Kosmische Gravitation

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1 Kosmishe Gravitation oder Gravitation unter Zentral- und Allsymmetrie Peter Wolff 4. Mai Einführung Ausgehend von der Gravitationstheorie Newtons soll der Kerngedanke der Weltpotentialtheorie WPT), einer Kosmologie ohne Urknall und Dunkle Materie, erklärt werden. Das ist zulässig, weil meine Modifikation der Gravitation Kepler und Newton betrifft und damit auh die ART, die darum ihre Gültigkeit auf grossen Skalen bzw. bei kleinen Feldstärken verliert. Die Shwerkraft ist seit alters dafür bekannt, dass sie Steine und Äpfel auf die Erde fallen lässt, und seither hat man shrittweise dazu gelernt, dass sie auh Monde und Planeten an ihre Zentralkörper bindet und ganze Sonnensysteme an ihre Galaxien und dass sie sogar ganze Galaxienhaufen zusammenhält: alles Systeme, die in mehr oder weniger guter Näherung zentralsymmetrish sind. Erst wenn man den Kosmos, das All als Ganzes, beshreiben möhte, sind zentralsymmetrishe Ansätze mit gut sihtbaren Zentren niht mehr passend, weil auf genügend grossen Skalen das Weltall in allen Punkten homogen und isotrop zu sein sheint. Man formuliert dies Faktum als Weltpostulat oder kosmologishes Prinzip. Die zugehörige Symmetrie nennen wir Allsymmetrie, weil sie für das All als Ganzes gilt und weil sie maximal ist, indem sie für alle Allpunkte völlige Gleihwertigkeit und Ununtersheidbarkeit verlangt. Erfüllt sei dies All für Modellzweke von einem nur gravitativ wehselwirkenden, homogen/isotropen Allsubstrat mit der Dihte ρ. Hauptziel ist zu zeigen, wie die lokale Gravitation unter Allsymmetrie, also auf ganz grossen Skalen, in Ersheinung treten muss, nämlih als universelle, dissipative Weltbeshleunigung. Die Allsymmetrie hat shon für den newtonshen Kraft- und Potentialbegriff wihtige Folgen: Kräfte und Potentiale können anders als in der klassishen Physik so nämlih ganz grundsätzlih nur noh testteilhen-)relativ definiert werden, weil es absolut ausgezeihnete Punkte unter Allsymmetrie niht geben kann. Deswegen entspriht das Weltpotential der WPT niht dem klassishen Potentialbegriff und die daraus abgeleitete, auf Äquivalenzraketenbetrahtungen beruhende WPT- Metrik niht einer üblihen ART-Metrik siehe Anhänge A, B und C). Zur Erinnerungsauffrishung beginnen wir mit den Grundlagen der bekannten, lokalen Gravitationstheorie: 2 Das Kepler/Newtonshe Gravitationsgesetz Das Shwerkraftgesetz für zwei Punktmassen mit den Massen m und M lautet, wenn r den Abstand beider Massen und K die Kraft zwishen beiden Massen meint: K = G mm, wobei G die Gravitationskonstante ist. 1) r2 1

2 Shon 1609 in der Astronomia Nova von Kepler [1] findet man dazu: Wenn man zwei Steine an einen beliebigen Ort der Welt versetzen würde, nahe beieinander außerhalb des Kraftbereihs eines dritten verwandten Körpers, dann würden sih jene Steine ähnlih wie zwei magnetishe Körper an einem zwishenliegenden Ort vereinigen, wobei sih der eine dem andern um eine Streke nähert, die der Masse des andern proportional ist. An Stelle der Steine betrahtete Kepler auh noh Erde und Mond, und bezüglih der r-abhängigkeit zwei Fälle, nämlih einen, bei dem eine Kraft vom ganzen Sonnen-)Körper ausgeht, was in Analogie zum Liht zu einem 1/r 2 -Gesetz führt und den Fall, wo eine andere) Kraft nur vom Äquator ausgeht, was zu einem 1/r-Gesetz führt, was letztlih Gaußens Integralsatz vorwegnimmt. Diese Siht entspriht der Situation, wo die Masse des einen Körpers verglihen mit der des andern vernahlässigbar ist, wie z.b. bei Steinen gegenüber der Erde oder Planeten gegenüber der Sonne. Dann bewegt sih der Leihtere, der Testkörper, im Kraftfelde des Shwereren, ohne dieses konservative Feld selber merklih zu beeinflussen, und dann kann man den shwereren Körper mit Masse M als die Quelle eines Shwerefeldes a r) ansehen, der sih im Punkte r = 0 befindet. Aus 1) erhält man nah Division durh m die Shwerebeshleunigung mit dem Potential V R): ar) = G M r 2 r r = grad V r) mit V r) = G M r Pot. Energie pro Testmasseneinheit) 2) Für lokal beliebige Massenverteilungen erhält man das Potentialfeld Vr) aus der Poissongleihung: V = div a = 4π G ρ, wo ρ die lokale Massendihte ist und V r) = 0 für r gegen gelte. 3) 3 Gravitation unter Zentralsymmetrie Im Falle kugelsymmetrisher Probleme sind vor allem folgende Punkte wihtig: 1. Eine isotrope Voll- oder auh Hohlkugel verhält sih von aussen wie ein Massenpunkt, d.h. wie wenn die gesamte Masse im Kugelmittelpunkt konzentriert wäre: Die Gravitationsbeshleunigung a aussen einer isotropen, sphärishen Massenverteilung entspriht darum 2): 2. Die Massenshale einer isotropen Hohlkugel führt wie auh in der ART) zu keiner Gravitationsbeshleunigung a hohl auf einen Testkörper im Hohlraum: a hohl = 0 3. Die gravitative Wirkung im Innern einer isotropen Vollkugel auf eine Testmasse im Mittenabstand r geht daher allein von der Gesamtmasse aus, die sih innerhalb von r befindet: a innen = G Mr) r r 4π 0 r 2 = G ρx) x2 dx r r r 2 r Für eine homogene Vollkugel mit konstanter Massendihte ρ, die den Ausgangspunkt für das newtonshe, kosmologishe Standardmodell Newton-All) bildet, erhält man damit: a N-All = 4π 3 G ρ r r r mit dem Potential V N-Allr) = 2π 3 G ρ r2 4) Das newtonshe Vollkugelmodell des Alls 4) führt zu einer gravitativen Frequenzvershiebung, die proportional zu r 2 ist, denn Liht der Frequenz ν 0 und der Wellenlänge λ 0 erfährt beim Durhlaufen der Potentialdifferenz aus 4) dv = 4π 3 G ρ r dr eine Frequenzvershiebung dz Pound-Rebka) von dz = dλ λ 0 = dν ν 0 = dv 2 = 4π 3 G ρ r dr 2 und daraus z = 2π 3 G ρ 2 r 2 für kleine z und r 5) 2

3 5) gilt nur für genügend kleine z und r, wo Newton noh siher zuständig ist. Aber shon in diesem aus Beobahtungen besonders gut bekannten Fall versagen 4) und 5) offensihtlih krass: I. Die kosmologishe Rotvershiebung ist proportional zu r und niht zu r 2, und zudem ergäbe 5) für kleine z auh quantitativ eine viel zu kleine Rotvershiebung. II. 4) erfüllt aber auh das Weltpostulat niht, da es einen Mittelpunkt r = 0 auszeihnet: D.h. das newtonshe Vollkugelmodell des Alls würde nur in r = 0 isotrop ersheinen, aber niht einmal dort homogen, und Liht würde in r = 0 blauvershoben ankommen. 4 Gravitation unter Allsymmetrie Ein endlihes newtonshes Vollkugelmodell des Alls verletzt das Weltpostulat, weil es ein Zentrum absolut auszeihnet, auf das alle Shwerebeshleunigungsvektoren hinzeigen. Diese Auszeihnung bleibt auh bestehen, wenn man den Radius R dieser Modellkugel im Rahmen eines üblihen Grenzwertprozesses gegen gehen lässt. Daran sieht man, dass Allsymmetrie im Allgemeinen erst mit einem aktual unendlihen All verträglih ist, in dem jeder beliebige Punkt potentiell Gravitationszentrumseigenshaften hat, wenn ein Punkt diese Eigenshaft hat; diese Eigenshaft kann aber der Kugelmittelpunkt selbst bei einem Grenzübergang zu einem aktual unendlihen All niht verlieren. Will man keine Widersprühe hervorrufen, darf aber jeweils nur ein potentielles Gravitationszentrum als aktuelles oder effektives Gravitationszentrum wirken. Der momentane Aufenthaltspunkt einer Testmasse zeihnet aber immer genau einen Weltpunkt aus, der damit zum natürlihen, testmassenrelativ definierten, effektiven Gravitationszentrum wird: Fundamentalsatz der kosmishen Gravitation: Der momentane Aufenthaltspunkt O von Testmassen erhält unter Allsymmetrie effektive Gravitationszentrumseigenshaften, weswegen Testmassen in einem niht leeren, ideal homogenen Weltsubstrat durh die Shwerkraft immer gebremst werden, wenn sie sih von ihrem momentanen Aufenthaltsort entfernen, was sih wie eine universelle, dissipative Weltbeshleunigung auswirkt. Im freien Flug kann aber der momentane Aufenthaltspunkt zu einem beliebigen Zeitpunkt als Startpunkt A definiert werden, und dann kann dieser Startpunkt als effektives Gravitationszentrum so lange beibehalten werden, wie keine Störungen auf die Testmasse wirken. Das ermögliht dann eine integrale Formulierung des Testmassenfluges, wobei man einfahheitshalber bei einem Flug von A nah B den Nullpunkt bzw. das effektive Gravitationszentrum in A annimmt und im umgekehrten Fall in B. Die auf die Testmasse oder einen Lihtstrahl wirkende Gravitationskraft kann unter Allsymmetrie niht konservativ sein, da sih Hin- und allfälliger Rükflug in nihts untersheiden dürfen, was gerade auh die Voraussetzung für eine allweite SRT-Uhrensynhronisation ist. Damit kann ein allsymmetrishes Weltpotential auh kein üblihes, absolut definiertes, newtonshes Potential sein, sondern eben nur noh ein testmassen- bzw. lihtstrahlrelatives. Für ein aktual unendlihes All muss auh die Poissongleihung zwingend aufgegeben werden: Der Allsymmetrie wegen müssen nämlih die resultierenden, kosmishen Kräfte anders als das unphysikalishe Potential r-unabhängig sein, und dann kann das zugehörige Weltpotential nur noh zu r 1 oder zu r 0 proportional sein, wobei das r 0 - oder konstante Potential offensihtlih nur zu einem leeren All passt. Das r 1 -Potential führt dann zu einer dissipativen Weltbeshleunigung, wie wir noh sehen werden. Diese kosmishe Potential- und Kräftedefinition ergibt nun auh eine ganz natürlihe Erklärung für die kosmishe Rotvershiebung, da demnah Liht immer rot vershoben wird, wie es sein muss. In der Newtonshen Kosmologie, die die Gültigkeit der Poissongleihung auh in der Kosmologie annimmt, funktioniert dies aber niht, da damit die Rotvershiebung viel zu klein wird Kapitel 3. I. 3). Aus diesem Dilemma gibt es in Anlehnung an Friedmann-Lemaître allerdings einen wenigstens sheinbaren Ausweg, indem man die Rotvershiebung statt gravitativ durh Expansion erklärt: 3

4 4.1 Das Newton-Friedmann-Vollkugelmodell des Alls Hält man in der Kosmologie trotz obiger Ausführungen an der Poissongleihung fest, ergibt sih ein r 2 -Potential, dessen physikalish wesentlihe Differenzen und Gradienten die Allsymmetrie verletzen. Fordert man allerdings für das Weltsubstrat eine ganz spezielle Dynamik, die Hubble- Expansion oder Implosion, wie man sie aus der Friedmann/Lemaître-Kosmologie kennt, dann bleiben die wesentlihen physikalishen Differentialgleihungen, die eulershen Bewegungsgleihungen, unter Transformationen von einem Fundamentalsystem zu einem andern invariant, wenn man an Stelle des üblihen, newtonshen, absoluten Kraftbegriffes den allsymmetrishen, fundamentalsystem-)relativen Kraftbegriff der Newtonshen Kosmologie benützt; diese relativen Kräfte sind wie Geshwindigkeiten zu transformieren siehe Rebhan [3], Abshnitt 31.1). Allerdings gibt es keine physikalishe Erklärung, warum der Kosmos gerade so expandieren oder implodieren) sollte, denn das Weltpostulat, das durh Annahme einer solhen Expansion auh in der Standardkosmologie erfüllt werden kann, ist zwar eine gut begründete Annahme für die grossräumige, homogen isotrope Massenverteilung im All, dass dies aber auh zur Hubble-Dynamik führen sollte, ist physikalish unverständlih und darum letztlih gegen besseres Wissen nur postulierbar. Mehr zur Standardkosmologie im Rahmen der ART, aber auh im Rahmen der anshauliheren Newtonshen Kosmologie findet man z.b. wieder bei Rebhan in Theoretishe Physik [3] ab Kapitel Wir wenden uns nun wieder der neuen, stabil statishen WPT-Kosmologie zu: 4.2 Das WPT-Modell eines aktual unendlihen Alls Bezüglih der Modifikation lokaler Gravitationstheorien klassishe Newtontheorie oder postnewtonshe ART-Ansätze) ist die Einführung kosmisher Zusatzterme, die auf eine aktual unendlihe Massenshale zurükgeführt werden, der Kerngedanke, der es im Prinzip erlaubt die lokalen Theorien durh kosmishe Massenshalenterme zu ergänzen. Diese Terme sind darum nur von der mittleren Massendihte der Massenshale, die prinzipiell niht direkt beobahtbar ist, abhängig, aber eben niht direkt von lokalen Energie- und Massenverteilungen. Z.B. die MOND-Artigkeit der Spiralgalaxiendynamik wird auf so einen dominanten Zusatzterm zurükgeführt Kapitel 4 in [6]), genau wie die kosmishe Rotvershiebung auf die reine, allsymmetrishe Gravitation bzw. Weltbremsbeshleunigung zurükgeführt wird, was zur gleihen Rotvershiebungs/Leuhtkraft-Beziehung führt wie die des alten SRT-Modells von Milne, das die Supernovabeobahtungen bisher im Rahmen der Messgenauigkeiten korrekt beshreiben kann. Das Hauptproblem bei der Bestimmung dieser Zusatzterme bzw. bei der Überlagerung der lokalen und kosmishen Gravitation liegt nun darin, dass die kosmishe Gravitation rein dissipativ in Ersheinung tritt und die sehr gut bekannte lokale Gravitation im Planetensystem nur mindestens fast nur als konservative Shwerkraft, was die Überlagerung alles andere als trivial maht. Auf diese Überlagerungsprobleme und damit auh auf MOND siehe [6]) gehen wir in dieser Arbeit aber niht näher ein Die aktual unendlihe Massenshale als Shwerequelle in der WPT Bei den virtuellen, allsymmetrishen Gravitationszentren kann es sih nur um effektive Gravitationszentren handeln, was sih sofort daraus ergibt, dass der jeweilige, momentane Aufenthaltsort einer Testmasse ein solhes Gravitationszentrum ist, in dem es shliht keinen Platz für eine physikalishe Shwerequelle hat. Die physikalishe Shwerequelle ist aber leiht zu finden: Es ist die aktual unendlihe, prinzipiell niht direkt beobahtbare Massenshale, die annahmegemäss im Rahmen der WPT das beobahtbare, endlihe Weltall umshliesst, die aber niht über ihre Masse, sondern über ihre Massendihte ρ die Feldstärke bestimmt. Diese homogen/isotrope Massenshale muss niht extra postuliert werden, denn ein aktual unendlihes homogen/isotropes All, wie es vom Weltpostulat in der Kosmologie gefordert wird, kann immer in eine beliebige, virtuelle, endlihe Kugel mit beliebigem Mittelpunkt und den Rest des Kosmos aufgeteilt werden; der Rest ist 4

5 dann gerade unsere Kugelshale. Im realen All mit lokalen Inhomogenitäten soll die virtuelle Kugel die lokalen Inhomogenitäten erfassen und die immer gleihe) aktual unendlihe Massenshale den homogen/isotropen Teil des Alls auf genügend grossen Skalen. Bisher wurden isotrope Massenshalen sowohl bei Newton wie in der ART vernahlässigt, wenn man sih an die newtonshe Hohlkugel mit a hohl = 0 erinnert 1. Erst die WPT misst einer aktual unendlihen Massenshale aber niht einer endlihen einen universellen Einfluss, die Weltbremsbeshleunigung, aber auh die bekannten Trägheitseffekte zu. Daraus ergibt sih nun sofort, dass lokale, endlihe Massenverteilungen auf die kosmishe Gravitation ohne direkten Einfluss sind, wie sie Quellmassen sonst auf lokale Felder haben, obwohl sie sehr wohl einen grossen indirekten Einfluss haben, wenn ihre lokalen Shwerefelder stark genug sind, um die Weltbeshleunigung an ihren eigenen Feldlinien auszurihten, was wir hier aber noh niht vertiefen wollen. Auh ohne Vertiefung ist aber klar, dass die klassish/lokale Berehnung der Shwerebeshleunigungen dann wird versagen müssen, wenn die lokalen Shwerebeshleunigungen nur noh wenig grösser sind als die Weltbeshleunigung H für Liht, die grössenordnungsmässig gerade der kritishen Beshleunigung a 0 in Milgroms MOND-Ansatz entspriht: shon ohne eigentlihe Rehnung ein sehr shönes WPT-Resultat, wie ih meinen würde, das zudem shon lange erfolglos gesuht wurde, da eine kosmologishe Ursahe von MOND von Milgrom shon lange vermutet wurde. Im allergrössten Teil des bekannten Universums, insbesondere auh in den Teilen, die das Liht einigermassen ungestört durhlaufen kann, sind die lokalen Shwerebeshleunigungen aber sehr viel kleiner als H bzw. a 0 und damit praktish völlig vernahlässigbar. D.h. aber auh, dass die kosmishe Weltbrems)beshleunigung in den beobahteten, grossen Leerräumen gleihermassen wirksam ist wie in etwas weniger leeren Weltbereihen und dass Liht, das uns aus grossen Fernen erreiht, in sehr guter Näherung bis z.b. auf lokale Lihtablenkungen gravitativ gesehen nur dieser dissipativen Weltbeshleunigung H unterworfen ist, die zur bekannten kosmologishen Rotvershiebung führt. Ohne eine aktual unendlihe Massenshale sehe ih auh keine physikalish nahvollziehbare Möglihkeit auf genügend grossen Skalen die allsymmetrishe Weltbeshleunigung zu erhalten: 1. Eine solhe Massenshale gleiht immer und überall einem idealen) Horizont, dem man sih nur radial nähern kann, genau wie man sih vom momentanen Aufenthaltspunkt, dem zugehörigen, effektiven, lokalen Gravitationszentrum, nur radial entfernen kann. 2. Die Massenshale sieht in allen Punkten gleih aus wie ein idealer) Horizont, egal wohin man sih bewegt. Das ist anders als bei einer lokalen Feldquelle, deren sheinbare Stärke vom Abstand zu ihr abhängt und die sih bei Bewegungen einer Testmasse im Allgemeinen ändert. Darum muss die Gravitationskraft, die von der Massenshale ausgeht, konstant bzw. ortsunabhängig sein, wie das die Allsymmetrieforderung ja eh shon verlangt. Geshwindigkeitsunabhängig kann diese Kraft aber niht sein, denn bei Ruhe im effektiven Gravitationszentrum, dem momentanen Aufenthaltspunkt, wirken keine Gravitationskräfte, wovon wir noh Gebrauh werden mahen müssen Das r-proportionale Weltpotential und die Weltbeshleunigung Wohl shon viele haben wegen 5) gemerkt, dass man die kosmologishe Rotvershiebung für kleine z allein gravitativ erklären kann, wenn man ein r-proportionales, kosmishes Potential annimmt; dass dies auh für grosse z im Rahmen heutiger Messgenauigkeiten klappt, dürfte aber neu sein und ebenso, dass sih ein solhes Weltpotential auh zwingend aufdrängt, wenn man für die lokal gut bekannte Gravitation aufgrund des Weltpostulats Allsymmetrie verlangt, obwohl dies im Rahmen der Newtonshen Kosmologie sehr nahe liegend ist, mindestens wenn man wenigstens auf kosmishen Skalen bereit ist die Poissongleihung 3) unter Annahme eines aktual unendlihen Alls aufzugeben: Da die Weltbremsbeshleunigung unter Allsymmetrie nur von Testkörpereigenshaften wie der Geshwindigkeit v, aber niht von Lage oder Bewegungsrihtung im ideal homogenen 5

6 Weltsubstrat abhängen darf, muss das gravitative Weltpotential zu r 1 proportional sein: Wäre es nämlih konstant, erhielte man gar keine Shwerebeshleunigung, was in einem niht leeren All aus Stetigkeitsgründen niht zu erwarten ist, und wäre der Exponent von r vershieden von 0 und 1, würde die Weltbeshleunigung als Gradient des Weltpotentials r-abhängig, was das Weltpostulat in einem statishen All verbietet; in einem dynamishen All ist dies - aber nur, wenn man zwingend die Hubble-Dynamik vorshreibt! anders, worauf wir shon oben hinwiesen. Zu beahten ist auh noh, dass das Potential selbst niht homogen und damit als skalare Grösse konstant sein muss, weil ihm keine direkte physikalishe Bedeutung zukommt. Physikalish bedeutsam und experimentell direkt erfassbar sind nur die aus ihm berehneten Potentialdifferenzen und Gradienten. Daraus ergibt sih, dass man das Weltpotential als V r) = f r ansetzen darf man beahte aber die testteilhen-)relative r-definition und dass f noh z.b. von der Geshwindigkeit zum Weltsubstrat abhängen kann!). Daraus erhält man die gravitative Weltbeshleunigung a Welt auf eine Testmasse, die sih von ihrem momentanen Aufenthaltspunkt um dr entfernt: a Welt = grad V r) dr V r) = r dr = f dr, was für dr = 0 im Allgemeinen singulär ist. dr Die Singularität lässt sih beheben, da in einem Gravitationszentrum ruhende Testmassen keine Beshleunigung erfahren. D.h. f muss für ruhende Testmassen mit v = 0 vershwinden; das ist anders als z.b. bei einem üblihen, newtonshen r 2 -Potential, dessen Gradient proportional zu r ist und damit für r = 0 unabhängig von v vershwindet. Um für v = 0 auh fv) = 0 zu erhalten, definieren wir ein neues f explizit v- bzw. β-abhängig k fβ) mit β = v/ und k = konstant. Ein besonders einfaher Ansatz für f, der unsere Forderung erfüllt, ist fβ) = β ν mit ν > 0, und shon der lineare Ansatz in v mit ν = 1 sheint die Weltbeshleunigung korrekt zu beshreiben, was aber an Beobahtungsdaten für v < noh zu überprüfen sein wird. Damit kann man nun dr shreiben, wenn man noh daran denkt, dass die momentane Geshwindigkeit v = dt parallel zur infinitesimalen Vershiebung dr ist siehe auh A.3): a Welt = k β dr dr = k β v v = k v bzw. für Liht mit β = 1 a Welt = k 6) Damit lässt sih mit 5) die kosmologishe Rotvershiebung z ermitteln, und damit diese mit dem Hubblegesetz übereinstimmt, muss man k = H setzen, wenn H die Hubblekonstante und die Lihtgeshwindigkeit ist. Dabei ist zu bedenken, dass für Liht dv = k dr zu setzen ist und dass das Hubblegesetz für kleine z als v Doppler = z = Hr geshrieben werden kann. Bis auf obiges fβ) = β ν = β bzw. ν = 1 ist alles weitgehend zwingend und damit gut gesihert, und weil β für Liht gerade 1 ist, gibt es bei den Berehnungen, die die kosmishe Lihtausbreitung betreffen, im Rahmen der WPT bis hierher keine Unsiherheiten bzw. spekulative Elemente. Für Liht ist die Situation auh darum besonders einfah, weil Liht immer mit der konstanten Weltbeshleunigung H gebremst bzw. ermüdet und damit gerötet wird. Damit man nun die Lihtausbreitung unter der gravitativen Einwirkung des lihtstrahlrelativen Weltpotentials bzw. der konstanten Weltbeshleunigung berehnen kann, benützen wir Einsteins Äquivalenzprinzip in seiner Urform, die einem Fahrstuhl bzw. einer konstant beshleunigenden, virtuellen Rakete entspriht, die wir in Zukunft Äquivalenzrakete nennen wollen und die in gleiher Weise lihtstrahlselektiv wirkt wie unser obiges Weltpotential bzw. wie obige Weltbeshleunigung: Dazu denkt man sih den Lihtstrahlsender z.b. eine Supernova) zum Zeitpunkt der Lihtemission ruhend im inertialen Weltsystem am Ende der gleihzeitig mit dem Lihtstrahl startenden Rakete und den Lihtstrahlempfänger an der Spitze der Rakete, woraus sih sofort die gravitative Rotvershiebung und Zeitdilatation als Funktion der Lihtlaufzeit eines Lihtstrahls oder Photons ergibt. Diese gravitative Rotvershiebung und Zeitdilatation ist in einem konstanten Gravitationsfeld shon vor Jahrzehnten unter Benützung des Mössbauereffektes von Pound und Rebka experimentell bestätigt worden. Ausgehend von der Àquivalenzrakete gelangt man auh zu einer shein-)metrishen Beshreibung der WPT-Kosmologie, indem man die Rindlermetrik eines konstant beshleunigten Bezugssystems 6

7 noh geeignet allsymmetrish maht siehe Anhang C, speziell C.2). Damit haben wir den bisher im Wesentlihen benützten, üblihen Formalismus der Newtonshen Kosmologie verlassen, weil er für Lihtbahnberehnungen niht genügt: Die WPT und die kosmologishe Rotvershiebung Weil man Liht relativistish behandeln muss, berüksihtigt die WPT anders als die Newtonshe Kosmologie die SRT Spezielle Relativitätstheorie), aber niht die ART, die aus Siht der WPT für shwahe Shwerefelder und damit für kosmishe Belange falsh ist, obwohl ART wie Newtonshe Kosmologie ohne Λ als WPT-Grenzfälle für eine Massenshalendihte ρ gegen 0 angesehen werden können und darum der WPT als Lieferanten der rein lokal bedingten Shwerefelder noh ohne kosmishen Massenshaleneinfluss dienen müssen. Weiter benützt die WPT: 1. Das Äquivalenzprinzip zwishen träger Masse und Energie. 2. Das Äquivalenzprinzip zwishen konstanter Beshleunigung und konstantem Shwerefeld. Rihtig einfah wird die Sahe aber erst, wenn man noh folgende Punkte beahtet: 1. Unter Allsymmetrie ist die poinaré/einsteinshe SRT-Uhrensynhronisation anzuwenden, da die Einweglihtgeshwindigkeit unter dieser Annahme isotrop sein muss. 2. Die Lihtgeshwindigkeit soll unter Allsymmetrie auh auf grossen Distanzen konstant sein; dies ist eine analoge Überlegung wie die, die zum r 1 -Weltpotential bzw. zur konstanten Weltbremsbeshleunigung der WPT führt. 3. Weil die Weltbeshleunigung für Liht konstant ist, entspriht die Lihtlaufzeitberehnung im Kosmos im Wesentlihen dem Rehengang bei einer konstant beshleunigten Rakete im Rahmen der SRT. D.h. man darf die gut bekannte hyperbolishe Raketenformel benützen. 1. und 2. garantieren die Zuständigkeit der SRT, und damit kann man auf einfahe Weise die Beziehung zwishen der Rotvershiebung z und der Leuhtkraft L einer Standardkerze, z.b. einer Supernova Ia, niht nur für kleine, sondern auh für grosse z berehnen siehe z.b in [6] oder 5.3 in [8]). Die WPT-Rehnung stimmt im Rahmen der Messungenauigkeiten mit den bisherigen Messdaten überein, obwohl es nur einen einzigen leiht freien Parameter, die Hubblekonstante, gibt, die in der WPT eht konstant ist. Sie ist etwa grössenordnungsmässig durh die Dihte ρ 0 des sihtbaren/beobahtbaren Alls bestimmt, wenn man annehmen darf, dass ρ 0 niht allzu vershieden von der Dihte der aktual unendlihen Massenshale ρ ist und wenn die WPT an das ART-Modell k = 0, Λ = 0) angeshlossen werden darf, weil dieses Modell für t gegen und ρ krit. gegen 0 einem statishen WPT-All entspriht. Aufgrund der ungefähr bekannten Grössen von H und ρ 0 weiss man, dass sie tatsählih grössenordnungsmässig etwa so zusammenhängen wie H und das bekannte ρ krit. der Friedmannkosmologie. Die WPT-Erklärung der kosmishen Rotvershiebung ist allein shon dadurh der entsprehenden Urknallerklärung, die noh niht einmal das Vorzeihen der kosmishen Frequenzvershiebung angeben kann, weit überlegen. Im nähsten Abshnitt werden wir noh etwas näher auf den Bezug der WPT auf Einsteins originales Äquivalenzprinzip eingehen und den Zusammenhang der WPT-Gravitation mit den heute üblihen metrishen Gravitationstheorien kurz abhandeln: 5 WPT-Gravitation in shein-)metrisher Formulierung Einerseits soll dieser Abshnitt den Einstieg in die mehr formalen Anhänge erleihtern und andererseits soll er auh einen wenigstens teilweisen Ersatz für die Anhänge für alle Leser bieten, denen die Anhänge besonders Anhang C) zu formal sind; ganz ohne Formeln geht s aber auh hier niht. 7

8 5.1 Von Einsteins Äquivalenzrakete zur sheinmetrishen Gravitation Ausgangspunkt zur shein)metrishen Gravitation ist in der WPT und in der ART im Fall genähert) konstanter Gravitationsfelder das originale Äquivalenzprinzip Einsteins von 1907 [9], wonah physikalishe Ersheinungen in einer fensterlosen, konstant beshleunigenden Rakete gleih ablaufen wie in einem Turm, der sih im in sehr guter Näherung konstanten Erdshwerefeld befindet. Im Sinne eines Rehentriks darf man also physikalishe Vorgänge, wie z.b. Lihttrajektorien, statt in einem Turmlabor in einem sih von der Erde mit konstanter Beshleunigung entfernenden Labor berehnen. Dabei nimmt man dann idealisierend an, dass das Erdsystem mit darin ruhender Abshussrampe ein universelles Inertialsystemt,x,y,z) sei. Weiter wollen wir ohne Einshränkung der Allgemeinheit annehmen, dass die Zeit τ im Raketensystem an einer Referenzuhr beim Beobahterteleskop abgelesen werde, sei dies nun am Fusse oder an der Spitze der Rakete bzw. des Turmes, was bedeutet, dass die Lihtgeshwindigkeit am Orte des Beobahters in der Höhe ζ = 0) beträgt. wo wir auh den Koordinatenursprung annehmen siehe auh Anhang C). Die Rükübersetzung vom Raketen- ins Turmsystem mit Shwerefeld geshieht formal durh Einführung einer Metrik g im Turmkoordinatensystem τ, ξ, η, ζ), die sih von der Inertialmetrik η untersheidet. Im Spezialfall mit konstantem Feld bzw. konstanter Raketenbeshleunigung g erhält man die Rindlermetrik mit dem höhen- bzw. ζ-abhängigen Linienelement dτ S dτ Sender meint den beim Sender bei ζ gemessenen Eigenzeittakt einer Senderuhr gegenüber dem beim Empfänger mit Lihtsignalen gemessenen Zeittakt dτ der gleihen Senderuhr; es gelte noh = 2 g und dξ = dη = 0, da wir hier nur Lihtstrahlen in Feld- oder Gegenrihtung betrahten): ds 2 = 2 dτ 2 S = g ij Rindler dx i dx j = 1 + ζ ) 2 2 dτ 2 dζ 2 mit dx i ) = dτ, dξ, dη, dζ) 7) Die ausführlihe Herleitung der sehr speziellen) Rindler-Metrik g ijrindler findet man im Anhang C, speziell in C.1, wo man auh obige Gleihung für ds 2 25) findet. Nah ART-Standardgeometrieinterpretation beshreibt das allgemeinste Wegelement ds 2 mit symmetrishem g ij, also mit 10 freien Feldern, die von den Feldgleihungen auf 6 reduziert werden, beliebige lokale Gravitationsersheinungen in beliebigen Koordinatensystemen siehe z.b. [3]). Ausgangspunkt einer solh metrishen Beshreibung der Gravitation war die inertiale, universelle Poinaré-Minkowski-Raumzeit der SRT, hier mit v in z-rihtung: ds 2 = η ij dx i dx j = 2 dt 2 dz 2 mit dx i ) = dt, dx, dy, dz) mit hier dx = dy = 0 Weil für Lihtstrahlen ds = 0 ist, erhält man daraus sofort die Gleihung für Lihtbahnen in Inertialsystemen hier läuft der Lihtstrahl annahmegemäss in z-rihtung) dz = ± dt. Weil die Bedingung ds = 0 für alle Koordinatensysteme bzw. Metriken gilt, erhält man so auh die Lihttrajektorien bei Rindler-Metrik, wie sie in unseren obigen Raketen- bzw. Turmkoordinaten vorliegt: vζ) Liht = dζ dτ = ± g00 g 33 = ± 1 + ζ ) 8) Für eine im ξ/τ)-system ruhende Uhr mit dζ dτ = 0 folgt weiter aus dem Rindlerwegelement ds2 : dτ S dτ = ν Empfänger = g 00 = 1 + ζ ) mit ν Sender = wohl definiertes Frequenznormal 9) ν Sender Das bedeutet, wenn sih der Empfänger an der Turmspitze befindet, steigt Liht, das sih vom Turmfuss zur Spitze bewegt im konstanten Gravitationsfeld auf, wobei dann mit obigen Abmahungen ζ < 0 gilt. Im umgekehrten Fall ζ > 0) mit dem Beobahter am Turmfuss fällt Liht im Gravitationsfeld dem Teleskop entgegen. D.h. für steigendes Liht nimmt die Turmkoordinatengeshwindigkeit 8) kontraintuitiv zu, bis sie beim Beobahter erreiht, für fallendes nimmt sie 8

9 ab, bis sie beim Beobahter erreiht. Misst man aber die Lihtgeshwindigkeit jeweils mit lokalen Uhren bei ζ statt mit der Referenzuhr bei ζ = 0, erhält man wieder, wie es sein muss, denn der Energieverlust oder Gewinn im Gravitationsfeld wird beim Liht niht mit einer Geshwindigkeitsänderung bezahlt, sondern mit einer Frequenzänderung. Darum ersheint steigendes Liht im Beobahterteleskop gedehnt bzw. ermüdet, was Rotvershiebung samt Zeitlupe erklärt 9), während fallendes Liht geshrumpft ersheint und blauvershoben wird; die Rotvershiebung wurde im genähert) konstanten Erdfeld mittels des Mössbauereffektes von Pound-Rebka bestätigt. Wenigstens im Prinzip direkt beobahtbar sind im Rahmen lokaler Gravitation die Lihtgeshwindigkeit, insbesondere die Zweiweglihtgeshwindigkeit, die Frequenzvershiebung und die zugehörige Zeitdaueränderung entsprehend den Gleihungen 8) und 9). In der ART werden diese Effekte meist auf einen Einfluss orts- und zeitabhängiger Metrikfelder g ij auf ruhende, lokale Uhren dt) und Massstäbe dz) zurükgeführt. In der WPT werden die Shwereersheinungen aber auf den Einfluss der Shwerkraft auf Lihtstrahlen zurükgeführt, während die Raumzeit a priori vorgegeben wird und ruhende Uhren und Massstäbe unveränderlih sind. ART- und WPT-Interpretationen wollen wir in den nähsten zwei Abshnitt etwas näher ansehen: 5.2 Die ART-Interpretationen der Gravitationsersheinungen Grundlage der ART ist die totale Geometrisierung der Gravitation, indem Geodäten der ART- Raumzeit die klassishen Bewegungsgleihungen von Testteilhen und Lihtstrahlen in Shwerefeldern ersetzen. Betrahtet man diese Geometrisierung primär als einen formalen Prozess, dann gibt es viele Interpretationsmöglihkeiten, ohne dadurh an der beobahtbaren Physik etwas zu ändern: 1. Oft nimmt man an, dass Uhren und Massstäbe im Rahmen der ART von ihrer absoluten Lage in Raum und Zeit beeinflusst werden. Quantitativ wird dies durh die Felder g ij des Metriktensors beshrieben. In lokalen, zentralsymmetrishen Fällen laufen im Allgemeinen nur unendlih ferne Uhren rihtig bzw. unbeeinflusst von Gravitation, während unter Allsymmetrie den Uhren im Shwerezentrum diese Referenzuhren-)Rolle zukommt. 2. Konsequenter ist es aber im Rahmen der reinen Geometrieinterpretation der ART die beobahterabhängigen Zeit- und Längenmasse als Projektionseffekte zu deuten. Die Projektionen werden quantitativ wieder durh die g ij beshrieben. Anshaulih: Wird ein Abstandvektor in der Raumzeit vershoben, bleibt er im Allgemeinen niht zu sih selbst parallel, auh niht zu einem entsprehenden Vektor am Orte des Beobahters. 3. Man kann obige Projektionen aber auh in folgendem Sinne als reale physikalishe Effekte ansehen, wenn man annimmt, dass die g ij Messsignale z.b. Lihtstrahlen beeinflussen. Dann ist es aber konsequenter einen Hintergrundraum ohne gravitative Wirkungen fest vorzugeben wie in der folgenden Interpretation: 4. Man kann in der ART eine Poinaré-Minkowski-Hintergrundraumzeit einführen, indem man g ij = η ij + V ij 10) setzt mit den verallgemeinerten ART-)Potentialen V ij und dem SRT-Metriktensor η. Weil der so definierte Hintergrundraum bei voller Gültigkeit der ART aber prinzipiell niht direkt und isoliert beobahtbar ist, kommt ihm in der ART keine physikalishe Bedeutung zu. In dieser Interpretation werden Uhren und Massstäbe oder je nah Interpretation die Messsignale niht durh die SRT-)Raumzeit selbst, sondern durh die verallgemeinerten Potentialfelder in der Raumzeit V ij beeinflusst. Während klassishen Potentialen keine physikalishe Bedeutung zukommt, sondern nur ihren Differenzen und Gradienten, erben obige ART-Potentiale eine solhe von den g ij : g 00 r, t) bestimmt z.b. nah Interpretation 1 den Lauf von Uhren zur Zeit t am Orte r relativ zu gravitativ unbeeinflussten Referenzuhren). 9

10 5. Man kann die obigen Felder, insbesondere die V ij, auh als Beshreibungen für einen Weltäther ansehen, was aber an den beobahtbaren physikalishen Ersheinungen auh nihts ändert. Will man nun die ART auh auf die Kosmologie anwenden und sie metrish beshreiben, müssen die Metriktensorfelder g ij wenigstens dem shwahen Weltpostulat gehorhen. D.h. zum gleihen Zeitpunkt müssen die g ij für alle Raumpunkte ununtersheidbar sein. D.h. dann aber nah der ersten der obigen Interpretationen, dass alle ruhenden Uhren überall gleih shnell laufen und dass es darum aufgrund von Ortsuntershieden von Sendern und Empfängern weder zu gravitativen Rotvershiebungen noh Zeitlupeneffekten kommen kann. Das sieht nah Interpretation 2. niht anders aus, weil dann in der Raumzeit vershobene Vektoren zu sih selbst parallel bleiben und es darum zu keinen Projektionseffekten kommen kann. Kurz: Keine der Interpretationen führt unter dem Strih zu einem andern Ergebnis. Im Rahmen der ART-Interpretationen gibt es aber folgende zwei bekannten Lösungsansätze, um die kosmishe Rotvershiebung trotzdem zu erhalten: 1. Die bekannte Friedmannkosmologie mit expandierendem All bzw. expandierender Raumzeit; g rr t) r entspriht hier obigem ζ) ist dann eine Funktion der Welt- bzw. Friedmannzeit t siehe Anhang B.2). Das entsprehende isotrope dφ = dθ = 0) Wegelement in Robertson- Walker-Form lautet: +1 sphärishe Metrik ds 2 = 2 dt 2 Rt)2 1 kr dr 2 mit k = 0 euklidishe Metrik und R = Skalenfaktor 2 1 hyperbolishe Metrik Im Konkordanzmodell der Kosmologie nimmt man heute k = 0 an: ds 2 = 2 dt 2 Rt) 2 dr 2 Rt) beshreibt den Zeitverlauf der Expansion Im Rahmen dieses Modells rührt die kosmishe Rotvershiebung von der Raumexpansion her, die im Wesentlihen der bekannten Dopplervershiebung entspriht. Rt) erhält man aus den bekannten Friedmanngleihungen, auf die wir hier niht eingehen wollen, was aber zur Folge hat, dass man Rt) im Rahmen der Standardtheorie niht nur von der zu festen Zeiten sihtbaren homogen/isotropen Massen/Energie-Verteilung im Kosmos abhängen lassen kann, sondern auh noh von exotisher, niht baryonisher, rein hypothetisher Materie abhängen lassen muss. Und damit niht genug, muss man auh noh dunkle Geister-)Energie postulieren, damit man nur shon die Leuhtkraft/Rotvershiebungs-Beziehung der Friedmannkosmologie mit den Beobahtungsdaten der Supernovae Ia in Übereinstimmung bringen kann [7], Abshnitt 2); all das verdient den Namen Wissenshaft aber niht mehr! Mit einigen Transformationen und Umbenennungen R a; t T; r R) kann man zeigen, dass obige Friedmannmetrik für alle k also niht nur für k = 0 lokal konform flah ist z. B. Kapitel 25.4 in [2]). Damit wird ein zweiter mögliher Erklärungsansatz für die kosmishe Rotvershiebung im Rahmen metrisher ART-Theorien nahe gelegt: 2. Die konforme Kosmologie mit dem Wegelement ds 2 = at, R) 2 dt 2 dr 2 ) mit v Liht = dr dt = Das WPT-Wegelement 17) ist formal ein Spezialfall dieser manifest konform flahen Metrik. Wenn man annimmt, dass Uhren und damit auh Längenmasse) altern können, dann kann man die Rotvershiebung mit dieser Formulierung statt auf Expansion darauf zurükführen, dass z.b. Atomshwingungen in früheren Zeiten langsamer waren als heute, was bedeutet, dass man annehmen muss, dass manhe Naturkonstanten zeitlih variabel sind. Eine solhe Interpretation ist aber nur shwer von der Expansionserklärung zu untersheiden, weil ein 10

11 solhes All eben niht eht statish bzw. zeitlih unveränderlih ist wie in der WPT: Die Rotvershiebung z einer Standardkerze, deren Abstand sih zu uns niht ändert, müsste im Rahmen einer solhen Theorie z.b. mit der Zeit ähnlih zunehmen wie in einem beshleunigt expandierenden Kosmos, während z einer gegenüber uns ruhenden Standardkerze bei Gültigkeit der WPT zeitlih konstant bleiben muss. 5.3 Die WPT-Interpretation der Gravitationsersheinungen Als Ausgangspunkt für die WPT-Interpretation bietet sih obige vierte ART-Interpretation an, ausser dass der Potentialsiht Priorität über die Metriksiht eingeräumt wird. Im Falle lokaler Gravitationsersheinungen dekt sih diese Interpretation im Wesentlihen mit der WPT, die mindestens auf kleinen Skalen bzw. bei genügend grossen Feldstärken mit der ART mindestens den postnewtonshen Näherungen der ART übereinstimmen muss, wenn sie niht mit den Beobahtungen in Widerspruh geraten will. Anders sieht dies aber auf grössten Skalen, also in der Kosmologie, aus: Unter Allsymmetrie gilt nämlih in der WPT der Fundamentalsatz der kosmishen Gravitation 4, was bedeutet, dass die kosmishen Shwerepotentiale und Felder nur noh testteilhenbzw. lishtstrahlrelativ sinnvoll definiert werden können; das geht noh einen Shritt über die NK- Definition von Potentialen und Feldern hinaus. Zur Verdeutlihung vergleihen wir beispielhaft für idealisierte, zentralsymmetrishe Fälle die Shwerezentren in der newtonsh/lokalen, ART/lokalen und kosmishen, in der NK/kosmishen- und der WPT/kosmishen Gravitationstheorie: 1. Newton-lokal ist ein Shwerezentrum bei Zentralsymmetrie durh eine shwere Masse absolut definiert, z.b. im Planetensystem in guter Näherung durh die Sonne. 2. ART-lokal ist ein Shwerezentrum auh durh eine dominante shwere Masse wie die Sonne absolut definiert. 3. ART-kosmish dürfen unter Annahme des Weltpostulats ART-Metriken und damit auh ART-Potentiale niht ortsabhängig sein, da über 10) definierte Potentiale in der ART von den g ij eine eigene physikalishe Bedeutung erben, was letztlih bedeutet, dass es in der ART-Kosmologie keine beobahtbaren) Shwerezentren gibt. 4. In Newtonsher Kosmologie NK) müssen die unphysikalishen Potentiale niht homogen und damit räumlih konstant sein, womit sie formal ein Zentrum auszeihnen können. Jeder beliebige Allpunkt kann so als Shwerezentrum in R = 0 und als Zentrum einer virtuellen Vollkugel mit Radius R und homogener Dihte ρ definiert werden; das zugehörige, virtuelle) Potential V ist dann nah Newton V R) = 2π 3 GρR2 siehe auh A.2). Der Abstand Rt) zum willkürlih gewählten Zentrum beshreibt die Dynamik Expansion oder Implosion) der virtuellen Vollkugel und damit weil Rt) für alle virtuellen Kugeln gleih ist auh des Alls. Rt) kann man darum geeignet normiert in der NK wie in der ART-Kosmologie auh als Skalenfaktor interpretieren, was bedeutet, dass es kein beobahtbares) Zentrum gibt. 5. In der WPT-Kosmologie ist das Shwerezentrum nah dem Fundamentalsatz der kosmishen Gravitation 4 der momentante Aufenthaltspunkt oder Startpunkt einer Testmasse oder eines Lihtstrahls, was bedeutet, dass Potentiale und Felder in der WPT nur testteilhenoder lihtstrahlrelativ definiert sind. Für Lihtstrahlen kann darum ihre jeweilige im Weltsubstrat ruhend angenommene Quelle, z.b. eine Supernova oder eine ferne Galaxie, die Rolle des Shwerezentrums übernehmen, wo bei r = 0) das WPT-Potential vershwindet. Weil Supernovae und Galaxien im All absolut definiert sind, ist dies eine besonders sinnvolle Wahl. 6. Die WPT-Kosmologie in sheinmetrisher Formulierung vererbt über 10) der von ihr benützten Metrik die Testmassen- bzw. Lihtstrahlrelativität des WPT-Potentials. D.h. Testmassen und Lihtstrahlen haben jeweils ihre eigene Welt- bzw. WPT-Metrik mit absolut ausgezeihnetem Zentrum beim realen oder virtuellen Startpunkt. 11

12 Gravitationsfelder bzw. ihre Quellen definieren lihtunabhängig lokale Distanzen, und auf kosmishen Skalen definieren sie über die aktual unendlihe Massenshale ein inertiales SRT-)Weltruhesystem, das dem absoluten Raume Newtons entspriht, das aber anders als Newtons absoluter Raum auf kosmishen Skalen bzw. bei genügend shwahen lokalen Shwerefeldern Ruhe vor Bewegung physikalish auszeihnet. In der Kosmologie, also im Rahmen kosmisher Gravitation unter Allsymmetrie kann nur die kosmishe Frequenzvershiebung und Zeitdilatation 9) direkt gemessen werden, aber niht mehr die Lihtgeshwindigkeit 8). Diese darf und muss) dann aber siehe 4.2.3) wie in der SRT und der konformen Kosmologie als konstant angenommen werden. Deswegen muss man die Rindlermetrik 7) um dem Weltpostulat zu genügen in die WPT-Metrik abändern, indem man unter Beahtung von Gleihung 8), die die Lihtgeshwindigkeit in einem konstanten Gravitationsfeld angibt, g 33 = g 00 setzt, was die experimentell bestätigte Pound-Rebka-Beziehung 9), die die gravitative Rotvershiebung und Zeitdilatation angibt, unverändert lässt. Das ist zulässig, da wir die metrishe Beshreibung mittels der g ij niht als fundamental wie in der ART ansehen. Die g ij bedeuten uns physikalish niht viel mehr als Polynomkoeffizienten einer Ausgleihsrehnung; wesentlih sind darum physikalish allein die Beziehungen 8) und 9). Beobahtbar ist aber auh die sheinbare Leuhtkraft von Standardkerzen. Weil in der WPT anders als in der ART der wahre absolute Raum a priori bzw. etwas vertiefter betrahtet durh die aktual unendlihe Massenshale vorgegeben ist, kann man die sheinbare Leuhtkraft einfah ausrehnen: Sie ergibt sih bei bekannter gravitativer Rotvershiebung aus der Lihtlaufdistanz im SRT-)Weltruhesystem der WPT, womit man dann auh die theoretishe Leuhtkraft/Rotvershiebungs-Beziehung der WPT ausrehnen kann, die im Rahmen der Messgenauigkeiten und systematishen Unsiherheiten mit den bisherigen Beobahtungsdaten gut übereinstimmt, obwohl sie nur von der mittleren Dihte ρ =ρ des Alls abhängt, die zwar prinzipiell niht direkt messbar ist, aber indirekt aus H ermittelt mit der Dihte ρ 0 auf den grössten, bekannten Skalen etwa übereinstimmt, genauer auf ein bis zwei Grössenordnungen. Solh präzise Aussagen ganz ohne eht freie Parameter! übersteigen die Möglihkeiten der Standardkosmologie bei weitem. 6 Shlussfolgerungen Der Einbezug einer aktual unendlihen Massenshale mit Dihte ρ in ein Allmodell, die in einem Mah/Newton -Sinne für die Trägheitsersheinungen verantwortlih ist und neu auh für eine für Liht konstante Weltbremsbeshleunigung -H auf kosmishen Skalen, aus der über Äquivalenzraketenbetrahtungen und damit über die Rindlermetrik die für die Kosmologie zuständige WPT- Metrik folgt, führt zu einer Modifizierung der klassishen lokalen und kosmishen Gravitation. Dies ist aber nur widerspruhsfrei möglih, wenn man die ART-Geometrieinterpretation durh eine shein)metrishe Lihtermüdungsinterpretation in einer wahren SRT-Hintergrund-)Raumzeit ersetzt, was auh die Probleme zwishen QM und Gravitation stark reduzieren sollte. Damit erhält man die korrekte, beobahtete kosmishe Leuhtkraft/Rotvershiebungs-Beziehung samt Zeitlupeneffekt in einem genügend grossskalig statishen All ohne Urknall mit nur einem leiht freien 8π Parameter, der Hubblekonstante H = 3 Gρ. Weiter muss man bei Rihtigkeit der WPT bei Auswertungen der Supernovae-Daten mittels der heute euklidish angenommenen) Standardkosmologie eine beshleunigte Expansion gerade etwa so, wie sie ermittelt wurde zwingend finden, während sie aus Standardsiht völlig unverständlih ist. Diese nur sheinbar reale) Beshleunigung entspriht nämlih gerade etwa der niht realen) Beshleunigung der oben genannten Äquivalenzrakete im Sinne eines Rehentriks. Mittels eines physikalish plausiblen Einbezugs der Weltbremsbeshleunigung in die Himmelsmehanik kann zudem die MOND-Artigkeit im Aussenbereih von Spiralgalaxien ohne dunkle Materie erklärt werden siehe [6, 7]), während die Hintergrundstrahlung primär auf rotvershobenes ermüdetes) und nahthermalisiertes Sternenliht zurükgeführt wird [7]. 12

13 All dies übersteigt die Möglihkeiten der Standard-Kosmologie und aller mir bekannten Alternativen, aber auh der Standard-Himmelsmehanik auf galaktishen und grösseren Skalen bei weitem. Literatur [1] Johannes Kepler, Neue Astronomie, übersetzt und eingeleitet von Max Caspar, Verlag R. Oldenbourg, Münhen-Berlin 1929, speziell Seite 26 [2] H. Stephani, Allgemeine Relativitätstheorie, VEB Deutsher Verlag der Wissenshaften, 1988 [3] Ekhard Rebhan, Theoretishe Physik, Spektrum Akademisher Verlag, 1999, speziell Teil V, Abshnitt 31.1 Newton-Kosmologie [4] Otto Hekmann, Theorien der Kosmologie, Springer Verlag, berihtigter Nahdruk 1942/1968, speziell der 1. Teil [5] Peter Wolff, Dunkle Materie: Ein Überblik, Juli/August 2007 [6] Peter Wolff, Weltpotentialtheorie Kosmologie ohne Urknall und dunkle Materie oder Das Unendlihe und die Shwerkraft, 6. Okt. 2007; diese Arbeit ist teilweise etwas überholt. [7] Peter Wolff, Kosmologie ohne Urknall und Dunkle Materie oder Weltgravitation als Ursahe von müdem Liht und MOND, 9. Feb [8] Peter Wolff, Kosmologie ohne Urknall und dunkle Kräfte oder Urknall und beshleunigte Expansion: alles nur ein Trugbild müden Lihts, 14. Sept [9] A. Einstein, Über das Relativitätsprinzip und die aus demselben gezogenen Folgerungen, Jahrb. d. Radioaktivität u. Elektronik. IV, 1907, Kapitel V, 17, speziell letzter Abshnitt, Seite 454. Itaslen und Fatshel im November Version mit den neuen Anhängen B, C, D und E Juni/Juli 2009: 4. Version mit neuem Abshnitt 5, einem Überblik zur sheinmetrishen WPT- Gravitation, und erweitertem Anhang E, was zwar kaum Neues bringt, aber hoffentlih die Verständlihkeit verbessert. Sonst gibt es ausser in den shon zuvor niht mehr aktuellen Shlussfolgerungen nur ganz wenige, kleine Änderungen, vor allem aus Rüksiht auf bisherige Leser. Mai 2011: 5. Version mit primär didaktishen Verbesserungen, vor allem in den Unterabshnitten zur ART- und WPT-Interpretation im Überblik zur sheinmetrishen WPT-Gravitation 5, aber auh die Anhänge wurden etwas verbessert und Anhang D.2 leiht erweitert. 13

14 A Potentialbegriffe in der Kosmologie Wir beshränken uns auf ein homogenes Allsubstrat mit isotropem Potential und zugehörigem Shwerefeld mit real/absolutem oder nur relativ/effektivem Gravitationszentrum. Ausgehend vom newtonshen, konservativen, zentralsymmetrishen Potential über das relative Weltpotential der Newtonshen Kosmologie gelangen wir zum testteilhen- bzw. lihtstrahlrelativen Weltpotential der WPT-Kosmologie mit allsymmetrisher Weltbremsbeshleunigung: A.1 Absolutes, klassishes Punktmassen- und Vollkugelpotential V r) = G M r oder mit M = 4π 3 ρ r3 V r) = 2π 3 G ρ r2 mit G = Grav.Konst. 11) M ist eine Punkt- oder Vollkugelmasse mit Radius R; r< R) ist der Abstand einer Testmasse zum Mittelpunkt der felderzeugenden Masse M. Die Kraft bzw. Shwerebeshleunigung ar) auf die Testmasse ist damit für die zwei Fälle für kosmologishe Probleme ist der Vollkugelfall passender): ar) = grad V r) = G M r r 2 bzw. ar) = 4π r 3 G ρ r r r Metrish sind äussere und innere kosmologienähere) Shwarzshildmetrik zuständig siehe B.1). A.2 Das relative Weltpotential der Newtonshen Kosmologie NK) V r) = 2π 3 Gρ r2 oder mit M = 4π 3 ρ r3 = konst. V r) = G M r M = konst. gilt bei und nur bei angenommener Hubbleexpansion, weil sih dann Weltsubstratteilhen auh bei sih änderndem r niht gegenseitig überholen können. r ist hier der Abstand zwishen zwei beliebigen Punkten A und B in einem idealisierten, homogen/isotropen Allsubstrat mit der momentanen Massendihte ρ. Das Allsubstrat soll im Sinne eines idealisierten, einfah behandelbaren Modelles nur gravitativ wehselwirken. Als Gravitationszentrum kann willkürlih A oder B angesehen werden; der jeweils andere Punkt symbolisiert dann die Testmasse im Zentralfelde einer virtuellen), homogenen Massenkugel mit Radius r und der Masse M. Diese Definition findet man shon bei Hekmann früherer Präsident der internationalen Astronomishen Union IAU), erster Direktor der ESO und Autor des Buhes über die Theorien der Kosmologie ) auf Seite 18 in [4]: Anshaulih heißt der Ausdruk 20) [hier 12)a], daß zwishen zwei Raumpunkten A und B vom Abstand r eine Potentialdifferenz herrsht, die man erhielte, wenn man alle Materie der Welt fortdenkt außer derjenigen, welhe in einer Kugel vom Radius r mit dem Zentrum A oder in der ebensogut möglihen vom Zentrum B liegt. Man bräuhte die Materie ausserhalb der virtuellen Kugeln noh niht mal fortzudenken; es genügt, dass sie die Kugeln isotrop umshliesst: sie ist dann nah Newton wie ART ohne Einfluss. Der Abstands-Definition von r wegen sheint ein Allsubstratelement von allen Weltpunkten angezogen zu werden, was expansionshemmend und implosionsverstärkend wirkt. D.h. aber, dass in der NK jeder Weltpunkt, wie ein effektives, virtuelles Shwerezentrum behandelt werden kann. Die so definierte Gravitationsbeshleunigung ist ihrer r-abhängigkeit wegen im Allgemeinen trotzdem niht homogen, sondern nur im dynamishen Spezialfall mit Hubbleexpansion oder Implosion, was zur völligen formalen Übereinstimmung von 12) mit 11)a führt, allerdings bei vershiedenen Bedeutungen von r. Die zugehörige Metrik ist die Friedmann/Lemaître-Metrik B.2 der Standardkosmologie mit integrierter Hubbledynamik Rt). Verlangt man aber in Analogie zu Keplers Begründung des lokalen Shwerkraftgesetzes für die kosmishe Gravitation immer Homogenität und niht nur für einen dynamishen Spezialfall, gelangt man zum Weltpotential der WPT: 12)

15 A.3 Das Weltpotential mit allsymmetrisher Weltbremsbeshleunigung V r) = k f r, wobei k eine Konstante und f eine Funktion von Testmassengrössen ist. 13) Vr) darf trotz verlangter Homogenität für physikalish messbare Grössen dazu gehört V, anders als z.b. eine Potentialdifferenz V, aber niht! noh von Testmassengrössen wie der Geshwindigkeit v abhängen. r ist der Abstand einer Testmasse im freien Flug vom Startpunkt, der immer auh mit dem momentanen Aufenthaltspunkt der Testmasse identifiziert werden darf; mit dieser fundamental wihtigen WPT-Definition von r verlassen wir die Newtonshe Kosmologie. Aus dem so testmassenrelativ definierten Vr) ergibt sih nun die gravitative Weltbeshleunigung a Welt auf eine Testmasse, die sih von ihrem momentanen Aufenthaltspunkt um dr entfernt: a Welt = grad V r) dr V r) = r dr = k f dr, was für dr = 0 singulär ist. dr Die Singularität lässt sih mit einem v-abhängigen, halbklassishen Faktor f v ) = fβ) beheben, da im Gravitationszentrum ruhende Testmassen keine Beshleunigung erfahren: a Welt = k fβ) dr dr = k fβ) v v mit f0) = 0 und f> 0) = 1 v ist die momentane Geshwindigkeit, und weil der infinitesimale Vershiebungsvektor dr die gleihe dr Rihtung hat wie die momentane Geshwindigkeit v mom. = dt, gilt dr dr = v v. D.h. jetzt zeigt sih auh formal, dass a Welt einer universellen Bremskraft entspriht. Weiter sollte fβ) niht unstetig wie oben, sondern möglihst allgemein als stetiges fβ) mit f0) = 0 und f1) = 1 definiert werden, denn die Natur ist nur selten unstetig: a Welt = kfβ) v v mit f0) = 0 und f1) = 1 bzw. für Liht mit f = 1 a Welt = k Ein einfaher Ansatz für obiges f ist fβ) = β ν, und bis jetzt sheint ν=1 eine zulässige Annahme zu sein, die aber noh besser an Beobahtungsdaten zu prüfen sein wird: a Welt = kβ v v = k v Die zum lihtstrahlrelativen Weltpotential gehörige, wihtige Lihtstrahlweltmetrik ist im Wesentlihen die Rindlermetrik, die eine Trägheitskraft der aktual unendlihen Massenshale), aber eben keine Gravitationskraft einer lokalen Massenverteilung beshreibt, wie es im Rahmen der WPT so sein muss; mehr zur kosmologishen Weltmetrik der WPT findet man im Anhang B.3. Ein hier niht vorgeführter Vergleih mit der kosmishen Rotvershiebung und der Newtonshen Kosmologie ergibt für Liht in einem idealisierten, homogenen Weltsubstrat mit der Dihte ρ: 8π 8π V r) = k r = H r = 3 G ρ r bzw. H = 3 G ρ und damit a Welt = H v 14) H ist die Hubblekonstante, die in der WPT wie die Massendihte ρ konstant ist, und ist die Lihtgeshwindigkeit. Die Weltbremsbeshleunigung a Welt führt niht nur sofort zur kosmishen Rotvershiebung und zum beobahteten Zeitlupeneffekt z.b. bei Supernovaexplosionen, sondern genügend grossskalig auh zu einem stabil statishen All, womit die WPT im klaren Gegensatz zur Urknallkosmologie, die ihre Hubbledynamik postulieren muss in sih konsistent ist. Etwa grössenordnungsmässig korrekt erhält man aus ρ mit 14)b auh noh H. Etwas weniger direkt folgt die MOND-Artigkeit der Spiralgalaxiendynamik. Und niht zuletzt entspriht die WPT-Kosmologie einer Lihtermüdungstheorie auf der Basis gesiherter Laborphysik Pound/Rebka), an der alle üblihen und shon alten Einwände gegen solhe Theorien bisher gesheitert sind. Dies alles übersteigt die Möglihkeiten der Standardkosmologie bei weitem. 15

16 B Metrikansätze in der Kosmologie Im Folgenden beshränken wir uns auf den Fall eines homogenen Allsubstats. Ausgehend von einer homogenen, endlihen Vollkugel mit Radius Rt), Massendihte ρt) und Masse M = 4π 3 Rt)3 über eine homogene, potential unendlihe Vollkugel kommen wir shliesslih zur homogen/isotropen, aktual unendlihen Massenverteilung der WPT-Kosmologie. Weil in den um einen realen oder auh nur effektiven Shwerpunkt isotrop angenommenen Modellen nur Radialbewegungen interessieren, wie dies lokalen, zentral- und kosmishen, allsymmetrishen Problemen angemessen ist, darf man dφ und dθ null setzen, was die Definitionsgleihungen für die Metriken deutlih vereinfaht. B.1 Endlihe und potential unendlihe hom. Vollkugel Shwarzshild) ds 2 = 1 r ) S r 2 dt r S /r dr2 für r R bzw. ds 2 = 2 dt 2 Rt)2 1 kr 2 dr2 für r R 15) r S = 2GM ist der Shwarzshildradius und r der Abstand vom Kugelzentrum, das auh für R 2 niht verloren gehen kann. Die erste Metrik nur für endlihe R ist die äussere Shwarzshildmetrik und die zweite die innere, wenn wir den Druk im Kugelinneren vernahlässigen, wenn also die radiale Dynamik eines Staub- oder Kuhenalls Implosion oder Expansion) nur durh Gravitation und die Anfangsbedingungen Rt) und Ṙt)) bestimmt wird. Weiter gilt M = 4π 3 Rt)3 = konst., und k = 1, 0 oder -1 gibt die Art des mathematishen) Raumes an: sphärish, euklidish oder hyperbolish. Diese beiden Metriken entsprehen den üblihen, absoluten Potentialen in A.1. B.2 Aktual unendlihe homogene Vollkugel Friedmann) In aktual unendlihen Modellen ohne physikalish ausgezeihnetes Shwerezentrum wird der Radius Rt) durh einen Skalenfaktor ersetzt, der alle Abstände zwishen beliebigen Punkten A und B im Modellall skaliert. Damit erhält man die bekannte Friedmann-Metrik, die in der Formulierung von Robertson-Walker r statt χ als Variable) physikalish direkter bzw. einfaher interpretierbar ist: ds 2 = 2 dt 2 Rt)2 1 kr 2 dr2 = 2 dt 2 dd2 mit ddr) = Rt)dr und vt) = Ḋr) = Ṙt) dr 16) 1 kr2 Ṙ Diese Metrik enthält im Skalenfaktor Rt) das Hubblgesetz Ṙt) = Ht) Rt) mit H = R ). r genauer D ist hier im Wesentlihen der Abstand zwishen zwei beliebigen Punkten A und B in einem idealisierten, homogen/isotropen Allsubstrat mit der Massendihte ρt) wie im Falle der physikalish sehr instruktiven Newtonshen Kosmologie. Formal ist r die radiale Koordinate in gaußshen Normalkoordinaten. Anshaulih sind dies die im Weltsubstrat mitshwimmenden Koordinatensysteme. Zu jedem Allpunkt gehört ein solhes natürlihes Bezugs- oder Koordinatensystem, und diese sind im Rahmen der Standardkosmologie alle relativ zueinander bewegt. Die Metrik in Normalkoordinaten 16) und die Metrik in Absolutkoordinaten 15)b stimmen formal völlig überein, allerdings bei vershiedenen Bedeutungen von r. Die Friedmann-Metrik erfüllt anders als das zugehörige Newtonshe Potential in A.2 das Weltpostulat bzw. das shwahe kosmologishe Prinzip, da die Hubbledynamik in der Friedmann-Metrik integriert ist und niht zusätzlih postuliert werden muss, was die Problematik aber niht besser maht, sondern sie nur besser verstekt: Das Weltpostulat kann nur durh eine ganz spezielle, physikalish niht begründbare Dynamik des Weltsubstrats oder meinetwegen der Raumzeit) erfüllt werden. In der WPT gehen wir sozusagen in der Nahfolge von Kepler ganz anders vor, indem wir das kosmishe Shwerkraftgesetz aus dem Weltpostulat herleiten, analog wie Kepler das lokale Shwerkraftgesetz aus der Zentralsymmetrie und einer Vorwegnahme des Gaußsatzes begründete:

17 B.3 Homogen/isotropes, aktual unendlihes Allsubstrat WPT) Ausgangspunkt für eine shein)metrishe WPT-Kosmologie ist das Äquivalenzprinzip zwishen einem konstant beshleunigten Bezugssystem und einem konstanten Gravitationsfeld, denn die WPT kennt eine konstante, gravitative Weltbeshleunigung H, die dominant auf alle Lihtstrahlen wirkt, die Allgebiete durhlaufen, in denen die lokalen Felder gegenüber dieser Weltbeshleunigung vernahlässigbar sind, und dies gilt bis auf allfällige Ablenkungen durh lokale Massenverteilungen Linseneffekte) für alle Gebiete, die fernes Liht bis in unsere Teleskope durhlaufen kann. Damit ist für die WPT-Kosmologie im Wesentlihen die Rindlermetrik mit der konstanten Shwerebeshleunigung H zuständig, die der Metrik in einer H-beshleunigten, virtuellen Äquivalenzrakete entspriht, in der der Lihtsender S beim Ende und der Empfänger E an der Spitze ist. Dies findet man im Anhang C, speziell in C.2, von wo wir die WPT-Metrik 27) übernehmen; wir shreiben aber R und T an Stelle von r und τ und τ statt τ S G = Gravitationskonstante, ρ = Dihte des idealisierten Allsubstrats und H R = V = lihtstrahlrelative Weltpotentialdifferenz zwishen Sender bei R = 0 und Empfänger bei R): ds 2 = 2 dτ 2 = 1 H R ) 2 2 dt 2 dr 2 ) und mit Ṙ = 0 dτ dt = 1 H R ; H = 8π 3 G ρ 17) 1 = Das physikalish wihtige dτ dt ist gleih wie in der Rindlermetrik. Den Beobahter bzw. das Teleskop denken wir uns aber bei R = T und den virtuellen) Lihtstrahlstartpunkt bzw. Sender bei R = T = 0. Die Polar-)Koordinaten des zugehörigen, wahren, entzerrten, globalen Inertialsystems, ebenfalls mit Nullpunkt beim Sender, nennen wir r und t; es entspriht dem Startram- peninertialsystem in der Äquivalenzraketenrehnung. R und T auh r und t sind nur in einer grosslokalen Umgebung des Senders direkt und fast) unverfälsht messbar. R darf man als den sheinbaren) Abstand vom Sender bei r = R = 0 zum Empfänger bei R ansehen und T als die sheinbare) Lihtlaufzeit, wenn man bei der Lihtemission t = T = τ = 0 setzt, wo τ die Eigenlihtlaufzeit angibt, die von der Lihtstrahluhr, z.b. einem monohromatishen Lihtstrahl, angezeigt und aufsummiert wird. Dieser Lihtstrahl stellt über seine inverse Frequenz eine Uhr dar: ν E sei die Frequenz, wenn man sie beim Empfänger misst und ν S, wenn man sie direkt beim Sender oder an einer beliebigen Stelle bei einem virtuellen Sender des Lihtstrahls auf dem Wege zum Empfänger misst. Wegen dτ dt = νe und z = νs ν E 1 erhält man aus 17) die Rotvershie- 1 bung z = 1 H R folgt noh dz = H dr H R 1 H R = dv ν S und für H R 1 das Hubblegesetz z v H R; infinitesimal. Weil R und T ausser für kleine Werte niht direkt beobahtbar 2 sind, sondern nur z, drüken wir R = T und dt durh z und dz aus: R = H z 1 + z bzw. 1 H R = z und aus obigem dz = H dr folgt dt = dz H 18) dτ und dt haben hier zwei untershiedlihe Bedeutungen: Einerseits meinen sie ein sheinbares, ferngemessenes) Zeitmass beim virtuellen) Sender bzw. das reale) Eigenzeitmass einer Lihtstrahluhr dτ z.b. einer sharfen Spektrallinie) und das zugehörige Eigenzeitmass dt einer Empfängeruhr, und andererseits meinen sie einen infinitesimalen Zeitshritt des Lihtstrahls auf dem Wege vom Sender zum Empfänger; bei genügend kleiner Wahl der Zeitmasse aber nur dann! können die Zeitmasse auh als infinitesimale Zeitshritte dienen, wovon in 18) Gebrauh gemaht wird. In 18) entspriht dz nämlih der infinitesimalen z-änderung, wenn das Liht während einer infinitesimal kurzen Zeitspanne dt bzw. dτ = dt) die infinitesimal kleine Potentialdifferenz dv = H dr durhläuft. Damit folgt unter Beahtung von 18) durh Integration aus 17)b die mit einer Lihtstrahluhr gemessene Eigen-)Lihtlaufzeit τ l vom Sender zum Empfänger, wenn die bekannte, totale Frequenzvershiebung zwishen Sender und Empfänger z beträgt siehe auh [8], Abshnitt 5.3): dτ = g 00 dt = 1 H R ) dt = z dt = 1 dz 1 + z H und daraus τ ln1 + z) lz) = H 19) 17

18 dt, das Eigenzeitintervall der als ruhend angenommenen Teleskopuhr, gibt auh das universell gültige, kosmishe WPT-Zeitmass dt an wie jedes Eigenzeitintervall einer ruhenden) Uhr. Die Beziehung zwishen t und T liefert Gleihung 23) t = T H sinh T T H aus Anhang C.1, wobei in der WPT T H = 1 H ist. Durh Einsetzen von τ lz) in 23) folgt die wahre, entzerrte) kosmishe Lihtlaufzeit t l z) mit der wahren, entzerrten) Senderdistanz D l z) im inertialen WPT-Absolutsystem: t l z) = sinhln1 + z)) H und D l z) = H sinhln1 + z)) 20) Dieses Resultat findet man auh im Abshnitt von [6]. D.h. die metrishe WPT-Formulierung führt zur gleihen Lihtlaufdistanz, wie sie auh direkt aus Einsteins Äquivalenzraketenmodell folgt. Für Standardkerzen führt dies shliesslih zur Helligkeits-Rotvershiebungs-Beziehung der WPT Abshnitt 5.3 in [8] und Abshnitt in [6]), die die bisherigen Beobahtungen im Rahmen der Messgenauigkeiten hinreihend gut beshreiben kann Abshnitt 5.2 in [6]). Obiges Vorgehen weiht stark vom üblihen, metrishen ART-Vorgehen ab, weil in der WPT- Kosmologie die ART-Metrik-Interpretation zu Widersprühen führt, während in der lokalen ART- Gravitationstheorie bisher beide Interpretationen möglih sind. Die neue Sheinmetrik-)Interpretation ist aber auh in der lokalen Gravitationstheorie der ART-Interpretation überlegen, weil sih mit ihrer Hilfe die Shwarzshildmetrik shon ohne Feldgleihungen begründen, mindestens plausibel mahen lässt siehe C.3). Für die formale Umsetzung des Fernmesskonzeptes in der WPT-Kosmologie, das auf der gravitativen realen!) Lihtermüdung 33) beruht, führen wir lokale Koordinaten- bzw. Bezugssysteme ein, die inertialen, im Allsubstrat mitshwimmenden Fundamental- oder gaußshen Normalsystemen der Standardkosmologie im statishen Grenzfall mit H gegen 0 entsprehen. Die Rolle von v 2, dem Relativgeshwindigkeitsquadrat zweier Inertialsysteme, in der SRT übernimmt in der WPT R, der sheinbare) Abstand zweier kosmisher Lokalsysteme; zu jedem Allpunkt gehört ein solhes kosmishes Lokalsystem, also z.b. auh zum ruhenden) Sender und Empfänger eines Lihtstrahls. Welttransformationen, die im Anhang E beshrieben sind, stellen die Beziehung zwishen den Koordinatensystemen vershiedener, inertialer Lokalsysteme z.b. zweier kosmish weit entfernter Galaxien her. Weil alle Lokalsysteme in der idealisierten) WPT-Kosmologie relativ zueinander ruhen, zeihnet die WPT Ruhe vor Bewegung aus, weshalb sih kosmishe, inertiale Lokalsysteme niht durh Relativgeshwindigkeiten, sondern nur durh Relativabstände von einander untersheiden. Manhes wird klarer, wenn man die WPT-Metrik 17) mit Hubbleradius = H, Hubblezeit T H = 1 H und R = T etwas umshreibt: ds 2 = 1 R ) 2 2 dt 2 dr 2 ) = 1 T ) 2 2 dt 2 dr 2 ) und mit T Ṙ = 0 dτ H dt = 1 R Man sieht daraus, dass bzw. T H in der WPT die gleihe Rolle zukommt wie in der SRT: und T H entsprehen einer Grenzdistanz bzw. einer solhen Dauer, und lässt man ρ, die mittlere Allsubstrat- bzw. Massenshalendihte, gegen 0 gehen, geht auh H gegen 0, während und T H gegen gehen, womit für ρ = 0 also beim Fehlen einer aktual unendlihen Massenshale die WPT-Metrik in die SRT-Metrik übergeht, wie es sein muss. Interpretativ entsprehen, T H und ) unendlihen Grössen, die ihre Endlihkeit nur der Fernmessproblematik bzw. Spurab)bildungen) verdanken, weil Liht zum Zurüklegen der Distanz unendlih viel Zeit t l auh Lihtstrahleigenzeit τ l brauht, aber gar keine Lihtstrahleigenzeit zum Zurüklegen einer beliebigen endlihen Distanz im leeren, gravitationsfreien Raum der SRT. Man beahte auh: In der SRT gilt dτ dt = 1 v2 statt dτ 2 dt = 1 R wie in der WPT, und in der SRT führen Fremdmessungen zu gegenseitigen sheinbaren) Zeitdilatationen und Längenkontraktionen, während in der WPT Fernmessungen zu gegenseitigen sheinbaren) Zeit- und Längendilatationen führen. 18

19 C Äquivalenzrakete, Rindler-, Shwarzshild- und WPT-Metrik Wir wählen einen mehr physikalish als mathematish geprägten Zugang zur Rindlermetrik, der auh einen direkten Zugang zur Shwarzshild- und WPT-Metrik ohne Rükgriff auf die ART-Feldgleihungen und Metrikinterpretation erlaubt einen Standardzugang gibt es z.b. von Resag): Die Skizze links stellt eine Äquivalenzrakete nah dem Vorbilde von Einsteins berühmtem Fahrstuhl dar, weswegen man sie als konstant beshleunigende Rakete oder als Kirhturm im konstanten Gravitationsfeld ansehen kann, an dessen Boden sih ein Lihtsender befinden soll und an dessen Spitze ein Empfänger Pound/Rebka). Das x/z-koordinatensystem symbolisiert ein einbettendes Inertialsystem in y-blikrihtung) und das ξ/ζ-system in η-blikrihtung) symbolisiert das Raketen- bzw. Turmsystem; die Ahsen beider Systeme werden ohne Einshränkung der Allgemeinheit parallel angenommen. Im Pound-Rebka-Falle des Turms entsprehen sih klassish das x/z- und das ξ/ζ-system, was aber bei Gültigkeit von Äquivalenzprinzip und SRT niht sein kann, weil sih Zeit- und Strekenmassstäbe zwishen zueinander bewegten Systemen im Allgemeinen untersheiden, wenn sie gemäss den SRT-Messregeln verglihen werden. Der Nullpunkt des ξ/ζ-systems liege wie in der Skizze an der Spitze der Rakete, und der Nullpunkt des Inertialsystems liege zum simultanen Startzeitpunkt t = 0 von Rakete und betrahtetem Lihtstrahl ebenfalls im Empfänger an der Raketenspitze. Für den Startzeitpunkt wählen wir t = τ = 0, wobei t die Zeit meint, die mit im Inertialsystem SRT-synhronsisierten Uhren gemessen wird, und τ die Eigenzeit der Empfängeruhr an der Raketenspitze. Zuerst betrahten wir die Situation in einer realen Rakete, deren Bewegung wir im globalen, inertialen x/y/)z/t-bezugssystem beshreiben, in dem die Rakete auh gestartet wird: C.1 Rindlermetrik in Raketenkoordinaten Nah dem shon 1907 von Einstein formulierten Äquivalenzprinzip [9] zwishen einem konstant beshleunigten Bezugssystem in einem Inertialsystem und einem konstanten Gravitationsfeld in ζ-rihtung) in einem ohne dieses Feld) inertialen System kann man den Einfluss dieses Shwerefeldes auf einen Lihtstrahl in ζ-rihtung ersatzweise berehnen, indem man die Lihtbahn im lokalen Raketenkoordinatensystem ζ/τ berehnet, wozu bereits die Mittel der SRT reihen: Mit Hilfe der hyperbolishen Raketengleihung siehe z.b. [3], Abshnitt ) erhält man nämlih die Flugzeit t und die Streke z der Raketenspitze für eine beliebige, vorgegebene Eigenflugzeit τ, wenn die Lihtgeshwindigkeit ist und g die konstant angenommene Beshleunigung: t = g sinh g τ τ und z = 2 g [ osh g τ ] 1 g 2 τ2 g 2 t2 21)

20 Für kleine t bzw. g τ erhält man, wie man obigen Näherungsausdrüken entnehmen kann, bis auf das Vorzeihen von z die Äquivalenzrakete beshleunigt in positiver z-rihtung) das bekannte galileishe Fallgesetz im genähert) konstanten Erdfeld, wie es sein muss. Uns interessiert hier aber vor allem der Zusammenhang zwishen ζ und τ für einen Lihtstrahl auf dem Wege vom Sender zum Empfänger. Ein solher Lihtstrahl, der zur Zeit t = τ = 0 vom realen oder auh nur virtuellen) Sender ausgeht und nah einer Zeitdauer t beim Empfänger an der Spitze ankommt, muss im Inertialsystem betrahtet niht nur die Streke z, sondern die Streke z+h S zurüklegen, was zu folgender Beziehung für die Lihtbahn im Raketensystem führt: t = 2 g sinh g τ = z + h s = 2 g [ osh g τ ] 1 + h S 22) Bei der oben vorgenommenen Wahl des Zeit- und Ortsnullpunktes an der Raketenspitze beim Start der Rakete gilt t = t, τ = τ und h S = ζ S wegen ζ = ζ Empfänger ζ Sender = ζ Sender ζ S. Weiter wollen wir noh die Grössen = 2 g und T H = g einführen. Dann erhält man aus 21) die folgenden Transformationsgleihungen zwishen dem z/t- und dem ζ/τ-system x = ξ und y = η): t = T H sinh τ [ und z = osh τ ] 1 + ζ und daraus T H T H dt = osh τ dτ und dz = sinh τ 23) dτ + dζ T H T H Aus 22) erhält man weiter die ζ S /τ S -Koordinaten für den virtuellen) Sender, von dem der Lihtstrahl ausging, der zur Zeit t bzw. τ nah dem Raketenstart bzw. nah dem Aussenden des Lihtstrahls vom Sender beim Empfänger in der Raketenspitze ankommt: ζ S τ) = 1 1 e τ T H dζ S = 1 e τ T H ) τ bzw. τζ S ) = T H ln 1 + ζ ) S ζ S dτ = 1 + ζ ) S dτ bzw. dζ Liht dζ L = 1 + ζ ) S dτ Die Formel für dζ S = dζ L in 24) besagt, dass sih der virtuelle Lihtsender mit zunehmender Zeit sozusagen immer weiter in die Vergangenheit zurükbewegt, während sih das Liht mit der Geshwindigkeit vζ) = dζl dτ der Raketenspitze bzw dem Empfänger nähert. Nah unendlih langer, konstanter Beshleunigung g der Rakete kommt Liht im Empfänger bei ζ = 0 an, das von einem Sender bei ζ = ausging. ist darum die Distanz zum Vergangenheits-)Horizont im Raketenbezugssystem, von dem her Lihtsignale den Empfänger nah unendlih langer Zeit gerade noh erreihen können. Weil der Sender bzw. die Raketenstartrampe irgendwo in der Raumzeit liegen können, wird von der Äquivalenzraketenbetrahtung bzw. von der Rindlermetrik trotz Horizont die ganze x,y,)z/t-raumzeit erfasst. Im Inertialsystem, in dem die Rakete startete, gilt nun bekanntlih in unserem Spezialfall, in dem man die x- und y-koordinaten weglassen darf, weil dx = dy = dξ = dη = 0 ist den Index S bei ζ S und dζ S lassen wir fürderhin auh weg): ds 2 = 2 dt 2 dz 2 und daraus mit 23) ds 2 = 2 dτ 2 2 sinh τ T H dτ dζ dζ 2 Ersetzt man im dτdζ-mishterm dζ durh dζ L aus 24), erhält man mit 2 sinh x e = 1 1 x e τ T H = 1 + ζ ein Ersatz von dτ führte zu einer unüblihen ds-interpretation): ds 2 = 2 dτ s 2 = ζ ) 2 dτ 2 dζ 2 mit dτ S dτ = 1+ ζ 24) e 2x und mit und dζ L dτ = 1 + ζ ) 25)a ist die bekannte Rindlermetrik mit dξ = dη = 0). Die ζ-abhängige Lihtgeshwindigkeit im ζ/τ-raketensystem vζ) Liht = dζ L /dτ für einen Lihtstrahl vom virtuellen) Raketenende bei ζ = ζ S zur Spitze erhielten wir shon aus 24). 25) 20