Ein Entscheidungsunterstützungssystem zur Aktienanlage auf der Basis eines genetisch lernenden neuronalen Netzwerks

Transkript

1 Ein Enscheidungsunersüzungssysem zur Akienanlage auf der Basis eines geneisch lernenden neuronalen Nezwerks H. Gehring, B. Neuber, C. Karpf und A. Borfeld Diskussionsbeirag Nr. 268 Mai 999 Diskussionsbeiräge des Fachbereichs Wirschafswissenschaf der FernUniversiä Hagen Herausgegeben vom Dekan des Fachbereichs

2 Ein Enscheidungsunersüzungssysem zur Akienanlage auf der Basis eines geneisch lernenden neuronalen Nezwerks H. Gehring, B. Neuber, C. Karpf und A. Borfeld Zusammenfassung: Der Beirag sell ein neuroevoluionäres Verfahren zur Generierung von Akienanlagesysemen vor. Erzeuge Akienanlagesyseme invesieren ein vorhandenes Budge ganz oder eilweise in eine vorgegebene Menge von Werpapieren. Hierdurch enseh ein Porefeuille, das uner Berücksichigung der individuellen Risikoneigung des Invesors eine maximale Rendie erwirschafe. Ein künsliches neuronales Nez (KNN) prognosizier anhand von Akienkurs- und Akienindex- Zeireihen einer vorangegangenen Periode die künfige Kursenwicklung und schläg ein opimales Porefeuille vor. Die opimale Parameerbelegung des KNN wird einmalig mi Hilfe eines geneischen Algorihmus auf der Basis hisorischer Kurse als Trainingsdaen besimm. In numerischen Tess werden Anlagesyseme für fünf Akien des deuschen Werpapiermarkes opimier. Dabei zeig sich, daß das vorgeselle neuroevoluionäre Verfahren geeigne is, Akienanlagesyseme zu generieren, die regelmäßig signifikan bessere Ergebnisse erzielen als eine einfache Buy-and-Hold-Sraegie. Schlüsselwore: Compuerbasiere Akienanlage, neuroevoluionäres Verfahren, geneischer Algorihmus, künsliche neuronale Neze. Fachbereich Wirschafswissenschaf, FernUniversiä Hagen, Profilsr. 8, D Hagen, BRD Tel.: Fax:

3 Ein Enscheidungsunersüzungssysem zur Akienanlage auf der Basis eines geneisch lernenden neuronalen Nezwerks H. Gehring, B. Neuber, C. Karpf und A. Borfeld Einleiung und Problemformulierung Ein Invesor, der ein verfügbares Budge in Werpapiere bzw. Akien invesier, sreb in der Regel die Maximierung der Rendie an. Die Rendie resulier vor allem aus Kurs- und Währungsgewinnen sowie aus Dividenden- und Zinszahlungen. Je nach Enwicklung des Werpapiermarkes sind Anlageenscheidungen wiederhol innerhalb kürzerer oder längerer Zeispannen, gegebenenfalls sogar äglich, zu reffen. Eine Anlageenscheidung spezifizier den Zeipunk des An- und Verkaufs von Werpapieren sowie die Ar und die Anzahl der an- und verkaufen Tiel. Die Anlageenscheidungen besimmen auch die Höhe der Barreserve, also des Geldberags, der akuell nich in Werpapieren invesier is. Unsicherheien über die künfige Enwicklung von Kursen, Ausschüungen von Dividenden usw. führen zu einem grundsäzlich gegebenen Anlagerisiko. Den Gewinnchancen von Werpapieranlagen sind daher die Anlagerisiken gegenüberzusellen. Dies kann beispielsweise durch die Berachung des Risikonuzens geschehen, der bekannlich die Chance-Risiko-Relaion quanifizier. Anselle der bloßen Rendie wird ein Invesor daher sinnvollerweise den Risikonuzen seiner Anlageenscheidung maximieren. Üblich is die Redukion des Anlagerisikos durch Diversifikaion, d.h. durch Sreuung des Anlageberags auf verschiedene Werpapiere, die hinsichlich ihrer Rendieenwicklung nich vollsändig posiiv korrelier sind. Ein aus zwei oder mehr verschiedenen Werpapieren zusammengesezes Porefeuille kann als synheisches Werpapier berache werden. Bei geeigneer Zusammensezung is der Risikonuzen eines solchen Porefeuilles größer als der Risikonuzen eines jeden einzelnen im Porefeuille enhalenen Werpapiers. Gewöhnlich wird ein Anleger nich alle auf dem Werpapiermark angeboenen Aren von Tieln bei seinen Invesiionsenscheidungen berücksichigen. Vielmehr wird er sich auf eine als Evoked Se bezeichnee kleinere Menge von Anlagemöglichkeien beschränken, die sich gegenseiig nich ausschließen. Ein Invesor, der seine Anlageenscheidungen im Rahmen eines Evoked Se riff, verfolg dami zugleich eine Diversifikaionssraegie. Die berachee Enscheidungssiuaion kann nun wie folg präzisier werden: Auf der Grundlage der verfügbaren Informaionen über Kursenwicklungen, Dividendenausschüungen usw. ha ein Invesor wiederhol zu enscheiden, welche und wieviele der im akuellen Porefeuille gehalenen Werpapiere er verkaufen und welche und wieviele Werpapiere des Evoked Se er kaufen möche. Aus den zu einem Enscheidungszeipunk geroffenen Verkaufs- und Kaufenscheidungen ergib sich die Höhe der Barreserve nach Realisierung der Enscheidungen. Das für Werpapierkäufe verfügbare Budge beseh zum Zeipunk der Ersinvesiion aus dem gegebenen Sarkapial. In allen folgenden Enscheidungszeipunken sez es sich aus der akuellen Barreserve und dem Wer des akuellen Werpapier-Depos zusammen. Zu jedem Enscheidungszeipunk seh es dem Invesor grundsäzlich frei, das verfügbare Budge nich, eilweise oder ganz in Werpapiere des Evoked Se zu invesieren. Die Verkauf- und Kaufenscheidungen sind jeweils so zu reffen, daß der Risikonuzen des aus Barreserve und Werpapier-Depo besehenden Porefeuilles maximier wird.

4 2 In der Lieraur werden sehr unerschiedliche Ansäze zur Unersüzung von Enscheidungen über Werpapierinvesiionen vorgeschlagen. Die Bandbreie reich von Vorhersagen des Anlagerisikos bis hin zu kompleen Enscheidungsunersüzungssysemen. In konzepionell-mehodischer Hinsich sind in den lezen Jahren neuronale Nezwerke und geneische Algorihmen sark in den Vordergrund gereen. Neuronale Nezwerke werden häufig zu Vorhersagezwecken eingesez, beispielsweise zur Kurs- und zur Risikovorhersage. Geneische Algorihmen dienen dagegen z.b. der Konfigurierung von neuronalen Vorhersagenezwerken oder auch nur dem Erlernen geeigneer Parameerwere von Vorhersagenezen. Das Erlernen von Parameerweren basier meis auf der Simulaion vergangenen Börsengeschehens. WITTEKEMPER und STEINER (996) verwenden ein neuronales Nezwerk zur Vorhersage des sysemaischen Risikos von Werpapieranlagen, dessen Topologie miels eines geneischen Algorihmus opimier wird. PATEL (996) opimier mi einem geneischen Algorihmus die Lernrae und die Anzahl der versecken Neuronen eines neuronalen Nezwerks, das der Kursvorhersage von Werpapieren dien. Wesenlich weier geh der Ansaz von MARGARITA (993): Ein neuronales Nezwerk, dessen Topologie und Parameerwere mi einem geneischen Algorihmus besimm werden, dien der äglichen Generierung einer Enscheidung, die den Kauf oder Verkauf eines Werpapiers oder das weiere Abwaren beriff. Dieser Ansaz wurde von BARONE e al. (993) weierenwickel und auf Werpapiere des ialienischen Spo- und Fuure- Markes angewand. Die Ergebnisse liefern allerdings keine Anzeichen für die Vorhersagbarkei von Enwicklungen, die durch dem neuronalen Nezwerk unbekanne Daen beschrieben werden. YE und ZANG (995) sellen einen geneischen Algorihmus zur Porefeuilleopimierung mi Risikokonrolle vor. Das Ziel dieses unabhängig von einem neuronalen Nezwerk eingesezen Algorihmus is die Ermilung des Werpapier-Porefeuilles, das in einer hisorischen Periode bei fixierer Varianz eine maximale Rendie erwirschafe häe. Die Anwendung auf 5 zufällig ausgewähle Akien der Shanghaier Akienbörse zeig, daß bei niedrigem Risiko ein niedriger Profi, bei hohem Risiko durch Invesiion in superakive Akien ein insabiler hoher Erfolg häe erziel werden können. Zur Generierung von Kauf-, Verkauf- oder Abwaresignalen variabler Särke sezen WANG und LEU (995) einen regelbasieres Inferenznezwerk in Form eines UND/ODER- Graphen ein. Die mi einem geneischen Algorihmus besimmen Kanengewiche legen fes, welche Regeln bei der Signalgenerierung akivier werden. Das wiederhol mi verschiedenen Jahres- Hisorien des TSEWSI-Index (Taiwan sock exchange weighed sock index) rainiere Nezwerk wird jeweils im Folgejahr zur wöchenlichen Generierung von Kauf-, Verkauf- und Abwaresignalen eingesez. Eine Gegenübersellung der so erzielen Ergebnisse mi dem TSEWSI-Index, der zu diesem Zweck als Buy-and-Hold-Sraegie inerpreier wird, zeig eine signifikane Überlegenhei des Ansazes von WANG und LEU. Keiner der genannen Ansäze deck das hier berachee Problem vollsändig ab. Die Analyse des problembezogenen Enscheidungsprozesses verdeulich dies. Bezieh man in den Enscheidungsprozeß auch Maßnahmen der Informaionsgewinnung ein, so lassen sich ewa 4 Phasen abgrenzen: Phase : Prognose der allgemeinen Börsenenwicklung, da diese die Rendieenwicklung der Werpapiere des Evoked Se beeinfluß. Die Börsenenwicklung wird über börsenübliche Indizes erfaß. Bezogen auf den deuschen Werpapierhandel is also eine DAX-Prognose vorzunehmen. Phase 2: Prognose der Rendieenwicklung der Werpapiere des Evoked Se. In diese Prognose is die allgemeine Börsenenwicklung einzubeziehen. Phase 3: Ermilung des opimalen Porefeuille, d.h. Berechnung der Aneile der Werpapieraren des Evoked Se und des Aneils der Barreserve am Porefeuille. Phase 4: Anpassung des Depos, d.h. Berechnung der Anzahl der zu kaufenden oder zu verkaufenden Werpapiere für jede Werpapierar des Evoked Se. Diese Anpassungsenscheidungen legen den zukünfigen Wer des Werpapier-Depos sowie die Barreserve fes.

5 3 Ein Sofwaresysem, das alle 4 Phasen unersüz, sei als Enscheidungsunersüzungssysem zur Werpapieranlage, oder abgekürz als Anlagesysem, bezeichne. Wie noch gezeig wird, umfaß ein Anlagesysem eine Menge von paramerisieren Berechnungsvorschrifen. Zu dieser Menge gehören insbesondere auch die in den Phasen und 2 einzusezenden Prognoseverfahren. Im Falle der Verwendung neuronaler Neze handel es sich z.b. um Vorschrifen zur Berechnung der Were der Zwischen- und Ausgabeneuronen. Bezeichne AS PV die Menge der Berechnungsvorschrifen eines Anlagesysems, PV den Vekor der in den Vorschrifen enhalenen Parameer und, =,...,T, einen Tag eines beliebigen Berachungszeiraumes von T aufeinanderfolgenden Börsenagen. Die äglich wiederhole Anwendung von AS PV führ dann zu einem Vekor von Anlageenscheidungen für den Tag : = AS PV (D -,K -, I - ), () wobei: - Vekor der Anlageenscheidungen; er beschreib, wie das Depo durch Käufe und Verkäufe von Werpapieren zu Beginn des Tages umzugesalen is. D - - Vekor der nach den Anlageenscheidungen des Vorages - im Porefeuille gehalenen Anzahlen von Werpapieren der Werpapieraren des Evoked Se sowie von Währungseinheien der Barreserve. K - - Vekor der am Vorag - fesgesellen Schlußkurse der Werpapiere des Evoked Se. I - - Vekor der Were der verschiedenen für die DAX-Prognose und die Rendieprognose der Werpapiere des Evoked Se verwendeen Indikaoren am Vorag -. Die zulässigen Realisaionen des Parameervekors beschreiben einen Parameerraum Π. Eine Realisaion PV Π des Parameervekors definier genau ein konkrees Anlagesysem aus der Klasse von Anlagesysemen mi gleichen Berechnungsvorschrifen. Für die so gegebene Klasse von Anlagesysemen sell sich daher das Problem der Besimmung des besen Anlagesysems. Dieses Opimierungsproblem implizier eine Bewerung von Anlagesysemen. Anselle der mi einem Anlagesysem erzielbaren Rendie wird hier der Risikonuzen als Zielkrierium verwende. Einzuführen is also eine Bewerungsfunkion, die den mi einem Anlagesysem erzielbaren Risikonuzen U(AS PV ) schäz. Das berachee Opimierungsproblem laue daher: Max{U(AS PV ) PV Π }. (2) Hinzu kommen Budgeresrikionen. Sie beschränken die in den Anlagezeipunken für Werpapierkäufe aufgewendeen Miel auf das jeweils verfügbare Budge. Da die Budgeresrikionen im Rahmen der Berechnungsvorschrifen des Anlagesysems berücksichig werden, erübrig sich hier ihre explizie Formulierung. Die späer vorgenommene Präzisierung des Opimierungsproblems (2) basier auf einigen die Realiä vereinfachenden Annahmen. Die Annahmen bezwecken die Ignorierung nebensächlicher Problemaspeke, ohne die Kernidee des gesamen Ansazes zu beeinrächigen. Ergebnis der Annahmen sind vereinfache Berechnungsverfahren. Im einzelnen lauen die Annahmen: (A) Transakionskosen, wie sie beim Kauf und Verkauf von Werpapieren in Form von Gebühren, Provisionen usw. anfallen, werden nich berücksichig. (A2) Seuern auf Anlagegewinne werden nich berücksichig. (A3) Eine risikolose (alernaive) Anlage der Barreserve oder Teilen davon auf dem Geldmark, sei es auch nur kurzfrisig, is nich erlaub; eine Verzinsung der Barreserve wird also ausgeschlossen. (A4) Dividenden und ähnliche Einnahmen aus der Werpapieranlage sowie Währungsschwankungen werden nich berücksichig; Anlagegewinne und -verluse werden folglich ausschließlich durch Kursschwankungen verursach.

6 4 (A5) Leerverkäufe, d.h. Krediaufnahmen zum Zweck des Werpapierkaufs, werden nich berücksichig. Der Res des Beirags is wie folg organisier: In Abschni 2 werden die Berechnungsverfahren des Anlagesysems und in Abschni 3 die Risikonuzenfunkion zur Bewerung von Anlagesysemen spezifizier. Abschni 4 beschreib einen geneischen Algorihmus zur Opimierung von Anlagesysemen der hier beracheen Klasse. Die Anwendung des Anlagesysems auf einige ausgewähle Tiel des deuschen Akienmarkes wird in Abschni 5 demonsrier; die Auswerung der Anwendungsergebnisse schließ einen Vergleich mi einer einfachen Anlagesraegie der sogenannen Buy-and-Hold-Sraegie ein. Einige Schlußfolgerungen in Abschni 6 beenden den Beirag. 2 Enscheidungsunersüzungssyseme zur Werpapieranlage Faß man die Phasen und 2 des in Abschni angegebenen Enscheidungsprozesses zusammen, so kann die Berechnungsvorschrif AS PV (D -, K -, I - ) des Anlagesysems in drei Teilfunkionen zerleg werden: eine die Phasen und 2 abdeckende Werpapier-Bewerungsfunkion WB PV, eine die Phase 3 abbildende Porfeuille-Opimierungsfunkion PO PV2 und die der Phase 4 zuzuordnende Depoanpassungsfunkion DA. Die Berechnungsvorschrif () läß sich miels dieser Funkionen sufenweise zusammensezen: R = WB PV (I - ), (3a) O = PO PV2 (R ); (3b) = DA(D -, K -, O ), (3c) wobei die Konkaenaion der Vekoren PV und PV2 zu dem Parameervekor PV führ: PV = (PV PV2). (3d) Das Anlagesysem AS PV (D -, K -, I - ) kann dami wie folg präzisier werden: ASPV(D-, K-, I-) = DA(D-, K-, POPV2(WBPV(I-))). (4) Werpapier-Bewerungsfunkion Zweck der Bewerung eines Werpapiers is die Prognose seiner Rendie in einer zweiphasigen Vorgehensweise. Phase beinhale die Prognose eines die Börsenenwicklung in einem Land repräsenierenden Börsenindex, hier des DAX. Phase 2 beriff die Prognose der Rendieenwicklung der Werpapiere des Evoked Se. In diese Prognose fließ das Ergebnis der DAX-Prognose als Eingangsgröße ein; darüber hinaus werden in beiden Phasen verschiedene börsenbezogene Indikaoren als Eingangsgrößen verwende. In beiden Phasen erfolg die Prognose mi einem neuronalen Nez vorgegebener Konfiguraion. Bezeichne Q die Anzahl der Werpapiere des Evoked Se. Die Prognose der am Börsenag zu erwarenden Rendie r q eines Werpapiers q, q {,2,...,Q}, des Evo- ked Se basier dann auf dem in Abb. gezeigen zweisufigen Gesamnez. Beide neuronalen Neze in Abb. sind vorwärsgekoppele Neze und weisen 3 Ebenen auf: die Ebene der Eingangsneuronen, die Ebene der versecken Neuronen bzw. der Zwischenneuronen und die Ebene des Ausgangsneurons. Hinzu kommen bei jedem Nez noch je zwei sogenanne Bias- Neuronen zur Einsellung der Akiviässchwellwere der Neuronen der Zwischen- und Ausgabeschich (vgl. HOFFMANN 993). Wie in Abb. angedeue, werden in dem Nez zur DAX-Prognose die Neuronen der Eingangsschich mi i und die der Zwischenschich mi j indizier; die den Neuro-

7 5 nenverbindungen zugeordneen reellwerigen Gewiche lauen ensprechend w ij und w j. In dem Nez zur Rendie-Prognose bezeichne ebenfalls der Index i die Neuronen der Eingangsschich, während k die Neuronen der Zwischenschich indizier; die reellwerigen Verbindungsgewiche lauen daher w ik und w k. Phase DAX-Prognose I I2 Bias- Neuronen dax Phase 2 Rendie-Prognose Bias- Neuronen I 6 i w ij j w j I 7, q 6 I8,q I9,q I 20, q r q i w ik k w k Abb.. Zweisufiges neuronales Nez zur Rendieprognose von Werpapieren. Das Nez zur DAX-Prognose umfaß 6 Eingangsneuronen, an denen die Indikaoren I i, i =,..., 6, anliegen. Das Nez zur Rendieprognose besiz 5 Eingangsneuronen, an denen die DAX- Prognose dax sowie die Indikaoren I i,q, i = 7,..., 20, q =,..., Q, anliegen. Die Rendieprognose basier für alle Werpapiere also auf den gleichen Indikaoren; die Indikaoren nehmen für die einzelnen Werpapiere jedoch spezifische Were an. Für die Anzahl der Zwischenneuronen AnzZ gib UHLIG (995, S. 48) eine Fausformel an: AnzZ = 2 AnzE AnzA, (5) wobei: AnzE - Anzahl der Eingabeneuronen des neuronalen Nezes, AnzA - Anzahl der Ausgabeneuronen des neuronalen Nezes, a - größe ganze Zahl, die kleiner oder gleich der reellen Zahl a is. Der mi Formel (5) ermiele Wer für AnzZ beräg 8 für das Nez zur DAX-Prognose und 5 für das Nez zur Rendie-Prognose. Der zweie Wer erschein im Hinblick auf die hier erwünsche Generalisierungsfähigkei des Nezes zur Rendie-Prognose ewas hoch zu sein; gewähl wird daher der Wer 3. Hingewiesen sei in diesem Konex auf den Einfluß, den die Anzahl der versecken Neuronen auf die Fähigkei eines neuronalen Nezes zur Wissensspeicherung ausüb. Eine zu große Anzahl begünsig die Speicherung von Wissensdeails anselle von generellem Wissen und eine zu kleine Anzahl beeinrächig die Fähigkei eines Nezes zur Wissensspeicherung. Lieg der Akzen mehr auf der Speicherung allgemeinen Wissens, so solle die Anzahl versecker Neuronen daher eher kleiner gehalen werden (vgl. hierzu UHLIG 995, S. 48). Dieser Tendenz ensprich ewa das bei beiden Nezen gegebene Verhälnis zwischen Eingabeneuronen und versecken Neuronen von 2:. Die Neuronen eines neuronalen Nezes lassen sich bekannlich durch drei Funkionen, nämlich die Eingangs-, die Akivierungs- sowie die Ausgangsfunkion charakerisieren. Die Neuronen der Eingangsschich leien die exernen Eingangswere unveränder weier; ihre Eingangs- und Ausgangswere sind durch die ensprechenden Indikaorwere und den Wer der DAX-Prognose gegeben.

8 6 Hingegen handel es sich bei den Neuronen der Zwischen- und der Ausgabeschich durchweg um sogenanne Fermi-Neuronen (vgl. HOFFMANN 993, S. 33). Dies bedeue hinsichlich der Berechnungsfunkionen der Neuronen: - Als Eingangsfunkion wird das Skalarproduk aus den Eingangsweren und den Verbindungsgewichen der Eingänge verwende. - Als Akivierungsfunkion dien die idenische Funkion, d.h. die Akiviä des Neurons simm mi der miels der Eingangsfunkion berechneen effekiven Eingabe überein. - Als Ausgangsfunkion wird die logisische Funkion A benuz, die die reellwerige Akiviä x eines Neurons in ein reellweriges Ausgangssignal A(x) wie folg ransformier: A(x) = /( + e -x ). (6) Verwende wird also eine sigmoide Ausgangsfunkion. Ihr S-förmiger Verlauf erhöh die Sensibiliä für kleine Signale und dämpf (über-)große Signale; ein Uner- oder Überseuern der Neuronen wird so verhinder. Nachdem nun die Srukur der beiden Neze und ihre Neuronen definier sind, können DAX- und Rendie-Prognose im einzelnen spezifizier werden. Bezeichnen zdax j, j =,...,8, und dax die Ausgangswere der Neuronen der Zwischen- bzw. der Ausgabeschich des Nezes zur DAX- Prognose, und zdax bias und dax bias die Akiviässchwellwere der mi der Zwischen- und der Ausgabeschich gekoppelen Bias-Neuronen, so gil: 6 A zdax j = zdaxbias wij I + i, j =,..., 8, i= dax = A dax bias 8 + w i= j zdax j. Bezeichnen außerdem zr k, q,k =,..., 3, und r q die Zwischen- und die Ausgangswere der ensprechenden Neuronen des Nezes zur Prognose der Rendie des q-en Werpapiers, und zr bias und r bias die Akiviässchwellwere der mi der Zwischen- und der Ausgabeschich gekoppelen Bias- Neuronen, so gil: 20 zr A k,q = zrbias wik I + i,q,k =,..., 3,q =,...,Q. i = 7 q r = A r bias 3 + w k= k zr k,q. (7a) (7b) Für die Werpapier-Bewerungsfunkion R = WB PV (I - ) und den Parameervekor PV erhäl man schließlich: q R = ( r ), q =,...,Q. PV = ( zdax bias,( w ij ),dax bias,( w k ),zr bias,( w ik ),r Bei der vereinfach dargesellen Beziehung (0) drücken (w ij ), (w j ), (w ik ) und (w k ) jeweils lineare Anordnungen der ensprechenden Verbindungsgewiche aus. Für die Dimension des Parameervekors PV gil folglich: PV R 58. Was die in die Prognoseneze eingehenden Indikaoren bias,( w I k )). i, i = i,..., 6, und (8a) (8b) (9) (0) I i.q, i = 7,..., 20, anbelang, wird hier auf markechnische Indikaorkonzepe zurückgegriffen (vgl. hierzu z.b. MÜLLER und NIETZER 997, S. 20ff). Diese Konzepe versuchen, Regelmäßigkeien in der Börsenenwicklung insbesondere (anhalende) Trends und Oszillaionen zu erkennen und für die

9 7 Prognose zu nuzen. Die wesenlichsen markechnischen Indikaoren sind die Trendfolger, die der Erfassung von Trends in der Kursenwicklung dienen, und die Oszillaoren, die zur Beschreibung der regelmäßig zu- und abnehmenden Särke von Kursenwicklungen verwende werden. Hinzu kommen Advance/Decline-Indikaoren (A/D-Indikaoren), die der Besäigung der mi anderen Indikaoren gewonnenen Analyseergebnisse dienen, und weiere für spezielle Zwecke eingeseze Indikaoren wie z.b. Bollinger Bands oder Williams Accumulaion/Disribuion. Die zur DAX- Prognose verwendeen Indikaoren sind in Tabelle und die zur Rendie-Prognose verwendeen Indikaoren in Tabelle 2 zusammengesell. In den Tabellen werden die Indikaoren kurz erläuer. Was weiergehende Erläuerungen beriff, sei auf die angegebenen Quellen sowie auf die einschlägige Lieraur zu markechnischen Indikaorkonzepen verwiesen (vgl. z.b. MÜLLER und NIETZER 997, LOISTL 990). Tab.. Markechnische Indikaoren zur DAX-Prognose. Indikaorkonzep MACD (Moving Average Convergence/ Divergence) ARSI (Adjused Relaive Srengh Index) MCO (McClellan Oscillaor) ABI (Absolue Breah Index) BB (Bollinger Bands) WAD (Williams Accumulaion/ Disribuion) Charakerisierung Von APPEL (ziier in: MÜLLER und NIETZER 997, S. 49 ff.) enwickeler Trendfolger; zeig Annäherung (Convergence) oder Auseinandersreben (Divergence) zweier gleiender Durchschnie an; erseres sprich für Trendinensivierung (Kaufsignal), lezeres für Trendabschwächung (Verkaufssignal). Von CLARK (996) vorgeschlagener Oszillaor; ermiel Aufwärs- und Abwärskraf eines Werpapiers und aus der Relaion von Aufwärs- zu Abwärskraf dessen innere Särke bzw. Schwäche; posiiver Wer zeig überwiegende Aufriebskraf (Särke) und negaiver Wer überwiegende Abwärskraf an. Von SHERMAN und MCCLELLAN (ziier in: MÜLLER und NIETZER 997, S. 435) enwickeler A/D-Indikaor; dien der Besäigung der Signale anderer Indikaoren; bilde Differenz von kurz- und langfrisig gegläeem Saldo der Anzahl seigender und fallender Akien; bei Wechsel von negaiver zu posiiver Differenz z.b. is der Mark in sarker Verfassung. Von FOSBACK (ziier in: MÜLLER und NIETZER 997, S. 428) enwickeler A/D-Indikaor; gib Hinwiese auf Ausbildung oder Abschwächung von Trends; ermiel absolue Differenz zwischen seigenden und fallenden Akien; Differenz wird ggf. gegläe. Von BOLLINGER (ziier in: MÜLLER und NIETZER 997, S. 43 f.) enwickeler Indikaor; dien der Fessellung von Umkehrpunken im Mark; erfaß Bewegung eines Werpapiers in ypischem Kursbereich; wird ggf. gegläe. Von WILLIAMS (ziier in: MÜLLER und NIETZER 997, S. 405 f.) enwickeler Kursänderungs-Indikaor; gib die Summe der asächlichen Kursveränderungen eines Papiers in den lezen Tagen als Differenzen zwischen Tagesschlußkursen und Tagesiefskurs bzw. Voragsschlußkurs an; fallender WAD zeig Schwäche, seigender dagegen Särke an. Abgeleiee Einzelindikaoren I - Mielfrisiges MACD-Hisogramm des DAX (vgl. MÜLLER und NIETZER 997, S. 49 ff.). I 2 - Trend des Indikaors I (vgl. MÜLLER und NIETZER 997, S. 49 ff.). I 3 - Trendwechsel des Indikaors I (vgl. MÜLLER und NIETZER 997, S. 49 ff.) Für die Parameer des MACD wird die von MÜLLER und NIETZER, 997, S. 50, für mielfrisige Signale angegebene Sandardeinsellung verwende. I 4 - ARSI des DAX. I 5 - Trend des Indikaors I 4. I 6 - Überkauf/Überverkauf-Indikaor auf der Basis des Indikaors I 4. - Indikaor zur Anzeige rendloser Märke auf der Basis des Indikaors I 4. I 8 - Gleiender 0-Tage-Durchschni des Index I 7. I 9 - MCO auf der Basis von 79 Akien des DAX 00. I 0 - Trend des Indikaors I 9. I 7 I - Gleiender 0-Tage-Durchschni des ABI für 69 Akien des DAX 00. I 2 - Trend des Indikaors I. I 3 - Gleiender 20-Tage-Durchschni des BB für den DAX. I 4 - Trend des Indikaors I 3. I 5 - Gleiender 5-Tage-Durchschni des 60- Tage-WAD für den DAX. - Oszillaor für den WAD. I 6

10 8 Tab. 2. Indikaoren zur Rendie-Prognose. Indikaorkonzep RS (Relaive Särke) Charakerisierung Indikaor, der die Särke eines Werpapiers anzeig; gib an, ob sich ein Papier in einer längeren Phase särker enwickel als andere Papiere; is Quoien aus prozenualem Kursansieg eines Papiers und prozenualem Ansieg des Akienindex je während der lezen n Tage; vgl. MÜLLER und NIETZER 997, S. 273 ff. I 7,q I 8,q I 9,q I 20,q Abgeleiee Einzelindikaoren - 20-Tage-RS-Indikaor für das q-e Werpapier, q =,..., Q. - 0-Tage-Trend des Indikaors I 7,q, q =,..., Q Tage-RS-Indikaor für das q-e Werpapier, q =,..., Q Tage-Trend des Indikaors I 9,q, q =,..., Q. Porefeuille-Opimierungsfunkion Gegensand der Porefeuille-Opimierung is die Besimmung einer risikoeffizienen Werpapiermischung. Ein risikoeffizienes Porefeuille besiz bei vorgegebener erwareer Rendie im Vergleich zu anderen Porefeuilles gleicher erwareer Rendie das geringse Risiko. In einen Ansaz zur Porefeuille-Opimierung fließen somi gleichermaßen Erragsaussichen und Risikoaspeke ein. Während sich die Erragsaussichen aus den prognosizieren Werpapierrendien ergeben, beeinflussen die Risikopräferenz des Anlegers und die Risikosreuung durch Diversifikaion das Anlagerisiko. Ein Ansaz, der bei gegebenen Rendieerwarungen der Werpapiere des Evoked Se r q, q =,..., Q, und bei gegebenem, das Risikoverhalen des Anlegers beschreibenden Risikopräferenzparameer Θ, Θ > 0, risikoeffiziene Porefeuilles ermiel, is der mean-variance-approach (vgl. UHLIR und STEINER 994, S. 62). Dieser Ansaz geh u.a. auf grundlegende Arbeien von MARKOWITZ zurück (vgl. MARKOWITZ 952, MARKOWITZ 959) und wird daher auch als Markowiz-Diversifikaion bezeichne. Der Begriff der Markowiz-Diversifikaion deue darauf hin, daß eine größmögliche Risikoreduzierung durch Diversifikaion angesreb wird. Im Zuge der Opimierung wird daher gleichzeiig besimm, welche Werpapiere mi welchen Aneilen in das Porefeuille aufzunehmen sind. In die Opimierung kann auch die Halung der Barreserve einbezogen werden. Die Barreserve is zu diesem Zweck als weieres Werpapier mi der Verzinsung Null (vgl. hierzu Annahme (A3)) zu inerpreieren. Bezeichne a q den Aneil mi dem das q-e Werpapier des Evoked Se einschließlich der Barreserve zu Beginn des Börsenages in das Porefeuille aufzunehmen is, so besimm sich dieser Aneil gemäß der Markowiz-Diversifikaion wie folg (vgl. UHLIR und STEINER 994, S. 47): a Q + = + = + q c q Θ c q,s r, q,q,...,q s= wobei die Größen c q, q =,..., Q +, und c q, s, q =,..., Q +, s =,..., Q +, die Elemene einer inversen erweieren Varianz-Kovarianz-Marix C -, darsellen. Die Marix C - leie sich aus der Marix der Varianzen und Kovarianzen der Rendien der Werpapiere des Evoked Se einschließlich der Barreserve ab (vgl. hierzu UHLIR und STEINER 994, S. 44 ff.). Lau Beziehung () besimm sich der Aneil eines Werpapiers bzw. der Barreserve am Porefeuille bei gegebenem Risikopräferenzparameer als gewichee Summe der prognosizieren Werpapierrendien zuzüglich einer Konsanen. Da sich die Barreserve nich verzins, gil rq + = 0. Die Beziehung () vereinfach sich deshalb wie folg: a Q+ = + = q c q Θ c q,s r, q, q,...,q s= () (a)

11 9 aq+ = cq+. (b) Die Aneile a q unerliegen zwei Resrikionen. Einerseis muß ihre Summe den Wer Eins ergeben, und andererseis dürfen sie nich negaiv sein. Im Falle geeigne gewähler bzw. berechneer Koeffizienen c q und c q,s werden diese Bedingungen erfüll sein. Nun werden die Koeffizienen c q und c q,s hier aber als Parameer behandel, deren Were im Rahmen der Opimierung des Anlagesysems gemäß Formulierung (2) zu besimmen sind. Hieraus ergeben sich zwei Konsequenzen: Zum einen erübrig sich die Berechnung der Elemene der Marix C - und zum anderen is die Einhalung der beiden Bedingungen sicherzusellen. Dies kann durch den Übergang zu normalisieren Aneilen o q, q =,..., Q +, geschehen. Aufreende negaive Aneilswere werden durch eine Maximumbildung unerdrück: aq = Max{ 0 ;a q },q =,...,Q +. (2) Als Normalisierungsbasis dien die Summe A der Aneile a q : Q = + a q q= A. (3) Die Aneile der Werpapiere im opimalen Porefeuille beragen dann: a / A, falls A o q 0 q =,q =,...,Q. 0, andernfalls (4) Für die Barreserve gil: aq+ / A, falls A 0 oq+ = (5),andernfalls. Die Porefeuille-Opimierungsfunkion O = PO PV2 (R ) und der Parameervekor PV2 lauen daher bei Einbeziehung der Barreserve: O = (o q ), q =,..., Q+. (6) PV2 = ((c q ), (c q,s )). (7) Die Darsellung des Vekors PV2 is vereinfach; (c q ) und (c q,s ) sind als lineare Anordnungen von Koeffizienen zu versehen. Wähl man für Q wie das späer der Fall sein wird den Wer Q = 5, so gil für die Dimension des Parameervekors: PV2 R 36. Depo-Anpassungsfunkion Zweck der Depo-Anpassung is die Berechnung der Anlageenscheidungen, die das für den Börsenag ermiele opimale Porefeuille realisieren. Neben den Aneilen o q der Werpapiere im opimalen Porefeuille beeinflussen auch die akuellen Werpapierkurse und die akuelle Deposrukur die Kauf- und Verkaufsenscheidungen. Im Falle äglicher Anlegeenscheidungen, wie sie hier unersell werden, ensprechen die akuellen Werpapierkurse den Schlußkursen K q, q =,...,Q, des Vorages. Für die formal wie ein Werpapier behandele Barreserve gil die mi K Q+ bezeichnee Währungseinhei als Kurs; K Q+ wird einfachheishalber als zeiinvarian angenommen

12 0 und auf den Wer K Q+ = gesez. Die akuelle Deposrukur wird durch die Anzahlen der im Depo vorhandenen Werpapiere D q des Typs q, q =,..., Q, sowie die Höhe der Barreserve D Q + besimm. Für den akuellen Depower DW -, wie er sich am Ende des Vorags darsell, gil dann: DW Q = D q K + q DQ + q=. Der akuelle Depower besimm den finanziellen Spielraum, in dem sich die Depo-Anpassung bewegen kann. Bezeichne q die Anzahl der Werpapiere (ohne Barreserve) des Typs q, q =,..., Q, die zu Beginn des Börsenages gekauf ( > 0) oder verkauf ( < 0) werden müssen, um q das opimale Porefeuille zu realisieren. Da jeweils nur ganze Werpapiere gekauf oder verkauf werden können, gil: ( o DW q D q K q ) / K q,q =,...,Q. q = Eine Anlageenscheidung q, q {,..., Q}, führ je nach Vorzeichen zu einer Erhöhung oder Verminderung der Barreserve. In der Summe änder sich die Barreserve wie folg: + Q Q = q Kq. q= Die Depoanpassungsfunkion = DA(D -, K -, O ) ergib sich somi gemäß: = ( q ),q =,...,Q +. (2) Neben der Porefeuille-Opimierungsfunkion O gehen, wie die Beziehung (9) zeig, der die Deposrukur beschreibende Vekor D - = ( D ), q =,..., Q+, und der Kursvekor K - = ( K ), q = q,..., Q, in die Depoanpassungsfunkion ein. Dami is das mi Beziehung () eingeführe und gemäß den Beziehungen (3a) bis (3c) zerlege Anlagesysem vollsändig spezifizier. q q (8) (9) (20) Werenwicklung und Anfangsbedingungen Nun ineressier bei der Anwendung eines Anlagesysems vor allem, wie sich der in Werpapieren gebundene Depower und der Wer der Barreserve im Zeiablauf enwickeln. Außerdem sind Anfangsbedingungen für den Sysemeinsaz vorzugeben. Werenwicklung und Anfangsbedingungen werden nachfolgend spezifizier. Beziehung (8) definier den Depower zu Beginn des Börsenages sowie die Aufeilung dieses Berags auf Werpapiere und Barreserve. Unmielbar nach der Realisierung der Enscheidungen, q, q =,..., Q, ha sich zwar sofern nich alle q Null sind die Deposrukur, nich aber der Depower geänder. Die Anzahlen der nun im Depo vorhandenen Werpapiere lauen: D +,q,...,q. (22) = q D = q q Die Änderung der Barreserve gemäß Beziehung (20) ergib folgenden neuen Wer der Barreserve: =. (23) DQ DQ Q Der Depower einschließlich Barreserve am Ende des Tages und die Aufeilung dieses Berages auf Werpapiere und Barreserve können nun in analoger Weise wie in Beziehung (8) angegeben werden:

13 DW Q = D q K q + D q= Q+. (24) Bezeichne = 0 den Beginn des ersen Börsenages =. Unersell sei, daß ein Invesor zu diesem Zeipunk (ersmalig) einen Kapialberag B, B > 0, in Werpapieren anlegen möche. Das iniiale o Porefeuille wird dann durch folgende Anfangsbedingungen beschrieben: D q = 0, q =,..., Q, und o DQ + = B. Ausgehend von diesen Anfangsbedingungen kann nun für jeden Börsenag, =,..., T, der Depower gemäß den Beziehungen (22) bis (24) ermiel werden. 3 Bewerung von Anlagesysemen miels einer Risikonuzenfunkion Das eingangs vorgeselle Opimierungsproblem sieh eine Bewerung von Anlagesysemen AS PV, PV Π, miels einer Risikonuzenfunkion U(AS PV ) vor. Neben dem Risikoverhalen des Invesors berücksichigen die in der Lieraur vorgeschlagenen Risikonuzenfunkionen die erwaree Rendie der Invesiion und deren Nuzen (Varianz). Da die mi einem Anlagesysem erzielbare Rendie und deren Varianz nich bekann sind, empfiehl sich die Schäzung dieser Größen auf der Basis von Vergangenheisdaen. Vergangenes Börsengeschehen wird zu diesem Zweck mi dem Anlagesysem quasi simulier. Im folgenden wird zunächs die Risikonuzenfunkion spezifizier und danach die Rendie- und Risikoschäzung behandel. Eine Risikonuzenfunkion sell im Sinne einer gemeinsamen Berachung eine Verbindung zwischen dem (posiiven) Nuzen aus dem Invesiionserrag und dem (negaiven) Nuzen aus dem Invesiionsrisiko her. Bei dem hier verwendeen Ansaz von RUBINSTEIN (973) werden Rendie und Risiko miels eines Präferenzparameers Θ verknüpf. Der Parameer Θ beschreib das vom Invesor präferiere Kompensaionsverhälnis, also den Trade-off, zwischen Rendie und Risiko. Die Risikonuzenfunkion laue: U(AS PV ) = Θ µ - σ 2, (25) wobei: µ - erwaree Rendie aus der beabsichigen Anwendung des Anlagesysems, σ 2 - Varianz der Rendie des mi dem Anlagesysem zu ermielnden Porefeuilles. Eine Erhöhung der Rendie in Beziehung (25) um δ wird durch eine Risikoerhöhung um genau Θ δ Risikoeinheien kompensier. Es gil nämlich: Θ (µ + δ) (σ 2 + Θδ) = Θ µ - σ 2. Ein risikoaversiver Invesor wird eine Rendieerhöhung nur uner Inkaufnahme eines geringen Risikozuwachses ansreben. Seinem Verhalen wird ein geringerer Wer von Θ gerech, einem risikofreudigen Invesor dagegen ein größerer Wer. Für Θ solle ein Wer gewähl werden, der mi der Rendie- und Risikoenwicklung gu diversifizierer Akienporefeuilles ewa in Einklang seh. Zum Zweck der Abschäzung von Θ wird auf folgende Formel zurückgegriffen, die den Zusammenhang zwischen dem Präferenzparameer Θ und dem Zinssaz r F einer alernaiven risikolosen Anlage beschreib (vgl. UHLIR und STEINER 994, S. 52): Θ = 2 VM/(EM - r F ). (26a) In Gleichung (25) bezeichnen VM die Varianz und EM den Erwarungswer eines Minimum- Varianz-Porefeuilles, dem die risikolose Anlage gegenübergesell wird. Für r F = 0, also den Ausschluß einer sich verzinsenden risikolosen Anlage, erhäl man:

14 2 Θ = 2 VM/EM. (26b) Im Zeiraum von 953 bis 988 erzielen in der Bundesrepublik Deuschland gu diversifiziere Akien-Porefeuilles eine jährliche Rendie von durchschnilich 4,4% bei einer Sandardabweichung von durchschnilich 27,2% (vgl. UHLIR und STEINER 994, S. 6). Der Wer des Risikopräferenzparameers beräg für diese Were ewa Θ. Im Falle von Renenpapieren als einer risikogeringen Anlageform ergib sich für den gleichen Zeiraum (bei jährlichen Durchschnisweren von 7,9% und 5,6% für Rendie und Sandardabweichung nach UHLIR und STEINER 994, S. 6): Θ Der so abgeschäze Spielraum für Θ lieg also zwischen Θ = 0.08 (Risikoaversion) und Θ =.0 (Risikofreude). Zur Schäzung der unbekannen Größen µ und σ 2 in Gleichung (25) wird die Werenwicklung des mi dem Anlagesysem ermielen Porefeuilles in einem vergangenen Evaluierungszeiraum berache. Erwarungsreue Schäzer rˆ und ŝ 2 für die Rendie des Anlagesysems und deren Varianz im Evaluierungszeiraum können dann wie folg berechne werden (vgl. UHLIR und STEINER 994, S. 29 f.). Der Evaluierungszeiraum besehe aus P aufeinanderfolgenden Börsenagen. Für jeden Börsenag p, p =,..., P, läß sich die Tagesrendie r p, die das Anlagesysem am Tag p erziel häe, gemäß p p p p r DW DW = ( ) / DW (27) berechnen. Hierbei bezeichnen DW p und DW p den Wer des Depos (einschließlich der Barreser- p ve) am Ende des p-en bzw. (p-)-en Tages. Sei ferner rc die koninuierliche Tagesrendie, die sich gemäß r p c = ln( + r p ), p =,..., P, aus der Tagesrendie errechne. Dann werden zunächs erwarungsreue Schäzer rˆ c und ŝ 2 c für den Erwarungswer bzw. die Varianz der koninuierlichen Tagesrendien gegeben durch die Beziehungen: rˆ c P = r P p p c =, p 2 ( r rˆ ). P 2 ŝ = c c P p= c Die gewünschen erwarungsreuen Schäzer rˆ und ŝ 2 für die Rendie eines Anlagesysems und deren Varianz im gesamen Evaluierungszeiraum berechnen sich nun gemäß: rˆ = P rˆ, (30) ŝ = P 2 ŝ c 2 c. Der geschäze Risikonuzen eines Anlagesysems AS PV ermiel sich schließlich wie folg: 2 Û( AS ) = Θ rˆ + ŝ. PV Zur Lösung des Opimierungsproblems (2) is dann aus einer gegebenen Menge von Anlagesysemen AS PV ein solches Anlagesysem zu besimmen, dessen gemäß Beziehung (32) ermieler Risikonuzen maximal ausfäll. (28) (29) (3) (32)

15 3 4 Opimierung von Anlagesysemen miels eines geneischen Algorihmus Das mi der Beziehung (2) gegebene Opimierungsproblem Max {U(AS PV ), PV Π}, is äußers komplex. Der Einsaz üblicher Verfahren der mahemaischen Opimierung zu seiner Lösung erschein ausgeschlossen. Da andererseis der durch die große Anzahl der Parameer des Anlagesysems definiere Suchraum exrem groß is, wird hier auf die heurisische Suchsraegie der geneischen Algorihmen zurückgegriffen. Geneische Algorihmen gehören zur Klasse der evoluionären Algorihmen. Wie alle Verreer dieser Klasse sellen sie nauradapive, auf Grundmechanismen der Evoluion beruhende Suchverfahren dar, die sich speziell auch im Falle großer Suchräume bewähr haben. Was die Theorie und die Vorgehensweise geneischer Algorihmen beriff, sei auf die Lieraur verwiesen (vgl. z.b. GOLDBERG 989, REEVES 993, FALKENAUER 998). Die Ausführungen hier beschränken sich auf die Beschreibung eines geneischen Algorihmus zur Opimierung von Anlagesysemen des vorgesellen Typs. Dies geschieh in den Schrien Verfahrensübersich, Problemrepräsenaion, Bewerung von Individuen, geneische Operaoren sowie Iniialisierung, Terminaion und Konfiguraion. Während die Verfahrensübersich den geneischen Algorihmus (GA) insgesam beriff, beziehen sich die übrigen Schrie auf die Komponenen des GA. Verfahrensübersich Eine Grobdarsellung des geneischen Algorihmus zur Opimierung von Anlagesysemen zeig die Abb. 2. Ein Individuum sell bei diesem GA ein Anlagesysem dar. Die Zielfunkionswerermilung eines Individuums erfolg durch Schäzung des Risikonuzens gemäß der Beziehung (32). Erzeuge eine Sarpopulaion von Pop 0 von N Individuen Verwende die Sarpopulaion als akuelle Populaion: Pop := Pop 0 WHILE Terminaionsbedingung is nich erfüll Bewere die Individuen der akuellen Populaion Pop Übernehme das Individuum mi höchsem Zielfunkionswer Ind max in die Folgepopulaion: Pop' := {Ind max } WHILE Folgepopulaion is unvollsändig Durchführung eines Crossover? JA Selekiere zwei Individuen der akuellen Populaion: Ind, Ind 2 Pop Erzeuge ein Individuum Ind neu miels Crossoveroperaor angewende auf Ind, Ind 2 Seze Ind neu := Ind 3 JA NEIN Selekiere ein Individuum der akuellen Populaion: Ind 3 Pop Durchführung einer Muaion der ersen Variane? Erzeuge ein Individuum Ind 2 neu miels ersem Seze Ind 2 Muaionsoperaor angewende auf Ind neu := Ind neu neu Durchführung einer Muaion der zweien Variane? JA NEIN NEIN Erzeuge ein Individuum Ind 3 neu miels zweiem Seze Ind 3 Muaionsoperaor angewende auf Ind 2 neu := Ind 2 neu neu Übernehme das resulierende Individuum Ind 3 neu in die Folgepopulaion: Pop' := Pop' {Ind 3 neu} Verwende die Folgepopulaion als akuelle Populaion Pop := Pop' Verwende das Individuum der akuellen Populaion mi höchsem Zielfunkionswer Ind max als Problemlösung Abb. 2. Grobdarsellung des geneischen Algorihmus zur Opimierung von Anlagesysemen.

16 4 Mi der zufälligen Erzeugung einer Sarpopulaion von N zulässigen Lösungen bzw. Anlagesysemen wird der GA iniialisier. Bei konsanem Populaionsumfang werden Folgepopulaionen ensprechend dem Reprodukionsmodell der generaionsweisen Ersezung (vgl. FALKENAUER 998, S. 53) sowie uner Nuzung der Eliis-Sraegie erzeug. So werden Lösungen der nächsen Populaion jeweils ausschließlich uner Verwendung der akuellen Populaion generier, wobei das Individuum der akuellen Populaion mi dem höchsen Zielfunkionswer ses in die nächse Populaion übernommen wird. Dies garanier, daß die bese im Evoluionsverlauf gefundene Lösung überleb und abschließend als Problemlösung besimm wird. Zur Erzeugung eines Individuums der je nächsen Populaion werden nacheinander ein Crossoveroperaor sowie zwei Muaionsoperaoren eingesez. Alernaiv zu dem Einsaz eines Operaors wird ein vorab selekieres bzw. durch vorgängige Operaoranwendung erhalenes Individuum lediglich idenisch reproduzier. Während der erse Muaionsoperaor das Genmaerial eines Individuums nur geringfügig veränder, nimm der zweie Muaionsoperaor Veränderungen an allen Genen vor. Diese Einschleusung völlig neuen Genmaerials soll einer durch geneische Verarmung bedingen Sagnaion des Suchprozesses engegenwirken. Der Crossoveroperaor wird mi der konsanen Anwendungswahrscheinlichkei pc, der erse Muaionsoperaor mi der ebenfalls konsanen Wahrscheinlichkei pm eingesez, während die Anwendungswahrscheinlichkei pm2 des zweien Muaionsoperaors geeigne variier wird. Problemrepräsenaion Die Problemrepräsenaion beschreib den Zusammenhang zwischen den Lösungen des beracheen Problems und ihrer geneischen Darsellung. Dieser Zusammenhang wird durch die Kodierung von Anlagesysemen und durch die Dekodierung ensprechender Chromosomen besimm. Anlagesyseme der beracheen Klasse unerscheiden sich lediglich durch die Were der insgesam 94 Parameer des Parameervekors PV. Es lieg daher nahe, diese Parameer als Gene in einen als Chromosom bezeichneen Vekor C = (g,...,g 94 ), C R 94, einzubringen. Ensprechend der Building-Block-Hypohese (vgl. z.b. GOLDBERG 989, S. 4) sind logisch zusammengehörige Parameer im Chromosom nebeneinander anzuordnen. Die so gebildeen kompaken geneischen Bauseine repräsenieren Teillösungen und ermöglichen die Zusammensezung guer Teillösungen zu Gesamlösungen im Forpflanzungsprozeß. Die Reihenfolge der Gene in einem Chromoson C ensprich daher der Anordnung der Parameergruppen in den Parameervekoren PV und PV2: C = (PV/PV2). Bei der gewählen Codierungsform sellen die Gene zugleich die Enscheidungsvariablen des Opimierungsproblems (2) dar. Lösungen (Phänoypen) und Chromosomen (Genoypen) fallen daher zusammen und eine Dekodierung erübrig sich. Bewerung von Individuen Zweck der Bewerung eines Individuums is die Ermilung des Zielfunkionsweres der durch das Individuum gegebenen Problemlösung. Sofern der Zielfunkionswer nich auch als Finesswer verwende wird, komm die Ermilung der Finess des Individuums hinzu. Als Zielfunkionswer eines Individuums bzw. Anlagesysems dien bekannlich der gemäß Beziehung (32) auf der Basis hisorischer Daen zu schäzende Risikonuzen Û( ASPV ). Die Vorgehensweise bei der Schäzung des Risikonuzens is in Abschni 3 im Deail beschrieben.

17 5 Zur Vereinfachung der Schreibweise bezeichne im folgenden ind, ind =,..., N, ein Individuum der akuellen Populaion und Û ind seinen geschäzen Risikonuzen. Im einfachsen Fall könne Û ind als Finesswer verwende werden. Aus zwei Gründen geschieh dies hier jedoch nich: () Die Ermilung guer Anlagesyseme mi dem geneischen Algorihmus beruh auf dem Erlernen allgemeinen Börsenwissens. Das Börsenwissen is in den Gen- bzw. Parameerweren des am Ende des Evoluionsprozesses besimmen besen Anlagesysems verkörper. Bei begrenzem Rechenaufwand wird die Chance für das Erlernen allgemeinen Börsenwissens erhöh, wenn sich der Lernprozeß über verschiedene, disjunke und separa berachee Phasen eines hisorischen Börsengeschehens hier bezeichne als Trainingsphasen ersreck. (2) Die Verwendung von Zielfunkionsweren als Finesswere beinhale bekannlich die Gefahr, daß der Opimierungsprozeß frühzeiig in einem nur mäßig guen lokalen Opimum sagnier (vgl. z.b. REEVES 993, S. 68). Der frühzeiigen Sagnaion kann durch die Verwendung von Rangweren als Finesswere engegengewirk werden. Die hier vorgeselle Finessberechnung berücksichig beide Aspeke. Sie beruh auf mehreren Trainingsphasen und beinhale eine Rangbildung. Hierzu werden PT hisorische Trainingsphasen berache, die anhand des Index p, p =,..., PT, p unerschieden werden. Bezeichne Û T ind den für die p-e Trainingsphase geschäzen Risikonuzen des ind-en Individuums. Als Bewerungskennzahl BKT ind eines Individuums ind wird nun der milere geschäze Risikonuzen über alle Trainingsphasen eingeführ: PT p BKTind = ÛTind, ind =,...,N. (33) PT p = Ausdrücklich sei darauf hingewiesen, daß die Ermilung der Bewerungskennzahl BKT ind nich ewa je einen separaen Opimierungslauf für jede Trainingsphase voraussez. Erforderlich is vielmehr nur ein Opimierungslauf. Bei diesem werden allerdings alle PT Trainingsphasen simulan ausgewere ein Anlagesysem wird also jeweils gleichzeiig auf die PT Trainingsphasen angewand. Die Besimmung der Finess der Individuen basier auf der linearen Rangbildung (vgl. REEVES 993, S. 69). Dazu werden die Individuen einer Populaion in eine Sorierfolge mi abseigenden Kennzahlweren BKT ind, ind =,..., N, gebrach. Die Finess f ind des ind-en Individuums ensprich dann seinem Rang in der Sorierfolge: f ind = N-ind+, ind =,..., N. (34) Die Finess des höchsbewereen Individuums beräg also N und die des rangniedrigsen is. Geneische Operaoren Als geneische Operaoren kommen Selekion, Crossover und Muaion zum Einsaz, die Muaion jedoch in zwei Varianen (vgl. Abb. 2). Der Selekionsoperaor sieh eine finessproporionale Auswahl von Individuen vor. Die Wahrscheinlichkei psel ind für die Selekion eines Individuums ensprich dieser Anforderung, falls sie wie folg besimm wird: psel ind = ( N ind + )/( N ( N + )),ind =,...,N. 2 (35)

18 6 In Beziehung (35) ensprich der Zähler des Bruchs offensichlich dem Finesswer, während der Nenner die Wahrscheinlichkeiswere geeigne normier. Als Crossoveroperaor wird der Zweipunk-Crossover verwende (vgl. z. B. REEVES 993, S. 7). Im Vergleich zu dem hier auch in Frage kommenden Einpunk-Crossover begünsig der Zweipunk-Grossover den Ausausch von geneischen Bauseinen geringerer Länge (vgl. GEHRING und SCHÜTZ 994, S. 96). Für den Zweipunk-Crossover sprich die relaiv geringe Länge der Bauseine, auf denen die gewähle Problemrepräsenaion beruh. Die Wirkungsweise des Zweipunk- Crossover veranschaulich die Abb. 3, in der Gene eines Chromosoms durch aneinandergereihe Käschen repräsenier werden. An zwei zufällig besimmen Kreuzungssellen wird jedes Elern- Chromosom in drei Bauseine zerleg. Ein Teil der Bauseine geh nach dem dargesellen Muser in das Chromosom des Nachkommen ein. Kreuzungssellen Chromosom Eler Chromosom Nachkomme Chromosom Eler 2 Abb. 3. Schemaische Darsellung des Zweipunk-Crossover. muierer Nachkomme Muaionsoperaor Chromosom Nachkomme Muaionsoperaor 2 muierer Nachkomme Abb. 4. Schemaische Darsellung der beiden Muaionsoperaoren. Bei der Anwendung des ersen Muaionsoperaors wird zwanzig mal zu einem zufällig ausgewählen Gen des zu muierenden Chromosoms eine Zufallszahl zwischen -0,5 und 0,5 addier. Die Mehrfachauswahl eines Gens is gesae. Der Muaionsoperaor 2 wirk wie der Muaionsoperaor ; allerdings werden alle Gene eines Individuums in der beschriebenen Weise veränder. Die Abb. 4 zeig die Wirkungsweise beider Muaionsoperaoren. Die Wahrscheinlichkei pm2 für die Anwendung des Muaionsoperaors 2 is, im Gegensaz zum ersen Muaionsoperaor, nich konsan. Vielmehr wird der Wer von pm2 in Abhängigkei von der Diversiä Div(pop) einer Populaion Pop in einem Inervall [pm2 min, pm2 max ] variier. Die Diversiä

19 7 Div(Pop) sell ein Maß für die Vielfal der Gene in einer Populaion dar. Bezeichne SDiv einen Schwellenwer für die Diversiä der Populaion Pop, dann gil: pm2( Pop) = Max( pm2 ; pm2 + ( pm2 pm2 ) ( Div( Pop) / SDiv. (36) min min max min )) Solange die Diversiä oberhalb des Schwellenwers lieg, wird der Muaionsoperaor 2 nur mi der geringsen Wahrscheinlichkei pm2 min eingesez. Andernfalls seig die Einsazwahrscheinlichkei mi fallender Diversiä bis auf den Maximalwer pm2 max. Als Maß für die Diversiä wird bis auf einen konsanen Fakor die milere Sandardabweichung der Gene g pos ind ( Pop), pos =,..., 94, ind =,..., N, in der Populaion Pop gewähl: Div( Pop) = 94 N pos pos [ g ( Pop) g ( Pop) ] pos= ind = 2 ind. Der Index pos idenifizier die 94 Gene eines Chromosoms. Der Mielwer g pos (Pop) der Genwere des jeweils pos-en Gens beräg: N pos pos g ( Pop) = g ind ( Pop), pos =,..., 94. (38) N ind = Das Inervall [pm2 min, pm2 max ] und der Schwellwer SDiv sind so zu wählen, daß der Muaionsoperaor 2 nich zu häufig eingesez wird. Bei zu häufigem Einsaz nimm der GA den Charaker einer Zufallssuche an. (37) Iniialisierung, Terminaion und Konfigurierung des GA Die N Individuen der Sarpopulaion Pop 0 werden zufällig generier. Jedes Gen eines Individuums wird gleichvereil in einem Inervall wie folg realisier: [-, ] für Akiviässchwellwere der Bias- Neuronen, [-5, 5] für Verbindungsgewiche und [-3, 5] für die Parameer der Porefeuilleopimierung. Die Inervalle sind so gewähl, daß für die Anlagesyseme der Sarpopulaion die Möglichkei der Invesiion in alle Werpapiere des Evoked Se begünsig wird. Die Reproduzierbarkei der Sarpopulaion bzw. der Ergebnisse einer kompleen Berechnung werden wie üblich durch die Verwendung eines Generaors für Pseudozufallszahlen gewährleise, der mi einem Sarwer z 0 iniialisier wird. Als Terminaionskrierium wird eine Ieraionszahl NIer vorgegeben. Ein Opimierungslauf wird also nach der Erzeugung der NIer-en Folgepopulaion abgebrochen. Der geneische Algorihmus wurde mi folgenden fesen Parameerweren konfigurier: - Populaionssärke: N = 40, - Anzahl von Ieraionen: NIer = 250, - Crossover-Wahrscheinlichkei: pc = 0,6, - Muaions-Wahrscheinlichkeien: pm = 0,2, pm2 min = 0, pm2 max = 0,4, - Schwellenwer für die Diversiä: SDiv = 0,5.

20 8 5 Evaluierung von Anlagesysemen Implemenier wurde der GA zur Opimierung von Anlagesysemen in der Programmiersprache ANSI C. Sämliche Opimierungsläufe wurden auf einem Penium PC, 75 MHz, durchgeführ. Die Rechenzei der Opimierungsläufe bewege sich zwischen 000 und 500 Sekunden. Nachfolgend beschrieben werden das verwendee Evaluierungskonzep und die erzielen Berechnungsergebnisse. Evaluierungskonzep Die ieraive Opimierung von Anlagesysemen miels eines GA verfolg ein Trainingsziel. Auf der Basis hisorischer Daen sollen im Zuge des Forpflanzungsprozesses Parameerwere erlern werden, die allgemeine Charakerisika der Börsenenwicklung erfassen und daher eine Vorhersage der Rendieenwicklung von Werpapieren gesaen. Inwiewei dieses Ziel durch das vorgesehene, mehrphasige Training erreich werden kann, soll die Evaluierung zeigen. Grundsäzlich kann ein Anlagesysem im Wege der Simulaion hisorischen Börsengeschehens evaluier werden. Zu Beginn eines jeden Börsenages einer hisorischen Evaluierungsphase werden miels des Anlagesysems Anlageenscheidungen geroffen. Ausgehend von einem gegebenen Sarkapial wird nach Maßgabe der Anlageenscheidungen das Werpapier-Porefeuille einschließlich der Barreserve gegebenenfalls äglich umgesale. Für die so berechnee Porefeuilleenwicklung kann nun gemäß Beziehung (32) der Risikonuzen geschäz werden, den das Anlagesysem in der zugrundegelegen Evaluierungsphase erziel häe. Einen Anhalspunk für die Voreilhafigkei des Anlagesysems erhäl man, wenn man den für eine (einfache) Referenzsraegie in gleicher Weise berechneen Risikonuzen zum Vergleich heranzieh. Die einfachse Referenzsraegie is die Buy-and-Hold-Sraegie (vgl. LOISTL 993, S. 350 ff). Sie sieh die im Zeiablauf unverändere Beibehalung eines ursprünglich erworbenen Werpapierporefeuilles vor. In diesem Sinne kann ein Börsenindex wie der DAX, der sich auf eine fese Menge von Werpapieren bezieh, als Realisaion einer Buy-and-Hold-Sraegie angesehen werden. Als Referenzsraegie Sref wird hier eine Buy-and-Hold-Sraegie gewähl, die zwei Eigenschafen aufweis: Einerseis ersreck sie sich auf die Tiel des Evoked Se und ermöglich so einen unmielbaren Vergleich mi dem Anlagesysem AS PV. Andererseis beruh sie auf der naiven Diversifikaion (vgl. UHLIR und STEINER 994, S. 62 ff.), d.h. in jeden Tiel des Evoked Se wird anfänglich ein gleicher Aneil des Budges invesier. Bei der Feslegung des Evaluierungskonzeps sind folgende Anforderungen und Überlegungen zu berücksichigen: - In Analogie zu der Vorgabe mehrerer Trainingsphasen empfiehl sich die Verwendung verschiedener Phasen eines hisorischen Börsengeschehens als Evaluierungsphasen. Eine Variaion der verwendeen Trainings- und Evaluierungsphasen reduzier das Risiko der Fehlbeureilung von Anlagesysemen berächlich. - Für die Trainings- und Evaluierungsphasen solle eine hinreichende Länge gewähl werden, um den Einfluß von relaiv kurzfrisigen (unsysemaischen) Kursschwankungen zu reduzieren. Die Länge solle die der Berechnung einiger Indikaoren zugrunde liegende Spanne von 60 Börsenagen deulich überschreien. - Bei der Evaluierung solle auf das sogenanne Overfiing geache werden (vgl. MÜLLER und NIETZER 997, S. 573). Sind die Opimierungsforschrie eines Anlagesysems primär durch den Erwerb von Spezialwissen über die Beschaffenhei des Trainingszeiraums begründe und nich