Gliederung. Nebenläufigkeit und Fairness. 1. Nebenläufigkeit Lokalitätsprinzip. 2. Betrachtungsweisen von Nebenläufigkeit. 3.

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1 Gliederung Lokalitätsprinzip Nebenläufigkeit und Fairness Seminar Model lchecking WS 08/09 Interleaving Halbordnung. Fairness Jan Engelsberg berlin.de Was ist Nebenläufigkeit? In der Computerwelt Verschiedene Programme, die gleichzeitig laufen Mehrere Threads eines Programms Mautsystem: ca Einzelgeräte in LKW Vereinfachte Ampel Auto wartet rot grün_an Allgemeiner Zwei oder mehr Dinge passieren zur gleichen Zeit können, müssen sich aber nicht gegenseitig beeinflussen Auto gefahren grün rot_an 1 2 Vereinfachte Ampel Vereinfachte Ampel Auto wartet rot Auto wartet rot grün_an grün_an grün grün Auto gefahren rot_an Auto gefahren rot_an 2 2 1

2 Kreuzungen Kreuzungen Kreuzungen Kreuzungen Kreuzungen Kreuzungen 2

3 Kreuzungen Ampel Netz Kreuzung i 4 Ampel Netz Ampel Netz 4 4 Ampel Netz Ampel Netz 4 4

4 Problem Zustandsraumexplosion Wie analysiert man das System? Betrachtung aller Zustände Problem Zustandsraumexplosion Zustand 1 Wieso ist das ein Problem? Schon in kleinen Systemen viele Zustände 5 6 Problem Zustandsraumexplosion Zustand 2 Problem Zustandsraumexplosion Zustand 6 6 Problem Zustandsraumexplosion Zustand 4 Problem Zustandsraumexplosion Zustand

5 Problem Zustandsraumexplosion Jeden Zustand unseres Systems erfassen 8 Kreuzungen Jede hat Zustände (rot rot, rot grün, grün rot) 8 = 6561 Zustände Mautsystem Geräte: nur an oder aus Zustände Lösung Lokalitätsprinzip Beschrieben von Carl Adam Petri 1962 in seiner Dissertation Idee: Manche Ereignisse sind unabhängig voneinander müssen in keine zeitliche Reihenfolge gebracht werden 7 8 Lokalitätsprinzip am Beispiel Lokalitätsprinzip am Beispiel 9 9 Lokalitätsprinzip am Beispiel Lokalitätsprinzip Es ergibt sich eine Halbordnung Nur Ereignisse, die sich gegenseitig bedingen, sind geordnet Resultat: Unabhängige Komponenten Nämlich genau die, deren Ereignisse nicht in Ordnung stehen

6 Lokalitätsprinzip Lokalitätsprinzip Auto wartet rot (Schlüssel ) Ereignisse Nur von Teilmengen von Komponenten abhängig Wirken sich nur auf Teilmengen von Komponenten aus grün_an grün Komponenten können als verteilt betrachtet werden Zeitlich und Räumlich unabhängig Verschmelzung von Zuständen Auto gefahren rot_an Verteilte Systeme Mit nebenläufigen Komponenten Interleaving Serialisierung von Ereignisabfolgen Abläufe von Komponenten i.d.r. schon seriell Ausnutzung der Unabhängigkeit von Komponenten Als Prozesse betrachten Auto wartet rot grün_an grün (Auto wartet, rot) grün_an (grün) rot_an (rot, Auto gefahren) Auto gefahren rot_an 1 14 Auto wartet rot grün_an (Auto wartet, rot) grün_an (grün) Auto wartet rot grün_an (Auto wartet, rot) grün_an (grün) grün rot_an (rot, Auto gefahren) grün rot_an (rot, Auto gefahren) Auto gefahren rot_an Auto gefahren rot_an

7 Kreuzungen als Prozesse Kreuzung 1 Kreuzung 1 Kreuzung 2 Kreuzung 4 Kreuzung 2 Kreuzung Kreuzung 1 Kreuzung 1 Kreuzung 2 Kreuzung 4 Kreuzung 2 Kreuzung Kreuzung 1 Kreuzung 1 Kreuzung 2 Kreuzung 4 Kreuzung 2 Kreuzung

8 Interleaving Reihenfolge externen festgelegt Auch andere Reihenfolgen möglich Alle möglichen Reihenfolgen ergeben sich aus dem Erreichbarkeitsgraphen Erreichbarkeitsgraph Gerichteter Graph Knoten := Menge der erreichbaren Markierungen Kanten := Überführung von einer Markierung zur nächsten Menge aller Wege durch den Graphen Entspricht den möglichen Serialisierungen Erreichbarkeitsgraph am (modifiziertem) Beispiel Erreichbarkeitsgraph am (modifiziertem) Beispiel (1,0,0,1) K 1 (1,0,0,1) K 1 s s4 (0101) (0,1,0,1) (1010) (1,0,1,0) s s4 (0101) (0,1,0,1) (1010) (1,0,1,0) (0,1,1,0) K 1 (0,1,1,0) K 1 Startmarkierung (,, s, s4) = (1,0,0,1) Startmarkierung (,, s, s4) = (1,0,0,1) Erreichbarkeitsgraph am (modifiziertem) Beispiel Erreichbarkeitsgraph am (modifiziertem) Beispiel (1,0,0,1) K 1 (1,0,0,1) K 1 s s4 (0101) (0,1,0,1) (1010) (1,0,1,0) s s4 (0101) (0,1,0,1) (1010) (1,0,1,0) (0,1,1,0) K 1 (0,1,1,0) K 1 Startmarkierung (,, s, s4) = (1,0,0,1) Startmarkierung (,, s, s4) = (1,0,0,1)

9 Interleaving Abstraktion durch Prozesse (Unendliche) Sequenz K 1, K 1,, K 1, K 1, K 1, K 1,,... Formal darstellbar Interleaving formal (M, ф START, Φ) M ist (Multiprozess) temporale Struktur ф START ist Startbedingung für M START Φ ist Fairness Bedingung (M, ф START, Φ) = p genau dann wenn für alle x in M M,x = ф START und M,x = Φ daraus folgt M,x = p Halbordnung Idee: Unabhängige Ereignisse nicht zeitlich ordnen Hierdurch entsteht eine Halbordnung Ein Ereignis findet niemals vor sich selbst statt A vor B und B vor C, dann A vor C Sind A und D unabhängig, so werden sie nicht geordnet Halbordnung am Beispiel Halbordnung am Beispiel 1 Halbordnung am Beispiel

10 Halbordnung am Beispiel 2 Halbordnung am Beispiel Halbordnung am Beispiel 2 Halbordnung am Beispiel Halbordnung am Beispiel 2 Problem: Wie wird die Halbordnung entscheiden? Ein Beobachter Sieht eine Serialisierung Kann keine Entscheidung treffen Mehrere nebenläufige Beobachter Sehen verschiedene Serialisierungen Können Entscheidung treffen

11 Halbordnung entscheiden: Beispiel Halbordnung entscheiden: Beispiel aw 1 r 1 r 2 aw 2 Mögliche Serialisierungen aw 1 r 1 r 2 aw 2 Mögliche Serialisierungen 1. ga 1 ga 2 ga 1 ga 2 ga 1 ga 2 2. ga 2 ga 1 g 1 g 2 g 1 g 2 ag 1 ra 1 ra 2 ag 2 ag 1 ra 1 ra 2 ag Halbordnung entscheiden: Beispiel Halbordnung entscheiden: Beispiel Ein Beobachter Sieht ga 1 ga 2 ODER ga 2 ga 1 aw 1 r 1 ga 1 r 2 aw 2 ga 2 Mögliche Serialisierungen Zwei Beobachter Sehen ga 1 ga 2 UND ga 2 ga 1 Per Kommunikation nun entscheidbar ga 1 ga 2 g 1 ag 1 ra 1 g 2 ra 2 ag Halbordnung entscheiden: Beispiel Halbordnung entscheiden: Beispiel aw 1 r 1 r 2 aw 2 Mögliche Serialisierungen aw 1 r 1 r 2 aw 2 Mögliche Serialisierungen 1. ga 1 ga 2 1. ga 1 ga 2 ra 1 ra 2 ga 1 ga 2 2. ga 2 ga 1 ga 1 ga 2 2. ga 1 ga 2 ra 2 ra 1. ga 2 ga 1 ra 1 ra 2 g 1 g 2 g 1 g 2 4. ga 2 ga 1 ra 2 ra 1 ag 1 ra 1 ra 2 ag 2 ag 1 ra 1 ra 2 ag 2 5. ga 1 ra 1 ga 2 ra 2 6. ga 2 ra 2 ga 1 ra

12 Halbordnung entscheiden: Beispiel Sechs Beobachter Sehen 1, 2,, 4, 5, 6 Per Kommunikation nun entscheidbar ga 1 ra 1 ga 2 ra 2 Also n Beobachter Sehen n Serialisierungen Können Halbordnungen entscheiden Analyse von Halbordnungen Die geordneten Ereignisfolgen bilden Prozesse Jede Serialisierung entspricht einem Prozess Können als Kausalnetze dargestellt werden [B, E, G] mit B sind Bedingungen Kreise E sind Ereignisse Quadrate G ist Teilmenge der Vereinigung von (B x E) und (E x B) mit G + (transitive Hülle) ist irreflexiv Kanten Abbildung von Petrinetzen auf Kausalnetze 1 Bedingungen entsprechen Stellen Können mehrfach auftreten Stellen der Startmarkierung bilden den Anfang des Kausalnetzes Jede Bedingung hat als unmittelbaren Vorgänger genau ein Ereignis Außer den Startbedingungen als unmittelbaren Nachfolger höchstens ein Ereignis Abbildung von Petrinetzen auf Kausalnetze 2 Ereignisse entsprechen Transitionen Jedes Ereignis hat als unmittelbare Vorgänger die Bedingungen, die dem Vorbereich der Transition entsprechen Unmittelbare Nachfolge die Bedingungen, die dem Nachbereich der Transition entsprechen Es gibt keine Schleifen 0 1 (Teil )Kausalnetz am Beispiel (Teil )Kausalnetz am Beispiel s s5 s s5 K 1 K s s4 s4 s6 s4 s6 K K 4 K K

13 (Teil )Kausalnetz am Beispiel Halbordnung und CTL s s5 s4 s6 K K 4 K 1 K s s4 K 4 s5 s6 Schnitte in Kausalnetzen Schnitt := maximale Menge unkorrelierter Bedingungen Hier: {S1, S2}, {S1, S4}, {S1, S6}, {S2, S}, {S2, S5}, {S, S4}, {S, S6}, {S4, S5}, {S5, S6} Schnitte entsprechend Markierungen im Erreichbarkeitsgraphen K 1 K s s4 K 4 s5 s6 2. Fairness Halbordnung und CTL Wann ist ein System fair? CTL Interpretation von Kausalnetzen Zustand (Markierung) entspricht Schnitt Boolsche Logik wie gehabt Aф: für alle Fortsetzungen des Prozesses Eф: für eine geeignete Fortsetzung des Prozesses Fф: es gibt einen Schnitt des Prozesses, ab dem ф erfüllt wird Gф: falls jeder Schnitt ф erfüllt Wenn alle Prozesse die gleiche Chance haben, (gleich oft) abgearbeitet zu werden Z.B. ist das Kreuzungsnetz nicht fair U und X haben keine anerkannte Definition 4 5. Fairness Wann ist ein System fair?. Fairness Fairness erzeugen in unendlichen Sequenzen von Prozessen Objektive Fairness Jeder Prozess wird undendlich oft ausgeführt Schwache Fairness Jeder Prozess, der undendlich oft Markiert ist, wird unendlich oft ausgeführt Starke Fairness Jeder Prozess wird immer ausgeführt, wenn er markiert ist 6 7 1

14 . Fairness Fairness erzeugen Formal für (M, ф START, Φ) mit k Prozessen Objektive Fairness k Φ = F executed i V i=1 i Schwache Fairness k Φ = (G enabled i => F executed i ) V i=1 Starke Fairness k Φ = (F enabled i => F executed i ) V i=1. Fairness Fairness erzeugen Möglich durch externen Eingriff Würfeln : Gleiche Wahrscheinlichkeit für alle FiFo MUTEX Aber z.b. FiFo nur modellierbar mit Einschränkung der Speicherkapazität 8 9 Literatur G. Poltkin, V. Pratt. Teams Can See Pomsets. University of Edinburgh, 1990; Workshop on Partial Order Methods in Verification (Eds. Peled, Pratt, Holzmann), Amer. Math. Soc., DIMACS series Vol. 29, E. A. Emerson. Temporal and Modal Logic in Handbook of Theoretical Computer Science, Volume B: Formal Models and Sematics. MIT Press, 1990 W. Reisig. Petrinetze. September 2008 K. Schmidt. Modelchecking. 14