Kongruenzrechnung. 2 Kongruenzrechnung Rechnenregeln Addition und Multiplikation Rechenregeln bzgl. verschiedener Moduln...

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1 Kongruenzrechnung Inhaltsverzeichnis 1 Einführung und Definitionen Einige Beispiele aus dem Alltag Kongruenzrechnung im Alltag und Rechenproben Kongruenzen modulo m Restklassen Restsysteme Kongruenzrechnung Rechnenregeln Addition und Multiplikation Rechenregeln bzgl. verschiedener Moduln Ringstruktur von Z/mZ Definition Multiplikatives Inverses, Einheiten Wichtige Anwendung eines bekannten Satzes Kongruenzsysteme Die lineare Kongruenz ax b mod m Kongruenzsysteme deren Moduln Potenzen derselben Primzahl sind Chinesischer Restsatz Verfahren für zwei Kongruenzen Allgemeine Kongruenzsysteme Gelöste Kongruenzsysteme Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Ein Spiel Kleine Hinweise Appendix: Eulersche-ϕ-Funktion 26 1

2 1 Einführung und Definitionen 1.1 Einige Beispiele aus dem Alltag Schaltjahre (modulo 4): Schaltjahre finden alle vier Jahre statt, und es gab ein Schaltjahr im Jahr Das nächste Schaltjahr ist dann im Jahr 2016, und es gab kein Schaltjahr im Jahr Regel: Jahre, die Vielfachen von 4 sind (Zahl durch 4 teilbar). Olympiaden finden in Schaltjahren statt. Die Fußball WM findet in Schaltjahren+2 statt d.h. Jahre, die gerade aber keine Vielfachen von 4 sind (Zahl durch 2 aber nicht durch 4 teilbar). Wochentage (modulo 7): Welcher Wochentag ist in 100 Tagen? Falls heute Montag ist, dann ist in 100 Tagen Mittwoch (da 100 = und Vielfache von 7 ganze Wochen ausdrücken, die für den Wochentag nicht zählen). Stunden (modulo 24) oder AM/PM Stunden (modulo 12): Jetzt ist es 17 Uhr. Wieviel Uhr wird es in 16 Studen sein? Es wird = 33 Uhr sein, d.h. 9 = Uhr (Vielfache von 24 zählen nicht, da sie ganze Tage ausdrücken). Mit der AM/PM-Darstellung benutzt man nur Zahlen zwischen 0 und 11, Vielfache von 24 machen nichts, jedes Vielfach von 12 mach nichts für die Zahl aber wächselt zwischen AM und PM ab. Wenn es jetzt 9AM ist, wird es in 37 Stunden 10PM= 46AM Uhr sein. Horoskop (modulo 12): Jeder Monat hat ein Tier, und es gibt 12 Tiere, die sich regelmässig wiederholen. Jedes Jahr im chinesischen Kalender hat ein Tier, und es gibt 12 Tiere, die sich je zwölf Jahre regelmässig wiederholen. Spaziergang (modulo 2): Wir wechseln linken und rechten Fuß ab. Nach einer geraden Anzahl von Tritten sind wir auf demselben Fuß, und nach einer ungeraden Anzahl von Tritten sind wir auf dem anderen Fuß gekommen. Noten (modulo 7), Halbtonen (modulo 12): Die sieben Noten wiederholen sich regelmässig. Die zwölf Halbtonen wiederholen sich regelmässig. Vielecke (modulo n): Die n Ecken eines n-ten Vielecks wiederholen sich regelmässig, wenn wir den Umfang durchlaufen. In einer analogischen Uhr sehen wir ein 12-Eck für die Stunden und ein 60-Eck für die Minuten bzw. die Sekunden. 2

3 Letzte k-ziffer (modulo 10 k ): Wenn wir die ganzen Zahlen verlaufen, wiederholt sich die letze Ziffer regelmässig je zehn Zahlen. Analog wiederholt sich das k-tupel der letzten k-ziffern je 10 k Zahlen. 1.2 Kongruenzrechnung im Alltag und Rechenproben Was ist die Kongruenzrechnung? Man kann die Kongruenzrechnung als die mathematische Beschreibung von diskreten periodischen Prozessen auffassen: einen Minutenuhrzeiger, der 60 Sprünge macht, können wir mittels einer Kongruenz betrachten (modulo 60, Vielfache von 60 zählen nicht für die Lage des Zeigers); einen Minutenuhrzeiger, der stetig einen Kreis beschreibt (reelle Zahlen!), können wir allerdings nicht mit der Arithmetik der ganzen Zahlen beschreiben. Die Kongruenzrechnung sieht nur, was periodisch ist: für die Wochentage spielt es keine Rolle, dass Mittwoch in drei Wochen eigentlich nicht der Mittwoch dieser Woche ist. Rechenproben: Kongruenzrechnung ist für Berechnungen nützlich, und zwar als Rechnenprobe: wenn wir z.b. modulo 10 arbeiten (d.h. wenn wir Vielfache von 10 vergessen) können wir leicht sehen, dass die Gleichung sicher falsch ist, da = =... 1 Statt mit großen Zahlen zu arbeiten, arbeiten wir mit den Resten bei der Division durch 10, d.h. mit der letzten Ziffer. Diese Rechenprobe ist nur ein Test: einen Test bestanden zu haben, heisst nicht, dass das Ergebnis richtig ist. Aber falls der Test nicht bestanden wurde, ist das Ergebnis sicher falsch! Z.B. erkennt diese Probe keinen Fehler in der falschen Gleichung: = 81 In diesem Fall sagt uns unser Gefühl für Grössen (Abschätzungen, die wir oft auf intuitive Weise durchführen), dass die Summe ungefähr 40 sein muss. Die Rechenproben sind trotzdem nützlich, um grobe Fehler zu vermeiden, oder für eine gewisse Sicherheit (die Wahrscheinlichkeit, einen Fehler gemacht zu haben, wird mit jedem bestandenen Test geringer). Ein fundamentaler Punkt ist, dass diese Proben schnell sind (viel schneller als die Berechnungen nochmals durchzuführen), also lohnt es sich diese Proben zu machen. 3

4 Im Alltag lohnt es sich beim Bezahlen von Rechnungen einige Rechenprobe durchzuführen (7, 41$+18, 35$ ist sicher nicht 29, 97$ wegen derletzen Ziffer) aber wichtiger bleibt eine Abschätzung der Größe der Zahlen (im obigen Beispiel 8$ + 20$ < 29$), auch aus den Grund dass Fehler in der Ordnungsgröße wesentlich wichtig sind. Anmerkung zu Rechnenfehlern: Es gibt verschiedene Arten von Fehlern. Unverzeihliche Fehler (Sie sollten den Fehler bemerkt haben!) sind zum Beispiel: = = = = 87 Natürlich verlangt niemand, z.b. den folgenden Fehler (ohne die Berechnungen nochmals zu machen) zu bemerken: = 2591 Die vielleicht am meisten benutzte Rechenprobe der Welt ist: zwei verschiedene Menschen machen dieselbe Berechnung (wie z.b. Wechselgeld an der Kasse zu zählen). Für wichtige Berechnungen wie Brückenstabilität werden aber tatsächlich mehrere Leute die Berechnungen mehrmals unabhängig voneinander und sorgfältig überprüfen. Es gibt hierbei keinen grundsätzlichen Unterschied zwischen Kopfrechnung oder Rechnungen mit einem Taschenrechner oder auch mit einem Computer: es ist immer möglich, Fehler zu machen (z.b. beim Abtippen oder falls man die falsche Funktion benutzt) und am wichtigsten bleibt: kritisch denken! 1.3 Kongruenzen modulo m Sei m N, mit m 2. Definition: Zwei ganze Zahlen a, b heißen kongruent modulo m, wenn m (a b) oder, äquivalent, wenn a und b bei der Division durch m den gleichen Rest lassen. Schreibe für a ist kongruent zu b modulo m kurz a b(modm). Notation: Die Schreibweise a b(modm) bedeutet, daß a und b nicht kongruent modulo m (oder inkongruent modulo m ) sind. 4

5 Beweis Äquivalenz der Definitionen: Seien a = qm + r und b = q m + r (Quotienten und Reste bei der Division durch m). Es gilt a b = (q q )m + (r r ) Falls r = r, d.h. falls a und b bei der Division durch m den gleichen Rest lassen, ist a b = (q q )m ein Vielfaches von m, da q q Z. Falls a b = mt mit t Z, ist die Differenz der Reste r r = (q q t)m auch ein Vielfaches von m. Es gilt 0 r m 1 und 0 r m 1 und folglich gilt für die Differenz der Reste (m 1) r r m 1. Es muss daher r r = 0 sein, da es kein weiteres Vielfaches von m im Zahlenintervall [ (m 1), m 1] gibt. Satz: Die Kongruenzrelation modulo m ist eine Äquivalenzrelation auf Z. Beweis Äquivalenzrelation: Reflexiv: m (a a) = 0 ist wahr, für alle a Z. Symmetrisch: m (a b) impliziert m (b a) = ( 1) (a b), für alle a, b Z. Transitiv: m (a b) und m (b c) impliziert m (a c) = (a b) + (b c), für alle a, b, c Z. Folglich ergeben die Äquivalenzklassen eine Partition von Z. Zwei ganze Zahlen gehören genau dann zur selben Klasse (und deren Klassen sind dann gleich), wenn sie kongruent sind. Verschiedene Äquivalenzklassen sind disjunkt. Jede ganze Zahl gehört zu genau einer Klasse. Die Äquivalenzklassen für diese Äquivalenzrelation heissen auch Restklassen oder Kongruenzklassen. Warum ist der Modul 2? Modul 1: Mit dem Modul m = 1 wären alle Zahlen kongruent, also ist die Kongruenzrelation modulo 1 überhaupt nicht interessant. Erster Grund: Beim addieren oder Subtrahieren von 1 erreichen wir jede Zahl. Zweiter Grund: Der Rest in a : 1 ist für jedes a derselbe (Rest 0). Modul 0: Mit dem Modul m = 0 wären keine zwei verschiedenen Zahlen kongruent, also ist die Kongruenzrelation modulo 0 überhaupt nicht interessant. Grund: Beim addieren oder Subtrahieren von 0 erreichen wir keine weitere Zahl. Modul m: Mit dem Modul m bekommen wir dieselbe Relation als mit dem Modul m (m 0). Erster Grund: die Vielfachen von m sind dieselben als jene von m. Zweiter Grund: Durch m oder durch m zu teilen lässt denselben Rest. 5

6 1.4 Restklassen Die möglichen Divisionsreste modulo m sind die m Zahlen 0, 1,..., m 1 also gibt es genau m Restklassen modulo m. Die Restklasse einer ganzen Zahl a besteht aus denjenigen Zahlen, die zu a kongruent sind. Notation: [a] m. Wir haben daher: [a] m = {a + mt : t Z} Rest 0 haben : 0, ±m, ±2m, ±3m,... Rest 1 haben : 1, 1 ± m, 1 ± 2m, 1 ± 3m,.... Rest r haben : r, r ± m, r ± 2m, r ± 3m,... (für 0 r < m). Rest m 1 haben : m 1, m 1 ± m, m 1 ± 2m, m 1 ± 3m,... Es ist für jedes m 2 wahr, dass [0] m = mz, d.h. die ganzen Zahlen, die zu m kongruent sind, sind genau die Vielfachen von m. Beispiel m = 2: Rest 0 mod 2 : 0, ±2, ±4,... 2t mit t Z, die geraden Zahlen Rest 1 mod 2 : 1, 1 ± 2, 1 ± 4, t mit t Z, die ungeraden Zahlen. 1.5 Restsysteme Definition: Eine Menge von Zahlen a 1,..., a m heißt vollständiges Repräsentantensystem (Restsystem) modulo m, wenn [a 1 ] m, [a 2 ] m,..., [a m ] m gerade die m verschiedenen Restklassen modulo m sind, d.h. wenn a i a j mod m, falls i j. Z.B. ist 0, 1, 2,..., m 1 ein vollständiges Repräsentantensystem modulo m. Ist a 1,..., a m ein vollständiges Restsystem modulo m, so gilt dies auch für a 1 + c,..., a m + c (c Z) (Beweisidee: je zwei Zahlen bleiben inkongruent, wenn man zu beiden c addiert). Insbesondere gilt: Je m aufeinander folgende Zahlen bilden ein vollständiges Restsystem modulo m. 6

7 Mögliche Repräsentanten sind daher: Für ungerades m: m 1, m 1 m 1 + 1,..., 1, 0, 1,..., Beispiel m = 7 : 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3 und für gerades m: m 2 + 1, m 2 + 2,..., 1, 0, 1,..., m 2 Beispiel m = 8 : 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4 Diese Repräsentanten sind praktischer, da sie im Betrag kleiner sind und auch da einige Eigenschaften von [a] m und [ a] m ähnlich sind. Anmerkung: Es gilt auch: Ist a 1,..., a m ein vollständiges Restsystem modulo m und ist (k, m) = 1, so ist auch a 1 k, a 2 k,..., a m k ein vollständiges Restsystem modulo m. Beweis: Wäre m (a i k a j k) = (a i a j )k gilt, da (k, m) = 1, auch m (a i a j ), also i = j, da a 1,..., a m ein vollständiges Restsystem ist. 2 Kongruenzrechnung 2.1 Rechnenregeln Addition und Multiplikation Satz: Sei m 2 eine natürliche Zahl, und seien a, b, c ganze Zahlen. (1) a b = a ± c b ± c (2) a b = ac bc (3) a b = a n b n für alle n N. (4) Ist f(x) = c 0 + c 1 x c n x n eine Polynomfunktion in der Variablen x, so folgt aus a b schon f(a) f(b). Beweis. (1) a b = m (a b) = (a + ( ) c) (b + ( ) c) = a + ( ) c b + ( ) c (2) a b = m a b = m (a b)c = ac bc = ac bc 7

8 (3) (Induktion nach n) n = 0 : a 0 = 1 1 = b 0 Induktionsannahme. Sei n 1 und a n 1 b n 1 schon bewiesen. Mit (2) folgt a n = a n 1 a (2) a n 1 b b n 1 b = b n. (4) Sei a b. Nach (2) und (3) gilt: c ν a ν c ν b ν, ν = 0,..., n Induktion nach n. n = 0 : f(x) = c 0 für alle x = f(a) = c 0 = f(b). Sei n 1 und c 0 + c 1 a c n 1 a n 1 c 0 + c 1 b c n 1 b n 1 schon gezeigt. Nach (1) gilt dann f(a) = (c 0 + c 1 a c n 1 a n 1 ) + c n a n (c 0 + c 1 b c n 1 b n 1 ) +c n a n (c 0 + c 1 b c n 1 b n 1 ) + c n b n = f(b) 2.2 Rechenregeln bzgl. verschiedener Moduln Seien a, b, c ganze Zahlen mit c 0. Kürzungsregel (teilerfremd): ac bc(modm) und (c, m) = 1 a b(modm) Beweis: m (ac bc) = (a b)c und (c, m) = 1 m a b a b mod m. Beispiel: 30 70(mod23) ergibt 3 7(mod23). Die Umkehrimplikation gilt auch, da m (a b) stärker als m (ac bc) ist. Kürzungsregel (Teiler): ac bc(modm) und c m a b(mod m c ) Beweis: m ac bc = c(a b) und c m ergibt m c (a b) also a b mod m c. Beispiel: 30 70(mod20) ergibt 3 7(mod2). Die Umkehrimplikation gilt auch, denn aus m c (a b) folgt m (ac bc). 8

9 Kürzungsregel (Allgemeinverfahren): Zerlege c als Produkt von Primzahlen (ggfl. mal 1). Kürze mehrmals durch eine Primzahl (ggfl. auch durch 1). Für Primzahlen gilt es entweder die erste oder die zweite Regel. Für 1 gilt die teilerfremde Kürzungsregel. Beispiel: 30 70(mod55) ergibt (nach Kürzen durch 5) 6 14(mod11) und daher (nach Kürzen durch 2) 3 7(mod11). Beispiel: 30 70(mod55) ergibt (nach Kürzen durch 2) 15 35(mod55) und daher (nach Kürzen durch 5) 3 7(mod11). Stärkere Kongruenzen: Eine Kongruenz modulo m impliziert dieselbe Kongruenz modulo die Teiler von m. Sei also t m ein Teiler von m mit t 2 (sodass t ein gültiger Modul ist): a b(modm) a b(modt) Beweis: t m und m (a b) ergeben t (a b) also gilt a b mod t. Restklassen und ggt: a b mod m = (a, m) = (b, m) Beweis: b = a + mt = (b, m) = (a + mt, m) = (a, m). Insbesondere impliziert eine Kongruenz modulo m dieselbe Kongruenz modulo jedes Teilers von m: 12 8(mod4) 12 8(mod2) Umgekehrt gilt die Implikation nicht: x 8(mod4) x 8(mod2) x 8(mod2) x 8(mod4) 6 8(mod2) 6 8(mod4) Falls der Modul größer wird (im Sinne der Teilbarkeit) dann ist die Kongruenz stärker, und die Äquivalenzklassen werden kleiner (eine feinere Partition, wir zerlegen die Teilmengen der Partition weiter). Falls zwei Moduln teilerfremd sind, gibt es auch keine Beziehung zwischen den entsprechenden Äquivalenzklassen einer selben Zahl. 9

10 Proposition: Sei m 2 und c 1. Jede Restklasse modulo m ist die Vereinigung von c Restklassen modulo cm. Genauer gilt für alle a Z: [a] m = [a] cm [a + m] cm [a + 2m] cm [a + (c 1)m] cm Beweis: : Die Zahlen a + tm + scm mit t, s Z sind alle kongruent zu a modulo m, da m (tm + scm). Also ist jede Menge der Vereinigung in [a] m enthalten. : Sei z [a] m = a + mz, also z = a + bm. Teilen wir b durch c, und seien q, r Quotient und Rest: z = a + bm = a + (qc + r)m = a + rm + qcm Dann ist z kongruent zu a + rm modulo cm, also z [a + rm] cm, mit 0 r < c. Beispiel: [1] 6 = [1] 12 [7] 12. Aber [1] 12 [2] 12 ist keine Restklasse modulo 6 (das ist sozusagen die halbe [1] 6 und die halbe [2] 6 ). 3 Ringstruktur von Z/mZ 3.1 Definition Sei m 2 eine natürliche Zahl. Die Menge der Restklassen modulo m schreibt man als Z/mZ. Das ist eine Menge mit m Elementen. Wir können eine Addition und eine Multiplikation von Restklassen definieren. Mit diesen Verknüpfungen wird (Z/mZ, +, ) zu einem kommutativen Ring mit 1, der genau dann ein Körper ist, wenn m eine Primzahl ist. Definition: Seien a, b Z. Setze [a] m + [b] m = [a + b] m [a] m [b] m = [a b] m Diese Addition und Multiplikation werden durch Repräsentanten definiert (nimm die Klasse der Summe bzw. des Produktes von zwei Repräsentanten). Das Ergebniss ist eine Restklasse, die unabhängig von der Wahl der Repräsentanten ist. Deswegen sind diese Verknüpfungen wohldefiniert für Klassen. 10

11 Beweis (Unabhängigkeit von der Wahl der Repräsentanten): Seien a, b Z, und seien a, b Z sodass a a und b b modulo m. Wir haben a + b a + b (modm) da (a + b) (a b ) = (a a ) + (b b ) die Summe zweier Vielfachen von m ist, also durch m teilbar ist. Also ist [a + b] m = [a + b ] m : das Ergebniss der Summe ist dasselbe mit anderen Repräsentanten. Analog a b a b a b (modm) da (ab) (a b ) = (a a )b + a (b b ) die Summe zweier Vielfachen von m ist, also durch m teilbar ist. Also ist [a b] m = [a b ] m : das Ergebniss des Produkts ist dasselbe mit anderen Repräsentanten. Beispiele für Verknüpfungstabellen m = = = 1 m = = = = 1 Die Addition von Restklassen modulo m ist assoziativ. Beweis: für alle a, b, c Z gilt ([a] m +[b] m )+[c] m = [a+b] m +[c] m = [a+b+c] m = [a] m +[b+c] m = [a] m +([b] m +[c] m ) Die Addition von Restklassen modulo m ist kommutativ. Beweis: für alle a, b Z ist [a] m + [b] m = [a + b] m = [b + a] m = [b] m + [a] m Da die Addition kommutativ ist, werden wir nur rechseitiges neutrales Element und rechseitiges Inverses überprüfen. Das neutrale Element für die Addition ist [0] m. Beweis: für alle a Z ist [a] m + [0] m = [a + 0] m = [a] m 11

12 Für alle a Z gilt: das Inverse von [a] m für die Addition ist [ a] m. Beweis: für alle a Z ist [a] m + [ a] m = [a + ( a)] m = [0] m Die Multiplikation von Restklassen modulo m ist assoziativ. Beweis: für alle a, b, c Z gilt ([a] m [b] m ) [c] m = [a b] m [c] m = [a b c] m = [a] m [b c] m = [a] m ([b] m [c] m ) Die Multiplikation von Restklassen modulo m ist kommutativ. Beweis: für alle a, b Z ist [a] m [b] m = [a b] m = [b a] m = [b] m [a] m Da die Multiplikation kommutativ ist, werden wir nur rechseitiges neutrales Element überprüfen und nur eine der zwei Distributivgesetze schreiben. Das neutrale Element für die Multiplikation ist [1] m. Beweis: für alle a Z ist [a] m [1] m = [a 1] m = [a] m Die Multiplikation von Restklassen modulo m ist distributiv über die Summe. Beweis: für alle a, b, c Z gilt [a] m ([b] m +[c] m ) = [a] m [b+c] m = [a(b+c)] m = [ab+ac] m = [ab] m +[ac] m = [a] m [b] m +[a] m [c] m Die obigen Eigenschaften waren einfache Konsequenzen der entsprechenden Eigenschaften von ganzen Zahlen. Wir haben bisher überprüft, dass Z/mZ ein kommutativer Ring mit Eins ist. 3.2 Multiplikatives Inverses, Einheiten Der Ring Z/mZ ist endlich, da er genau m Elemente hat. Weitere Unterschiede zu Z sind: falls m keine Primzahl ist, dann gibt es Nullteiler in Z/mZ (in Z gibt es keine Nullteiler); normalerweise gibt es mehr Einheiten als [1] m und [ 1] m (in Z sind ±1 die einzigen Einheiten). Das multiplikative Inverse von [1] m ist [1] m, und das multiplikative Inverse von [ 1] m ist [ 1] m. Proposition: In Z/mZ gibt es genau drei verschiedene Arten von Restklassen: Die Restklasse [0] m, die das neutrale Element für die Addition ist. Die Einheiten, d.h. die Restklassen, die ein multiplikatives Inverses besitzen. Dies sind genau die Restklassen der Form [a] m, sodass a Z mit (a, m) = 1. 12

13 Die Nullteiler, d.h. die Restklassen der Form [a] m mit a Z, sodass [b] m mit b Z existiert mit [a] m [b] m = [0] m. Diese sind genau die Restklassen [a] m, sodass a 0 und (a, m) 1. Anmerkung: Das Inverse einer Restklasse zu finden entspricht, dass eine LDG lösbar ist. Inder Tat suchen wir ein Inverses für [a] m. Gesucht ist x Z, sodass [a] m [x] m = [1] m, also [ax] m = [1] m. Dies bedeutet m (ax 1), also my = ax 1 mit y Z. Die LDG ax + my = 1 muss lösbar sein (und wir sind nur an ein mögliches x interessiert). Anmerkung: Die Anzahl der Elemente mit einem multiplikativen Inversen modulo m ist genau ϕ(m) (Eulersche-ϕ-Funktion). Beispiele. m = 2: [1] ist eine Einheit; ϕ(2) = 1 m = 3: [1], [2] sind Einheiten; ϕ(3) = 2 m = 4: [1], [3] sind Einheiten; ϕ(4) = 2; Inverses: [3] [3] = [1] m = 5: [1], [2], [3], [4] sind Einheiten; ϕ(5) = 4; Inverse: [2] [3] = [4] [4] = [1]. m = 6: [1], [5] sind Einheiten; ϕ(6) = 2; Inverse: [5] [5] = [1]. Für m = p eine Primzahl, sind [1],..., [p 1] Einheiten, und es gibt keine Nullteiler. Falls m keine Primzahl ist, entspricht jeder echte Teiler von m einer Restklasse, die ein Nullteiler ist, zum Beispiel [2] 6 [3] 6 = [0] 6. Ein reduziertes Restsystem modulo m ist ein System von ϕ(m) paarweise inkongruenten Zahlen mod m, welche zu m teilerfremd sind. Mit anderen Worten: diese Zahlen ergeben die Restklassen, die Einheiten sind. Man erhält es aus einem vollständigen Restsystem modulo m, indem man alle Zahlen wegläßt, die mit m einen Teiler t > 1 gemeinsam haben. Beispiele. m = 6 : ist ein vollständiges Restsystem 1 5 ist ein reduziertes Restsystem m = 7 : ist ein vollständiges Restsystem ist ein reduziertes Restsystem 13

14 3.3 Wichtige Anwendung eines bekannten Satzes Satz von Euler: Sei m 2. Dann gilt (a, m) = 1 a ϕ(m) 1 mod m Korollar (Kleiner Satz von Fermat): Sei p P. Dann ist für alle a Z a p a(modp) Beweis Korollar: Für [a] = [0] ist die Aussage wahr. Ansonsten ist nach dem Satz a p 1 1(modp) also durch Multiplikation mit a bekommen wir die gewünschte Kongruenz. Anmerkung (multiplikative Inverse): Sei [a] eine Einheit modulo m. Das Inverse ist [a ϕ(m) 1 ] [a] [a ϕ(m) 1 ] = [a ϕ(m) ] = [1] Falls a invertierbar ist, also falls (a, m) = 1, bestimmt man am besten ein Inverses durch Raten, oder indem wir eine LDG lösen: wir wollen [a] m [x] m = [1] m ax 1(modm) also finden wir eine Lösung für die LDG ax = 1 + my in der Variabeln (x, y) und behalten nur das x. Man muss sich die folgende Anmerkung merken (die ein Spezialfall des Satzes von Euler ist): WICHTIGE ANWENDUNG: Falls (m, 10) = 1 d.h. falls 2 m und 5 m gilt: 10 ϕ(m) 1 mod m Jede Zahl m, die nicht durch 2 oder durch 5 teilbar ist, teilt eine Zahl der Form 10 e 1 = } {{ } e Als Exponent ist e = ϕ(m) gut. Der kleinste gültige Exponent könnte aber ein Teiler von ϕ(m) sein. Beispiel: ϕ(7) = 6 also gilt Da 7 99 (e 2) und (e 3) ist 6 der kleinste Exponent für 7 10 e 1. Beispiel: ϕ(37) = 36 also gilt Glücklicherweise gilt aber schon

15 4 Kongruenzsysteme 4.1 Die lineare Kongruenz ax b mod m Seien m 2 und a, b ganze Zahlen. Die Kongruenz ax b mod m mit der Variablen x hat alle ganzen Zahlen x, sodass ax und b kongruent modulo m sind, als Lösung, d.h. m (ax b) oder, äquivalent, ax b = ms mit x, s Z. Falls es Lösungen gibt, sagen wir, dass die Kongruenz lösbar ist. Wichtige Anmerkung: Diese Kongruenz ist nur eine andere Schreibweise für die lineare diophantische Gleichung ax + my = b wobei wir nur an den möglichen Werten von x interessiert sind. Genauer haben wir: (Aus der Lösbarkeitskriterium von der LDG): Die Kongruenz ax = b mod m ist genau dann lösbar, wenn (a, m) b. (Aus der Lösungsmenge der LDG ist x = x sp + m t mit t Z): Falls die (a,m) Kongruenz lösbar ist, ist die Lösungsmenge für x genau eine Restklasse (die Restklasse von x sp ) modulo m (a, m) Anmerkung: Falls man in der Kongruenz a oder b durch kongruente Zahlen modulo m ersetzt, bleibt die Lösungsmenge gleich. Das folgt aus der Rechenregeln für Summe und Produkte modulo m. Beispiel: Betrachte die Kongruenz 10x 4(mod7). Wir lösen die entsprechende lineare diophantische Gleichung und finden als Lösung für x [6] 7 = [ 1] 7 = {..., 22, 8, 1, 6, 13, 20, 27,...} Anmerkung: die Kongruenz ist zu 5x 2(mod7) äquivalent (kürze durch 2, die zu 7 teilerfremd ist). Beispiel: Betrachte die Kongruenz 10x 4(mod14). Wir lösen die entsprechende lineare Diophantische Gleichung und finden als Lösung für x [6] 7 = [ 1] 7 = {..., 22, 8, 1, 6, 13, 20, 27,...} 15

16 Anmerkung: die Kongruenz ist zu 5x 2(mod7) äquivalent (kürze durch 2, die 14 teilt). Beispiel: Betrachte die Kongruenz 10x 5( mod 14). Diese Kongruenz ist nicht lösbar, da die LDG 10x + 14y = 5 nicht lösbar ist, da 2 = (10, 14) die Zahl 5 nicht teilt. 4.2 Kongruenzsysteme deren Moduln Potenzen derselben Primzahl sind Sei p P eine Primzahl und seien r 2 und e 1,..., e r > 0 natürliche Zahlen und seien a 1,, a r Z. Wir betrachten das Kongruenzsystem x a 1 (mod p e 1 ) x a r (mod p er ) Durch Umordnen der Kongruenzen können wir annehmen, dass e 1 das Maximum der Zahlen e 1,..., e r ist (das machen wir, um die Bezeichnung zu vereinfachen). Die Lösungsmenge ist entweder leer oder ist die Restklasse von a 1 modulo p e 1. D.h. das System ist entweder nicht lösbar (die Kongruenzen sind inkompatibel) oder zu der einzigen Kongruenz x a 1 (mod p e 1 ) äquivalent (die stärkste Kongruenz des Systems). Das System ist genau dann lösbar, wenn für alle h 2 gilt. a 1 a h (mod p e h ) Kurzbeweis: Eine Kongruenz mit einem grösseren Exponenten ist stärker. Wir nehmen die stärkste Kongruenz (eine Kongruenz mit dem größten Exponenten). Die anderen Kongruenzen sind dann entweder inkompatibel (Lösungsmenge= ) oder überflüssig. In der Tat impliziert die erste Kongruenz (stärkere Kongruenz, da p e h p e 1 ) x a 1 (mod p e h ) 16

17 Eine ganze Zahl x kann nicht sowohl zu a 1 als auch zu a h kongruent (mod p e h ) sein, falls a 1 a h, wegen der Transitivität der Kongruenzrelation. Und falls a 1 a h, ist die obige Kongruenz zu x a h (mod p e h ) äquivalent, also ist letztere überflüssig. Beispiel: Weil 7 3 (mod 4) und 7 1 (mod 2), ist x 3 (mod 4) x 1 (mod 2) x 7 (mod 8) x 1 (mod 8) x 7 (mod 8) Die Lösungsmenge des Systems ist [7] 8 = [ 1] 8. Beispiel: Weil 5 3 (mod 4) ist das folgende System nicht lösbar (leere Lösungsmenge): x 3 (mod 4) x 1 (mod 2) x 5 (mod 8) 4.3 Chinesischer Restsatz Der Chinesische Restsatz. Sei r 2 eine natürliche Zahl und seien m 1,..., m r 2 paarweise teilerfremde ganze Zahlen. Seien a 1,..., a r Z. Dann hat das Kongruenzsystem x a 1 mod m 1 x a 2 mod m 2. x a r mod m r als Lösungsmenge genau eine Restklasse modulo m = m 1... m r. Das ist die Restklasse [a] m einer ganzen Zahl a, sodass a a i mod m i für alle i gilt. Die ganze Zahl a ist bis auf Vielfache von m eindeutig bestimmt. Insbesondere gibt es ein a in Z so, dass das obige System zur Kongruenz äquivalent ist. x a mod (m 1 m r ) Beweis (für zwei Kongruenzen). Sei (m 1, m 2 ) = 1. Es ist zu zeigen, dass { x a1 mod m 1 x a 2 mod m 2 17

18 als Lösungsmenge genau eine Restklasse modulo m 1 m 2 hat. Wir suchen alle x Z, sodass x = a 1 + z 1 m 1 = a 2 + z 2 m 2 mit z 1, z 2 Z gilt. Äquivalente Aufgabe: Finde alle Paare (z 1, z 2 ), sodass a 2 a 1 = z 1 m 1 z 2 m 2 dann behalte nur z 1 und setze x = a 1 + z 1 m 1. Wegen (m 1, m 2 ) = 1 ist die obige lineare diophantische Gleichung in der Variablen z 1, z 2 lösbar. Die Werte für z 1 sind (laut der Formel für eine LDG) z 1,sp + m 2 t mit t Z. Also ist x = a 1 + z 1 m 1 = a 1 + (z 1,sp + m 2 t)m 1 = (a 1 + z 1,sp ) +m } {{ } 1 m 2 t ganze Zahl genau eine Restklasse modulo m 1 m 2. Beweis (allgemeiner Fall). Induktion nach r 2: Der Induktionsanfang ist der bekannte Fall r = 2. Für den Induktionsschritt sei r > 2 und sei die Behauptung für r 1 schon bewiesen. Wir ersetzen die ersten r Kongruenzen durch eine äquivalente Kongruenz der Form x a mod (m 1 m r ). Jetzt haben wir 2 Kongruenzen mit wiederum teilerfremden Moduln, also ist die Lösungsmenge (nach dem bekannten Fall m = 2) eine Restklasse modulo des Produktes der Moduln: (m 1 m r ) m r+1 = m 1 m r Verfahren für zwei Kongruenzen Seien m 1, m 2 teilerfremd und seien a 1, a 2 Z. Wir lösen das System { x a1 (mod m 1 ) x a 2 (mod m 2 ) Die Lösung ist (nach dem chinesischen Restsatz) eine Restklasse [a] m modulo m, wobei a eine ganze Zahl ist, sodass a a 1 (mod m 1 ) und a a 2 (mod m 2 ). Die ganze Zahl a ist bis auf Vielfache von m eindeutig bestimmt. Wie findet man a? Gesucht ist a, sodass a = a 1 + z 1 m 1 = a 2 + z 2 m 2 18

19 mit z 1, z 2 Z gilt. Äquivalente Aufgabe: Finde (z 1, z 2 ), sodass a 2 a 1 = z 1 m 1 z 2 m 2 (dies ist eine LDG in der Variabeln z 1 und z 2 ) und setze a = a 1 + z 1 m 1 = a 2 + z 2 m 2. Als Spezialfall, falls a 1 = a 2 ist, dürfen wir a = a 1 = a 2 wählen. 4.5 Allgemeine Kongruenzsysteme Satz: Seien r 2 und m 1,..., m r 2 natürliche Zahlen, und seien a 1,..., a r Z. Dann ist das Kongruenzsystem x a 1 mod m 1 x a 2 mod m 2. x a r mod m r entweder nicht lösbar, oder die Lösung ist genau eine Restklasse modulo des kgv (m 1,..., m r ). SCHRITT 1: Sei m 2 und sei m = p m,p P pmp die kanonischen Primfaktorzerlegung. Nach dem chinesischen Restsatz (da Potenzen von verschiedenen Primzahlen paarweise teilerfremd sind) dürfen wir eine Kongruenz x a(mod m) durch die folgenden äquivalenten Kongruenzen ersetzen { x a (mod p m p ) also eine Kongruenz pro Primteiler von m mit dem passenden Exponenten. SCHRITT 2: Wir fassen die Kongruenzen bzgl. Potenzen derselben Primzahl zusammen. Falls diese für eine Primzahl nicht kompatibel sind, hat das ursprüngliche System Lösungsmenge. Falls die entsprechenden Kongruenzen für jede Primzahl kompatibel sind, können wir fortfahren (und das ursprüngliche System ist sicher lösbar). In diesem Fall behalten wir eine Kongruenz pro Primzahl (eine mit dem größten Exponenten), d.h. wir streichen die überflüssigen Kongruenzen weg. 19

20 SCHRITT 3: Wir sind dann im Fall von teilerfremden Moduln (da Primzahlpotenzen verschiedener Primzahlen paarweise teilerfremd sind). Wir fassen zwei Kongruenzen zusammen und ersetzen diese durch eine Kongruenz modulo des Produktes der Moduln (wir haben das Verfahren in diesem Fall schon betrachtet). Jedesmal haben wir eine Kongruenz weniger, bis wir genau eine Kongruenz übrigbehalten, die einer Restklasse entspricht. Wir finden also eine Lösungsmenge, die eine Restklasse modulo des Produktes der Primzahlpotenzen ist, d.h. modulo des kgv der ursprünglichen Moduln. 5 Gelöste Kongruenzsysteme 5.1 Beispiel Bestimmen Sie alle Lösungen des folgenden Kongruenzsystems: x 7 (mod 12) x 10 (mod 15) x 20 (mod 25) x 3 (mod 4) Lösung: Wegen des Chinesischen Restsatz, ist dies zum folgenden System äquivalent, in dem die Moduln Primzahlpotenzen sind. x 7 (mod 3) x 7 (mod 3) x 7 (mod 4) x 10 (mod 3) x 10 (mod 3) x 3 (mod 4) x 10 (mod 5) x 7 (mod 4) x 20 (mod 25) x 20 (mod 25) x 3 (mod 4) x 10 (mod 5) Die Kompatibilitätstests für Kongruenzen mit Moduli Primzahlpotenzen derselben Primzahl lauten 7 10 (mod 3) 3 (7 10) = (mod 4) 4 (3 7) = (mod 5) 5 (20 10) = 10 und sind in Ordnung, da die obigen Kongruenzen wahr sind. Insbesondere ist das System lösbar, und die Lösungsmenge ist eine Klasse modulo 300 = kgv (12, 15, 25, 4). Wir behalten nur die jeweils stärkste Kongruenz modulo der größten Primzahlpotenz: 20

21 x 7 (mod 3) x 3 (mod 4) x 20 (mod 25) x 1 (mod 3) x 3 (mod 4) x 5 (mod 25) wobei wir andere Repräsentanten wählen (optional) um uns die Berechnungen zu erleichtern. Betrachten wir zunächst die ersten zwei Kongruenzen. Es gilt { x 1 (mod 3) { x 7 (mod 12) x 3 (mod 4) weil wir eine Klasse modulo 12 suchen (wegen des Chinesischen Restsatzes, da (3, 4) = 1): unter den Zahlen 0, sind die Zahlen 3, 7, 11 kongruent zu 3 modulo 4 und 7 ist kongruent zu 1 modulo 3. Also ist unser ursprüngliches System zu { x 7 (mod 12) äquivalent. Wir suchen x 5 (mod 25) x = t = s 12t 25s = 12 Eine Lösung für diese LDG ist (t, s) = ( 1, 0) also ist x = 5 eine Lösung der obigen zwei Kongruenzen. Also ist die gesuchte Lösungsmenge Verifizierung der Lösung 5: L = [ 5] 300 = [295] 300 Z 5 7 (mod 12) 12 (7 ( 5)) = (mod 15) 15 (10 ( 5)) = (mod 25) 25 (20 ( 5)) = (mod 4) 4 (3 ( 5)) = 8 Verifizierung kgv: 12 = 2 2 3, 15 = 3 5, 25 = 5 2, 4 = 2 2, kgv = = = Beispiel Bestimmen Sie alle Lösungen des folgenden Kongruenzsystems: 21

22 x 2 (mod 7) x 5 (mod 12) x 9 (mod 14) Lösung: Wegen des Chinesischen Restsatz ist dies zu folgendem System äquivalent, deren Moduln Primzahlpotenzen sind. x 5 (mod 4) x 9 (mod 2) x 5 (mod 3) x 2 (mod 7) x 9 (mod 7) Die Kompatibilitätstests für Kongruenzen, deren Moduln Primzahlpotenzen derselben Primzahl sind, lauten 5 9 (mod 2) 2 (9 5) = (mod 7) 7 (9 2) = 7 und sind in Ordnung, da die obigen Kongruenzen wahr sind. Insbesondere ist das System lösbar, und die Lösungsmenge ist eine Klasse modulo 84 = kgv (7, 12, 14). Wir behalten nur die jeweils stärkste Kongruenz modulo der größten Primzahlpotenz: x 5 (mod 4) x 5 (mod 3) x 2 (mod 7) Die ersten zwei Kongruenzen sind offensichtlich zur Kongruenz x 5( mod 12) äquivalent. Also haben wir: { x 5 (mod 12) Wir suchen x 2 (mod 7) x = t = 2 + 7s 12t 7s = 3 Eine Lösung dieser LDG ist (t, s) = ( 2, 3), also ist x = 19 eine Lösung der obigen zwei Kongruenzen. Also ist die gesuchte Lösungsmenge Verifizierung der Lösung -19: L = [ 19] 84 = [65] 84 Z 22

23 5.3 Beispiel 19 2 (mod 7) (mod 12) (mod 14) Bestimmen Sie alle Lösungen des folgenden Kongruenzsystems: x 2 2 (mod 15) x 3 2 (mod 35) x 4 2 (mod 21) Lösung: Wegen des Chinesischen Restsatz ist dieses zum folgenden System äquivalent, in dem die Moduln Primzahlpotenzen sind. x 4 (mod 3) x 16 (mod 3) x 4 (mod 5) x 9 (mod 5) x 9 (mod 7) x 16 (mod 7) Die Kompatibilitätstest für Kongruenzen, deren Moduln Primzahlpotenzen derselben Primzahl sind, lauten 4 16 (mod 3) 3 (16 4) = (mod 5) 5 (9 4) = (mod 7) 7 (9 16) = 7 und sind in Ordnung, da die obigen Kongruenzen wahr sind. Insbesondere ist das System lösbar, und die Lösungsmenge ist eine Klasse modulo 105 = kgv (15, 35, 21). Wir behalten nur die jeweils stärkste Kongruenz modulo der größten Primzahlpotenz: x 4 (mod 3) x 4 (mod 5) x 9 (mod 7) x 4 (mod 3) x 4 (mod 5) x 2 (mod 7) wobei wir andere Repräsentanten wählen (optional) um uns die Berechnungen zu erleichtern. Betrachten wir zunächst die ersten zwei Kongruenzen. Es gilt 23

24 Wir suchen x 4 (mod 3) x 4 (mod 5) x 2 (mod 7) { x 4 (mod 15) x 2 (mod 7) x = t = 2 + 7s 15t 7s = 2 Eine Lösung dieser LDG ist (t, s) = ( 2, 4), also x = 26 ist eine Lösung von der obigen zwei Kongruenzen. Also ist die gesuchte Lösungsmenge L = [ 26] 105 = [79] 105 Z Verifizierung der Lösung 79 (mit dem ursprünglichen System): 5.4 Beispiel 79 4 (mod 15) 79 = (mod 35) 79 = (mod 21) 79 = , 5 16(mod 21) Bestimmen Sie alle Lösungen des folgenden Kongruenzsystems: x 4 2 (mod 15) x 3 2 (mod 35) x 2 2 (mod 21) Lösung: Wegen des Chinesischen Restsatz ist dieses zum folgenden System äquivalent, in dem die Moduln Primzahlpotenzen sind. x 16 (mod 3) x 16 (mod 5) x 9 (mod 5) x 9 (mod 7) x 4 (mod 3) x 4 (mod 7) Die zweite und dritte Kongruenz sind inkompatibel, da 16 9(mod5): es gilt 5 (16 9) = 7. Folglich ist das ursprüngliche System unlösbar und die Lösungsmenge ist L = 24

25 5.5 Ein Spiel Um das Lösen weiterer Kongruenzsysteme zu üben, versuchen Sie zu zweit folgendes Spiel zu machen: Zwei Studenten wählen zusammen drei Zahlen als Moduln (so, dass das kgv ziemlich klein ist, z.b. 8, 15, 40 oder 8, 15, 10 oder 3, 5, 7 oder 6, 7, 12 oder 27, 15, 9, oder 10, 12, 25 oder 21, 15, 35 usw.) Nehmen wir z.b. 10, 12, 25. Jeder Student wählt eine Zahl zwischen 0 und dem kgv (diese Zahl bleibt geheim). Z.B. wählt der erste Student < 300. Der erste Student schreibt ein Kongruenzsystem auf, so dass seine geheime Zahl eine Lösung ist (z.b. berechnet er den Rest von 107 nach Division durch 10, 12, 25): x 7 (mod 10) x 11 (mod 12) x 7 (mod 25) Der zweite Student löst dieses Kongruenzsystem (in diesem Fall, in dem es sicher eine Lösung gibt, ist die Lösung genau die Restklasse von 107 modulo 300). Gleichzeitig (analog) schreibt der zweite Student ein Kongruenzsystem auf, dass der erste Student lösen soll. Wer als erstes die geheime Zahl des anderen Studenten gefunden hat, hat gewonnen! Um ein schwierigeres System zu bekommen, wählt der erste Student ggfl. andere Repräsentanten, z.b. x 18(mod25). 5.6 Kleine Hinweise Immer die Lösungsmenge verifizieren! Falls man als Lösungsmenge die Restklasse [a] k gefunden hat, ist zu verifizieren, dass die Zahl a alle Kongruenzen des ursprünglichen Kongrenzsystem erfüllt. Wenn man das kgv k der ursprünglichen Moduln nochmals kontrolliert, ist die Lösungsmenge sicher richtig. In der Tat hat man eine Lösung gefunden, also ist das System lösbar, und die Lösungsmenge ist die Restklasse einer beliebigen Lösung modulo dem kgv. Da man kontrolliert hat, dass a eine Lösung ist, und dass k das kgv ist, ist die Lösungsmenge sicher [a] k. Auch negative Räpresentanten zu benutzen (welche im Betrag kleiner sind), macht die Rechnungen einfacher. Viele Wege und Methoden sind möglich, und alle werden akzeptiert (z.b. wenn man andere Bücher benutzt). Raten als Zwischenrechnung ist OK, erfordert aber immer eine schriftliche Verifizierung. 25

26 6 Appendix: Eulersche-ϕ-Funktion Definition: Die Eulersche-ϕ-Funktion hat als Definitionsmenge N 1 und als Zielmenge N 1 : ϕ : N 1 N 1 Die Eulersche-ϕ-Funktion einer natürlichen Zahl m 1 zählt die Anzahl der natürlichen Zahlen von 1 bis m, die zu m teilerfremd sind: ϕ(m) := #{x N 1 x m (x, m) = 1} Zum Beispiel ist ϕ(1) = 1 und ϕ(2) = 1 und ϕ(3) = 2. Primzahlen: Es gilt offensichtlich ϕ(p) = p 1 für jedes Primzahl p. Primzahlpotenzen: Für m = p e eine Primzahlpotenz (p P, e 1) zählen wir alle Zahlen von 1 bis m (genau m Zahlen) ausser der Zahlen, die zu p e nicht teilerfremd sind (genau die p e 1 Vielfache von p). Wir bekommen: ϕ(p e ) = p e p e 1 = (p 1)p e Teilerfremde Zahlen: Man kann auch zeigen: Das Produkt zweier teilerfremden Zahlen hat als Bild unter ϕ das Produkt der Bilder der zwei Zahlen. (m, n) = 1 ϕ(m n) = ϕ(m) ϕ(n) Mehrmalige Anwendungen dieser Formel (genauer, ein Beweis durch Induktion) ergeben: Das Produkt paarweise teilerfremder Zahlen hat als Bild unter ϕ das Produkt der Bilder der Zahlen. Die allgemeine Formel mit der Primfaktorzerlegung: Wir haben daher folgende Formel gezeigt: ϕ(m) = p m (p 1) p mp 1 Kleine zusätzliche Anmerkungen: Die Eulersche-ϕ-Funktion ist nicht injektiv. Gegenbeispiel: ϕ(3) = ϕ(6) = ϕ(4) = 2. Die Eulersche-ϕ-Funktion ist nicht surjektiv: man kann zeigen, dass für kein m gilt ϕ(m) = 3. Die Eulersche-ϕ-Funktion ist nicht monoton. Der Grund dafür ist, dass sowohl die Größe der Zahl als auch die multiplikative Struktur eine Rolle spielen (z.b. ist bei den Primzahlen ist die Eulersche-ϕ-Funktion besonders groß). 26