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1 Schriftliche Abschlussprüfung an Fachoberschulen/ Prüfung zum Erwerb der Fachhochschulreife in beruflichen Bildungsgängen im Schuljahr 00/0 Hauptprüfung: Nach- bzw. Wiederholungsprüfung: Schularten: Fachoberschule - Fachrichtung Agrarwirtschaft - Fachrichtung echnik Fachschule - Fachbereich echnik Fach: Prüfungsdauer: Mathematik 0 Minuten Hilfsmittel: - eine eingeführte gedruckte Formelsammlung (ohne zusätzliche Eintragungen, ohne ausführliche Musterbeispiele, kein Wissensspeicher mit Beispiellösungen), - ein aschenrechner ohne Computer-Algebra-System (ohne Handbuch) Aufgabenschwerpunkte: BE: Pflichtteil: Aufgabe Elementarmathematik 0 Aufgabe Ganzrationale Funktionen 0 Aufgabe Vektorrechnung 0 Aufgabe Wahrscheinlichkeitsrechnung 0 Wahlteil: Aufgabe 5 Analysis 0 Aufgabe Analysis 0 Aufgabe 7 Vektorrechnung 0 Hinweise: Die Schüler haben alle Pflichtaufgaben und zwei der drei Wahlaufgaben zu lösen. Dabei muss durch den Schüler auf dem Deckblatt eindeutig gekennzeichnet werden, welche der Wahlaufgaben nicht bewertet werden soll.

2 Pflichtaufgabe N+ Elementarmathematik BE. Geben Sie den Wert von d an, der die folgende Gleichung erfüllt. d 5 +,5 + 0,d = 5 d,. Ein Verkäufer erhöht den Preis eines Produkts im Jahr 0 gegenüber dem Vorjahr um,00. Dies entspricht einer Steigerung von %. Geben Sie den Preis des Produkts im Jahr 00 an.. Stellen Sie die gegebene Formel nach c um. a + c A = h. Eine Konservendose hat einen Durchmesser von 75 mm und eine Höhe von cm. Bestimmen Sie das Volumen dieser Dose in Liter..5 Eine quadratische Gleichung der Form x + px + q = 0 hat die Lösungen x = 9 und x =. Ermitteln Sie p und q.. Vereinfachen Sie den folgenden erm soweit wie möglich. ( x + )( x + ) 8x x 9.7 Die Länge der Seiten eines gleichseitigen Dreiecks wird vervierfacht. Der Flächeninhalt des nun entstandenen Dreiecks beträgt das n-fache des ursprünglichen Dreiecks. Geben Sie den Wert für n an. 0 Fachoberschule/Fachhochschulreife Haupttermin Mathematik (technisch) 00/0

3 Pflichtaufgabe N+ Ganzrationale Funktionen BE.0 Gegeben ist die reelle Funktion f mit der Gleichung f (x) = x + x und Df = R. Der Graph der Funktion f im kartesischen Koordinatensystem heißt G f.. Geben Sie die Gleichung der Funktion f als Produkt aus Linearfaktoren an.. Weisen Sie rechnerisch nach, dass der Graph G f punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung verläuft.. Ermitteln Sie die Gleichung der angente t an der Stelle x = und geben Sie den Steigungswinkel α an...0 Gegeben sei weiterhin eine quadratische Funktion p mit der Gleichung 8 5 p(x) = x + x und Dp = R. Der Graph der Funktion p im kartesischen Koordinatensystem heißt G p... Begründen Sie, dass sich die Graphen G f und x = berühren. G p an der Stelle.. Die Normale n im Wendepunkt des Graphen G f schneidet den Graphen G p im Koordinatenursprung und in einem weiteren Punkt S. Geben Sie die Gleichung der Normalen n und die Koordinaten des Schnittpunktes S an. 0 Fachoberschule/Fachhochschulreife Haupttermin Mathematik (technisch) 00/0

4 Pflichtaufgabe N+ Vektorrechnung BE..0 Gegeben sind die Punkte A( ; ; ), B( ; ; 5) und ( ; 0; ) C... Weisen Sie nach, dass die Punkte A, B und C ein Dreieck bestimmen... Ermitteln Sie rechnerisch den Flächeninhalt des Dreiecks ABC...0 Gegeben sind die Geraden g und h durch ihre Gleichungen g : x = + λ k und 9 h : x = + µ 5 mit λ; µ ; k R... Ermitteln Sie den Wert für k so, dass die Geraden g und h senkrecht zueinander verlaufen... Im Folgenden gilt k = 0. Weisen Sie nach, dass sich die Geraden g und h in einem Punkt S schneiden. Geben Sie die Koordinaten des Punktes S an und ermitteln Sie den Schnittwinkel ϕ zwischen den Geraden g und h. 0 Fachoberschule/Fachhochschulreife Haupttermin Mathematik (technisch) 00/0

5 5 Pflichtaufgabe N+ Wahrscheinlichkeitsrechnung BE. Die nächste Fußball-Europameisterschaft findet in insgesamt acht Städten Polens und der Ukraine statt. Die vier Viertelfinalspiele, die zwei Halbfinalspiele und das Finale sollen in verschiedenen Städten ausgetragen werden. Bestimmen Sie die Anzahl der Möglichkeiten, die genannten Spiele den betreffenden Städten zuzuordnen...0 Die meistverkauften Fanartikel sind -Shirts (), Fahnen (F) und Schminke (S). Aus Erfahrung ist davon auszugehen, dass 0 Prozent der Fans -Shirts erwerben, jeder vierte eine Fahne und einer von neun Schminke kauft... Stellen Sie den Sachverhalt mit den entsprechenden Einzelwahrscheinlichkeiten in einem Baumdiagramm dar... Betrachtet wird nun das Ereignis E: Ein Fan kauft mindestens zwei Artikel. Geben Sie das Ereignis E in aufzählender Mengenschreibweise an und ermitteln Sie dessen Wahrscheinlichkeit.. Ein Stürmer besitzt eine refferwahrscheinlichkeit von 85 Prozent. Ermitteln Sie, wie oft dieser mindestens auf das or schießen muss, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 98 Prozent wenigstens einen reffer zu erzielen. 0 Fachoberschule/Fachhochschulreife Haupttermin Mathematik (technisch) 00/0

6 Wahlaufgabe 5 Analysis BE 5.0 Gegeben sind die reellen Funktionen f t : f t t x ( x) e ( x ) = ; t R ; t 0. Die Graphen der Funktionen f t werden mit G t bezeichnet In dieser eilaufgabe gilt: t =. 5.. Geben Sie für die Funktion f den Definitionsbereich und die Koordinaten der Achsenschnittpunkte an. 5.. Geben Sie das Verhalten von f im Unendlichen an. 5.. Berechnen Sie für f die Koordinaten des relativen Extrempunktes und geben Sie dessen Art an. (ohne Nachweis) 5.. Bestimmen Sie eine Gleichung der angente t an G im Punkt W ; 8 e. Geben Sie den Anstiegswinkel dieser angente t an. t eine t t Stammfunktion der Funktionen f t ist und geben Sie eine Stammfunktion F an. t x 5..5 Zeigen Sie, dass die Funktion F ( x) = e x 5.. Der Inhalt der Fläche, die vom Graphen G und den Koordinatenachsen vollständig eingeschlossen wird, soll durch eine Gerade x = a mit a R, a > 0 auf A = FE begrenzt werden. Ermitteln Sie diesen Wert a. Fachoberschule/Fachhochschulreife Haupttermin Mathematik (technisch) 00/0

7 7 Wahlaufgabe 5 Analysis BE mit 0 < x < sind die Eckpunkte eines Dreiecks im IV. Quadranten. Ermitteln Sie den Wert x so, dass dieses Dreieck ABC maximalen Flächeninhalt hat und geben Sie diesen Flächeninhalt an Die Punkte A ( 0 ; 0 ), B ( x ; 0 ) und C x ; f ( x) 0 Fachoberschule/Fachhochschulreife Haupttermin Mathematik (technisch) 00/0

8 8 Wahlaufgabe Analysis BE.0 Gegeben sind die reellen Funktionen f a : f a ( x) a cos ( x ) = ; a R ; a 0 ; im Intervall Die Graphen der Funktionen f a werden mit G a bezeichnet. π 0 ;...0 In dieser eilaufgabe gilt: a =... Berechnen Sie die Koordinaten und die Art der relativen Extrempunkte von f... Weisen Sie nach, dass der Graph G an der Stelle Wendepunkt besitzt... Ermitteln Sie eine Gleichung der angente t an G bei π x = einen π x =... Zeigen Sie, dass die Gerade g: y = x + π den Graph G an der π Stelle x = schneidet...5 Bestimmen Sie den Schnittwinkel zwischen dem Graph G und π der Geraden g an der Stelle x =... Der Graph G und die Koordinatenachsen schließen eine Fläche A vollständig ein. Ermitteln Sie den Inhalt dieser Fläche A. Fachoberschule/Fachhochschulreife Haupttermin Mathematik (technisch) 00/0

9 9 Wahlaufgabe Analysis BE..0 In dieser eilaufgabe gilt: a R und a > 0... Der Graph G a jeder dieser Funktionen f a schließt mit den Koordinatenachsen im. Quadranten eine Fläche vollständig ein. Geben Sie eine Stammfunktion von f a an. Berechnen Sie den Wert a, für den der Inhalt dieser Fläche 8 FE beträgt... Ermitteln Sie den Wert a so, dass die Funktionen f a an der Stelle den Anstieg m = besitzen. x = π 0 Fachoberschule/Fachhochschulreife Haupttermin Mathematik (technisch) 00/0

10 0 Wahlaufgabe 7 Vektorrechnung BE 7.0 In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte ( ; ; 0 ) B ( ; ; ); C ( ; ; ) und S a ( a ; a ; ) mit a R gegeben. A, 7..0 Die Punkte A, B und C sind die Eckpunkte eines Dreiecks. 7.. Bestimmen Sie die Größe des Innenwinkels am Punkt C. 7.. Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes D so, dass das Viereck ABCD in dieser Orientierung ein Parallelogramm ist. 7.. Das Dreieck ABC liegt in einer Ebene E. Geben Sie jeweils eine Gleichung der Ebene E in Parameter- und in Koordinatenform an. 7.. Es gibt Punkte S a, die von der Ebene E den Abstand 7 LE haben. Berechnen Sie die Koordinaten eines dieser Punkte S a Vom Punkt S 7 wird das Lot auf die Ebene E gefällt. 7.. Geben Sie eine Gleichung der Lotgeraden l an. 7.. Berechnen Sie die Koordinaten des Lotfußpunktes L und des Spiegelpunktes S Bestimmen Sie das Volumen der Pyramide ABCS 7 mit der Spitze S Es gibt genau einen Wert a, für den der Abstand der Punkte C und S a minimal wird. Ermitteln Sie diesen Wert a. 0 Fachoberschule/Fachhochschulreife Haupttermin Mathematik (technisch) 00/0

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