Physik III Übung 7 - Lösungshinweise

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1 Physik III Übung 7 - Lösungshinweise Stefan Reutter WiSe 202 Moritz Kütt Stand: Franz Fujara Aufgabe [H, D] Signale (in einer Glasfaser) In einer Glasfaser wird an einem Ende hereinfallendes Licht nahezu verlustfrei zum anderen Ende übertragen. Das liegt hauptsächlich daran, dass das Licht am Rande der Glasfaser Totalreflexion erfährt und nicht austreten kann. Leider gestaltet sich die Verwendung von Glasfasern technisch schwierig und weist auch einige Probleme physikalischen Ursprungs auf. a) In Glas ist die Dispersion anomal, d.h. der Brechungsindex hängt von der Frequenz des Lichts ab. Berechne für eine 5 km lange Glasfaser, mit welcher Zeitdifferenz zwei gleichzeitig emittierte kurzer Pulse mit Wellenlängen von 500 nm (n 500 =.55) bzw. 700 nm (n 700 =.50) am anderen Ende der Glasfaser ankommen. b) Die Signalübertragung. Erkläre die Begriffe Amplitudenmodulation und Frequenzmodulation. Wie werden Signale üblicherweise in einer Glasfaser übertragen (analog, digital, Trägerfrequenzen,... )? Wozu benötigt man sog. Repeater? a) c = c 0 n t = L c t = L c n500 n 700 = 2.5µs b) Amplitudenmodulation: Zu einem Signal mit fester Frequenz wird ein weiteres Signal addiert (z.b. Audiosignal beim Radio). Dadurch ergibt sich eine Schwebung, welche die Amplitude und zu einem geringen Teil auch die Frequenz modifiziert. Über einige Schwingungsperioden der Trägerfrequenz ist die Frequenz konstant, während die Amplitude sich ändert. Das ist empfindlich gegenüber Störungen, da die Amplitude leicht durch Störsender verändert werden kann. Frequenzmodulation: Auf ein Signal mit fester Frequenz wird ein weiteres Signal multipliziert. Dadurch ergibt sich eine zeitabhängige Frequenz mit fester Amplitude. Da Störsender meist nicht die Phase des Signals beeinflussen, ist dieses Verfahren sinnvoller.

2 In Glasfasern werden die Signale zu Kommunikationszwecken normalerweise digital übertragen, AM und FM spielen da also keine Rolle. Die anomale Dispersion kann die Flanken des Signals verzerren - im Extremfall so weit, dass ein Empfänger sie nicht mehr zuverlässig detektieren kann. Deshalb muss man, je nach Übertragungstaktung (kürzere Pulse haben größere Bandbreiten), regelmäßig sog. Repeater aufstellen, die das Signal auslesen und, wiederaufbereitet, weiterschicken. Das ist insbesondere bei langen Unterseekabeln ein Problem. In kommerziellen Glasfaserkabeln werden üblicherweise verschiedene Trägerfrequenzen eingesetzt, um Daten zu übertragen. Diese sollten allerdings so weit voneinander wegliegen, dass ihr Frequenzspektrum sich nicht überlagert. Da man die einzelnen Pulse wegen der Dispersion nicht beliebig schnell takten kann (eine sehr schnelle Taktung ist auch aus technischen Gründen schwieriger), macht die Verwendung verschiedener Trägerfrequenzen zur Erhöhung des Datendurchsatzes Sinn. Aufgabe 2 [H] Gruppen Gelbes Natriumlicht der Wellenlänge nm wird durch CS 2 gelenkt. Der Brechungsindex bei dieser Wellenlänge beträgt n =.628 und die Dispersion dn =.6 dλ 0 3 cm. Berechne den prozentualen Unterschied zwischen Wellen- und Gruppengeschwindigkeit! Um das zu berechnen, benötigen wir dλ dω Setzt man das ein, erhält man k = ωn c v gr = dω dk v gr = dk dω = n c + ω c = n c + ω c dn dω dn dλ dλ dω λ = 2πc ω dλ dω = 2πc ω 2 dn = n v gr c λ c dλ v gr = c n λ n dn dλ 2

3 Die Phasengeschwindigkeit ist einfach v ph = c n v = v gr v ph = v ph v g r v gr v gr = λ dn n dλ = λ dn = n dλ Aufgabe 3 [H] Lichtstrahlen anheben/absenken Gebe einen allgemeinen Ausdruck für den parallelen Versatz s eines Lichtstrahles an, der unter dem Winkel θ auf eine planparallele Glasplatte (n =.4) der Dicke d trifft. Berechne einen Zahlenwert für θ = 60 und d = 2cm. θ α { x y θ s θ d Aus der Skizze lesen wir ab x =d tan θ y =x d tan α 3

4 Aus dem Brechungsgesetz erhält man n sin α = sin θ y =d tan θ d tan arcsin n sin θ s =y cos θ = d cos θ tan θ tan arcsin n sin θ s =0.94cm Aufgabe 4 [H] Haben die bei Pink Floyd alles richtig gemacht? Auf einem berühmten Plattencover: Ein weißer Lichtstrahl trifft unter dem Winkel θ zum Lot auf einer Seite eines gleichseitigen Prismas auf. Für blaues Licht ist der Brechungsindex des Prisma n b =.524, für rotes Licht n r =.509. Berechne, wie groß der Winkel zwischen aus dem Prisma austretendem blauem und rotem Licht ist. θ β b β r γr γ b δ r δ b ε Fangen wir einfach vorne an, i {r, b}: sin θ =n i sin β i β i = arcsin sin θ n i 4

5 Über das obere, innere Dreieck kann man eine Beziehung zwischen β und γ herstellen und weitermachen. Der Winkel an der oberen Spitze ist dabei, das das Prisma ein gleichseitiges Dreieck ist, gerade β i + 90 γ i + 60 =80 γ i =60 β i sin δ i =n i sin γ i δ i = arcsin n i sin 60 arcsin sin θ n i Und endgültig: ɛ = δ b δ r = arcsin n b sin 60 arcsin sin θ n b arcsin n r sin 60 arcsin sin θ n r Aufgabe 5 [H] Glasfaser und Apertur Eine Glasfaser habe für einfallendes Licht den Brechungsindex n 2, der Mantel der Glasfaser habe den Brechungsindex n 3, Luft einen von n. Die numerische Apertur A der Glasfaser ist definiert als sin α, wobei α der Einfallswinkel an der Stirnfläche der Faser ist, bei dem gerade noch Totalreflexion auftritt. Berechne A in Abhängigkeit der Brechungsindices. n n 3 n 2 α α 2 β Wir müssen erreichen, dass β so groß ist, dass an der Grenzschicht zwischen Glasfaser und Mantel Totalreflexion auftritt n 2 sin β = n 3 sin β = n 3 n 2 5

6 Geometrisch ergibt sich für das Dreieck im Inneren der Glasfaser cos α 2 = sin β Aus dem Snelliusschen Brechungsgesetz erhalten wir n n sin α = n 2 sin α 2 n cos 2 α 2 = sin α n n3 sin α = n 2 n 2 n2 2 A = sin α = n 2 2 n3 n Aufgabe 6 [P, D] Lunatische Strahlen In einer kalten, klaren Herbstnacht, im hellen Licht des Mondes schlenderte, tief versunken in große Gedanken, ein kleiner Physiker. Die Strahlen der Sterne glitzerten am Firmament und ein kleiner Waldsee warf gespenstische Flecken ins Geäst. Bezaubert von all dieser Lichterpracht, stellte der Physiker sich diese Frage: Die Maxwell-Gleichungen beschreiben alle klassischen Lichtphänomene wunderbar. Aber wie kommt es, dass wir Linsen und all die anderen optischen Instrumente immer mit einem Bild von Lichtstrahlen betrachten? Diskutiere, warum man überhaupt Lichtstrahlen benutzen darf, um optische Phänomene zu beschreiben. Die Lichtstrahlen entsprechen den Wellenvektoren in der Lösung der Wellengleichung. Die geometrische Optik kann nun recht gut beschreiben, wie etwa ein Lichtstrahl von einer Linse beeinflusst wird. Da die Wellenvektoren die Ausbreitungsrichtung der Welle vorgeben, stimmt dieses Verhalten mit dem des Wellenvektors überein. An einer Linse wird also ein ganz bestimmter Wellenvektor z.b. zum Brennpunkt hin gebrochen. Wirklich interessant wird der Wellencharakter des Lichts erst, wenn die Amplitude auf der Größenordnung der Wellenlänge stark variiert, also z.b. bei Beugung an einem kleinen Spalt, oder wenn man Phänomene wie Interferenz und Polarisation verstehen will. Aufgabe 7 [P,D] Baden mit dem Bleistift Der kleine Physiker Klaus kann kaum von seinen Übungsaufgaben lassen, er nimmt sie immer und überall hin mit. Schließlich macht ihm das Rechnen und Knobeln furchtbar viel Spaß. So auch letztes Wochenende - Klaus saß mit seinen Aufgaben und einem Bleistift in der Badewanne. 6

7 Das Wasser war zwar mittlerweile kalt, aber die Aufgabe mit der Wärmekraftmaschine gelöst. In einem kurzen Moment der Pause hält Klaus seinen Stift so, dass er senkrecht zur Wasseroberfläche ist, etwa die Hälfte von Stift ist dabei eingetaucht. Wieso sieht er einen Schatten auf dem Boden des Beckens, der dem hier abgebildeten sehr ähnlich sieht? An den Seitenflächen des Stiftes wird Wasser durch Kapillarkräfte nach oben gezogen. Dadurch ergibt sich eine Licht brechende gekrümmte Fläche. Diese kann, bei geeignetem Einfallswinkel, Licht um den Bleistift herumbrechen und so den Schatten beleuchten. Aufgabe 8 [P] Parabolspiegel Knut will für eine Gartenparty nächsten Sommer einen Solarofen bauen und stellt sich die Frage, ob es für das beste Grillergebnis sinnvoller ist, einen Parabolspiegel oder einen Kugelspiegel zu bauen. a) Handwerkszeug: Beweise, dass gilt cos 2 α = tan2 α tan (2α) = 2 tan α tan 2 α b) Betrachte einen Parabolspiegel der Form y = 2 x 2. Berechne den Reflexionswinkel α für einen Lichtstrahl, der parallel zur y-achse im Abstand x auf den Spiegel fällt. c) Berechne den Punkt, an dem der reflektierte Strahl die y-achse schneidet und zeige, dass er nicht von α (und somit auch nicht von x) abhängt. Dies ist der Brennpunkt. a) cos 2 α = cos2 α cos 2 α = sin2 α cos 2 α = tan2 α sin (2α) tan (2α) = cos (2α) = 2 sin α cos α cos 2 α sin 2 α = 2 sin α cos α sin2 α cos 2 α = 2 tan α tan 2 α 7

8 y x α α s 2 s x b) Da Einfallswinkel = Ausfallswinkel, ist der Winkel α zwischen der Flächennormalen und dem einfallenden Strahl gleich dem Winkel zwischen der Normalen und dem reflektierten Strahl. Für die Normale erhält man eine Steigung als Inverse der Ableitung der Tangente m = d y dx = x Geht man also x nach rechts, muss man nach oben gehen. Aus dem eingezeichneten Dreieck kann man dann ablesen tan α = x c) Wir wollen die Strecke s berechnen. Dazu brauchen wir zunächst s 2, das beschaffen wir uns mit dem Trick von oben s 2 x = tan 2α π = 2 tan 2α s = y s 2 = x x tan 2α = x x tan2 α 2 tan α 8

9 Daraus kann man mit dem Ergebnis aus b) tan α eliminieren s = x x x 2 2x = 2 s ist also tatsächlich unabhängig von x der Parabolspiegel reflektiert alle parallelen Strahlen in den Brennpunkt. Aufgabe 9 [P] Reflektion? Transmission? Licht trifft aus Luft senkrecht auf ein Medium der Dicke d mit Brechungsindex n. Ein Teil des Strahls wird dabei reflektiert, ein anderer transmittiert. a) Berechne die Intensität des insgesamt transmittierten Lichts (Vorsicht: Mehrfachreflexionen müssen berücksichtigt werden). b) Berechne die Intensität des insgesamt reflektierten Lichts. c) Überprüfe deine Berechnungen - ist R + T =? a) b) I t = T 2 I 0 + TRRT I 0 + TRRRRT I I t = T 2 I 0 R 2n n=0 I t = T 2 I 0 R 2 I r = I 0 R + TRT I 0 + TRRRT I = I 0 (R + T 2 R 2n+ ) n=0 = I 0 (R + T 2 R R 2 ) c) Eigentlich hätte es lauten müssen: I t + I r = I 0. Das rechnen wir auch: I t + I r = I 0 R + T 2 R R 2 + R 2 9

10 Wir benutzen dabei sogar T = R. Immer galt: I t + I r = I 0 2R + R 2 + R R 3 + R 2R 2 + R 3 R 2 = n2 n R = n 2 + n 2n2 n T = n 2 + n 2 2 0