Verkehrsstauspiel: Wieviel Prozent der Autos fahren über blau/grün? Jörg Rambau

Transkript

1 Verkehrsstauspiel: Wieviel Prozent der Autos fahren über blau/grün?

2 Verkehrsstauspiel: Wieviel Prozent der Autos fahren über blau/grün? 1 x x = Anteil der Fahrzeuge, die dort entlang fahren

3 Verkehrsstauspiel: Wieviel Prozent der Autos fahren über blau/grün? 1 x x = Anteil der Fahrzeuge, die dort entlang fahren Durchschnittliche Fahrzeit bei egoistischen Fahrern: 1

4 Verkehrsstauspiel: Wieviel Prozent der Autos fahren über blau/grün? 1 x x = Anteil der Fahrzeuge, die dort entlang fahren Durchschnittliche Fahrzeit bei egoistischen Fahrern: 1 Optimale durchschnittliche Fahrzeit: = 3 4

5 Verkehrsstauspiel: Wieviel Prozent der Autos fahren über blau/grün?

6 Verkehrsstauspiel: Wieviel Prozent der Autos fahren über blau/grün? 1 x d x = Anteil der Fahrzeuge, die dort entlang fahren

7 Verkehrsstauspiel: Wieviel Prozent der Autos fahren über blau/grün? 1 x d x = Anteil der Fahrzeuge, die dort entlang fahren Durchschnittliche Fahrzeit bei egoistischen Fahrern: 1

8 Verkehrsstauspiel: Wieviel Prozent der Autos fahren über blau/grün? 1 x d x = Anteil der Fahrzeuge, die dort entlang fahren Durchschnittliche Fahrzeit bei egoistischen Fahrern: 1 Optimale durchschnittliche Fahrzeit: min { x x d + (1 x) 1 d 0 = 1 d d+1 d 1 d+1 x [0, 1] }

9 The Price of Anarchy Wieviel kann keine Koordination kosten? LS Wirtschaftsmathematik Der Preis der Anarchie Das Unilaterale Verbindungsspiel Einige große Resultate Einige große offene Fragen

10 Der Preis der Anarchie Erinnerungen aus der Spieltheorie

11 Der Preis der Anarchie Erinnerungen aus der Spieltheorie n-personen-spiel: Jeder Spieler i wählt Strategie s i S i.

12 Der Preis der Anarchie Erinnerungen aus der Spieltheorie n-personen-spiel: Jeder Spieler i wählt Strategie s i S i. Im Beispiel: n Fahrer wählen eine Route

13 Der Preis der Anarchie Erinnerungen aus der Spieltheorie n-personen-spiel: Jeder Spieler i wählt Strategie s i S i. Im Beispiel: n Fahrer wählen eine Route Auszahlungsfunktion für Spieler i: p i : S 1 S n R; macht aus Strategiekombination eine Auszahlung für jeden Spieler

14 Der Preis der Anarchie Erinnerungen aus der Spieltheorie n-personen-spiel: Jeder Spieler i wählt Strategie s i S i. Im Beispiel: n Fahrer wählen eine Route Auszahlungsfunktion für Spieler i: p i : S 1 S n R; macht aus Strategiekombination eine Auszahlung für jeden Spieler Im Beispiel: Auszahlung = 1/Fahrzeit

15 Der Preis der Anarchie Erinnerungen aus der Spieltheorie n-personen-spiel: Jeder Spieler i wählt Strategie s i S i. Im Beispiel: n Fahrer wählen eine Route Auszahlungsfunktion für Spieler i: p i : S 1 S n R; macht aus Strategiekombination eine Auszahlung für jeden Spieler Im Beispiel: Auszahlung = 1/Fahrzeit Ein Strategiekombination heißt Nash-Gleichgewicht, wenn kein Spieler seine Auszahlung durch einen Wechsel der eigenen Strategie allein verbessern kann

16 Der Preis der Anarchie Erinnerungen aus der Spieltheorie n-personen-spiel: Jeder Spieler i wählt Strategie s i S i. Im Beispiel: n Fahrer wählen eine Route Auszahlungsfunktion für Spieler i: p i : S 1 S n R; macht aus Strategiekombination eine Auszahlung für jeden Spieler Im Beispiel: Auszahlung = 1/Fahrzeit Ein Strategiekombination heißt Nash-Gleichgewicht, wenn kein Spieler seine Auszahlung durch einen Wechsel der eigenen Strategie allein verbessern kann Im Beispiel: Alle fahren auf der Route mit Fahrzeit x

17 Der Preis der Anarchie Erinnerungen aus der Spieltheorie n-personen-spiel: Jeder Spieler i wählt Strategie s i S i. Im Beispiel: n Fahrer wählen eine Route Auszahlungsfunktion für Spieler i: p i : S 1 S n R; macht aus Strategiekombination eine Auszahlung für jeden Spieler Im Beispiel: Auszahlung = 1/Fahrzeit Ein Strategiekombination heißt Nash-Gleichgewicht, wenn kein Spieler seine Auszahlung durch einen Wechsel der eigenen Strategie allein verbessern kann Im Beispiel: Alle fahren auf der Route mit Fahrzeit x Nash-Gleichgewichte maximieren i. d. R. nicht die durchschnittliche Auszahlung

18 Der Preis der Anarchie Erinnerungen aus der Spieltheorie n-personen-spiel: Jeder Spieler i wählt Strategie s i S i. Im Beispiel: n Fahrer wählen eine Route Auszahlungsfunktion für Spieler i: p i : S 1 S n R; macht aus Strategiekombination eine Auszahlung für jeden Spieler Im Beispiel: Auszahlung = 1/Fahrzeit Ein Strategiekombination heißt Nash-Gleichgewicht, wenn kein Spieler seine Auszahlung durch einen Wechsel der eigenen Strategie allein verbessern kann Im Beispiel: Alle fahren auf der Route mit Fahrzeit x Nash-Gleichgewichte maximieren i. d. R. nicht die durchschnittliche Auszahlung Standard-Beispiel: Gefangenendilemma

19 Der Preis der Anarchie Erinnerungen aus der Spieltheorie n-personen-spiel: Jeder Spieler i wählt Strategie s i S i. Im Beispiel: n Fahrer wählen eine Route Auszahlungsfunktion für Spieler i: p i : S 1 S n R; macht aus Strategiekombination eine Auszahlung für jeden Spieler Im Beispiel: Auszahlung = 1/Fahrzeit Ein Strategiekombination heißt Nash-Gleichgewicht, wenn kein Spieler seine Auszahlung durch einen Wechsel der eigenen Strategie allein verbessern kann Im Beispiel: Alle fahren auf der Route mit Fahrzeit x Nash-Gleichgewichte maximieren i. d. R. nicht die durchschnittliche Auszahlung Standard-Beispiel: Gefangenendilemma Im Allgemeinen existieren für ein Spiel mehrere Nash-Gleichgewichte

20 Der Preis der Anarchie Erinnerungen aus der Spieltheorie n-personen-spiel: Jeder Spieler i wählt Strategie s i S i. Im Beispiel: n Fahrer wählen eine Route Auszahlungsfunktion für Spieler i: p i : S 1 S n R; macht aus Strategiekombination eine Auszahlung für jeden Spieler Im Beispiel: Auszahlung = 1/Fahrzeit Ein Strategiekombination heißt Nash-Gleichgewicht, wenn kein Spieler seine Auszahlung durch einen Wechsel der eigenen Strategie allein verbessern kann Im Beispiel: Alle fahren auf der Route mit Fahrzeit x Nash-Gleichgewichte maximieren i. d. R. nicht die durchschnittliche Auszahlung Standard-Beispiel: Gefangenendilemma Im Allgemeinen existieren für ein Spiel mehrere Nash-Gleichgewichte Im Allgemeinen haben unterschiedliche Nash-Gleichgewichte unterschiedliche durchschnittlichen Auszahlungen

21 Der Preis der Anarchie Worst-Case-Betrachtung Definition [Koutsoupias, Papadimitriou 1999]: Der Preis der Anarchie für ein n-personen-spiel ist das Verhältnis aus der maximalen Durchschnittsauszahlung über alle Strategiekombinationen und der minimalen Durchschnittsauszahlung eines Nash-Gleichgewichts Kurz: Preis der Anarchie = max Sozialertrag (Koordination)/min Sozialertrag (Egoismus) Oder: Preis der Anarchie = max Sozialkosten (Egoismus)/min Sozialkosten (Koordination)

22 Der Preis der Anarchie Das Braess-Paradox: Vor der Straßenbaumaßnahme x 1 1 x x = Anteil der Fahrzeuge, die dort entlang fahren

23 Der Preis der Anarchie Das Braess-Paradox: Vor der Straßenbaumaßnahme x 1 1 x x = Anteil der Fahrzeuge, die dort entlang fahren Durchschnittliche Fahrzeit bei egoistischen Fahrern: 3 2

24 Der Preis der Anarchie Das Braess-Paradox: Vor der Straßenbaumaßnahme x 1 1 x x = Anteil der Fahrzeuge, die dort entlang fahren Durchschnittliche Fahrzeit bei egoistischen Fahrern: Optimale durchschnittliche Fahrzeit:

25 Der Preis der Anarchie Das Braess-Paradox: Vor der Straßenbaumaßnahme x 1 1 x x = Anteil der Fahrzeuge, die dort entlang fahren Durchschnittliche Fahrzeit bei egoistischen Fahrern: 2 Optimale durchschnittliche Fahrzeit: 3 2 Preis der Anarchie: 1 3

26 Der Preis der Anarchie Das Braess-Paradox: Nach der Straßenbaumaßnahme x x x = Anteil der Fahrzeuge, die dort entlang fahren

27 Der Preis der Anarchie Das Braess-Paradox: Nach der Straßenbaumaßnahme x x x = Anteil der Fahrzeuge, die dort entlang fahren Durchschnittliche Fahrzeit bei egoistischen Fahrern: 2 (verschlechtert!)

28 Der Preis der Anarchie Das Braess-Paradox: Nach der Straßenbaumaßnahme x x x = Anteil der Fahrzeuge, die dort entlang fahren Durchschnittliche Fahrzeit bei egoistischen Fahrern: Optimale durchschnittliche Fahrzeit (unverändert): 2 (verschlechtert!) 3 2

29 Der Preis der Anarchie Das Braess-Paradox: Nach der Straßenbaumaßnahme x x x = Anteil der Fahrzeuge, die dort entlang fahren Durchschnittliche Fahrzeit bei egoistischen Fahrern: Optimale durchschnittliche Fahrzeit (unverändert): Preis der Anarchie: 2 (verschlechtert!)

30 Das Unilaterale Verbindungsspiel Netzaufbau durch rationale egoistische Netznutzer [Fabrikant et al., 2003]

31 Das Unilaterale Verbindungsspiel Netzaufbau durch rationale egoistische Netznutzer [Fabrikant et al., 2003] n-personen-spiel UCG (Unilateral Connection Game)

32 Das Unilaterale Verbindungsspiel Netzaufbau durch rationale egoistische Netznutzer [Fabrikant et al., 2003] n-personen-spiel UCG (Unilateral Connection Game) Hintergrund:

33 Das Unilaterale Verbindungsspiel Netzaufbau durch rationale egoistische Netznutzer [Fabrikant et al., 2003] n-personen-spiel UCG (Unilateral Connection Game) Hintergrund: Für Kosten α kann eine Verbindung zu einem anderen Netznutzer aufgebaut werden

34 Das Unilaterale Verbindungsspiel Netzaufbau durch rationale egoistische Netznutzer [Fabrikant et al., 2003] n-personen-spiel UCG (Unilateral Connection Game) Hintergrund: Für Kosten α kann eine Verbindung zu einem anderen Netznutzer aufgebaut werden Kommunikationskosten entsprechen dem durchschnittlichem Abstand (minimale Anzahl notwendiger Verbindungen) zu den anderen Nutzern

35 Das Unilaterale Verbindungsspiel Netzaufbau durch rationale egoistische Netznutzer [Fabrikant et al., 2003] n-personen-spiel UCG (Unilateral Connection Game) Hintergrund: Für Kosten α kann eine Verbindung zu einem anderen Netznutzer aufgebaut werden Kommunikationskosten entsprechen dem durchschnittlichem Abstand (minimale Anzahl notwendiger Verbindungen) zu den anderen Nutzern Eine Strategie: eine beliebige Kombination möglicher Verbindungen

36 Das Unilaterale Verbindungsspiel Netzaufbau durch rationale egoistische Netznutzer [Fabrikant et al., 2003] n-personen-spiel UCG (Unilateral Connection Game) Hintergrund: Für Kosten α kann eine Verbindung zu einem anderen Netznutzer aufgebaut werden Kommunikationskosten entsprechen dem durchschnittlichem Abstand (minimale Anzahl notwendiger Verbindungen) zu den anderen Nutzern Eine Strategie: eine beliebige Kombination möglicher Verbindungen Auszahlung für einen Spieler also: Eins durch (Summe aller Abstände zu den anderen Nutzern plus α mal Anzahl selbst errichteter Verbindungen)

37 Das Unilaterale Verbindungsspiel Netzaufbau durch rationale egoistische Netznutzer [Fabrikant et al., 2003] n-personen-spiel UCG (Unilateral Connection Game) Hintergrund: Für Kosten α kann eine Verbindung zu einem anderen Netznutzer aufgebaut werden Kommunikationskosten entsprechen dem durchschnittlichem Abstand (minimale Anzahl notwendiger Verbindungen) zu den anderen Nutzern Eine Strategie: eine beliebige Kombination möglicher Verbindungen Auszahlung für einen Spieler also: Eins durch (Summe aller Abstände zu den anderen Nutzern plus α mal Anzahl selbst errichteter Verbindungen) Jede Strategiekombination entspricht einem Graphen G = (V, E) mit V = Menge der Spieler; E = Menge der Verbindungen V V.

38 Das Unilaterale Verbindungsspiel Strategieoptimierung für einen Spieler c. p. ist schon schwer

39 Das Unilaterale Verbindungsspiel Strategieoptimierung für einen Spieler c. p. ist schon schwer Satz: Bei festen Strategien der n 1 anderen Spieler ist die Ermittlung einer optimalen Strategie für den verbleibenden Spieler mindestens so schwer wie das TSP auf n Städten.

40 Das Unilaterale Verbindungsspiel Strategieoptimierung für einen Spieler c. p. ist schon schwer Satz: Bei festen Strategien der n 1 anderen Spieler ist die Ermittlung einer optimalen Strategie für den verbleibenden Spieler mindestens so schwer wie das TSP auf n Städten. Daher ist es nicht so klar, wie die Spieler überhaupt ein Nash-Gleichgewicht finden sollen. Hier: Spieler haben unendliche Berechnungskapazität

41 Das Unilaterale Verbindungsspiel Preis der Anarchie für α < 1

42 Das Unilaterale Verbindungsspiel Preis der Anarchie für α < 1 Beobachtung: Der Preis der Anarchie ist in diesem Falle Eins.

43 Das Unilaterale Verbindungsspiel Preis der Anarchie für α < 1 Beobachtung: Der Preis der Anarchie ist in diesem Falle Eins. Denn: Für jeden Spieler verbessert die Errichtung einer fehlenden Verbindung die Auszahlung.

44 Das Unilaterale Verbindungsspiel Preis der Anarchie für α < 1 Beobachtung: Der Preis der Anarchie ist in diesem Falle Eins. Denn: Für jeden Spieler verbessert die Errichtung einer fehlenden Verbindung die Auszahlung. Eindeutiges Nash-Gleichgewicht: alle Verbindungen werden errichtet (G = K n )

45 Das Unilaterale Verbindungsspiel Preis der Anarchie für 1 α < 2: Das Problem

46 Das Unilaterale Verbindungsspiel Preis der Anarchie für 1 α < 2: Das Problem Für α > 1 ist es in K n für mindestens einen Spieler profitabel, eine Verbindung nicht zu errichten.

47 Das Unilaterale Verbindungsspiel Preis der Anarchie für 1 α < 2: Das Problem Für α > 1 ist es in K n für mindestens einen Spieler profitabel, eine Verbindung nicht zu errichten. Also ist K n für α > 1 kein Nash-Gleichgewicht

48 Das Unilaterale Verbindungsspiel Preis der Anarchie für 1 α < 2: Das Problem Für α > 1 ist es in K n für mindestens einen Spieler profitabel, eine Verbindung nicht zu errichten. Also ist K n für α > 1 kein Nash-Gleichgewicht Für α = 1 ist K n immer noch ein Nash-Gleichgewicht; es gibt evt. mehrere Nash-Gleichgewichte

49 Das Unilaterale Verbindungsspiel Preis der Anarchie für 1 α < 2: Das Problem Für α > 1 ist es in K n für mindestens einen Spieler profitabel, eine Verbindung nicht zu errichten. Also ist K n für α > 1 kein Nash-Gleichgewicht Für α = 1 ist K n immer noch ein Nash-Gleichgewicht; es gibt evt. mehrere Nash-Gleichgewichte Plan: Genauere Analyse der sozialen Kosten in Abhängigkeit vom resultierenden Netz

50 Das Unilaterale Verbindungsspiel Die Sozialkostenformel

51 Das Unilaterale Verbindungsspiel Die Sozialkostenformel Weder in einem Gleichgewicht noch im Optimum wird eine Kante doppelt gebaut

52 Das Unilaterale Verbindungsspiel Die Sozialkostenformel Weder in einem Gleichgewicht noch im Optimum wird eine Kante doppelt gebaut Sozialkosten des errichteten Graphen G = (V, E) sind: C(G) = α E + v,w V d G (v, w)

53 Das Unilaterale Verbindungsspiel Die Sozialkostenformel Weder in einem Gleichgewicht noch im Optimum wird eine Kante doppelt gebaut Sozialkosten des errichteten Graphen G = (V, E) sind: C(G) = α E + Falls d(g) 2: v,w V d G (v, w) C(G) = α E + 2 E + 2 ( n(n 1) 2 E ) = 2n(n 1) + (α 2) E

54 Das Unilaterale Verbindungsspiel Die Sozialkostenformel Weder in einem Gleichgewicht noch im Optimum wird eine Kante doppelt gebaut Sozialkosten des errichteten Graphen G = (V, E) sind: C(G) = α E + Falls d(g) 2: v,w V d G (v, w) C(G) = α E + 2 E + 2 ( n(n 1) 2 E ) = 2n(n 1) + (α 2) E Sonst gilt immerhin noch C(G) > 2n(n 1) + (α 2) E

55 Das Unilaterale Verbindungsspiel Die Sozialkostenformel Weder in einem Gleichgewicht noch im Optimum wird eine Kante doppelt gebaut Sozialkosten des errichteten Graphen G = (V, E) sind: C(G) = α E + Falls d(g) 2: v,w V d G (v, w) C(G) = α E + 2 E + 2 ( n(n 1) 2 E ) = 2n(n 1) + (α 2) E Sonst gilt immerhin noch C(G) > 2n(n 1) + (α 2) E Für α < 2 und d(g) 2 gilt: Je weniger Kanten umso größer die Sozialkosten

56 Das Unilaterale Verbindungsspiel Preis der Anarchie für 1 α < 2: Die Lösung

57 Das Unilaterale Verbindungsspiel Preis der Anarchie für 1 α < 2: Die Lösung Wenn α < 2, so hat jeder Gleichgewichtsgraph Durchmesser 2. (Sonst lohnt für jeden Spieler der Bau einer Verbindung zu einem Spieler mit Abstand 3.)

58 Das Unilaterale Verbindungsspiel Preis der Anarchie für 1 α < 2: Die Lösung Wenn α < 2, so hat jeder Gleichgewichtsgraph Durchmesser 2. (Sonst lohnt für jeden Spieler der Bau einer Verbindung zu einem Spieler mit Abstand 3.) Bei Durchmesser = 2 sind nach der Sozialkostenformel die Sozialkosten am größten.

59 Das Unilaterale Verbindungsspiel Preis der Anarchie für 1 α < 2: Die Lösung Wenn α < 2, so hat jeder Gleichgewichtsgraph Durchmesser 2. (Sonst lohnt für jeden Spieler der Bau einer Verbindung zu einem Spieler mit Abstand 3.) Bei Durchmesser = 2 sind nach der Sozialkostenformel die Sozialkosten am größten. Also ist das schlechteste Gleichgewicht: ein Graph mit möglichst wenig Kanten und Durchmesser = 2.

60 Das Unilaterale Verbindungsspiel Preis der Anarchie für 1 α < 2: Die Lösung Wenn α < 2, so hat jeder Gleichgewichtsgraph Durchmesser 2. (Sonst lohnt für jeden Spieler der Bau einer Verbindung zu einem Spieler mit Abstand 3.) Bei Durchmesser = 2 sind nach der Sozialkostenformel die Sozialkosten am größten. Also ist das schlechteste Gleichgewicht: ein Graph mit möglichst wenig Kanten und Durchmesser = 2. So ein Graph ist gerade ein Stern

61 Das Unilaterale Verbindungsspiel Preis der Anarchie für 1 α < 2: Die Lösung Wenn α < 2, so hat jeder Gleichgewichtsgraph Durchmesser 2. (Sonst lohnt für jeden Spieler der Bau einer Verbindung zu einem Spieler mit Abstand 3.) Bei Durchmesser = 2 sind nach der Sozialkostenformel die Sozialkosten am größten. Also ist das schlechteste Gleichgewicht: ein Graph mit möglichst wenig Kanten und Durchmesser = 2. So ein Graph ist gerade ein Stern Ergebnis: Der Preis der Anarchie für das UCG mit 1 α < 2 ist C(Stern) C(K n ) = 4 α α (α + 2)n < 4 3

62 Das Unilaterale Verbindungsspiel Weitere Fälle

63 Das Unilaterale Verbindungsspiel Weitere Fälle Falls G ein Baum ist (kreisfreier zusammenhängender Graph), so ist der Preis der Anarchie für das UCG < 5.

64 Das Unilaterale Verbindungsspiel Weitere Fälle Falls G ein Baum ist (kreisfreier zusammenhängender Graph), so ist der Preis der Anarchie für das UCG < 5. Falls α n 2, so ist jedes Nash-Gleichgewicht ein Baum.

65 Das Unilaterale Verbindungsspiel Weitere Fälle Falls G ein Baum ist (kreisfreier zusammenhängender Graph), so ist der Preis der Anarchie für das UCG < 5. Falls α n 2, so ist jedes Nash-Gleichgewicht ein Baum. Für 2 α < n 2 wächst der Preis der Anarchie höchstens wie α

66 Das Unilaterale Verbindungsspiel Weitere Fälle Falls G ein Baum ist (kreisfreier zusammenhängender Graph), so ist der Preis der Anarchie für das UCG < 5. Falls α n 2, so ist jedes Nash-Gleichgewicht ein Baum. Für 2 α < n 2 wächst der Preis der Anarchie höchstens wie α Deutliche Verbesserungen von [Albers et al., 2006] u. a. Widerlegung der Baumvermutung: Ex. A mit: Für alle α > A sind alle Gleichgewichte Bäume

67 Einige große Resultate zum Preis der Anarchie

68 Einige große Resultate zum Preis der Anarchie Es gibt Verkehrsflüsse im Nash-Gleichgewicht im Verkehrsstauspiel [Beckmann, McGuire, Winston 1956]

69 Einige große Resultate zum Preis der Anarchie Es gibt Verkehrsflüsse im Nash-Gleichgewicht im Verkehrsstauspiel [Beckmann, McGuire, Winston 1956] Das Braess-Paradox ist hier schlimmst-möglich für lineare Fahrzeitfunktionen: Preis der Anarchie ist 4 3. [Roughgarden, Tardos, 2001]

70 Einige große Resultate zum Preis der Anarchie Es gibt Verkehrsflüsse im Nash-Gleichgewicht im Verkehrsstauspiel [Beckmann, McGuire, Winston 1956] Das Braess-Paradox ist hier schlimmst-möglich für lineare Fahrzeitfunktionen: Preis der Anarchie ist 4 3. [Roughgarden, Tardos, 2001] Der Preis der Anarchie im Verkehrsstauspiel ist unabhängig von der Netztopologie: Schlimmster Fall: Netz von parallelen Verbindungen zwischen einer Quelle und einer Senke. [Roughgarden, 2002]

71 Einige große Resultate zum Preis der Anarchie Es gibt Verkehrsflüsse im Nash-Gleichgewicht im Verkehrsstauspiel [Beckmann, McGuire, Winston 1956] Das Braess-Paradox ist hier schlimmst-möglich für lineare Fahrzeitfunktionen: Preis der Anarchie ist 4 3. [Roughgarden, Tardos, 2001] Der Preis der Anarchie im Verkehrsstauspiel ist unabhängig von der Netztopologie: Schlimmster Fall: Netz von parallelen Verbindungen zwischen einer Quelle und einer Senke. [Roughgarden, 2002] Bei max-sozialkosten: Preis der Anarchie ist 3 2 (gemischt) bzw. 2 (rein). [Koutsoupias, Papadimitriou, 1999]

72 Einige große Resultate zum Preis der Anarchie Es gibt Verkehrsflüsse im Nash-Gleichgewicht im Verkehrsstauspiel [Beckmann, McGuire, Winston 1956] Das Braess-Paradox ist hier schlimmst-möglich für lineare Fahrzeitfunktionen: Preis der Anarchie ist 4 3. [Roughgarden, Tardos, 2001] Der Preis der Anarchie im Verkehrsstauspiel ist unabhängig von der Netztopologie: Schlimmster Fall: Netz von parallelen Verbindungen zwischen einer Quelle und einer Senke. [Roughgarden, 2002] Bei max-sozialkosten: Preis der Anarchie ist 3 2 (gemischt) bzw. 2 (rein). [Koutsoupias, Papadimitriou, 1999] Der Preis der Anarchie bei m Wegen (beliebige Fahrzeiten) wächst wie [Czumaj, Vöcking, 2002] log m log log log m.

73 Einige große offene Fragen

74 Einige große offene Fragen Eine wichtige Richtung: Wie kann man Spiele (um-)definieren, so dass der Preis der Anarchie klein wird? Mechanismus-Design

75 Einige große offene Fragen Eine wichtige Richtung: Wie kann man Spiele (um-)definieren, so dass der Preis der Anarchie klein wird? Mechanismus-Design Mechanismus-Design auf allen möglichen Spielwiesen : ISP, TCP/IP-Routing, Maschinen-Scheduling, Auktionen,

76 Einige große offene Fragen Eine wichtige Richtung: Wie kann man Spiele (um-)definieren, so dass der Preis der Anarchie klein wird? Mechanismus-Design Mechanismus-Design auf allen möglichen Spielwiesen : ISP, TCP/IP-Routing, Maschinen-Scheduling, Auktionen, Wie kann man mit zusätzlichen Regelungskosten (i. Allg. abhängig von der Strategiekombination und vom Spieler) die Spieler zu einem sozialen Optimum motivieren?

77 Einige große offene Fragen Eine wichtige Richtung: Wie kann man Spiele (um-)definieren, so dass der Preis der Anarchie klein wird? Mechanismus-Design Mechanismus-Design auf allen möglichen Spielwiesen : ISP, TCP/IP-Routing, Maschinen-Scheduling, Auktionen, Wie kann man mit zusätzlichen Regelungskosten (i. Allg. abhängig von der Strategiekombination und vom Spieler) die Spieler zu einem sozialen Optimum motivieren? Vermutung: Im Verkehrsstauspiel kann durch Regelungskosten der Preis der Anarchie von 4 3 auf 6 5 gesenkt werden.

78 Effizienz dezentraler Strukturen und der Preis der Anarchie

79 Effizienz dezentraler Strukturen und der Preis der Anarchie Der Preis der Anarchie ist ein Maß für die Effizienz im schlechtesten Fall einer dezentralen Struktur (= Spielregeln und Kosten für rationale egoistische Agenten) wenn die Währung der Agenten vergleichbar ist mit der der Gesellschaft.

80 Effizienz dezentraler Strukturen und der Preis der Anarchie Der Preis der Anarchie ist ein Maß für die Effizienz im schlechtesten Fall einer dezentralen Struktur (= Spielregeln und Kosten für rationale egoistische Agenten) wenn die Währung der Agenten vergleichbar ist mit der der Gesellschaft. Interessant: Bestimme den Preis der Anarchie nicht theoretisch für eine ganze Klasse von Spielen (zu schwer für komplexe Systeme) sondern algorithmisch für konkrete Instanzen eines Spiels (alle Zahlen eingesetzt).

81 Effizienz dezentraler Strukturen und der Preis der Anarchie Der Preis der Anarchie ist ein Maß für die Effizienz im schlechtesten Fall einer dezentralen Struktur (= Spielregeln und Kosten für rationale egoistische Agenten) wenn die Währung der Agenten vergleichbar ist mit der der Gesellschaft. Interessant: Bestimme den Preis der Anarchie nicht theoretisch für eine ganze Klasse von Spielen (zu schwer für komplexe Systeme) sondern algorithmisch für konkrete Instanzen eines Spiels (alle Zahlen eingesetzt). Untersuche erwarteten Preis der Anarchie bzgl. Wahrscheinlichkeitsverteilung auf Nash-Gleichgewichten

82 Effizienz dezentraler Strukturen und der Preis der Anarchie Der Preis der Anarchie ist ein Maß für die Effizienz im schlechtesten Fall einer dezentralen Struktur (= Spielregeln und Kosten für rationale egoistische Agenten) wenn die Währung der Agenten vergleichbar ist mit der der Gesellschaft. Interessant: Bestimme den Preis der Anarchie nicht theoretisch für eine ganze Klasse von Spielen (zu schwer für komplexe Systeme) sondern algorithmisch für konkrete Instanzen eines Spiels (alle Zahlen eingesetzt). Untersuche erwarteten Preis der Anarchie bzgl. Wahrscheinlichkeitsverteilung auf Nash-Gleichgewichten Folgerung: Preis der Anarchie sollte in einer Forschungsaktivität zur Effizienz dezentraler Strukturen nicht übergangen werden.

83 Vielen Dank für die Aufmerksamkeit! Literatur: Siehe Oberseminarseite unter