Methodische Lösungswege zu 70364

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1 Methodische Lösungswege zu Auflage 010. Taschenbuch. S. Paperback ISBN Format (B x L): 17 x cm Gewicht: g schnell und portofrei erhältlich bei Die Online-Fachbuchhandlung beck-shop.de ist spezialisiert auf Fachbücher, insbesondere Recht, Steuern und Wirtschaft. Im Sortiment finden Sie alle Medien (Bücher, Zeitschriften, CDs, ebooks, etc.) aller Verlage. Ergänzt wird das Programm durch Services wie Neuerscheinungsdienst oder Zusammenstellungen von Büchern zu Sonderpreisen. Der Shop führt mehr als 8 Millionen Produkte.

2 Methodische Lösungswege zu Mathematik für die Fachhochschulreife mit Stochastik und GTR Bearbeitet von Mathematik-Lehrern und Ingenieuren an beruflichen Schulen (Siehe nächste Seite) VERLAG EUROPA-LEHRMITTEL Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG Düsselberger Straße Haan-Gruiten Europa-Nr.: 70395

3 Autoren des Buches Methodische Lösungswege zu Mathematik für die Fachhochschulreife mit Stochastik und GTR Josef Dillinger Bernhard Grimm Gerhard Mack Thomas Müller Bernd Schiemann München Sindelfingen, Leonberg Stuttgart Ulm Stuttgart Lektorat: Bernd Schiemann Bildentwürfe: Die Autoren Bilderstellung und -bearbeitung: YellowHand GbR, 7357 Köngen, Das vorliegende Buch wurde auf der Grundlage der aktuellen amtlichen Rechtschreibregeln erstellt. 1. Auflage 010 Druck Alle Drucke derselben Auflage sind parallel einsetzbar, da sie bis auf die Behebung von Druckfehlern untereinander unverändert sind. ISBN: Alle Rechte vorbehalten. Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der gesetzlich geregelten Fälle muss vom Verlag schriftlich genehmigt werden. 010 by Verlag Europa-Lehrmittel, Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG, 781 Haan-Gruiten Umschlaggestaltung: Idee Bernd Schiemann, Stuttgart; Ausführung: Braunwerbeagentur, 77 Radevormwald und GP Neumann, 97 Rimpar Satz, Grafik und Bildbearbeitung: YellowHand GbR, 7357 Köngen, Druck: Strauss GmbH, Mörlenbach

4 Vorwort Die Methodischen Lösungswege zu Mathematik für die Fachhochschulreife mit Stochastik sind ein didaktisch aufbereiteter Lösungsband. Damit finden Fachbuch und Formelsammlung eine wertvolle Ergänzung, vor allem auch für Phasen des selbstorganisierten Lernens. Für die schnelle, gezielte Orientierung im Buch sind jeweils Kapitel, Teilkapitel sowie spaltenweise die Aufgabennummern angegeben. Um ein Maximum an Übersicht bei der Benutzung zu gewährleisten, wird eine klare Gliederung bei der Darstellung der Lösungswege verwendet und z. B. auch das Ende jeder Aufgabe durch einen Trennstrich markiert. Für zeichnerische Lösungen von Aufgaben, die durch Selbsttätigkeit der Schüler gelöst werden sollen, sind jeweils entsprechend sorgfältig aufbereitete Darstellungen z. B. von Tabellen, Baumdiagrammen oder Schaubilder von Funktionen vorhanden. Entsprechend den Hauptabschnitten des Lehrbuchs enthält das Lösungsbuch Lösungswege zu den Kapiteln Ihre Meinung interessiert uns! Teilen Sie uns Ihre Verbesserungsvorschläge, Ihre Kritik aber auch Ihre Zustimmung zum Buch mit. Schreiben Sie uns an die -Adresse: Winter 009/010 Die Verfasser 3

5 Arbeiten mit dem Buch Methodische Lösungswege zu Mathematik für die Fachhochschulreife mit Stochastik Wie arbeite ich mit dem Buch? Aufbau der methodischen Lösungswege: In der obersten Zeile finden Sie das Kapitel, zu dem die Aufgaben der Seite gehören. 1 Algebraische Grundlagen Hier finden Sie die Angabe der Teilkapitel für die folgenden Lösungen. Werden Bilder aus dem Lehrbuch für die Lösung einer Aufgabe benötigt, findet man in der ein entsprechendes Icon: 0.1 Ausführliche Lösung zu der Aufgabe 1 auf der Seite 0 im Lehrbuch. Ein Hinweis auf eine Tabelle im Lehrbuch zeigt Wege zur Aufgabenlösung auf. 5.1 Ausführliche Lösung zu der Aufgabe 1 auf der Seite 5 mit der im Lehrbuch. Tabelle 1 Benötigt man eine Formel zur Lösung einer Aufgabe, findet man den entsprechenden Formelhinweis mit der Seitenangabe. A = π r 9.1 A = π r Ausführliche Lösung zu der Aufgabe 1 auf der Seite 9 im Lehrbuch mit Anwendung der Formel von Seite 6 im Lehrbuch: y = a x + y S. Seite 6

6 Inhaltsverzeichnis 1.1 Term Gleichung Definitionsmenge Logarithmengesetze Funktionen und Gleichungssysteme Betragsfunktion Ungleichungen Quadratische Funktionen Lösungsverfahren für LGS Grafische Lösung eines LGS Potenzfunktionen Allgemeine Wurzelfunktionen Arten von quadratischen Wurzelfunktionen Funktion des dritten Grades Nullstellenberechnung bei biquadratischen Funktionen Nullstellenberechnung mit dem Nullprodukt Nullstellenberechnung durch Abspalten von Linear faktoren Arten von Nullstellen Symmetrie bei Funktionen Umkehrfunktionen Stetigkeit von Funktionen Geometrische Grundlagen Körper gleicher Querschnittsfläche Spitze Körper Abgestumpfte Körper Kugelförmige Körper Einheitskreis Winkelberechnung Stochastik 3.1 Anwendungen der Stochastik Einstufige Zufallsexperimente Ereignisarten Häufigkeiten Statistische Wahrscheinlichkeit Klassische Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit von verknüpften Ereignissen Baumdiagramm Faires und unfaires Gewinnspiel Varianz und Standardabweichung Erste Ableitung f (x) Differenzialquotient Änderungsraten Ableitungsregeln Höhere Ableitungen Newtonsches Näherungsverfahren (Tangentenverfahren) Extremwertberechnungen Randextremwerte Differenzierbarkeit von Funktionen Monotonie Tangenten und Normalen in einem Kurvenpunkt Tangenten parallel zu einer Geraden Zusammenfassung Tangentenberechnung Exponentialfunktion Einführung in die Integralrechnung Stammfunktionen ganzrationaler Funktionen Krummlinig begrenzte Fläche Flächen für Schaubilder mit Nullstellen Flächenberechnung im Intervall Musteraufgabe zu gelifteten Schaubildern Flächenberechnung mit Näherungsverfahren Rotation um die x-achse Rotation um die y-achse

7 Inhaltsverzeichnis Zusammenfassung von Rotationskörperarten Mechanische Arbeit W Kostenrechnung Optimierung einer Oberfläche Optimierung einer Fläche Flächenmoment Sammellinse einer Kamera Gebirgsmassiv Sinusförmige Wechselgrößen Effektivwertberechnung Anwendungen in der Differenzialrechnung Flächenintegrale mit dem GTR berechnen Programmerstellung mit dem GTR Werte eines Schaubildes grafisch ermitteln Flächenintegrale berechnen Tangenten an das Schaubild K f Lösung linearer Gleichungssysteme (LGS) mit dem GTR Algebraische Grundlagen Quadratische Funktionen Geometrische Grundlagen Nullstellen Exponentialfunktionen Sinusfunktion und Kosinusfunktion Kurvendiskussion Flächenberechnungen Kurvendiskussion mit ganzrationalen Funktionen Extremwertberechnung mit ganzrationalen Funktionen e-funktionen Extremwertaufgaben Dachbodenausbau Boxen für Ersatzteillager Hochwasserpegelstand Übungsaufgaben zum GTR Casio fx Übungsaufgaben zum GTR TI-8 Plus Mathematische Zeichen, Abkürzungen und Formelzeichen

8 11.1 a) (x 6 ) = x (x + ) Terme ausmultiplizieren, zusammenfassen und dann nach x auflösen 8x = x x 8x = x x + 7x = 0 : b) (x 1 )(3x ) = 6 (x + )(x ) Terme ausmultiplizieren, zusammenfassen und dann nach x auflösen 6x 7x + = 6x 1x 8 6x + 1x 5x = 50 : 5 c) _ x + = 5 Gleichung mit 5 multiplizieren, 5 um den Nenner wegzubringen x + 10 = d) _ x + a = 1 Gleichung mit multiplizieren, um den Nenner wegzubringen x + a = + x e) _ x a b = Gleichung mit multiplizieren, um den Nenner wegzubringen x a b = 8 + a + b x = a + b + 8 : f) _ 3x 5 5 = _ x 3 ( 5 ) Gleichung mit 0 multiplizieren, um den Nenner wegzubringen (3x 5 ) = 5 (x 3 ) Terme ausmultiplizieren, zusammenfassen und dann nach x auflösen 1x 0 = 10x 15 10x + 0 x = 5 : 11. a) Auflösen nach g: h = 1_ g t : t h_ t Auflösen nach t: h = 1_ g t : g t = h_ g Îã t = 6 Î wh_ g 7

9 b) Auflösen nach R 1_ R = 1_ + _ 1 R 1 R gemeinsamen Nenner bilden 1_ R = R + R 1 R 1 R Bruch stürzen R R 1 R 1 Auflösen nach R 1 1_ = 1_ R 1 R 1_ R gemeinsamen Nenner bilden 1_ = _ R R R 1 R R Bruch stürzen R 1 _ R R R Auflösen nach R 1_ = 1_ R R 1_ R 1 gemeinsamen Nenner bilden 1_ = _ R R 1 R R R 1 Bruch stürzen R _ R R 1 R a) Definitionsmenge D: Wert unter der Wurzel muss größer gleich Null sein. Linksterm D l : x + $ 0 : x $ 1 Rechtsterm D r : x 8 $ : x $ l r { $ } lr Lösungsmenge L Îw x + = Îw x 8 (Gleichung quadrieren) x + = x 8 x = x x = 5; x = 5 [ D { 5 } b) Definitionsmenge D: Nenner darf nicht Null werden. Linksterm D l : x + Þ 0 x Þ D l = IR \ { } Rechtsterm D r : x Þ 0 x x Þ D l = IR \ { } l r { } Lösungsmenge L _ 3x 1 x + = _ 3x (x + ) ( x) x (3x 1) ( x) = ( 3x) (x + ) ausmultiplizieren und sortieren 3x + 7x = 3x x + + 3x + x + 11x = 6 x = 6_ 11 ; x = 6_ 11 [ D { 11} 6_ 1.6 Logarithmengesetze 16.1 a) x = log 3 3 = x ; 3 = 5 = x Exponentenvergleich: A = π r Seite 15 b) x = log Îw Îw = x ; Îw = 1/ = x Exponentenvergleich: c) 81 = 3 x log 3 log 3 = log 3 3 x = x log 3 3 = x 1 = 3 x Exponentenvergleich: 8

10 d) 10 3 = 10 x Exponentenvergleich: 10 3 = 10 x log a) log 10 1 = x 1 = 10 x 1 = 10 0 b) log = x 10 = 10 x 10 = 10 1 c) log e 1 = x 1 = e x 1 = e 0 d) log 3 1_ 7 = x 1_ 7 = 3x ; 1_ 3 3 = 3 3 = 3 x 16.3 a) log a (3 u) = log a a u b) log a 1_ u = log a 1 log a u = 0 log a u = a u c) log _ u3 a v = log a u3 log a v = 3 log a a 16. a) log 16 Basis 10 Taste log; die Zahl 16 in den Rechner eingeben und log betätigen b) log 111 Basis 10 Taste log; die Zahl 111 in den Rechner eingeben und log betätigen c) log 8 = log 6 Basis 10 Taste log; die Zahl 6 in den Rechner eingeben und log betätigen d) log Îw 100 = log 10 Basis 10 Taste log; die Zahl 10 in den Rechner eingeben und log betätigen 1 e) ln 16 Basis e Taste ln; die Zahl 16 in den Rechner eingeben und ln betätigen f) ln 111 Basis e Taste ln; die Zahl 111 in den Rechner eingeben und ln betätigen g) ln 8 Basis e Taste ln; die Zahl 8 in den Rechner eingeben und ln betätigen,079 = h) ln 8 = ln 8 Basis e Taste ln; die Zahl 8 in den Rechner eingeben und ln betätigen 9

11 16.5 a) log 1 wähle Basis 10 log; log 1 = log 1 log 1, = 0, = b) log 3 1 wähle Basis 10 log; log 3 1 = log 1 log 3 1, = 0,77 11 = c) log 1 wähle Basis 10 log; log 1 = log 1 log = 1, = 0,6006 d) log 5 1 wähle Basis 10 log; log 5 1 = log 1 log 5 1, = 0,69897 = 17.1 a) (x + ) + 6 = x + 0 Binom auflösen x + x = x + 0 x 10 x = 10 : b) (17 + 0x ) = 8 11 (Nenner wegbringen) 11 (17 + 0x ) = 8 11 ausmultiplizieren und sortieren x = x = 0 : 80 x = _ _ c) 6 (x + 7 ) = 1 17 (x ) 17 (x ) (Nenner wegbringen) 6(x + 7) = 17 (x ) ausmultiplizieren und sortieren 6x + = 17x 68 6x = 11x : 11 d) x_ 5 3_ = x ( 5 ) 16x 15 = 10x x x = 150 : 6 10

12 17. a) Auflösen nach h F 1 = F h π R (πr ) F 1 π R = F h : F F π R 1 F Auflösen nach R F 1 = _ F h π R R F 1 R = _ F h π : F 1 _ F h π F 1 b) Auflösen nach h v = Îw g h (Wurzel wegbringen) v = g h : ( g) _ g c) Auflösen nach I H = I N Îw r + l Îw r + l (Nenner wegbringen) H Îw r + l = I N : N I H Îw r l N Auflösen nach l H = I N Îw r + l H Îw r + l = I N Îw r + l = _ I N H Îw r + l : H (quadrieren) r + l = ( _ I N H ) r Îã l = 6 Î w _ ( I N H ) r ; l 6 Î wi _ N H d) Auflösen nach l A = _ l + l 1 b : b A_ b = l + l 1 l 1 l _ l 1 Auflösen nach b A = _ l + l 1 b : (l 1 + b ) _ l 1 l 17.3 a) Definitionsmenge D Îw x x $ x $ 100 : $ { $ } R b) 1 Îw x x. 100 x (Nenner Þ 0). {. } R c) log a (x + ) x {. } R 11

13 17. a) Definitionsmenge D _ x 9 x = _ 5 Lösungsmenge L ; R \ { 0 } (Nenner Þ 0) _ x 9 x = _ 5 x 5 5 (x 9 ) = x 5x 5 = x x + 5 { 5 } b) Definitionsmenge D _ 15ac x = _ 9bc 6bd ; R \ { 0 } ; b, d Þ 0 Lösungsmenge L _ 15ac x = _ 9bc 6bd = _ 9c 6d 15ac 6d_ 9c = x _ 90ad 9 = x; { 10ad } x 6d_ 9c c) Definitionsmenge D Î w x + 1 = Î w x 11 ; Dl : x + 1 $ 0; x $ 1 D r : x 11 $ 0; x $ 11 D = D l D r = { x x $ 11 } R Lösungsmenge L Î w x + 1 = Î w x 11 (quadrieren, sortieren) x + 1 Î w x = x 11 x Î w x : = Î w x + 1 (quadrieren und nach x auflösen) 16 = x x = 15; [ Probe: Îw 16 = Î w (w) { 15 } d) Definitionsmenge D 7 + Î w x + 7 = 3; x + 7 $ 0; x $ 7; { $ } R Lösungsmenge L 7 + Î w x + 7 = 3 7 : Î w x + 7 = (quadrieren; nach x auflösen) x + 7 = 16 7 x = 9; [ Probe: 7 + Îw 16 = 3 (w) { 9 } 17.5 a) 10 = _ 10 b) min 1 = 1_ min c) a bc (a + b ) = ( ) 1 a 1

14 17.6 a) 10 = 1_ 10 b) 1_ 10 3 = 10 c) 1_ m = m d) m V_ = Vm 17.7 a) m 3 = m 3 = 1 m 3 b) m = m = 1 m c) m = m = 11 m = 1_ 1 = = b) xx (n x ) = x (n x ) 1 x = _ n x x = n a) (a + b ) 0 c) xm 1 y n 1 y 3 y n + x = xm x 1 y n y 1 y 3 m + y n y x m x d) _ n + x n = n _ n x x 1 n x n 1 = n1 _ n = n 1 = n 1_ = _ y3 y 3 x = 1_ 3 x = 3 e) ( (n ) 1 ) n a = n n a n = n a n = n a n 0 = n a f) (n m ) 3 (n m 3 ) = n 1 m 6 5 n 10 m = 15 n 1 n 10 m 6 m 15 = _ m1 n 1 n 17.9 a) Î 3 ww _ x 3 x = 3 Îwww x 3 x 9 = 3 Îw x 6 = (x 6 ) 1_ 3 = x 6_ 3 = 9 b) n + m Îwwww (x ) 3n + 3m = n + m Îwwww (x 6 ) (n + m ) = ( x 6(n + m) ) n + 1_ m = 6 c) an Îwww 3 n (a + b ) = ( 3 n(a + b) an ) 1_ = 3 n (a + b ) an = 3 _ a + a b = b_ a = 3 3 b_ a = 3 a Îww a) log = x; 10 x = 100 = 10 b) log = x; 10 x = 300 = 10,77 c) log e,718 3 = x; e x =,718 3 = e 1 d) log 1_ 3 = x; ( 1_ ) x = 3; x = 3 = a) log a u = log a u b) log _ m Î w n a p = log 3 a (m n 1_ p ) 3 = log a m + log a n 1_ + log a p 3 = log a 1_ log p a a c) log 3 Îww a n = log a n _ 3 = _ 3 log n a 13

15 17.1 a) 3 log 10 = 3 1 = 3 b) log 8 = log 8 = 0, = c) ln 5 Îww 500 = ln(500) 1_ 5 = 1_ ln 500 = 0, 6,16 = 5 d) ln 5 30 = 30 ln 5 = 30 1,609 = a) log 56 wähle Basis e ln: log 56 = _ ln 56 ln = b) log 7 wähle Basis e log 7 = _ ln ln 7 1,386 9 = 1,95 91 = c) log wähle Basis e log = _ ln 56 ln 16 5,55 17 =,77 59 = d) log Îw wähle Basis e log Îw = ln Îw 6 00 =,38 0 ln 8,079 = Quadrant I: 1 (1 1) Quadrant II: 1) Quadrant III: 3 Quadrant IV: ( Quadrant I:.. 0 Quadrant II:,. 0 Quadrant III:,, 0 Quadrant IV:., Abgelesen aus Bild 1: 3 m = _,5 3 = 3_ = 0. P (3 6), P 1 (1 1) m = y y P P1 x P x = _ 6 1 P1 3 1 = 5_ = 1.1 y = 0 1_ 3 x + 3 = 0 1_ 3 x = 3 1_ 3 x = 3 x = 9 N (9 0) 1. y = 0 _ 3 x + 3 = 0 _ 3 x = 3 _ 3 x = 3 Die Steigung wird doppelt so groß, die Auslaufzeit halbiert. 1

16 .1 1 (0 0 ( 0 3 ( (0 5 (0 0 6 ( 0 7 ( (0 3) P 6 x 3 3 P 5 P 8 P 7 1 P 1 P P P 3 x 1 x. a) m = _ 1 = _ = = _ 10 5 = b) x = 1 x = x = 3.3 Punktprobe für P und Q: P ( 3) 3 Þ 3_ nicht erfüllt, Q ( 3,5),5 = 3_ ( 3),5 =,5 erfüllt,. a) m = 5 y = f(x) = 5 x + b P ( ) = 5 + b b = 1 b) P ( 1 5), Q ( 7) m = y y Q P x Q x = 7 ( 5) P ( 1) = _ 1 =, y = g(x) =, x + b 5 mit Q ( 7) gilt 7 =, + b b =,6.5 a) P ( 3), Q ( ) m = y y Q P _ = 1_ = 0,5 y = g(x) = 0,5 x + b mit P ( 3) gilt 3 = 0,5 + b b = m = y = x + b A ( 1) 1 = + b b = 3 x Q x P = 3 b) g(x) = 0 0,5 x + = 0 h(x) = 0 x 3 = 0 3_ c) Schnittpunkt S für g(x) = h(x): 0,5 x + = x 3 5_ x = 7 x = _ 1 S 5 =,8 y S = h(x S ) y S = _ 1 3 = = 13 5 _ 5 =,6 15

17 .6 a) Geradengleichungen durch die Eckpunkte: f: y = 5; g: y = 1; h: m = y y D A x D x A = _ = _ 1 = oder m = y y C B x C x B = _ = _ 1 = y = x + b Punkt A ( 1) einsetzen: 1 = + b b = 7 Punkt B (8 1) einsetzen: 1 = 8 + b b = 31 y D (3 5) C (9 5) 5 y = y = x 1 A ( 1) B (8 1) 3 5 b) d 1 (x) = m x + b: m = y y C A x C x = _ 5 1 A 9 = _ 7 d (x) = _ 1 7 x + b mit A ( 1) in d 1 gilt: 1 = _ 7 + b b = 1_ 7 d _ 1 7 1_ 7 d (x) = m x + b: m = y y D B x D x = _ 5 1 B 3 8 = _ 5 d (x) = _ 5 x + b mit D (3 5) in d gilt: 5 = 3 ( 5 + _ 1 5 = _ 37 d 5 ( ) _ 5 _ ) + b b = 5 c) Diagonalenschnittpunkt d 1 (x ) = d (x ) : _ 7 x 1_ 7 = _ 5 x + _ 37 _ x = x = 6 x 35 S = _ 11 = 5,5 y S = d 1 (x S ) = _ 7 _ 11 1_ 7 = _ = 1 _ 1 = 3 3).7 Gesucht g (x): Es gilt m g = m 1_ = _ 1 = _ f 3_ 3 g: y = _ 3 x + b Einsetzen von P (1 ) = _ b + _ 3 = b b = _ 1 3 _ 3 1_ 3 a) k (x) = m x + b; x in % m = = 00 k (x) = 00 x + b für x = 0 b = k ( ) b) k (x) = 0 00 x = 0 x = = _ 0 3 Das Fahrzeug ist nach 6 _ Jahren abgeschrieben. 3 c) k () = % des Buchwertes sind = 00 x x = = = 00.9 a) m = 0,5 f (x ) = 0,5 x + b P (1 1) 1 = 0,5 + b b = 0,5 f ( ) x f(x) b) g (x ) 1 höher: b = 1,5 g ( ) h (x ) 1 tiefer: b = 0,5 h ( ) x 16

18 c) Gerade senkrecht auf f (x) durch Q (3 ): m f m i = 1 m i = m 1_ = _ 1 = f Q (3 ) i (x ) = x + b = 3 + b b = 8 i ( ) 1_ 3.1 a) d) d) Schnittpunkt S von g (x) mit i (x): x + 8 = 1_ x + 3_ 8 3_ = 5_ x x = 13_ S 5 =,6 y S = g (x S ) = g ( 13_ 5 ) = 1_ _ _ = 8_ =,8 10 Schnittpunkt S von h (x) mit i (x): x + 8 = 1_ x 1_ 8 + 1_ = 5_ x x = 17_ S 5 = 3, y S = h (x S ) = h ( 17_ 5 ) = 1_ _ _ = _ 1 = 1, 10 Es gibt Lösungen. Entweder hat der Punkt A einen negativen Funktionswert oder Punkt B. b) Punkt f (x B ), 0 Punkt f (x A ), 0 A ( 6); B' (1 6) A' ( 6); B (1 6) y 1 = mx + b y = mx + b (1) 6 = m + b (1) 6 = m + b () 6 = m + b () 6 = m + b 1 = m + b 1 = m + b (1) + () 6 = 3b b = (1) + () 6 = 3b b = b in () 6 = m m = b in () 6 = m + m = f(x) = x f(x) = x + c) Zuerst muss der Funktionswert für f(x) = 0 ermittelt werden. x = 0 x = 0,5 x = 0 x = 0,5 f(x) = x = x + = x + für x $ 0,5 { (x + ) für x, 0,5 } 17

19 3. a) Zuerst muss der Funktionswert für f(x) = 0 ermittelt werden. x x = 0 x(x ) = 0 x 1 = 0 x = Die Parabel ist positiv im Bereich x # 0 und x $. Es ist keine Vorzeichenumkehr notwendig f(x) = x x. Die Parabel ist negativ im Bereich 0, x,. Es ist eine Vorzeichenumkehr notwendig f(x) = (x x). b) f(x) = x x für x # 0 x $ { (x x) für 0, x, } Ungleichungen.1 a) x + 6, 7 6, 1 b) 33 + x # # 17 c) 8x 0 $ 3x x 5x $ 10 : 5 $ d) x. 110 :. 5 e) 7x a. 7 1 a 7x. 1 a : 7. a_ 7 f) 3_ 8 x # 7_ 16 x # 7_ 16 3_ 8 x # 1_ 16 $ 1_ 16 3_ 8 ( 1) 18

20 g) 5(x + 9) $ 0 : 5 x + 9 $ 9 $ h) 16( x). 6x x. 6x + 8 6x 3 70x. 15 : ( 70) x, 15_ 70, 3_ 1 i) 3(x ). 18 : ( 3) x, 6 + x, 8 :, j) 7(x 3). x( a) 7x 81. x ax x + ax x + ax. 81 x(3 + a). 81 : (3 + a) x. _ k) 0,5x + 0, x + 10 x 0 3,5x, 10 : ( 3,5) x. 10_ 3,5 x _ 7 l) x + 5_ # (3 + x) 6 + (3 + x) 5_ x + (3 + x) # 6 5_ 8x + 3 # 8,5 3 8x # 11,5 : 8 x # _ 11,5 8 x # 3_ 8 # 7_ m) 3_ (x 8) + 6_ x 8, 10( x) x _ 8 x 3 + 6_ x 8, 0 10x x 13 9_ x 11, 7 1x + 1x _ x + 1x, _ x, 18 : 65 x, x, _ 7 65, 1 7_ 65 19

21 5.1 Parabeleigenschaften:, a, 1; a Þ 0 Tabelle 1 5. Parabeleigenschaften: a, 0 Tabelle Parabeleigenschaften: a. 1 Tabelle h (x ) = 0,5 (x ) + 1,5 ( ) 6. Durch Koeffizientenvergleich mit der allgemeinen Scheitelform y = a(x x S ) + y S : y = 0,5 (x ) + 5 x S = y S = 5 S ( 5) 7.1 a) Nullstellen: x 1, = b 6 Îw b a c = 1 6 Îw 1 0,5 ( ) = 1 6 Îw a 0,5 1 x 1, = 1 6 Îw 9 = x 1 =, x = N 1 N ( 0) Oder durch Umformung aus der Nullstellenform: 0,5 x + x = 0 x + x 8 = 0 (x ) (x + ) = 0 Satz vom Nullprodukt x 1 =, x = N 1 N ( 0) b) Scheitel: S ( _ b _ a b a + c ) x = 1_ S 0,5 = 1 y S = _ 1 + ( ) = 1_ =,5 oder: 0,5 x S = _ b a = 1_ 0,5 = 1_ 1 = y S = f (x S ) = 0,5 ( 1) 1 = c) P (,5) in y = 0,5 x + x einsetzen:,5 = 0,5 +,5 Þ 8 Ò d) Durch Faktorisieren und mit dem Satz vom Nullprodukt: x (x ) = 0 0