BADEN-WÜRTTEMBERG. Prüfung der Fachhochschulreife

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1 MINISTERIUM FÜR KULTUS, JUGEND UND SPORT BADEN-WÜRTTEMBERG Prüfung der Fachhochschulreife an Berufskollegs zum Erwerb der Fachhochschulreife u.a. I Prüfungsfach I Mathematik Püfungstag 03. Juni 005 Bearbeitungszeit Zu bearbeiten 8.00 Uhr bis Uhr (180 Minuten) Die vorgelegten drei Aufqaben sind zu bearbeiten. Hilfsmittel Zugelassene Formelsammlung Zugelassener Taschenrechner Zeichengeräte Hinweisefür die Fachlehrkraft Der Fachlehrkraft werden vorgelegt:. Kaufmännisches BK 111BKFremdsprachen 1BKWirtschaftsinformatik,KaufmännischeBerufsschulemit ZusatzqualifikationFachhochschulreife: 7 Aufgaben. Alleanderen Bildungsgänge: Aufgaben Hierunter befinden sich für jeden Bildungsgang genau möqliche Aufgaben, aus denen die Fachlehrkraft 3 von den Schülern zu bearbeitende Aufqaben auswählt.

2 an Berufskollegs zum Erwerbder Fachhochschulreife u.a. 005 Fach: Ma t h e m a t i k Aufgabe Das Schaubild einer ganzrationalen Funktion.Grades hat in W(O 11,5) einen Wendepunkt mit waagrechter Tangente (Sattelpunkt). An der Stelle x = 3 hat die Funktion den größten Funktionswert; dieser Funktionswert ist 8. Bestimmen Sie den zugehörigen Funktionsterm. 1. Gegeben ist die Funktion (mit (x) = _~X +X3 +~ ; x E l!l Ihr Schaubild ist K. Zeigen Sie, dass K genau zwei mit waagerechter Tangente besitzt und geben Sie deren Koordinaten an. Berechnen Sie die Koordinaten der Wendepunkte. Ermitteln Sie (z.8. mit dem Taschenrechner) die beiden Schnittpunkte von K mit der x-achse und begründen Sie, dass es keine weiteren Schnittpunkte von K mit der x-achse geben kann. Zeichnen Sie K Gegeben ist die Gerade g mit der Gleichung y = x _.!; XE Zeichnen Sie die Gerade g in das bestehende Koordinatensystem ein. Die Gerade g und die Kurve K begrenzen eine Fläche. ErmittelnSie (z.b. mit dem Taschenrechner) die Schnittpunkte von g mit K. Bestimmen Sie den Inhalt dieser Fläche. J!!.. 1. Für welche Werte von u mit -1:0;U:O;3; U E J!!.ist die Steigung der Tangente an Kam größten? Begründen Sie Ihre Antwort.

3 .. PRUFUNG DER FACHHOCHSCHULREIFE Fach: Ma t h e m a t i k Aufgabe Das Schaubild mitder Gleichung y =-eax +~. x + 1 geht durch den Punkt P(11). Bestimmen Sie a. 1 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = e"x- ~e. x + 1, XE JR. Ihr Schaubild ist Kr. Untersuchen Sie Kr auf Hoch- und Tiefpunkte. ZeichnenSie Kr im Bereich - s x s,5. Begründen Sie, dass Kr keinen Wendepunkt hat x pie Funktion h mit h(x) =e - e + 1, XE JR hat das Schaubild Kh' Zeichnen Sie Kh in das vorhandene Koordinatensystem ein und untersuchen Sie Kh auf gemeinsame mit Kr im Bereich - s x s,5. Können Kh und Kr außerhalb dieses Bereichs gemeinsame haben? Begründen Sie Ihre Antwort. u Bestimmen Sie die Zahl u > 0 so, dass f(f(x) - h(x) )dx = 0 wird. 0 Erklären Sie das Ergebnis durch Vergleich zweier geeigneter Flächenstücke und machen Sie diese in der Zeichnung kenntlich. 8 Geben Sie die Gleichung der Tangente an Kh im Punkt P(11) an. Wie weit ist der Schnittpunkt dieser Tangente mit der x-achse vom Schnittpunkt von Kh mit der x-achse entfernt? 5

4 Fach: M a t h e m a t i k Aufgabe Das gezeichnete Schaubild hat die Gleichung y = a. sin(.! x) + b. 1Y /-~ Bestimmen Sie a und b sowie die exakte Periodenlänge. Begründen Sie Ihre Entscheidung. 3 Gegeben ist die Funktion fmit f(x)=-3cos(0,5x)+1; xe[-7;7]. Ihr Schaubild ist K. Berechnen Sie für K die exakten Koordinaten Zeichnen SieK. der Hoch-, Tief- und Wendepunkte Zeigen Sie, dass die Gerade t mit der Gleichung y = 1,5x + 1-1,5n- eine Wendetangente von K ist Berechnen Sie den Inhalt A der Fläche, welche von K, der Wendetangente der y-achse im 1. und. Quadranten eingeschlossen wird. t und 3. Gegeben ist die Gerade gmit y=~x-; XED. n- Zeichnen Sie die Gerade g in das Koordinatensystem von Aufgabenteil 3.. DieGerademitx = u (0:0;u :0;n-) schneidet die Gerade g im Punkt P und das Schaubild K im Punkt Q. Berechnen Sie u so, dass die Länge der Strecke PQ maximal ist 8

5 an Berufskollegs zum Erwerbder Fachhochschulreife u.a. 005 Fach: Ma t h e m a t i k Aufgabe In einem kartesischen Koordinatensystem sind die A(OI11 ), B(11-1), C(3/11), 0(-113/), und G(3115)gegeben. E(OI11) H G Die Eckpunkte A, B, C, 0, E, F, G und H sind die Eckpunkte eines schiefen Prismas. A B.1..3 'Geben Sie die Koordinaten der Fund H an. 3 Weisen Sie nach, dass die Grundfläche ABCO des Prismas ein Rechteck ist. Prüfen Sie, ob der Inhalt der Seitenfläche BCGF größer ist als der Inhalt der Grundfläche des Prismas...5 Weisen Sie nach, dass sich die Raumdiagonalen durch die A und G sowie C und E schneiden. Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes und den SchnittwinkeL In welchem Punkt durchstößt die Kante BC die x1x-ebene? Die Grundfläche ABCO wird durch die x1x-ebenein zwei Teilflächen zerteilt. Begründen Sie anhand einer Skizze, warum eine Teilfläche ein Trapez und die andere Teilfläche ein Dreieck ergibt. Bestimmen Sie das Verhältnis der Längen der beiden Grundseiten des Trapezes. 7. Für einen Punkt P gilt in Bezug auf das schiefe Prisma die Beziehung AP= r.ab+s.ao+(.ae. Für welche Werte von r, s, (liegt der Punkt P im Innern des Prismas? Prüfen Sie, ob der Punkt P(1,513,511,5) im Innern des Prismas liegt.

6 an Berufskollegs zum Erwerb der Fachhochschulreife u.a. 005 Fach: M a t h e m a t i k Aufgabe Gegeben ist folgendes Gleichungssystem: X1 + 5X + X3 = 1O x1+x+x3=5-3x1 + 3X + X3 = 5 Bestimmen Sie den allgemeinen Lösungsvektor. Wie lautet die Lösung des Gleichungssystems, bei der X1= 1 ist? 5. Für die Matrizen N und X besteht die Gleichung (X -N)(X -N) = (X -N).X +X. Begründen Sie, dass die Matrizengleichung nur sinnvoll sein kann, wenn die "Matrix N gleich viele Zeilen wie Spalten hat. Lösen Sie die Gleichung nach X auf. 5.3 Drei nachdem Leontief-Modellverflochtene Zweigwerke Z1' Z und Z3 eines Betriebes beliefern sich gegenseitig und den Markt. Die Technologiematrix A ist gegeben durch 0, 0, o,1 A= 0, 0,1 0,. 0, 0, 0,) [ In einer Produktionsperiode liefern Z1 0 ME, Z 31O ME und Z3 150 ME an den Markt. Bestimmen Sie die zugehörige Input-Output-Tabelle In einer anderen Produktionsperiode produziert Z1 50 ME und Z 100 ME. Das Zweigwerk Z3 liefert 150 MEan den Markt. Berechnen Sie den Produktions- und den Marktabgabevektor für diesen Produktionszeitraum Untersuchen Sie, ob Z undz3 je 100 ME an den Marktliefern können, wenn Z1 100 ME produziert, aber nichts an den Markt abgibt. -

7 PRÜFUNGDER FACHHOCHSCHULREIFE Fach: Ma t h e m a t i k Aufgabe [!J [!J Für ein Schulfest plant eine Klasse folgendes Es werden zwei gleiche Glücksräder verwendet, die gemäß der Abbildung in vier gleich große Sektoren mit den Ziffern 0, 1, 0, 5 eingeteilt sind. Jedes Feld kann nach der Betätigung der Räder mit der gleichen Wahrscheinlichkeit angezeigt werden. Für ein Spiel wird jede der beiden Scheiben einmal gedreht. Die Höhe des Gewinnes hängt von den beiden angezeigten Ziffern ab. Einsatz und Gewinnchancen zeigt folgendes Plakat an: Ein Spiel kostet 1. Gewinnchancen: Beide Ziffern gleich: WngleicheZiffern und Ziffernsumme mindestens 5: Andere Ziffernpaare: 0,0 Verloren.1 Erstellen Sie für ein Spiel ein geeignetes Baumdiagramm und geben Sie für jedes mögliche Ziffernpaar die zugehörige Wahrscheinlichkeit an!. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse: A: Die Ziffernsumme ist 10. B: Die Ziffernsumme beträgt mindestens 5. C: Das Ziffernpaar ist nicht 55. 0: Mindestens ein Glücksrad zeigt die Ziffer 0 an Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass im Verlauf von drei Spielen genau zweimal gleiche Ziffern erscheinen? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass im Verlauf von drei Spielen höchstens einmal gleiche Ziffern erscheinen? 7 Geben Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit an, mit der einem Spieler, 0,0 bzw. 0 ausbezahlt werden. Berechnen Sie den erwarteten Auszahlungsbetrag für 10 Spiele. Wieviel Gewinn bleibt dabei der Klasse? 3 Ermitteln Sie, wie hoch der Auszahlungsbetrag bei gleichen Ziffern höchstens sein darf, damit die Klasse langfristig keinen Verlust erwarten muss.

8 PRÜFUNGDER FACHHOCHSCHULREIFE Fach: Ma t h e m a ti k Aufgabe 1 (Seite 1/) 1.1 f(x) = ax +bx3 +cx +dx+e ('(x) = ax3 +3bx +cx+d ("(x) =1ax+bx +c (0)=1,5 ~ e=1,5 ('(0) = 0 ~ d = 0 ".(0)=0 ~ c=o f(3)=8 ~ 81a+7b+1,5 =8 ('(3)=0 ~ 108a+7b=0 Ergebnis: f(x) = _.! X + x3 + 1,5 1. f(-x) =-lx + X3+ 1,5, ('(x) = _X3 + 3X, f"(x) = -3(( + x, f"'(x) = -x + ('(x)=o ~ x(3-x)=0 ~ x=o v x=3 w.z.b.w. f"'(x) = 0 ~ x(-x)=0 ~ 8(0/1.5); H(318) x=o v x= (x)=o ~ Nk11 ); x=-1vx",,07 N(,071 ) ("'(0) = ("'() =- ~(011,5); W(15,5) "", K hat nur zwei Schnittpunkte mit der x-achse, da Hochpunkt und Sattelpunkt oberhalb der x-achse liegen und K wie gezeigt keine weiteren Stellen mit waagerechter Tangente hat.

9 Fach: Ma t h e m a ti k Aufgabe 1 (Seite /) 1.3 Kundgschneidensichin p(-1-10,75) und in W(15,5); W ist Wendepunkt von Kund f'() = ; g ist also eine Wendetangente von K und deshalb kann es keine weiteren Schnittpunkte von Kund g geben J( -"x +x +") - ( x- ) dx=1,8 1. Tangentensteigung ist maximal für f"(u) =0 oder am Rand des gegebenen Intervalls. f"(u) = 0 :::;. u(-u)=o:::;. u=o v u= f'(o)= 0 Randwerte r() = f'(-1) = f'(3)=o Ergebnis: Es gibt die beiden Stellen u =-1 v u = im angegebenen Intervall,für die die Steigung von K mit dem Wert maximalist. '-

10 PRÜFUNGDER FACHHOCHSCHULREIFE Fach: M a t h e m a t i k Aufgabe (Seite 1/).1 Punktkoordinaten einsetzen: -eza.z+~. +1=1 ~ ea - e =0 ~ a=1 ~ a=..!.. x 1 f(x)=ez --e.x+1 1 x 1 1 x f'(x)="e -"e=" ez -e [ J y,b 1 x f"(x) = -e ~. f'(x)=o<::vx=; Tiefpunkt bei T(11); f"()=fe>o 1 x wegen f"(x) = -ez >0 keinen Wendepunkt. gibt es 7..3 Kh siehe oben; gemeinsame : mit GTR 8(11); Einzigkeitdes Schnittpunkts: for x> ist f(x) < h(x), for x< gilt f(x) > h(x); x 1 x alternativ: h(x) = f(x) ~ e --e.x+1=e -e+1 ~ x= daher nur genau ein gemeinsamer Punkt. 3 3

11 Fach: M a t h e m a t i k Aufgabe (Seite /) u 1 1 f(x)-h(x) = --e. x+e => f(f(x)-h(x»)dx =--e.u +e.u =--e,u(u-) 0 u => f(f(x) 0 - h(x») dx =o ~ u = (wegen u > 0) f(f(x)-h(x»)dx 0 gibt den Flächeninhalt der von der y-achse und Krund Kh eingeschlossenen Fläche an; für u > gibt - f(f(xhh(x»)dx den Flächeninhalt der von Kr und Kh und der Geraden x =u eingeschlossenen Fläche an; die Flächeninhaltedieser Flächen sind genau für u = gleich. 8 u.5 Gleichung der Tangente in P(11): 1 h'(x)=.:!.ex, h'()=!!. y=!!.,(x-)+1 oder alternativ y",1,3591x-1,7188 (mitgtr) Nullstelle von h: xh =.In(e -1) '" 1,085 Schnittpunkt der Tangente mit der x-achse: Xt = e -1", 1, e Abweichung:Xt-xh",0,181 5 I

12 Fach: M a t h e m a t i k Aufgabe Aus der Zeichnung: a = - (y-differenz der relativen Extrema = und Spiegelung von y=sin(x) an der x-achse) b = 1 (Verschiebung um 1 in y-richtung) P. d I " 7i' eno enange: P=T= 7i' ' 3. f'(x) = 1,5sin(0,5x); f"(x) = 0,75cos(O,5x); f"'(x) = -0,375sin(O,5x) Hoch- und Tiefpunkte f'(x)=o <::::>x=o v x = 7i v x= -7i' f"(o)=0,75>0 /\f(o) =- :::> T(O 1-) f"(7i')=-0,75<0 /\f(7i')= :::>H1(7i'1) f"(-7i') =-0,75 <0 /\f(-7i')= :::>H(-7i'1) Wendepunkte f"(x)=o<::::>x=7i'vx=-7i' f"'(:t7i')= +0,375", o /\ f(:t7i')= 1 :::> ~/(:tff 11) Zeichnung:. " 10. ~K' Aus ~(7i' 11) :::> ('(li') = 1,5 /\ f(7i') =1 Wendetanqente: y = 1,5(x-11')+1 = 1,5x-1,511'+1. n; n; A = f(f(x)-f(x»dx = f(-3cos(0,5x)+1-1,5x -1+ 1,5ff)dx'" 1, Zielfunktion: d(u)=g(u)-f(u)=3cos(0,5u)+~u-3, 7i' O::;'U::;'ff Bedingung: d'(u)=o :::>u",1,38 Randwertbetrachtung: d(o)= 0; d(ff) = 0; d(1,38)'" 0,3. Für U'" 1,38ist die Länge der Strecke PO maximal. 8

13 Fach: Ma t h e m a t i k Aufgabe (Seite 1/).1. AE'[~]~ OF.OB+AE ~ F(j<13); OH.OD+AE ~ H(-11* AB= OC AB= 3; BC = ; OC = 3; AO= ; => - -- [-1 ] [ ] [-1 ] ( ] BC-AO 3 ~.3 AB.AO=.(-1)+3.+(-1).=0 => ABl.AC => ABCO ist ein Rechteck..~ B -1 7 G c Se["m'äoh. -~' BCGF BC= ; BF= ~ [ ] [ ] ][ cosa Bi5.73F [ ~.~ IBCI.IBFI 3. 3=>a,.,8,19 ] Fläche des Parallelogramms BCGF: Ap =IBCI.IBFi-sina =3..sin8.19,., 8,9 FE Grundfläche ABCO: AR =IAOI.IABI=3..J,., 15,3 FE => Ap < AR. Gerndedu,," Auod G' (AGh=OA.,oAG=[:].,H] Ge"ded,"" C,nd E. (ECb.OE+t.EC.rn+t.U] 3r-3t=0 r-~ (AG) n (EC) => 5r+3t 5r-5t=0 = ~ ) t =- os=m+~hhw~ 8(\5J3.51.5)

14 PRÜFUNGDER FACHHOCHSCHULREIFE Fach: Ma t h e m a t i k Aufgabe (Seite 1). Fortsetzung Spitzer Schnittwinkel: coscp= cp '" 7,8 ÄG.E(5 = IAGI.IECI /.J59.M! / rhu] 1~;:371"'0,377.5 (BC)x~OBHBC; x{ln] 1 x1x-ebene: X3=0 ~ -1+r=0 ~ r=- x-[jinhn51(3,5151 ) 3 Die Grundfläche ABCD wird durch die x1x-ebene in ein Trapez und ein Dreieck zerteilt, weil der Punkt A in der x1x- Ebene, der Punkt B unterhalb und die C und 0 oberhalb der Koordinatenebene liegen. Skizze: A c Nach.5 halbiert wegen r =1der Punkt S1 die Kante BC. Das Verhältnis der Grundseiten ist somit : 1. B. Der Punkt P liegt im (nnern, wenn gilt 0< r,s,t <1. Für P{1,513,511,5)gilt AP = r.ab+s.ad+t.ae 1,5-1 O. r-s=1'5 r=1 0<r<1,5 =r. 3 +s. +t. o ~ 3r+s=,5 s=1 O<s<1 [ 1,5] [-1 ] [ ] [ ] -r+s+t=1,5 ) t=t ) 0<f<1 Somitmuss P innerhalbdes Prismas liegen. ) ~

15 PRÜFUNGDER FACHHOCHSCHULREIFE Fach: Ma t h e m a t i k Aufgabe 5 (Seite 1/) 5.1 Es gilt: => => [ ] [ ] [ ] Damit ergibt sich für den allgemeinen Lösungsvektor x =~ 355 [ +~ ] [ -~ ], te JR. Für t =.1f ist X1= 1, Xz = - und x3 = 1:. f\lternativ kann man auch x1 = 1 in das ursprüngliche Gleichungssystem einsetzen und erhält dann mit Hilfe des Gleichungssystems 5xz + X3 = 9 xz + X3 = 1 ebenfalls die Lösung x1 = 1, Xz = - und x3 =.1f. 3xz+x3 = 8 5. Die Matrix N muss quadratisch sein, da X - N und N dasselbe Format haben und (X -Nf in der Gleichung vorkommt. Es gilt: (X -N)(X -N)=(X -N).X +X ~ Xz-XN-NX+Nz=Xz-NX+X Nz-XN=X ~ Nz =XN+X ~ Nz=X(N+E) ~ Nz(N+Er1 =X ~ Es gilt x = (E -Ar1ji und damit [ -1 0,8-0, -0, x= -0, 0,9-0,. 310 = 800. ] [ ] ( -0, -0, 0, ]

16 Fach: M a t h e m a t i k Aufgabe 5 (Seite /) Somit erhält man als Input-Output-Tabelle: Z1 Z Z3c!..""9 X Z Z Z (Alle Angaben in ME) Aus (E -A)x = 9 erhält man mit 50 Y1 x~ [ 1~O ] und 9 = [ 1~0] das Gleichungssystem [ 0,8-0, -O,1 5 Y1-0, 0,9-0,. 100 = Y. => -0, -0, 0,7 x 150 ] [ ] [ 0,8.50-0,.100-0,1x = Y1-0,.50+ 0, ,. x = Y -0,.50-0,.100+0,7x = 150 Aus der letzten Gleichung folgt x = 75O. Damit ergibt sich Y = 750 und Y1=0. Somit ist ] x= 1~50~ und 9 = 7~0 [ 750 ] [ 150 ]. 0,8-0, -0,1-1 0 ] [ Esgilt:x= -0, 0,9-0,.100 = ~go. [-0, -0, 0,7 ] [ Also können Z und Z3 unter den Bedingungen X1= 100 und Y1= Oden Markt wie gewünscht beliefern. ]

17 Fach: M a t h e m a t i k Aufgabe (auch ein Baum/eine Tabelle ohne Berücksichtigung der Reihenfolge wären richtig) 3. P(A) = 0,05 P(B) =.0,15+3.0,05 = 0,375 P(C) = 1-P(A) = 0,9375 P(D) = 1-.0,05 = 0,75.3 P(Ziffern sind gleich) = 0,5 +0,05 +0,05 = 0,375 P(Ziffern sind ungleich) = 1-0,375 = 0,5 P(Ziffern sind zweirnal gleich) = 3.0,375.0,5",0, P(Ziffern sind dreimal ungleich) = 0,53 P(Ziffern sind einmal gleich) = 3.0,5.0,375 P(Ziffern höchstens 1-mal gleich) = 0, ,5.0,375 '"0,8 3. P( Gewinn) = 0,375 (gleiche Ziffern) P(0,0 Gewinn) = P(B)- 0,05 = 0,375 P(O Gewinn) = 1-.0,375=0,5.5 (0,375.+0,375.0,).10=9 ; erwartete Auszahlung: 9 Einnahme: 1O ; also Gewinn: ,375.x + 0,375.0, = 1<:=>x '", ; höchstens, -