1. Motivation / Grundlagen 2. Sortierverfahren 3. Elementare Datenstrukturen / Anwendungen 4. Bäume / Graphen 5. Hashing 6. Algorithmische Geometrie

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1 Gliederung 1. Motivation / Grundlagen 2. Sortierverfahren 3. Elementare Datenstrukturen / Anwendungen 4. äume / Graphen 5. Hashing 6. Algorithmische Geometrie 4/5, olie Prof. Steffen Lange - HDa/bI - Datenstrukturen

2 Einordnung u Graphen werden verwendet, um eine Relation R zwischen den Objekten einer Objektmenge O zu repräsentieren, d.h. R O O = { (x,y) x,y O } bestehen aus einer Mengen V von Knoten (/* je Objekt in O gibt es einen Knoten in der Menge V */) einer Menge E von Kanten (/* wenn (x,y) R gilt, so gibt es eine Kante von x nach y */)... ein Graph G ist ein Paar (V,E), wobei V die Knotenmenge und E V V die Kantenmenge von G bezeichnet man unterscheidet gerichtete Graphen ungerichtete Graphen (/* sinnvoll, wenn R symmetrisch ist */) 4/5, olie Prof. Steffen Lange - HDa/bI - Datenstrukturen

3 Einordnung u eispiel 1 O sei die Menge der herzustellenden Produkte es gilt (x,y) R gdw. das Produkt x muß fertig gestellt sein, bevor das Produkt y fertig gestellt werden kann... das ist im allgemeinen keine symmetrische Relation V = { A,,..., } E = { [A,],[A,D],...,[,] } A E D 4/5, olie Prof. Steffen Lange - HDa/bI - Datenstrukturen

4 Einordnung u eispiel 2 O sei die Menge aller Städte es gilt (x,y) R gdw. es gibt eine Autobahnverbindung zwischen der Stadt x und der Stadt y... das ist offenbar eine symmetrische Relation S V = { KL,S,...,K } E = { {KL,S},{KL,DA},...,{K,} } KL TR K DA 4/5, olie Prof. Steffen Lange - HDa/bI - Datenstrukturen

5 Repräsentation von Graphen u... prinzipielle Möglichkeiten Adjazenzmatrix zweidimensionale Tabelle t (/* als Indizes werden die Knoten verwendet */) in einer Zelle t[x][y] steht eine 1, falls es eine Kante von x nach y gibt; andernfalls eine 0 Adjazenzliste ein Array a (/* als Indizes werden die Knoten verwendet */) jede Zelle a[x] enthält einen Verweis auf eine einfach verkettete Liste, in welcher alle Knoten y vorkommen, für die gilt, daß es eine Kante von x nach y gibt... schauen uns die Möglichkeiten für gerichtete Graphen an 4/5, olie Prof. Steffen Lange - HDa/bI - Datenstrukturen

6 Repräsentation von Graphen u eispiel (/* Adjazenzmatrix */) A E D A D E A D E /5, olie Prof. Steffen Lange - HDa/bI - Datenstrukturen

7 Repräsentation von Graphen u eispiel (/* Adjazenzliste */) A E D A D D E E 4/5, olie Prof. Steffen Lange - HDa/bI - Datenstrukturen

8 ahrplan u... diskutieren drei graphentheoretische Probleme, um das Zusammenspiel zwischen algorithmischen Ideen und den verwendeten Datenstrukturen zu diskutieren topologisches Sortieren estimmung kürzester Wege estimmung minimal aufspannender äume 4/5, olie Prof. Steffen Lange - HDa/bI - Datenstrukturen

9 Topologisches Sortieren u Grundbegriff es sei G = (V,E) ein gerichteter zyklenfreier Graph es sei V = n (/* d.h. G hat n Knoten */) es sei f(.) eine eineindeutige unktion von der Menge V in die Menge { 1,...,n }, so daß für alle x,y E gilt: wenn es eine Kante von x nach y gibt, so gilt f(x) < f(y) Eine unktion f(.) mit der obigen Eigenschaft nennt man topologische Sortierung der Knoten von G.... die durch f(.) festgelegte Anordnung der Knoten von G stellt sicher, daß vor jedem Knoten y alle Knoten x vorkommen, von denen es eine Kante zu y gibt 4/5, olie Prof. Steffen Lange - HDa/bI - Datenstrukturen

10 Toplogisches Sortieren u eispiel 1 es sei V = { A,,,D,E,,G } sei die Menge der herzustellenden Produkte es gelte [x,y] E gdw. das Produkt x muß fertig gestellt sein, bevor das Produkt y fertig gestellt werden kann die unktionen f 1 (.) und f 2 (.) sind topologische Sortierungen der Knoten von G A D E f 1 (A) = 1, f 1 () = 2, f 1 (D) = 3, f 1 (E) = 4, f 1 () = 5, f 1 () = 6 f 2 (A) = 1, f 2 (D) = 2, f 2 (E) = 3, f 2 () = 4, f 2 () = 5, f 2 () = 6 4/5, olie Prof. Steffen Lange - HDa/bI - Datenstrukturen

11 Toplogisches Sortieren u Aufgabenstellung Eingabe: Ausgabe: ein gerichteter zyklenfreier Graph G = (V,E) eine topologische Sortierung f(.) der Knoten in G u zentraler egriff: Ingrad eines Knoten es sei G = (V,E) ein gerichteter zyklenfreier Graph Zu jedem Knoten x V bezeichne Ingrad(x) die Anzahl der Knoten y V, von denen es eine Kante zum Knoten x gibt (/* Ingrad(x) = { y (y,x) E } */). 4/5, olie Prof. Steffen Lange - HDa/bI - Datenstrukturen

12 Toplogisches Sortieren u prinzipielle algorithmische Idee (1) bestimme für jedes x V den Ingrad von x (2) füge alle x mit Ingrad(x) = 0 ans Ende einer anfangs leeren Warteschlange Q an (3) setze i = 1 (4) solange die Warteschlange Q nicht leer ist a) entferne das erste Element x aus der Warteschlange Q b) setze f(x) = i und i = i + 1 c) für alle y mit [x,y] E setze Ingrad(y) = Ingrad(y) - 1, wobei y ans Ende der Warteschlange Q angefügt wird, falls Ingrad(y) = 0 gilt... die Ingrade der Knoten werden in einem Array gespeichert (/* als Indizes werden die Knoten verwendet *)... die benötigte Zeit hängt von der verwendeten Repräsentation des gegebenen Graphen G = (V,E) ab (/* Schritt (1) und (4) */) 4/5, olie Prof. Steffen Lange - HDa/bI - Datenstrukturen

13 Toplogisches Sortieren u Illustration A D E A Q = [ A ] i = 1 D E A D E A D E f(a) = 1 Q = [,D ] i = 2 f() = 2 Q = [ D ] i = 3 4/5, olie Prof. Steffen Lange - HDa/bI - Datenstrukturen

14 Toplogisches Sortieren u Realisierung 1 (/* mit Hilfe einer Adjazenzmatrix */) A D E A D E ein Array b wird benutzt (/* als Indizes werden die Knoten verwendet */), um die aktuell zu berücksichtigenden Ingrade zu speichern A D E /5, olie Prof. Steffen Lange - HDa/bI - Datenstrukturen

15 Toplogisches Sortieren u Algorithmische Idee (/* mit Hilfe einer Adjazenzmatrix */) (1) initialisiere das Array b (/* durch Aufsummieren aller Spalten */) (2) füge alle x mit b[x] = 0 ans Ende einer anfangs leeren Warteschlange Q an (/* durch Durchlaufen des Arrays b */) (3) setze i = 1 (4) solange die Warteschlange Q nicht leer ist a) entferne das erste Element x aus der Warteschlange Q b) setze f(x) = i und i = i + 1 c) für alle y mit [x,y] E setze b[y] = b[y] - 1 (/* y wird durch Analyse der Zeile für x bestimmt */), wobei y ans Ende der Warteschlange Q angefügt wird, falls b[y] = 0 gilt... geht offenbar in Zeit O(n 2 ) + O(n) + n*o(1) + n*o(n), wobei n die Anzahl der Knoten von G ist 4/5, olie Prof. Steffen Lange - HDa/bI - Datenstrukturen

16 Toplogisches Sortieren u Realisierung 2 (/* mit Hilfe einer Adjazenzliste */) A D E E D ein Array b wird benutzt (/* als Indizes werden die Knoten verwendet */), um die aktuell zu berücksichtigenden Ingrade zu speichern A D E /5, olie Prof. Steffen Lange - HDa/bI - Datenstrukturen

17 Toplogisches Sortieren u Algorithmische Idee (/* mit Hilfe einer Adjazenzliste */) (1) initialisiere das Array b (/* durch Durchlaufen aller Listen */) (2) füge alle x mit b[x] = 0 ans Ende einer anfangs leeren Warteschlange Q ein (/* durch Durchlaufen des Arrays b */) (3) setze i = 1 (4) solange die Warteschlange Q nicht leer ist a) entferne das erste Element x aus der Warteschlange Q b) setze f(x) = i und i = i + 1 c) für alle y mit [x,y] E setze b[y] = b[y] - 1 (/* y wird durch Durchlaufen der Liste für x bestimmt */), wobei y an das Ende der Warteschlange Q angefügt wird, falls b[y] = 0 gilt... geht offenbar in Zeit O(m) + O(n) + n*o(1) + O(m), wobei n die Anzahl der Knoten von G und m die Anzahl der Kanten von G ist 4/5, olie Prof. Steffen Lange - HDa/bI - Datenstrukturen

18 Toplogisches Sortieren u Zusammenfassung wenn der gerichtete zyklenfreie Graph G mit Hilfe einer Adjazenzmatrix repräsentiert wird, so wird die Zeit O(n 2 ) benötigt, wobei n die Anzahl der Knoten von G bezeichnet wenn der gerichtete zyklenfreie Graph G mit Hilfe einer Adjazenzliste repräsentiert wird, so wird die Zeit O(n) + O(m) benötigt, wobei n die Anzahl der Knoten von G und m die Anzahl der Kanten von G bezeichnet... da ein gerichteter zyklenfreier Graph G mit n Knoten weniger als n 2 viele Kanten hat, ist es sinnvoller, G mit Hilfe einer Adjazenzliste zu repräsentieren 4/5, olie Prof. Steffen Lange - HDa/bI - Datenstrukturen

19 estimmen kürzester Weg u Grundbegriffe es sei G = (V,E) ein gerichteter Graph es sei g(.) eine unktion, die jeder Kante in E eine reelle Zahl zuordnet... das Paar (G,g(.)) heißt gerichteter kantengewichteter Graph es seien v und v Knoten in V ein Weg w von v nach v ist eine olge von Knoten w = (v 1,v 2,...,v n-1,v n ) aus V mit v 1 = v und v n = v und [v i,v i+1 ] E für alle i mit 1 i n - 1 das Gewicht von w ergibt sich als g(w) = g([v 1,v 2 ]) g([v n-1,v n ]) 4/5, olie Prof. Steffen Lange - HDa/bI - Datenstrukturen

20 estimmen kürzester Weg u Aufgabenstellung Eingabe: Ausgabe: ein gerichteter zyklenfreier Graph G = (V,E), eine zugehörige Gewichtsfunktion g(.) und ein Knoten a V zu jedem Knoten b V das Gewicht eines kürzesten Wegs w von a nach b (/* falls es einen solchen gibt */)... für alle anderen Wege w von a nach b gilt g(w ) g(w) 4/5, olie Prof. Steffen Lange - HDa/bI - Datenstrukturen

21 estimmen kürzester Weg u Vorüberlegung... der vorgestellte Algorithmus nutzt den folgenden Zusammenhang aus es seien G = (V,E) ein gerichteter Graph und g(.) die zugehörige Gewichtsfunktion, wobei g(k) 0 für alle Kanten k E gilt es seien w = (v 1,v 2,...,v n-1,v n ) ein kürzestes Weg von v 1 nach v n und der Knoten v i so gewählt, daß 1 < i < n gilt Dann ist (v 1,v 2,...,v i-1,v i ) ein kürzester Weg von v 1 nach v i sowie (v i,v i+1,...,v n-1,v n ) ein kürzester Weg von v i nach v n. 4/5, olie Prof. Steffen Lange - HDa/bI - Datenstrukturen

22 estimmen kürzester Weg u Datenstrukturen Adjazensliste zur Repräsentation des Graphen G = (V,E) Array b, in dem sich für jeden Knoten b das Gewicht des bisher bekannten kürzesten Wegs von a nach b gemerkt wird (/* als Indizes werden die Knoten in V verwendet */) Menge M, in der sich die noch zu untersuchenden Knoten gemerkt werden 4/5, olie Prof. Steffen Lange - HDa/bI - Datenstrukturen

23 4/5, olie Prof. Steffen Lange - HDa/bI - Datenstrukturen Kapitel 4: äume / Graphen u eispiel A D E A D E E D A D E 0 M = { A,,,D,E, } estimmen kürzester Weg

24 estimmen kürzester Weg u algorithmische Idee (1) initialisiere das Array b und setze M = V (2) solange M noch nicht leer ist a) bestimme ein x M, für welches b[x] minimal ist b) streiche x aus M c) für alle y mit [x,y] E berechne h[y] = b[x] + g([x,y]) und teste, ob h[y] < b[y] gilt falls ja, so setze b[y] = h[y] falls nein, verändere b[y] nicht... geht offenbar in Zeit O(n) + O(1) + n*o(n) + O(m), wobei n die Anzahl der Knoten von G und m die Anzahl der Kanten von G ist 4/5, olie Prof. Steffen Lange - HDa/bI - Datenstrukturen

25 estimmen kürzester Weg u Illustration A D E 0 M = { A,,,D,E, } A 2 4 D E A D E M = {,,D,E, } A D E M = {,E, } A D E M = {,,E, } A D E M = {,E } 4/5, olie Prof. Steffen Lange - HDa/bI - Datenstrukturen

26 estimmen kürzester Weg u Anmerkung falls man die Menge M, der noch zu untersuchenden Knoten, mit Hilfe einer Prioritätswarteschlange realisiert (/* Heap, wobei statt ein zur Sicherstellung der Heap-Eigenschaft verwendet wird */), kann 2a) und 2b) jeweils in Zeit O(log(n)) realisiert werden, wobei n die Anzahl der Knoten in G ist da sich die Prioritäten von Objekten ändern, die in der Prioritätswarteschlange gespeichert sind, muß die Prioritätswarteschlange bei jeder Änderung der Werte im Array b angepaßt werden (/* der jeweilige Knoten ist zu löschen und wieder einzufügen */)... geht offenbar in Zeit O(n) + O(1) + n*o(log(n)) + m*o(log(n)), wobei n die Anzahl der Knoten von G und m die Anzahl der Kanten von G ist 4/5, olie Prof. Steffen Lange - HDa/bI - Datenstrukturen