassen. Es sei M := { x R n g i ( x) 0, i =,..., m} Definition: f D f R n R besitzt an der Stelle x o D f ein lokales Maximum (lokales Minimum) unter den Nebenbedingungen g i ( x) 0, i =,..., m, wenn x o M und f( x o ) f( x) x D f U ɛ { x o } M (f( x o ) f( x) x D f U ɛ { x o } M) für eine geeignete ɛ-umgebung U ɛ { x o } gilt. Im Folgenden wird nur der Spezialfall behandelt, dass alle Nebenbedingungen in Form von Gleichungsrestriktionen vorliegen. Beispiel: Gesucht sind die Extremwerte der Funktion f mit f(x, y) = x 2 +2y 2 unter der Nebenbedingung ϕ(x, y) = y x 2 + = 0. Durch Betrachtung der Höhenlinien der Funktion f kann man erkennen, dass in den Punkten (+ 2 3, 4 ) und ( 2 3, 4 ) jeweils lokale Minima und im Punkt (0, ) ein lokales Maximum vorliegt. Die Lösung kann aber auch gesucht werden, indem die Nebenbedingung in die Gleichung der Zielfunktion f eingesetzt wird: () Einsetzen von y = x 2 liefert die Funktion h mit h(x) := f(x, y(x)) = x 2 + 2(x 2 ) 2. Als notwendige Optimalitätsbedingung ergibt sich daher h (x) = 2x + 4(x 2 )2x = 2x(4x 2 3) = 0. 6

17 Extremwertverdächtig sind somit die Werte x E = 0 und x E2,3 = 2 3. Die zugehörigen y-werte berechnet man aus y = x 2. Aus h (x) = 2(4x 2 3) + 2x 8x erhält man h (0) < 0 und h (+ 2 3) > 0 sowie h ( 2 3) > 0, d.h., im Punkt (0, ) liegt ein lokales Maximum vor, und die Punkte (+ 2 3, 4 ) sowie ( 2 3, 4 ) sind jeweils lokale Minimalstellen. (2) Setzt man nun die Nebenbedingung in der Gestalt x 2 = y + in die Zielfunktion ein, erhält man die Funktion h mit h(y) = 2y 2 + y +. Aus der notwendigen Optimalitätsbedingung h (y) = 4y + = 0 ergibt sich nur die Lösung y E = 4, die unter Berücksichtigung der Nebenbedingung schließlich die Punkte (+ 2 3, 4 ) und ( 2 3, 4 ) liefert. Das lokale Maximum im Punkt (0, ) wird auf diesem Weg nicht gefunden. Der Grund dafür liegt darin, dass aus der Nebenbedingung y folgt und somit y = wie ein Randpunkt gesondert betrachtet werden muss. Dieser Effekt wiederum beruht darauf, dass die durch die Nebenbedingung gegebene Kurve in keiner Rechteckumgebung des Punktes (0, ) als Funktion von y darstellbar ist. Im Folgenden sollen die Extremwerte einer Funktion f D f R 2 R unter der Nebenbedingung ϕ(x, y) = 0 untersucht werden. Dabei wird vorausgesetzt, dass die Funktionen f und ϕ stetig partiell differenzierbar sind. Angenommen, es gelte ϕ y (x o, y o ) 0 für ein (x o, y o ) D f. Nach dem Hauptsatz über implizite Funktionen gibt es dann eine Rechteckumgebung R δ δ 2 (x o, y o ) und eine Funktion g derart, dass die Beziehung ϕ(x, y) = 0 auch in der Gestalt y = g(x) (x, y) R δ δ 2 (x o, y o ) angegeben werden kann. Es sei nun h(x) := f(x, g(x)). Wenn h ein Extremum bei x o besitzt, muss (mit y o = g(x o )) h (x o ) = f x (x o, y o ) + f y (x o, y o ) g (x o ) = 0 gelten. Mit g (x o ) = ϕ x(x o, y o ) ergibt sich f x (x o, y o ) f y(x o, y o ) ϕ y (x o, y o ) ϕ y (x o, y o ) ϕ x(x o, y o ) = 0. Setzt man nun λ o := f y(x o, y o ), so erhält man einerseits ϕ y (x o, y o ) f x (x o, y o ) + λ o ϕ x (x o, y o ) = 0 und andererseits durch Umstellen der Definitionsgleichung für λ o f y (x o, y o ) + λ o ϕ y (x o, y o ) = 0. Zusammenfassend kann man feststellen, dass (x o, y o ) und λ o die Bedingungen f x (x o, y o ) + λ o ϕ x (x o, y o ) = 0 f y (x o, y o ) + λ o ϕ y (x o, y o ) = 0 (*) ϕ(x o, y o ) = 0 erfüllen. 7

18 Ein analoges Vorgehen ist im Fall ϕ x (x o, y o ) 0 möglich. Unter Verwendung der sogenannten Lagrangefunktion L mit L(x, y, λ) := f(x, y) + λ(x, y) kann das System (*) in der folgenden Form geschrieben werden. λ heißt dabei Lagrangemultiplikator. L x (x o, y o, λ o ) = 0 L y (x o, y o, λ o ) = 0 L λ (x o, y o, λ o ) = 0 (**) Der folgende Satz fasst die obigen Überlegungen zusammen: Satz (Multiplikatorenregel von Lagrange): Die Funktion f D f R 2 R besitze an der Stelle (x o, y o ) D f ein lokales Extremum unter der Nebenbedingung ϕ(x, y) = 0. Die Funktionen f und ϕ seien in allen Punkten der Menge {(x, y) R 2 ϕ(x, y) = 0} stetig partiell differenzierbar, und es gelte ϕ x (x o, y o ) 0 ϕ y (x o, y o ) 0. Dann existiert ein λ o R derart, dass das Gleichungssystem (**) erfüllt ist. Beispiel: Für das oben betrachtete Beispiel hat die Lagrangefunktion die Gestalt L(x, y, λ) := x 2 + 2y 2 + λ(y x 2 + ). Daraus ergibt sich das Gleichungssystem L x (x, y, λ) = 2x 2xλ = 2x( λ) = 0 () L y (x, y, λ) = 4y + λ = 0 (2) F λ (x, y, λ) = y x 2 + = 0 (3). Aus (2) erhält man λ = 4y, was durch Einsetzen in () zu 2x( + 4y) = 0 führt. Diese Gleichung ist erfüllt für x = 0 (Fall ) oder y = 4 (Fall 2). Im Fall ergibt sich mit unter Ausnutzung von (3) y = ; im Fall 2 nimmt (3) die Gestalt x 2 = 3 4 an. Somit erhält man x,2 = ± 2 3. Die Lagrangesche Multiplikatorenregel ist nur ein notwendiges Kriterium, die weitere Untersuchung der gefundenen extremwertverdächtigen Punkte ist z. B. durch Betrachtung der Höhenlinien möglich. Für Funktionen f R n R, deren Extremwerte unter den m Gleichungsrestriktionen ϕ i (x,..., x n ) = 0, i =,..., m gesucht werden, kann man in ähnlicher Weise vorgehen. Die Lagrangefunktion hat die folgende Gestalt: L(x,..., x n, λ,..., λ m ) := f(x,..., x n ) + m λ i ϕ i (x,..., x n ). i= 8

19 Wenn f und alle ϕ i, i =,..., m, stetig partiell differenzierbar sind und δϕ ϕ x ( x o )... x n ( x o ) die Matrix.. den Rang m besitzt, dann ist die ϕ m ϕ x ( x o )... m x n ( x o ) Existenz reeller Zahlen λ (o),..., λ(o) m mit L xi (x (o),..., x(o) n, λ (o),..., λ(o) m ) = 0 i =,..., n, L λj (x (o),..., x(o) n, λ (o),..., λ(o) m ) = 0 j =,..., m, ( ϕ j (x (o),..., x(o) n ) = 0 j =,..., m) notwendig dafür, dass an der Stelle x o ein lokales Extremum der Funktion f unter den Nebenbedingungen ϕ i ( x) = 0, i =,... m, vorliegt. 2 Gewöhnliche Differenzengleichungen und Differentialgleichungen 2. Differentialgleichungen 2.. Einführung Gleichungen, in denen (eine oder mehrere) Ableitungen einer gesuchten Funktion einer Variablen enthalten sind, heißen gewöhnliche Differentialgleichungen: F (x, y, y,..., y (n) ) = 0 ist eine gewöhnliche Differentialgleichung der Ordnung n (in impliziter Form). Gesucht sind alle Funktionen y = ϕ(x), die der Differentialgleichung genügen (sogenannte allgemeine Lösung). Im Gegensatz zu den gewöhnlichen Differentialgleichungen kommen bei partiellen Differentialgleichungen partielle Ableitungen von Funktionen mehrerer Veränderlichen vor. Beispiel B: Wachstumsmodell des Volkseinkommens (nach Boulding) Es bezeichnen y(t) das Volkseinkommen zum Zeitpunkt t, c(t) den Konsum zum Zeitpunkt t, i(t) den Umfang der Investitionen zum Zeitpunkt t. Das Modell geht von folgenden Annahmen aus: y(t) = c(t) + i(t), c(t) = α + βy(t) (α 0, 0 < β < ), 9

20 y (t) = γi(t) (γ > 0). Daraus erhält man die Differentialgleichung y (t) = γ(y(t) c(t)) = γ(y(t) βy(t) α) = γ( β)y(t) αγ, in Kurzform y = γ( β)y αγ. Definition: Eine Differentialgleichung der Gestalt y (n) (x) + p n (x)y (n ) (x) + + p (x)y (x) + p o (x)y(x) = q(x) heißt lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung. Ist q(x) 0, heißt die lineare Differentialgleichung homogen, anderenfalls inhomogen. Gilt p i (x) = a i, i = 0,..., n, spricht man von einer linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten. Beispiele:.) y +x 2 y ln xy = 0 ist eine homogene lineare Differentialgleichung 3. Ordnung. 2.) Die Differentialgleichung aus Beispiel B y = γ( β)y αγ ist eine inhomogene lineare Differentialgleichung. Ordnung mit konstanten Koeffizienten. 2.2 Gewöhnliche Differentialgleichungen. Ordnung Beispiel: Die Differentialgleichung y = x besitzt die allgemeine Lösung y(x) = x2 2 + c, d.h., die Lösung stellt eine Kurvenschar dar. Will man aus der Kurvenschar einer allgemeinen Lösung eine Kurve auswählen, die durch einen vorgegebenen Punkt (x o, y o ) verläuft, kann dies durch Einsetzen des Punktes in die allgemeine Lösung geschehen (allerdings nur unter gewissen Existenz- und Eindeutigkeitsbedingungen). Der Punkt (x o, y o ) charakterisiert häufig einen Anfangszustand des jeweils beschriebenen Phänomens; entsprechend wird die Bedingung y(x o ) = y o dann Anfangsbedingung genannt. Im betrachteten Beispiel y = x ergibt y(x o ) = y o die Beziehung y o = x2 o 2 +c, damit c = y o x2 o 2 und schließlich die spezielle (oder partikuläre) Lösung y(x) = x2 2 + y o x2 o Die Methode der Trennung der Variablen Ausgangspunkt ist eine Differentialgleichung der Gestalt y = f(x) g(y) (Differentialgleichung mit trennbaren Variablen). Formal wird wie folgt vorgegangen: y = dy = f(x) g(y) dx 20

21 dy g(y) = f(x)dx dy g(y) = f(x)dx. Beispiel: Für die Differentialgleichung y = y 2x, x 0, ergibt sich mit dieser Regel (unter der Annahme, dass y 0) : y dy = 2x dx ln y + c = 2 ln x + c 2 ln y = 2 ln x + c 3 e ln y = e 2 ln x +c 3 = (e ln x ) 2 e c 3 }{{} =:c 4 >0 y = c 4 x. Für y > 0 folgt dann wegen y = y die Beziehung y = +c 4 x und für y < 0 erhält man y = c 4 x. Es bleibt noch die Frage zu klären, ob die beim obigen Vorgehen ausgeschlossene Funktion y 0 zur allgemeinen Lösung gehört. Einsetzen in die Differentialgleichung zeigt, daß y 0 ebenfalls Lösung ist. In zusammenfassender Form kann die allgemeine Lösung in der Gestalt y = c x, c R beliebig, angegeben werden. Bei Anwendungen in Ökonomie oder Technik sind zusätzliche Voraussetzungen über den Definitionsbereich, z. B. x > 0, häufig anzutreffen. Es soll nun die Frage behandelt werden, unter welchen Voraussetzungen durch einen vorgegebenen Punkt (x o, y o ) genau eine Kurve der Lösungskurvenschar verläuft. Satz: Gegeben sei die Differentialgleichung y = f(x, y). Ist die Funktion f auf einer Rechteckumgebung R ab (x o, y o ) eines Punktes (x o, y o ) stetig und erfüllt die Bedingung f(x, y ) f(x, y 2 ) k y y 2 für alle (x, y ), (x, y 2 ) R a,b (x o, y o ) (*), so hat die Differentialgleichung y = f(x, y) genau eine Lösung in R a,b (x o, y o ), welche die Anfangsbedingung y(x o ) = y o erfüllt. Bemerkung: Hinreichend für (*) ist die Stetigkeit von f y auf R a,b (x o, y o ) Fortsetzung des Beispiels B: Die Differentialgleichung y = γ( β)y αγ geht mit den Abkürzungen a := γ( β), b := αγ in die Form y = ay b über, die mit der Methode der Trennung der Variablen behandelt wer- 2

22 den kann. Die Annahme, dass das Volkseinkommen zum Ausgangszeitpunkt t = 0 den Wert y o besitzt, erfasst man mit der Anfangsbedingung y(0) = y o. Die Lösung kann wie folgt ermittelt werden: dy ay b = dx (y b a ) a ln y b a = t + c ln y b a = ta + c 2 y b a = eat c 3. Schließlich ergibt sich y b a = c 4e at, wobei c 4 > 0 oder c 4 < 0 gilt. Da y = b a ebenfalls Lösung ist, lautet die allgemeine Lösung y = ceat + b a, c R beliebig. Ersetzt man die Abkürzungen wieder durch die Originalsymbole, erhält man y = ce γ( β)t + α β, c R. Wegen y(0) = c + α β = y o folgt c = y o α β, also y(t) = (y o α β )eγ( β)t + α β Lineare Differentialgleichungen. Ordnung Gegeben sei eine Differentialgleichung der Form y + p(x)y = q(x). Die zugehörige homogene Differentialgleichung y + p(x)y = 0 kann stets durch Trennung der Variablen gelöst werden: y = p(x)y dy y = p(x)dx y 0 ln y = p(x)dx + c. Die allgemeine Lösung der homogenen linearen Differentialgleichung. Ordnung lautet somit y h = ce p(x)dx =: cϕ(x), c R, beliebig. Die Struktur der allgemeinen Lösung der (inhomogenen) Ausgangsdifferentialgleichung beschreibt der folgende Satz: Satz: Es seien y s eine (spezielle) Lösung der inhomogenen linearen Differentialgleichung y + p(x)y = q(x) und y h die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung. Dann ist y a := y h + y s die allgemeine Lösung der inhomogenen linearen Differentialgleichung. Beweis:.) Es wird zunächst gezeigt, dass jede Funktion y a der angegebenen Gestalt die Differentialgleichung erfüllt: 22

23 y a(x) = y h (x) + y s(x) = p(x)y h (x) p(x)y s (x) + q(x) = p(x)(y h (x) + y s (x)) + q(x) = p(x)y a (x) + q(x). 2.) Es sei ỹ eine spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung. Es wird gezeigt, dass dann die Funktion ỹ y s die homogene Differentialgleichung erfüllt. (ỹ(x) y s (x)) = ỹ (x) y s(x) = p(x)ỹ(x) + q(x) + p(x)y s (x) q(x) = p(x)(ỹ(x) y s (x)). Damit werden die folgenden Schritte zur Lösung einer inhomogenen linearen Differentialgleichung nahe gelegt:.) Bestimmung der allgemeinen Lösung y h der homogenen Differentialgleichung, 2.) Bestimmung einer speziellen Lösung y s der inhomogenen Differentialgleichung, 3.) Angabe der allgemeinen Lösung gemäß y a := y h + y s. Bestimmung einer speziellen Lösung einer inhomogenen linearen Differentialgleichung Ein Verfahren, das stets angewendet werden kann (sofern es möglich ist, die Integrale in geschlossener Form auszuwerten), ist die Methode der Variation der Konstanten (J. Bernoulli): Dazu wird ein spezieller Ansatz für die Gestalt von y s gemacht: Ansatz: y s (x) = c(x) ϕ(x), wobei ϕ eine Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung und c eine zu bestimmende Funktion von x bezeichnen. Einsetzen des Ansatzes in die Differentialgleichung ergibt c (x)ϕ(x) + c(x)ϕ (x) + p(x)(c(x) ϕ(x)) = q(x) c (x)ϕ(x) + c(x)[ϕ (x) + p(x)ϕ(x)] = q(x). Da ϕ Lösung der homogenen Differenentialgleichung ist, muss ϕ (x)+p(x)ϕ(x) = 0 gelten. Somit erhält man c (x) ϕ(x) = q(x) und daraus c (x) = q(x), also eine Bestimmungsgleichung für c(x). ϕ(x) Die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung lautet dann: y a (x) = c ϕ(x) + c(x) ϕ(x). Beispiel: Gegeben sei die Differentialgleichung y + y x = x 2 +, x > 0..) Im ersten Schritt wird die allgemeine Lösung der homogenen linearen Differentialgleichung bestimmt: 23

24 y = y x dy dx y = y 0 x ln y = ln x + c (Wegen x > 0 gilt x = x). y = e c e ln x = c 2 e ln x = c 2 x y h = c x, c R. 2.) Im zweiten Schritt wird eine spezielle Lösung der inhomogenen linearen Differentialgleichung mittels Variation der Konstanten bestimmt. Ansatz: y s = c(x) x Einsetzen in die Differentialgleichung liefert: c x c x 2 + c x 2 = x 2 + c = x x 2 + c(x) = x x 2 + dx = 2 t 2 dt = t 3 2 = 3 (x2 + ) K. Da nur eine spezielle Lösung benötigt wird, kann K = 0 gewählt werden. Somit ergibt sich y s = x 3 (x2 + ) ) Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung lautet nun y a = c x + x 3 (x2 + ) 3 2 = x (c + 3 (x2 + ) 3 2 ). Eine Probe kann durch Einsetzen in die Differentialgleichung erfolgen. 2.3 Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung 2.3. Allgemeine Eigenschaften Gegeben sei eine lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung in der allgemeinen Gestalt : y (n) + p n (x)y (n ) + + p (x)y + p o (x)y = q(x). () Gesucht ist eine n-mal differenzierbare Funktion y, die die Differentialgleichung () und außerdem die Beziehungen y(x o ) = η o, y (x o ) = η,..., y (n ) (x o ) = η n (2) erfüllt (Anfangswertaufgabe (AWA). Satz: Wenn die Funktionen p o,..., p n ; q stetig auf dem Intervall [a, b] mit x o (a, b) sind, dann besitzt die Differentialgleichung () genau eine Lösung y, welche die Bedingungen (2) erfüllt. Wie für lineare Differentialgleichung. Ordnung kann man zeigen, dass y a = y h + y s gilt, wobei y a die allgemeine Lösung der Differentialgleichung, 24

25 y h die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung und y s eine spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung bezeichnen. Definition: Die Funktionen ϕ, ϕ 2,..., ϕ n heißen im Intervall [a, b] linear unabhängig, wenn aus der Beziehung c ϕ (x) c n ϕ n (x) = 0 x [a, b] stets c = c 2 =... = c n = 0 folgt. Anderenfalls (d.h., wenn c ϕ (x) + + c n ϕ n (x) = 0 x [a, b]) c i 0) heißen die Funktionen linear abhängig. Beispiele:.) Die Funktionen ϕ (x) =, ϕ 2 (x) = x, ϕ 3 (x) = x 2 sind im Intervall [a, b] linear unabhängig. Das ergibt sich aus den folgenden Überlegungen: Es gelte c + c 2 x + c 3 x 2 = 0 x [a, b]. Einsetzen von drei x-werten x, x 2, x 3 [a, b], x i x j, i j, führt auf eine homogenes lineares Gleichungssystem zur Bestimmung von c, c 2, c 3, das nur die triviale Lösung c = c 2 = c 3 = 0 besitzt. (Die Koeffizientendeterminante ist eine sogenannte Vandermondesche Determinante, die unter den getroffenen Annahmen stets von Null verschieden ist.) 2.) Die Funktionen ϕ (x) =, ϕ 2 (x) = x, ϕ 3 (x) = 5x + 6 sind linear abhängig im Intervall [a, b], denn es gilt 6ϕ (x) 5ϕ 2 (x) + ϕ 3 (x) = 0 x [a, b]. Definition: Ist jede der n Funktionen ϕ,..., ϕ n mindestens (n )-mal differenzierbar, so heißt ϕ (x) ϕ 2 (x)... ϕ n (x) ϕ W ϕ,...,ϕ n (x) := (x) ϕ 2 (x)... ϕ n(x)... ϕ (n ) (x) ϕ (n ) 2 (x)... ϕ (n ) n (x) die Wronskische Determinante des Funktionensystems ϕ,..., ϕ n. Satz: Sind die Funktionen ϕ,..., ϕ n linear abhängig in [a, b] und (n )- mal differenzierbar, so gilt W ϕ,...,ϕ n (x) = 0 x [a, b]. Äquivalent dazu ist die folgende Aussage: Gilt W ϕ,...,ϕ n (x) 0 für mindestens ein x [a, b], so sind die Funktionen ϕ,..., ϕ n linear unabhängig in [a, b]. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht. 25

26 Definition: Jedes System von n linear unabhängigen Lösungen einer homogenen linearen Differentialgleichung n-ter Ordnung heißt Fundamentalsystem (FS) von Lösungen der Differentialgleichung. Satz: Die Lösungen ϕ,..., ϕ n einer linearen homogenen Differentialgleichung n-ter Ordnung bilden genau dann ein Fundamentalsystem, wenn die Wronskische Determinante die Beziehung W ϕ,...,ϕ n (x) 0 erfüllt. Bemerkung: Für Lösungen einer homogenen linearen Differentialgleichung n-ter Ordnung gilt (für ein Intervall [a, b] aus dem gemeinsamen Definitionsbereich der Lösungen) entweder W ϕ,...,ϕ n (x) 0 x [a, b] oder W ϕ,...,ϕ n (x) = 0 x [a, b]. Satz: Gegeben sei die homogene lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung y (n) + p n (x)y (n ) p o (x)y = 0 mit auf [a, b] stetigen Funktionen p k, k = 0,..., n. Dann besitzt die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung die Gestalt y(x) = c ϕ (x) c n ϕ n (x), wobei {ϕ,..., ϕ n } ein Fundamentalsystem von Lösungen der Differentialgleichung und c,..., c n beliebige reelle Konstanten bezeichnen Fundamentalsysteme für homogene lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten Gegeben sei die Differentialgleichung y (n) + a n y (n ) a y + a o y = 0 (3) mit den konstanten Koeffizienten a i, i = 0,..., n. Die Funktionen des Fundamentalsystems werden mit dem Ansatz: y(x) = e x gesucht. Einsetzen des Ansatzes in die Differentialgleichung ergibt dann λ n e λx + a n λ n e λx a λe λx + a o e λx = 0 und weiter }{{} e λx (λ n + a n λ n + + a λ + a o ) = 0. 0 x λ Die enstandene Gleichung λ n + a n λ n a λ + a o = 0 (4) heißt charakteristische Gleichung der Differentialgleichung. P n (λ) := λ n + a n λ n a λ + a o wird auch charakteristisches Polynom genannt. (4) besitzt n (ggf. komplexe) Lösungen λ i, i =,..., n. 26

27 Satz: a) Besitzt die charakteristische Gleichung (4) n verschiedene reelle Lösungen λ,..., λ n (λ i R, λ i λ j, i j), dann ist ϕ (x) = e λ x, ϕ 2 (x) = e λ 2x,..., ϕ n (x) = e λnx ein Fundamentalsystem für (3). b) Besitzt (4) nur reelle Lösungen, wobei gewisse Lösungen mehrfach auftreten, so werden jeder k-fachen Nullstelle λ i die k Funktionen ϕ i (x) = e λ ix, ϕ i2 (x) = xe λ ix,..., ϕ i,k (x) = x k e λ ix zugeordnet. Beispiel: Gegeben sei die Differentialgleichung y 3y 2y = 0. Die charakteristische Gleichung für diese Differentialgleichung lautet λ 3 3λ 2 = 0. Sie besitzt die Nullstellen λ = 2, λ 2,3 =. Damit ist e 2x, e x, xe x ein Fundamentalsystem von Lösungen für die gegebene Diffrentialgleichung und die allgemeine Lösung der Differentialgleichung lautet y = c e 2x + c 2 e x + c 3 xe x. Um auch dann ein Fundamentalsystem von Lösungen angeben zu können, wenn nicht alle Nullstellen der charakteristischen Gleichung reell sind, werden Grundkenntnisse über komplexe Zahlen benötigt. Deshalb wird im Folgenden ein kurzer Abschnitt zu komplexen Zahlen eingefügt Komplexe Zahlen Komplexe Zahlen wurden bereits zu Beginn des 6. Jahrhunderts eingeführt. Ausgangspunkt der Überlegungen war der Wunsch, den Zahlenbereich so zu erweitern, dass auch z.b. die Gleichung x 2 + = 0 eine Lösung besitzt. Mit der imaginären Einheit i, die durch i 2 = definiert ist, lautet die algebraische Form einer komplexen Zahl: z = α + iβ, α R, β R. α heißt dann Realteil von z (α = Re(z)), und β heißt Imaginärteil von z (β = Im(z)). Ist α = 0, spricht man von einer imaginären Zahl. Ist β = 0, stellt z eine reelle Zahl dar.(mit der Einführung der komplexen Zahlen wurde also eine Erweiterung des Zahlenbereiches vorgenommen.) Die komplexen Zahlen können in der sogenannten Gaußschen Zahlenebene dargestellt werden. 27

28 Die trigonometrische Form einer komplexen Zahl z = α + iβ lautet z = r(cos ϕ + i sin ϕ), 0 r, π < ϕ π. r = α 2 + β 2 =: z heißt Betrag von z; ϕ =: arg z heißt Argument von z. Aus den Beziehungen α = r cos ϕ und β = r sin ϕ erhält man tan ϕ = β α und damit (unter Beachtung des Vorzeichens von α und β) eine Möglichkeit, bei Kenntnis von α und β den Wert ϕ zu bestimmen. Es gilt die Eulersche Formel: e α+iβ = e α (cos β + i sin β). Rechenregeln für komplexe Zahlen: Es seien z = α + iβ, z 2 = α 2 + iβ 2. (a) z = z 2 = α = α 2 β = β 2 (b) (α + β ) ± (α 2 + iβ 2 ) = α ± α 2 + i(β ± β 2 ) (c) (α + iβ ) (α 2 + iβ 2 ) = (α α 2 β β 2 ) + i(α β 2 + β α 2 ) (d) α +iβ α 2 +iβ 2 = (α +iβ )(α 2 iβ 2 ) (α 2 +iβ 2 )(α 2 iβ 2 ) = α α 2 +β β 2 + i β α 2 α β α 2 2 +β2 2 α 2 2 +β2 2 Die Paare z = α + iβ, z 2 = α iβ heißen (zueinander) konjugiert komplexe Zahlen (Schreibweise: z 2 = z ). Für ein Paar zueinander konjugiert komplexer Zahlen z = α+iβ, z = α iβ gilt z + z = 2α, z z = α 2 + β 2. Daraus ergibt sich (x z)(x z) = x 2 2αx+α 2 +β 2. Setzt man nun 2α =: p und α 2 +β 2 =: q sowie (ohne Beschränkung der Allgemeinheit) β > 0, so erhält man α = p 2, β = q α 2 = q ( p 2 ( 2) mit q p 2 2) > 0. z = α + iβ und z mit α = p 2 und β = q ( p) 2 2 sind daher Lösungen der Gleichung x 2 + px + q = 0, p R, q R, falls die sogenannte Diskriminante D := p2 2 q negativ ist. Beispiel: Gegeben sei die Gleichung λ 2 + 2λ + 3 = 0. Es gilt D = ( ) 2 3 = 2 < 0. Also lauten die beiden Nullstellen λ,2 = ± i D = ± i 2. Ein Polynom n-ten Grades x n + a n x n a x + a o läßt sich stets in folgender Weise darstellen: k l P n (x) = (x x i ) (x 2 + p j x + q j ), i= j=k+ wobei 2(l k) + k = n, x i, p j, q j R, und die quadratischen Ausdrücke 28

29 x 2 + p j x + q j, j = k +,..., l, keine reellen Nullstellen besitzen Fundamentalsystem einer homogenen linearen Differentialgleichung bei komplexen Nullstellen des charakteristischen Polynoms Die Ableitung einer komplexwertigen Funktion einer reellen Variablen ist durch (z(x)) = (u(x) + iv(x)) = u (x) + iv (x) definiert. Es sei λ = α + iβ. Dann gilt (e λx ) = d dx (eλx ) = [e αx (cos(βx) + i sin(βx))] =(e αx cos(βx)) + i(e αx sin(βx)) = e αx ( β sin(βx) + iβ cos(βx)) +αe αx (cos(βx) + i sin(βx)) = e αx [sin(βx) (iα β) + cos(βx)(α + iβ)] } {{ } i(α+iβ) = (α + iβ)e αx (cos(βx) + i sin(βx)) = λe λx, d.h., die Rechenregel gilt wie im Reellen. Bemerkung: Für e λ mit λ = α + iβ gelten auch die aus dem Reellen bekannten Potenzgesetze; insbesondere ist (e λ ) p q = e p q λ. Ist e λx, λ komplex, Lösung einer homogenen linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten, so sind sowohl Realteil als auch Imaginärteil Lösungen. Darüber hinaus sind Realteil und Imaginärteil linear unabhängig. Satz: a) Besitzt die charakteristische Gleichung (4) einer homogenen linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten auch komplexe Lösungen α ± iβ, so sind die beiden Funktionen ϕ (x) = e αx cos(βx), ϕ 2 (x) = e αx sin(βx) linear unbhängige Lösungen der Differentialgleichung (). b) Tritt ein Paar α ± iβ k-fach auf, so werden ihm die Funktionen ϕ (x) = e αx cos(βx), ϕ 2 (x) = e αx sin(βx), ϕ 3 (x) = xe αx cos(βx), ϕ 4 (x) = xe αx sin(βx),. ϕ 2k (x) = x k e αx cos(βx), ϕ 2k (x) = x k e αx sin(βx) zugeordnet. Beispiel: Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms seien λ,2 = 0, λ 3 = 4, λ 4,5 = + 3i, λ 6,7 = 3i. 29

30 Dann ergibt sich das Fundamentalsystem, x, e 4x, e x cos(3x), e x sin(3x); xe x cos(3x), xe x sin(3x) Bestimmung einer speziellen Lösung einer inhomogenen linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten Bei linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten und spezieller Gestalt der Störfunktion q(x) kann man y s in Form eines (an q(x) orientierten) Ansatzes suchen: q(x) besitze die Gestalt q(x) = e x [Q m (x) cos(βx) + Q r (x) sin(βx)], (5) wobei α und β reelle Parameter, Q m ein Polynom vom Grad m 0 und Q r ein Polynom vom Grad r 0 bezeichnen. Wichtige Spezialfälle von (5) sind die folgenden: a) α = 0, β = 0 : q(x) = Q m (x), b) β = 0 : q(x) = e αx Q m (x), c) α = 0, Q m (x) = 0 : q(x) = Q r (x) sin(βx). Für die weiteren Betrachtungen seien α, β aus (5) festgelegt. Weiterhin sei u := max{m, r}. Fall : Ist α + iβ keine Nullstelle des charakteristischen Polynoms der homogenen Differentialgleichung, wählt man den Ansatz y s = e x [R u (x) cos(βx) + R u (x) sin(βx)], wobei R u, R u Polynome vom Grade u mit noch zu bestimmenden Koeffizienten bezeichnen. Fall 2: Ist α + iβ k-fache Nullstelle des charakteristischen Polynoms der homogenen Differentialgleichung (d.h., q(x) ist Lösung der homogenen Differentialgleichung, Resonanzfall) wählt man den Ansatz y s = x k e x [R u (x) cos(βx) + R u (x) sin(βx)]. Bemerkung: Gilt q(x) = q (x) q l (x), wobei die q i in der Form (5) darstellbar sind, so ist der Ansatz y s = y s () y s (l) möglich, wobei y s (i) einen zu q i gehörenden Ansatz bezeichnet. Beispiele:.) Gegeben sei die Differentialgleichung y + 2y = 24x