Einführung in die Mathematik für Volks- und Betriebswirte

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1 Einführung in die Mathematik für Volks- und Betriebswirte Von Prof. Dr. Heinrich Bader und Prof. Dr. Siegbert Fröhlich Mit 45 A bbildungen 8. A uflage R. Oldenbourg Verlag München Wien

2 INHALTSVERZEICHNIS Vorwort Mathematische Hilfsmittel Summen Begriff der Summe Regeln für das Rechnen mit Summen Doppelsummen Arithmetische und geometrische Folge Arithmetisches Mittel Produkte Begriff des Produktes Regeln für das Rechnen mit Produkten Geometrisches Mittel Ungleichungen Begriff der Ungleichung Regeln für das Rechnen mit Ungleichungen ' Ungleichungen mit Unbekannten Ungleichungen in der Ökonomie Absolute Beträge Binomischer Satz Problemstellung Binomialkoeffizienten Beweis des binomischen Satzes Logarithmen Begriff des Logarithmus Regeln für das Rechnen mit Logarithmen Exponentialgleichungen Vermischte Aufgaben aus dem Gebiet der mathematischen Hilfsmittel 54 Ü 1 Übungsaufgaben zu 1 64 L 1 Lösungen zu Ü Lineare Oleichungssysteme Begriff des linearen Gleichungssystems Lösungsmethoden für den Hauptfall des inhomogenen linearen Gleichungssystems 67

3 Lösung unter Benutzung von Determinanten Gaußscher Algorithmus Matrizen Matrizenbegriff Regehi für das Rechnen mit Matrizen Inverse Matrix Lineare Gleichungssysteme in Matrizenschreibweise Allgemeine lineare Gleichungssysteme Lineare Abhängigkeit von Vektoren Rang einer Matrix Allgemeine inhomogene Gleichungssysteme Allgemeine homogene Gleichungssysteme Beziehung zwischen inhomogenen und homogenen Gleichungssystemen Lineare mathematisch-ökonomische Modelle Volkswirtschaftliches Verflechtungsmodell Betriebswirtschaftliches Verflechtungsmodell Vermischte Aufgaben aus dem Gebiet der linearen Gleichungssysteme 149 Ü 2 Übungsaufgaben zu L2 Lösungen zu Ü Lineare Optimierung Problemstellung der linearen Optimierung Graphische Interpretation der linearen Optimierung Simplexverfahren Vorbemerkungen zum Simplexverfahren Theoretische Fragen des Simplexverfahrens Technik des Simplexverfahrens Numerisches Beispiel zum Simplexverfahren LO-Probleme in der Ökonomie Betriebswirtschaftliches LO-Problem Volkswirtschaftliches LO-Problem Transportproblem Zuordnungsproblem Ausblick auf die Problemstellung der nichtlinearen Optimierung Vermischte Aufgaben aus dem Gebiet der linearen Optimierung Ü 3 Übungsaufgaben zu L 3 Lösungen zu Ü Differentialrechnung mit einer unabhängigen Variablen Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Ganze rationale Funktionen Allgemeine rationale Funktionen Nichtrationale Funktionen 232

4 Algebraische und transzendente Funktionen Grenzwert und Stetigkeit Grenzwert Stetigkeit Problemstellung der Differentialrechnung mit einer unabhängigen Variablen Tangentenproblem Ableitungen der Funktionen y x" und y = G Ableitungen einiger transzendenter Funktionen Allgemeine Differentiationsregeln Differentiation der Summe Differentiation des Produktes und Kettenregel Differentiation des Quotienten Übungsaufgaben zur formalen Differentiation Taylorscher Satz Allgemeine Darstellung des Taylorschen Satzes Spezielle Taylor-Entwicklungen Extrema und Wendepunkte Ermittlung der Extrema Ermittlung der Wendepunkte Extrema in der Ökonomie Vermischte Aufgaben aus dem Gebiet der Differentialrechnung mit einer unabhängigen Variablen 283 Ü 4 Übungsaufgaben zu L 4 Lösungen zu Ü Differentialrechnung mit mehreren unabhängigen Variablen Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen Problemstellung der Differentialrechnung mit mehreren unabhängigen Variablen Formale Differentiationsübungen Extrema * Extrema ohne Nebenbedingungen Extrema mit Nebenbedingungen Extremwertberechnungen in der Ökonomie Methode der kleinsten Quadratsumme Prinzip der Methode der kleinsten Quadratsumme Beispiele zur Methode der kleinsten Quadratsumme Vermischte Aufgaben aus dem Gebiet der Differentialrechnung mit mehreren unabhängigen Variablen 322 Ü 5 Übungsaufgaben zu L 5 Lösungen zu Ü 5 331

5 6. Integralrechnung Problemstellung der Integralrechnung Bestimmtes Integral Unbestimmtes Integral Integrationsmethoden Integration von Summen Integration von Produkten Integration durch Substitution Integration von Quotienten Beispiele für Integrale in Geometrie und Technik Flächen- und Volumenbestimmung Geschwindigkeit und Beschleunigung 355 '6.4. ökonomische Integralmodelle " Wachstumsmodelle Kontinuierliche Tilgungsrechnung Problem der technischen Lebensdauer 363 " 6.5. Vermischte Aufgaben aus dem Gebiet der Integralrechnung 366 Ü 6 Übungsaufgaben zu L 6 Lösungen zu Ü Differentialgleichungen Allgemeines über Differentialgleichungen Differentialgleichungen erster Ordnung Isoklinen Lösung durch Trennung der Variablen Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung Differentialgleichungen höherer Ordnung Elementar integrierbare Differentialgleichungen Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung mit allgemeinen Koeffizienten Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten f Systeme von Differentialgleichungen Allgemeine Bemerkungen zu Differentialgleichungssystemen Lineare Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten Differentialgleichungen in der Ökonomie.... ; Gompertz-Makehamsche Formel Gesamtheitenzerfall Differentialgleichung des Tilgungsvorgangs Differentialgleichung eines Konsumtionsproblems ökonomische SchwingungsVorgänge Dynamische Verflechtungsmodelle Ausblick auf partielle Differentialgleichungen Vermischte Aufgaben aus dem Gebiet der Differentialgleichungen

6 Ü 7 Übungsaufgaben zu L 7 Lösungen zu Ü A7 Anhang zu 7: Eulersche Formel Wahrscheinlichkeitsrechnung Wahrscheinlichkeiten Begriff der Wahrscheinlichkeit Bedingte Wahrscheinlichkeiten Verteilungsfunktionen von zufälligen Variablen Allgemeines über Verteilungsfunktionen einer Zufalls variablen Binomialverteilung Polyasche Verteilung Gaußsche Verteilung.... ' Wahrscheinlichkeitsrechnung und Ökonomie Tschebyscheffsche Ungleichung Statistische Sicherheit Stochastisches LagerhaltungsmodeU Warteschlangenmodell 470 Ü 8 Übungsaufgaben zu L 8 Lösungen zu Ü Sachwortverzeichnis 477