5.1 Drei wichtige Beweistechniken Erklärungen zu den Beweistechniken... 56
|
|
- Walther Stein
- vor 8 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 5 Beweistechniken Übersicht 5.1 Drei wichtige Beweistechniken Erklärungen zu den Beweistechniken Dieses Kapitel ist den drei wichtigsten Beweistechniken, dem direkten, dem indirekten Beweis und der vollständigen Induktion, gewidmet. Wir werden diese zuerst erklären und danach an sehr vielen Beispielen einüben. 5.1 Drei wichtige Beweistechniken Definition 5.1 Direkter Beweis) Man geht von der (gegebenen, wahren) Voraussetzung (Aussage) aus und zeigt durch Umformen oder Folgern, dass aus die Aussage folgt. Mathematisch ausgedrückt untersucht man: Definition 5. Indirekter Beweis) Der indirekte Beweis ist einer der elegantesten und auch einfachsten Beweise. Man geht dabei so vor: 1. Man geht vom Gegenteil der Behauptung aus (dies ist die Annahme).. Man versucht diese Annahme zu einem Widerspruch zu führen. 3. Wenn der Beweisgang legitim und logisch war, muss die Annahme falsch gewesen sein und damit die Behauptung wahr. Definition 5.3 Vollständige Induktion) Wir möchten uns der vollständigen Induktion nun mithilfe der sogenannten Peano-Axiome annähern, die Folgendes besagen: Die natürlichen Zahlen können durch die folgenden Axiome charakterisiert werden:
2 56 5 Beweistechniken 1. Jede natürliche Zahl hat genau einen Nachfolger. Zu jedem existiert also ein ist die kleinste natürliche Zahl. 3. Jede nichtleere Teilmenge der natürlichen Zahlen besitzt ein kleinstes Element. 4. Zwischen zwei natürlichen Zahlen liegen nur endlich viele weitere natürliche Zahlen. 5. Durch Abzählung, beginnend bei 1, durchläuft man in Einerschritten alle natürlichen Zahlen. Diese Peano-Axiome macht man sich bei der vollständigen Induktion zunutze. () sei eine Aussage, die für alle natürlichen Zahlen 0 getroffen wird. 1. Man zeigt zuerst, dass die Aussage für ein bestimmtes 0 gilt (zum Beispiel für 0 1) (Induktionsanfang).. Man zeige, dass wenn () gilt, auch ( + 1) gültig ist (Induktionsschritt). Und das ist der ganze Trick bei der vollständigen Induktion. Denn wenn man zeigt, dass die Aussage auch für den entsprechenden Nachfolger gilt, hat man die Aussage für alle 0 bewiesen. 5. Erklärungen zu den Beweistechniken Zum direkten Beweis: Das Prinzip des direkten Beweises sollte durch Definition 5.1 klar geworden sein. Bevor wir zu einigen Beispielen kommen, möchten wir noch eine wichtige Anmerkung machen: Und zwar beweist man Äquivalenzen, also Behauptungen der Form, indem man zuerst die Richtung beweist. Also die Aussagen von als gegeben voraussetzt und die Aussage zeigt. Danach zeigt man die Richtung, indem man die Aussagen aus voraussetzt und die Aussagen aus zeigt. Mehrere Äquivalenzen beweist man meist mit einem sogenannten Ringschluss. Gegeben seien also zum Beispiel drei Aussagen und, die alle äquivalent sind. Zunächst beweist man die Richtung, danach und dann. Damit hat man alles gezeigt. Wir betrachten nun ein paar Beispiele zum direkten Beweis. Beispiel 0 Bekanntlich gilt: Die Summe zweier gerader ganzer Zahlen ist gerade.
3 5. Erklärungen zu den Beweistechniken 57 Wie wird solch ein Beweis genau geführt? Wir nehmen uns einfach zwei gerade ganze Zahlen, aber machen das allgemein. Genauer: Für beliebige gerade ganze Zahlen. Beweis: Seien und gerade ganze Zahlen (unsere Voraussetzung). Weil gerade sein soll, wissen wir, dass durch teilbar ist, d.h teilt oder anders geschrieben. Dasselbe machen wir mit. Weil gerade ist, wissen wir, dass durch teilbar ist, d.h teilt oder. Weil gilt, gibt es eine ganze Zahl, so dass ist. Weiterhin gibt es wegen eine ganze Zahl, so dass ist. Um uns das zu verdeutlichen, nehmen wir uns zwei ganz bestimmte gerade Zahlen und : Seien 4 und 6 gerade ganze Zahlen (unsere Voraussetzung). Weil 4 ist, wissen wir, dass 4 durch teilbar ist, das heißt, teilt 4 oder 4. Weil 6 ist, wissen wir, dass 6 durch teilbar ist, das heißt, teilt 6 oder 6. Weil 4 gilt, gibt es eine weitere ganze Zahl, sodass 4 ist. (Hier ist.) Weil 6 gilt, gibt es eine weitere ganze Zahl sodass 6 ist. (Hier ist 3.) Nun führen wir unseren Beweis fort: Durch Einsetzen und Ausklammern erhalten wir: + + (+) Es gibt also eine ganze Zahl, nämlich : +, sodass +. Daher gilt (+) und + ist damit gerade. Damit haben wir unseren Satz bewiesen. Für unser spezielles Beispiel heißt das: Durch Einsetzen und Ausklammern erhalten wir: (+3) Es gibt also eine ganze Zahl, nämlich : +3, so dass Daher gilt 4+6 und 4+6 ist gerade. Beispiel 1 Dritte binomische Formel) Wir beweisen die Gültigkeit der dritten binomischen Formel. ( ) (+) + +
4 58 5 Beweistechniken Es gilt also: ( ) (+). Beispiel Quadrate ungerader Zahlen sind ungerade.) Man beweise die Behauptung: Das Quadrat einer ungeraden natürlichen Zahl ist ungerade. Beweis: sei eine ungerade Zahl. Somit lässt sich eindeutig als 1 darstellen ( ist eine natürliche Zahl. Daraus folgert man: ( +1) ( +)+1 ist ungerade, weil aus N 0 leicht ( +) N 0 folgt. Beispiel 3 Quadrate gerader Zahlen sind gerade.) Man beweise: Das Quadrat einer geraden natürlichen Zahl ist gerade. Beweis: sei eine gerade natürliche Zahl. Somit lässt sich eindeutig als darstellen ( ist eine natürliche Zahl aus N ohne die Null). Daraus folgert man: () 4. Da aus N leicht N folgt, ist das Doppelte einer natürlichen Zahl und damit gerade. Jetzt wollen wir noch einige Beispiele für direkte Beweise aus der Mengenlehre und der Aussagenlogik geben, um die Vielfalt des direkten Beweises deutlich zu machen. Beispiel 4 Aussagenlogik) Beweise: Seien und Aussagen, dann gilt: ( ). Das hört sich erst einmal sehr schwierig an, aber mit einer Wahrheitstafel kann dies sehr leicht gelöst werden: Schritt für Schritt müssen die Wahrheitswerte eingetragen und jeder Fall betrachtet werden. Wir machen es vor.
5 5. Erklärungen zu den Beweistechniken 59 Beweis: 1. Schritt: Wir tragen bekannte Wahrheitswerte ein: ( ) w w w w w w f w w w f w f f f f f f f f. Schritt: Auch die Wahrheitswerte der Negation können ohne Probleme eingetragen werden: ( ) w w w w f w w f w w w w f w f f f f f f f f w f 3. Schritt: Wir überlegen uns, was die Konjunktion bedeutet. ( ) w w w w f f w w f w w w w w f w f f f f f f f f f f w f 4. Schritt: Was bedeutet die Disjunktion, also das Oder? ( ) w w w w w f f w w f w w w w w w f w f f f f f f f f f f f f w f
6 60 5 Beweistechniken 5. Schritt: Nun bleibt noch die Äquivalenz zu untersuchen. Das bedeutet, wir müssen schauen, ob die in der vorigen Tabelle fett markierten Wahrheitswerte übereinstimmen: ( ) w w w w w f f w f w w w w w f w f f f f f f f f f f f w w w f f Die s über den Äquivalenzpfeilen sollen andeuten, dass die Äquivalenzen wirklich wahr sind. Es stimmt also alles überein. Und damit ist die Aussage bewiesen. Dieses schrittweise Verfahren müssen wir nun aber üben. Beispiel 5 Gesetze der Aussagenlogik) Beweise mithilfe von Wahrheitstafeln die folgenden Aussagen: a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) ( ) ( ) e) ( ) ( ) ( ) a) und b) stellen die sogenannten De Morganschen Gesetze dar. Beweis: Da man ganz einfach, so wie oben beschrieben, vorgehen kann, zeigen wir hier nur die fertigen Wahrheitstafeln auf, aber auch das, was wir zuletzt vergleichen müssen. Überprüft bitte jeden Schritt einzeln und vollzieht diesen vor allem nach. a) ( ) ( ) w w f w w w w f w f f w w f w w f f w f w w w f f w w f f w w w f w f w f f w f f f w w f w f f
7 5. Erklärungen zu den Beweistechniken 61 b) ( ) ( ) w w f w w w w f w f f w w f f w w f w f w f w f f w f f w w w w f f f w f f w f f f w w f w w f c) ( ) w w w w w w w w w w f w f w f f w f f w f f f w w w w f f f f f w f w f d) ( ) ( ) w w w w w w f w w w w f w f f w f w f f f w f w w w w f w w f f f w f w w f w f e) ( ) ( ) ( ) w w w w w w w w w w w w w w f w f f w w f f f f w w f w f f w w f w w f w f f f f f w f w f w f w f w f So, nun haben wir also Beweise mit Wahrheitstafeln geführt. Die Aussagen wurden durch logische Schlussfolgerungen bewiesen. Wir fassen zusammen: Beim direkten Beweis beweist man die Aussage durch logische Schlussfolgerungen. Genau dies wollen wir anhand der Mengenlehre nochmal einüben.
8 6 5 Beweistechniken Beispiel 6 Mengenlehre) Zeige Folgendes: a) ( ) ( ) ( ). b) ( ) ( ) ( ). Seien Ω und Ω, dann gilt: c) Ω. d) Ω Ω. Beweis: a) Zu zeigen ist aufgrund der Definition der Verknüpfungen: ( ) ( ) ( ) : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). b) Zu zeigen ist aufgrund der Definition der Verknüpfungen: ( ) ( ) ( ) : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). c) Zu zeigen ist: Ω. Ω, da Ω und, da. Aus diesen beiden Erkenntnissen folgt nun Ω. d) Zu zeigen ist einmal: Ω. Ω, da Ω und, da Ω. Aus diesen beiden Erkenntnissen folgt nun Ω. Für die andere Richtung müssen wir zeigen, dass Ω. Ω, da Ω und, da Ω. Aus diesen beiden Erkenntnisse folgt nun Ω.
9 5. Erklärungen zu den Beweistechniken 63 Beispiel 7 Fakultät und Binomialkoeffizient) Zu beweisen: Es seien N mit 1. Dann ist ) 1 ) ). Beweis: Dies kann man durch direktes Nachrechnen leicht zeigen, wir rechnen die rechte Seite einfach aus. 1 1 ( 1) + 1 ( 1 +1) ( 1) + ( 1) ( 1 ) ( 1) ( ) ( 1) + ( 1) ( 1 ) Jetzt bedenken wir, dass wir ja am Ende irgendetwas stehen haben wollen wie ) ( ). Wir bringen die beiden Brüche also auf den Hauptnenner. ( ) ( 1) ( ) + ( ) ( 1) ( ) ( 1)+( ) ( 1) ( ) ( 1) ( + ) ( ) ( 1) ( ) ( ) Wir hoffen, dass jeder von euch den Schritt ( ) versteht? Eigentlich ganz einfach, man muss nur Folgendes bedenken:. bzw. ( 1) 1 ( 1) ( ) ( ) ( 1) 1 ( 1) Alles klar? Beispiel 8 Bildungsgesetz des Pascalschen Dreiecks) Mit derselben Idee zeigen wir nun noch: Wir wollen aber anmerken, dass wir diese Aussage sofort aus Beispiel 7 erhalten, wenn wir die Variablen umbenennen.
10 64 5 Beweistechniken Beweis: Wir rechnen auch hier die linke Seite einfach aus ( ) + ( 1) ( +1) ( +1) ( ) ( +1) + ( +1) +( ) ( ) ( +1) ( +1+ ) ( ) ( +1) (+1) ( ) ( +1) (+1) ( ) ( +1) ( ) ( ) ( +1) Damit ist alles gezeigt. Das war der direkte Beweis. Was wir eben gerade bewiesen haben, ist das Bildungsgesetz im Pascalschen Dreieck, das so aussieht: Das Pascalsche Dreieck ist ein Zahlenschema, in dem jede neue Zahl die Summe der diagonal darüber stehenden ist. Auf dem obersten Platz steht eine 1. So ist der Zusammenhang zu den Binomialkoeffizienten: 0 0) 1 ) 1 0 1) ) ) 0 1 ) 3 ) 3 ) ) 3 3) 4 ) 0 4 ) 1 4 ) 4 3. ) 4 4)
11 5. Erklärungen zu den Beweistechniken 65 Zum indirekten Beweis: Das Prinzip des indirekten Beweises, siehe Definition 5., ist ein sehr wichtiges. Wir gehen vom Gegenteil der Behauptung aus und führen dies dann zum Widerspruch. Somit muss unsere Annahme falsch und damit die Behauptung richtig sein. Schauen wir uns Beispiele an, die das Prinzip verdeutlichen. Beispiel 9 Wurzel aus ist nicht rational) Behauptung: ist nicht rational. Beweis: Wir führen den Beweis indirekt, nehmen also das Gegenteil an und führen dies zu einem Widerspruch. Annahme: ist rational. Wenn rational ist, dann lässt sie sich als Bruch zweier ganzer Zahlen und darstellen. Also /. Dabei seien schon gekürzt, insbesondere also teilerfremd. Nun können wir / umschreiben zu (5.1) Daraus ergibt sich, dass gerade ist. Damit lässt sich also auch als (wobei Z) schreiben. Einsetzen in (5.1) liefert: () 4 Hieraus ergibt sich, dass auch gerade ist. Insbesondere haben und damit den gemeinsamen Teiler. Wir hatten aber angenommen, dass und teilerfremd sind. Das ist ein Widerspruch zu unserer Annahme. Und da eine Behauptung (also die Aussage, die dahintersteckt, siehe auch Kapitel 1, Definition 1.1) entweder richtig oder falsch ist, folgt die Richtigkeit der Behauptung. Raffiniert oder? ;-) Beispiel 30 Es gibt unendlich viele Primzahlen) Jetzt zu einem Beweis, den Euklid schon vor ca. 300 Jahren angab. Es gibt durchaus viele Möglichkeiten die folgende Behauptung zu beweisen (so stehen in [AZ03] (ein sehr lesenswertes Buch) insgesamt sechs verschiedene Beweise für die folgende Behauptung), aber dennoch wollen wir den Widerspruchsbeweis von Euklid angeben: Behauptung: Es gibt unendlich viele Primzahlen. Beweis: Wir führen den Beweis indirekt. Nehmen also das Gegenteil an und führen dies zu einem Widerspruch. Annahme: Es gibt nur endlich viele Primzahlen. Wenn es nur endlich viele Primzahlen geben würde, dann könnten wir diese in einer endlichen Menge 1... } von Primzahlen zusammenfassen. Nun können wir eine neue Zahl konstruieren, indem wir die Primzahlen
12 66 5 Beweistechniken multiplizieren und 1 addieren. Diese neue Zahl sei : und sei ein Primteiler von. Man sieht aber, dass von allen verschieden ist, da sonst sowohl die Zahl als auch das Produkt 1... teilen würde, was nicht sein kann (da sich immer Rest 1 ergibt). Und hier haben wir unseren Widerspruch Es kann also nicht endlich viele Primzahlen geben. Damit muss es unendlich viele Primzahlen geben. Vielleicht war das etwas zu viel des Guten: Hier nochmal etwas langsamer für diejenigen, die mit den obigen Ausführungen nicht so recht etwas anfangen konnten: Wenn der Satz nicht gilt, dann gibt es nur endlich viele Primzahlen: wobei die größte Primzahl sei. Man bildet das Produkt aller Primzahlen und addiert 1: : Die entstehende Zahl ist keine Primzahl, weil sie größer ist als die größte Primzahl. Sie muss sich daher aus den Primzahlen 1... multiplikativ zusammensetzen. muss daher durch mindestens eine der Primzahlen 1... teilbar sein. Anderseits erkennt man bei Division von durch eine Primzahl, dass wegen der Addition von 1 durch keine Primzahl teilbar ist. (Anmerkung: Wenn man einen Widerspruch andeuten will, dann setzt man diesen Pfeil.) Zur vollständigen Induktion: Jeder von euch hat sicherlich schon einmal Domino-Day gesehen. Wenn ihr aber zufällig wieder mal reinschaut, dann werdet ihr eventuell eine vollständige Induktion sehen. Das Prinzip der vollständigen Induktion kann man mit dem Umfallen von Dominosteinen vergleichen. Wenn der Anfangsstein fällt, fallen auch alle anderen (So jedenfalls in der Theorie.) Mathematisch betrachtet bedeutet das gerade: Wenn die Aussage () für ein 0 und ein beliebiges gilt, dann gilt sie auch für den Nachfolger, also für (+1). Die nachfolgenden Dominosteine (+1) fallen aber nur dann, wenn die Reihe der Dominosteine richtig aufgebaut wurde. Wenn zum Beispiel der Abstand von einem zum anderen Stein zu groß ist, dann kann der andere Stein auch nicht fallen, und damit wäre die Induktion zu Ende. Dem Prinzip der vollständigen Induktion werdet ihr noch sehr oft im Studium und dem ersten Semester begegnen. Es ist daher sehr wichtig, sich die Idee klarzumachen. Wir müssen nun einige Beispiele behandeln, damit das klar wird, und werden uns zunächst dabei auf die klassischen Beispiele beschränken. Darüber hinaus werdet ihr sehen, dass die Induktion als Hilfsmittel eine breite Anwendung in der Mathematik findet.
13 5. Erklärungen zu den Beweistechniken 67 Beispiel 31 Der kleine Gauß) Beweise: Für alle N gilt: 1 (+1) Dazu gibt es auch eine nette kleine Geschichte: Der Lehrer von Gauß soll einmal seinen Schülern die Aufgabe gegeben haben (da er keine Lust auf Unterricht hatte) die ersten 100 natürlichen Zahlen aufzusummieren. Nach ein paar Minuten meldete sich dann der kleine Gauß und nannte dem Lehrer das richtige Ergebnis, Anmerkung: Gauß führte damals noch keine vollständige Induktion durch, sondern sortierte die Zahlen zu Zweierpaaren, deren Summe 101 ergibt, und stellte fest, dass es hiervon genau 50 gibt, also Beweis: Induktionsanfang für 1: 1 1 (linke Seite) 1 und 1(1+1) 1 (rechte Seite) Beide Seiten stimmen überein. Der Induktionsanfang ist erfüllt. Induktionsschritt: Von auf +1: Dabei sei 1 (+1) wahr (Induktionsvoraussetzung). Im Folgenden steht (IV) für die Induktionsvoraussetzung. Zu zeigen ist also, dass gilt: Es gilt (+1)(+1+1) +(+1) 1 (+1) +(+1) (+1)+ (+1) (+1)(+). Und genau dies hatten wir zu zeigen. (+1)(+) Anwendung der IV. Beispiel 3 Zeige: Die Summe der ersten ungeraden natürlichen Zahlen ist. Also: ( 1). 1
14 68 5 Beweistechniken (Alternativ kann auch 1 0 Beweis: Induktionsanfang für 1: ( +1) gezeigt werden.) 1 ( 1) (linke Seite) und 1 1 (rechte Seite). 1 Beide Seiten stimmen überein. Der Induktionsanfang ist erfüllt. Induktionsschritt: Von auf +1: Dabei sei 1 ( 1) für ein N wahr (Induktionsvoraussetzung). Zu zeigen ist also, dass gilt: +1 1 ( 1) (+1). Wir haben: +1 1 ( 1) ( 1)+(+1) 1 Anwendung der IV 1 +(+1) (+1). Und genau dies war zu zeigen. Beispiel 33 Bernoullische Ungleichung) Beweise: Für N R 1 gilt: (1+) 1+. Beweis: Induktionsanfang für 1: (1+) Beide Seiten stimmen überein, bzw. wir erhalten eine wahre Aussage, da ja auch die Gleichheit zugelassen wird. Der Induktionsanfang ist damit erfüllt. Induktionsschritt: Von auf + 1: Dabei sei (1 + ) 1 + wahr (Induktionsvoraussetzung). Zu zeigen ist also, dass gilt (1+) +1 1+(+1). Es ist wegen 1+ 0: (1+) +1 (1+) (1+) (1+) (1+) (+1)+. Anwendung der IV Da nun 0 gilt, folgt: 1+(+1)+ 1+(+1).
15 5. Erklärungen zu den Beweistechniken 69 Tja, und das hatten wir zu zeigen Also haben wir die Bernoullische Ungleichung bewiesen. Beispiel 34 Zeige: Für N 5 gilt: >. Beweis: Dieses Beispiel zeigt, dass der Induktionsanfang nicht immer mit 0 oder 1 beginnen muss. Induktionsanfang für 5: 5 3 > 5 5 Wahre Aussage. Der Induktionsanfang ist also erfüllt. Induktionsschritt: Dabei sei > wahr (IV ). Zu zeigen ist also, dass gilt +1 > (+1). Es gilt: +1 IV) > + *) ++1 (+1). (*) Hier nutzen wir aus, dass für 3 gilt: + 1. Dies kann ebenfalls mit vollständiger Induktion bewiesen werden (Übung für euch). Also sind wir fertig. Beispiel 35 Für alle 4 gilt: >. Beweis: Induktionsanfang für 4: > Der Induktionsanfang ist damit erfüllt. Induktionsschritt: Von auf +1 Zu zeigen ist, dass unter der Induktionsvoraussetzung (IV) > für ein gilt, die Ungleichung (+1) > +1 gültig ist. Wir starten: (+1) (+1) IV) > (+1) > +1. Den letzten Schritt verifizieren wir noch: (+1) > +1 > > 1. was offenbar wahr ist.
Primzahlen und RSA-Verschlüsselung
Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Michael Fütterer und Jonathan Zachhuber 1 Einiges zu Primzahlen Ein paar Definitionen: Wir bezeichnen mit Z die Menge der positiven und negativen ganzen Zahlen, also
MehrInformationsblatt Induktionsbeweis
Sommer 015 Informationsblatt Induktionsbeweis 31. März 015 Motivation Die vollständige Induktion ist ein wichtiges Beweisverfahren in der Informatik. Sie wird häufig dazu gebraucht, um mathematische Formeln
Mehr7 Rechnen mit Polynomen
7 Rechnen mit Polynomen Zu Polynomfunktionen Satz. Zwei Polynomfunktionen und f : R R, x a n x n + a n 1 x n 1 + a 1 x + a 0 g : R R, x b n x n + b n 1 x n 1 + b 1 x + b 0 sind genau dann gleich, wenn
MehrLineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren
Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren W. Kippels 22. Februar 2014 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Lineargleichungssysteme zweiten Grades 2 3 Lineargleichungssysteme höheren als
Mehr50. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 11 13. 501322 Lösung 10 Punkte
50. Mathematik-Olympiade. Stufe (Regionalrunde) Klasse 3 Lösungen c 00 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.v. www.mathematik-olympiaden.de. Alle Rechte vorbehalten. 503 Lösung 0 Punkte Es seien
MehrAnalysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften
Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg WiSe 2015/16 Prof. Dr. M. Hinze Dr. P. Kiani Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Lösungshinweise zu Blatt 2 Aufgabe 1: (12 Punkte) a) Beweisen
Mehr1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage:
Zählen und Zahlbereiche Übungsblatt 1 1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage: Für alle m, n N gilt m + n = n + m. in den Satz umschreiben:
MehrRepetitionsaufgaben Wurzelgleichungen
Repetitionsaufgaben Wurzelgleichungen Inhaltsverzeichnis A) Vorbemerkungen B) Lernziele C) Theorie mit Aufgaben D) Aufgaben mit Musterlösungen 4 A) Vorbemerkungen Bitte beachten Sie: Bei Wurzelgleichungen
MehrAlso kann nur A ist roter Südler und B ist grüner Nordler gelten.
Aufgabe 1.1: (4 Punkte) Der Planet Og wird von zwei verschiedenen Rassen bewohnt - dem grünen und dem roten Volk. Desweiteren sind die Leute, die auf der nördlichen Halbkugel geboren wurden von denen auf
Mehr1 Mathematische Grundlagen
Mathematische Grundlagen - 1-1 Mathematische Grundlagen Der Begriff der Menge ist einer der grundlegenden Begriffe in der Mathematik. Mengen dienen dazu, Dinge oder Objekte zu einer Einheit zusammenzufassen.
MehrGrundbegriffe der Informatik
Grundbegriffe der Informatik Kapitel 6: Induktives Vorgehen Thomas Worsch KIT, Institut für Theoretische Informatik Wintersemester 2015/2016 GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische
MehrBeispiellösungen zu Blatt 111
µ κ Mathematisches Institut Georg-August-Universität Göttingen Beispiellösungen zu Blatt 111 Aufgabe 1 Ludwigshafen hat einen Bahnhof in Dreiecksform. Markus, Sabine und Wilhelm beobachten den Zugverkehr
MehrSkript und Aufgabensammlung Terme und Gleichungen Mathefritz Verlag Jörg Christmann Nur zum Privaten Gebrauch! Alle Rechte vorbehalten!
Mathefritz 5 Terme und Gleichungen Meine Mathe-Seite im Internet kostenlose Matheaufgaben, Skripte, Mathebücher Lernspiele, Lerntipps, Quiz und noch viel mehr http:// www.mathefritz.de Seite 1 Copyright
Mehra n + 2 1 auf Konvergenz. Berechnen der ersten paar Folgenglieder liefert:
Beispiel: Wir untersuchen die rekursiv definierte Folge a 0 + auf Konvergenz. Berechnen der ersten paar Folgenglieder liefert: ( ) (,, 7, 5,...) Wir können also vermuten, dass die Folge monoton fallend
MehrDie Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung.
Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten Die Grundform der linearen Gleichung mit einer Unbekannten x lautet A x = a Dabei sind A, a reelle Zahlen. Die Gleichung lösen heißt, alle reellen Zahlen anzugeben,
MehrEinführung in die Algebra
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2009 Einführung in die Algebra Vorlesung 13 Einheiten Definition 13.1. Ein Element u in einem Ring R heißt Einheit, wenn es ein Element v R gibt mit uv = vu = 1. DasElementv
MehrFachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS. Herbstsemester 2015. gehalten von Harald Baum
Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS Herbstsemester 2015 gehalten von Harald Baum 2. September 2015 Inhaltsverzeichnis 1. Stichpunkte zur Linearen Algebra I 2. Körper 3. Vektorräume
MehrGleichungen Lösen. Ein graphischer Blick auf Gleichungen
Gleichungen Lösen Was bedeutet es, eine Gleichung zu lösen? Was ist überhaupt eine Gleichung? Eine Gleichung ist, grundsätzlich eine Aussage über zwei mathematische Terme, dass sie gleich sind. Ein Term
MehrMathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen
Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen Dr. Thomas Zehrt Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Gleichungen Inhalt: 1. Grundlegendes 2. Lineare Gleichungen 3. Gleichungen mit Brüchen
MehrZahlenwinkel: Forscherkarte 1. alleine. Zahlenwinkel: Forschertipp 1
Zahlenwinkel: Forscherkarte 1 alleine Tipp 1 Lege die Ziffern von 1 bis 9 so in den Zahlenwinkel, dass jeder Arm des Zahlenwinkels zusammengezählt das gleiche Ergebnis ergibt! Finde möglichst viele verschiedene
MehrLineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme 1 Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten Es kommt häufig vor, dass man nicht mit einer Variablen alleine auskommt, um ein Problem zu lösen. Das folgende Beispiel soll dies verdeutlichen
MehrBevor lineare Gleichungen gelöst werden, ein paar wichtige Begriffe, die im Zusammenhang von linearen Gleichungen oft auftauchen.
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 13.0.010 Lineare Gleichungen Werden zwei Terme durch ein Gleichheitszeichen miteinander verbunden, so entsteht eine Gleichung. Enthält die Gleichung die Variable
MehrQuadratische Gleichungen
Quadratische Gleichungen Aufgabe: Versuche eine Lösung zu den folgenden Zahlenrätseln zu finden:.) Verdoppelt man das Quadrat einer Zahl und addiert, so erhält man 00..) Addiert man zum Quadrat einer Zahl
MehrBetragsgleichungen und die Methode der Fallunterscheidungen
mathe online Skripten http://www.mathe-online.at/skripten/ Betragsgleichungen und die Methode der Fallunterscheidungen Franz Embacher Fakultät für Mathematik der Universität Wien E-mail: franz.embacher@univie.ac.at
Mehr1 topologisches Sortieren
Wolfgang Hönig / Andreas Ecke WS 09/0 topologisches Sortieren. Überblick. Solange noch Knoten vorhanden: a) Suche Knoten v, zu dem keine Kante führt (Falls nicht vorhanden keine topologische Sortierung
MehrProfessionelle Seminare im Bereich MS-Office
Der Name BEREICH.VERSCHIEBEN() ist etwas unglücklich gewählt. Man kann mit der Funktion Bereiche zwar verschieben, man kann Bereiche aber auch verkleinern oder vergrößern. Besser wäre es, die Funktion
MehrBasis und Dimension. Als nächstes wollen wir die wichtigen Begriffe Erzeugendensystem und Basis eines Vektorraums definieren.
Basis und Dimension Als nächstes wollen wir die wichtigen Begriffe Erzeugendensystem und Basis eines Vektorraums definieren. Definition. Sei V ein K-Vektorraum und (v i ) i I eine Familie von Vektoren
MehrZeichen bei Zahlen entschlüsseln
Zeichen bei Zahlen entschlüsseln In diesem Kapitel... Verwendung des Zahlenstrahls Absolut richtige Bestimmung von absoluten Werten Operationen bei Zahlen mit Vorzeichen: Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren
MehrV 2 B, C, D Drinks. Möglicher Lösungsweg a) Gleichungssystem: 300x + 400 y = 520 300x + 500y = 597,5 2x3 Matrix: Energydrink 0,7 Mineralwasser 0,775,
Aufgabenpool für angewandte Mathematik / 1. Jahrgang V B, C, D Drinks Ein gastronomischer Betrieb kauft 300 Dosen Energydrinks (0,3 l) und 400 Liter Flaschen Mineralwasser und zahlt dafür 50, Euro. Einen
Mehr8. Quadratische Reste. Reziprozitätsgesetz
O Forster: Prizahlen 8 Quadratische Reste Rezirozitätsgesetz 81 Definition Sei eine natürliche Zahl 2 Eine ganze Zahl a heißt uadratischer Rest odulo (Abkürzung QR, falls die Kongruenz x 2 a od eine Lösung
MehrLineare Differentialgleichungen erster Ordnung erkennen
Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung In diesem Kapitel... Erkennen, wie Differentialgleichungen erster Ordnung aussehen en für Differentialgleichungen erster Ordnung und ohne -Terme finden Die
MehrDer Zwei-Quadrate-Satz von Fermat
Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat Proseminar: Das BUCH der Beweise Fridtjof Schulte Steinberg Institut für Informatik Humboldt-Universität zu Berlin 29.November 2012 1 / 20 Allgemeines Pierre de Fermat
MehrWas ist Mathematik? Eine Strukturwissenschaft, eine Geisteswissenschaft, aber keine Naturwissenschaft.
Vorlesung 1 Einführung 1.1 Praktisches Zeiten: 10:00-12:00 Uhr Vorlesung 12:00-13:00 Uhr Mittagspause 13:00-14:30 Uhr Präsenzübung 14:30-16:00 Uhr Übungsgruppen Material: Papier und Stift wacher Verstand
MehrGrundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen
Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen 1. Quadratische Gleichungen Quadratische Gleichungen lassen sich immer auf die sog. normierte Form x 2 + px + = 0 bringen, in
MehrAlle Schlüssel-Karten (blaue Rückseite) werden den Schlüssel-Farben nach sortiert und in vier getrennte Stapel mit der Bildseite nach oben gelegt.
Gentlemen", bitte zur Kasse! Ravensburger Spiele Nr. 01 264 0 Autoren: Wolfgang Kramer und Jürgen P. K. Grunau Grafik: Erhard Dietl Ein Gaunerspiel für 3-6 Gentlemen" ab 10 Jahren Inhalt: 35 Tresor-Karten
MehrFormale Systeme, WS 2012/2013 Lösungen zu Übungsblatt 4
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theoretische Informatik Prof. Dr. Peter H. Schmitt David Farago, Christoph Scheben, Mattias Ulbrich Formale Systeme, WS 2012/2013 Lösungen zu Übungsblatt
MehrLernerfolge sichern - Ein wichtiger Beitrag zu mehr Motivation
Lernerfolge sichern - Ein wichtiger Beitrag zu mehr Motivation Einführung Mit welchen Erwartungen gehen Jugendliche eigentlich in ihre Ausbildung? Wir haben zu dieser Frage einmal die Meinungen von Auszubildenden
MehrAnleitung über den Umgang mit Schildern
Anleitung über den Umgang mit Schildern -Vorwort -Wo bekommt man Schilder? -Wo und wie speichert man die Schilder? -Wie füge ich die Schilder in meinen Track ein? -Welche Bauteile kann man noch für Schilder
MehrElemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen
Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen Prof. Dr. Volker Schulz Universität Trier / FB IV / Abt. Mathematik 8. November 2010 http://www.mathematik.uni-trier.de/ schulz/elan-ws1011.html
MehrGutes Leben was ist das?
Lukas Bayer Jahrgangsstufe 12 Im Hirschgarten 1 67435 Neustadt Kurfürst-Ruprecht-Gymnasium Landwehrstraße22 67433 Neustadt a. d. Weinstraße Gutes Leben was ist das? Gutes Leben für alle was genau ist das
MehrLineare Gleichungssysteme
Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2015 Lineare Gleichungssysteme Schwerpunkte: Modellbildung geometrische Interpretation Lösungsmethoden Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik auf der
MehrKulturelle Evolution 12
3.3 Kulturelle Evolution Kulturelle Evolution Kulturelle Evolution 12 Seit die Menschen Erfindungen machen wie z.b. das Rad oder den Pflug, haben sie sich im Körperbau kaum mehr verändert. Dafür war einfach
Mehrgeben. Die Wahrscheinlichkeit von 100% ist hier demnach nur der Gehen wir einmal davon aus, dass die von uns angenommenen
geben. Die Wahrscheinlichkeit von 100% ist hier demnach nur der Vollständigkeit halber aufgeführt. Gehen wir einmal davon aus, dass die von uns angenommenen 70% im Beispiel exakt berechnet sind. Was würde
MehrApproximation durch Taylorpolynome
TU Berlin Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften Sekretariat MA 4-1 Straße des 17. Juni 10623 Berlin Hochschultag Approximation durch Taylorpolynome Im Rahmen der Schülerinnen- und Schüler-Uni
MehrAbschlussprüfung Realschule Bayern II / III: 2009 Haupttermin B 1.0 B 1.1
B 1.0 B 1.1 L: Wir wissen von, dass sie den Scheitel hat und durch den Punkt läuft. Was nichts bringt, ist beide Punkte in die allgemeine Parabelgleichung einzusetzen und das Gleichungssystem zu lösen,
MehrBeweisbar sichere Verschlüsselung
Beweisbar sichere Verschlüsselung ITS-Wahlpflichtvorlesung Dr. Bodo Möller Ruhr-Universität Bochum Horst-Görtz-Institut für IT-Sicherheit Lehrstuhl für Kommunikationssicherheit bmoeller@crypto.rub.de 6
MehrInfo zum Zusammenhang von Auflösung und Genauigkeit
Da es oft Nachfragen und Verständnisprobleme mit den oben genannten Begriffen gibt, möchten wir hier versuchen etwas Licht ins Dunkel zu bringen. Nehmen wir mal an, Sie haben ein Stück Wasserrohr mit der
MehrZahlen auf einen Blick
Zahlen auf einen Blick Nicht ohne Grund heißt es: Ein Bild sagt mehr als 1000 Worte. Die meisten Menschen nehmen Informationen schneller auf und behalten diese eher, wenn sie als Schaubild dargeboten werden.
MehrKrippenspiel für das Jahr 2058
Ev.-Luth. Landeskirche Sachsens Spielen & Gestalten Krippenspiel für das Jahr 2058 Krippenspiel für das Jahr 2058 K 125 Impressum Weihnachtsspielangebot 2009 Krippenspiel für das Jahr 2058 K 125 Die Aufführungsrechte
MehrLösung. Prüfungsteil 1: Aufgabe 1
Zentrale Prüfung 01 Lösung Diese Lösung wurde erstellt von Cornelia Sanzenbacher. Sie ist keine offizielle Lösung des Ministeriums für Schule und Weiterbildung des Landes. Prüfungsteil 1: Aufgabe 1 a)
MehrDivision Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema
Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema 2x 4 + x 3 + x + 3 div x 2 + x 1 = 2x 2 x + 3 (2x 4 + 2x 3 2x 2 ) x 3 + 2x 2 + x + 3 ( x
MehrOutlook. sysplus.ch outlook - mail-grundlagen Seite 1/8. Mail-Grundlagen. Posteingang
sysplus.ch outlook - mail-grundlagen Seite 1/8 Outlook Mail-Grundlagen Posteingang Es gibt verschiedene Möglichkeiten, um zum Posteingang zu gelangen. Man kann links im Outlook-Fenster auf die Schaltfläche
MehrSatz. Für jede Herbrand-Struktur A für F und alle t D(F ) gilt offensichtlich
Herbrand-Strukturen und Herbrand-Modelle Sei F eine Aussage in Skolemform. Dann heißt jede zu F passende Struktur A =(U A, I A )eineherbrand-struktur für F, falls folgendes gilt: 1 U A = D(F ), 2 für jedes
MehrMathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 3 1. Semester ARBEITSBLATT 3 RECHNEN MIT GANZEN ZAHLEN
ARBEITSBLATT 3 RECHNEN MIT GANZEN ZAHLEN Wir wollen nun die Rechengesetze der natürlichen Zahlen auf die Zahlenmenge der ganzen Zahlen erweitern und zwar so, dass sie zu keinem Widerspruch mit bisher geltenden
MehrGüte von Tests. die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art bei der Testentscheidung, nämlich. falsch ist. Darauf haben wir bereits im Kapitel über
Güte von s Grundlegendes zum Konzept der Güte Ableitung der Gütefunktion des Gauss im Einstichprobenproblem Grafische Darstellung der Gütefunktionen des Gauss im Einstichprobenproblem Ableitung der Gütefunktion
MehrLU-Zerlegung. Zusätze zum Gelben Rechenbuch. Peter Furlan. Verlag Martina Furlan. Inhaltsverzeichnis. 1 Definitionen.
Zusätze zum Gelben Rechenbuch LU-Zerlegung Peter Furlan Verlag Martina Furlan Inhaltsverzeichnis Definitionen 2 (Allgemeine) LU-Zerlegung 2 3 Vereinfachte LU-Zerlegung 3 4 Lösung eines linearen Gleichungssystems
MehrIst Fernsehen schädlich für die eigene Meinung oder fördert es unabhängig zu denken?
UErörterung zu dem Thema Ist Fernsehen schädlich für die eigene Meinung oder fördert es unabhängig zu denken? 2000 by christoph hoffmann Seite I Gliederung 1. In zu großen Mengen ist alles schädlich. 2.
MehrL10N-Manager 3. Netzwerktreffen der Hochschulübersetzer/i nnen Mannheim 10. Mai 2016
L10N-Manager 3. Netzwerktreffen der Hochschulübersetzer/i nnen Mannheim 10. Mai 2016 Referentin: Dr. Kelly Neudorfer Universität Hohenheim Was wir jetzt besprechen werden ist eine Frage, mit denen viele
MehrWS 2008/09. Diskrete Strukturen
WS 2008/09 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0809
Mehr1 C H R I S T O P H D R Ö S S E R D E R M A T H E M A T I K V E R F Ü H R E R
C H R I S T O P H D R Ö S S E R D E R M A T H E M A T I K V E R F Ü H R E R L Ö S U N G E N Seite 7 n Wenn vier Menschen auf einem Quadratmeter stehen, dann hat jeder eine Fläche von 50 mal 50 Zentimeter
MehrAustausch- bzw. Übergangsprozesse und Gleichgewichtsverteilungen
Austausch- bzw. Übergangsrozesse und Gleichgewichtsverteilungen Wir betrachten ein System mit verschiedenen Zuständen, zwischen denen ein Austausch stattfinden kann. Etwa soziale Schichten in einer Gesellschaft:
MehrDie reellen Lösungen der kubischen Gleichung
Die reellen Lösungen der kubischen Gleichung Klaus-R. Löffler Inhaltsverzeichnis 1 Einfach zu behandelnde Sonderfälle 1 2 Die ganzrationale Funktion dritten Grades 2 2.1 Reduktion...........................................
MehrDiskrete Strukturen und Logik WiSe 2007/08 in Trier. Henning Fernau Universität Trier fernau@uni-trier.de
Diskrete Strukturen und Logik WiSe 2007/08 in Trier Henning Fernau Universität Trier fernau@uni-trier.de 1 Diskrete Strukturen und Logik Gesamtübersicht Organisatorisches Einführung Logik & Mengenlehre
MehrMathematisch für Anfänger
Mathematisch für Anfänger Beiträge zum Studienbeginn von Matroids Matheplanet Bearbeitet von Martin Wohlgemuth 1. Auflage 2011. Taschenbuch. xvi, 320 S. Paperback ISBN 978 3 8274 2852 3 Format (B x L):
MehrErstellen von x-y-diagrammen in OpenOffice.calc
Erstellen von x-y-diagrammen in OpenOffice.calc In dieser kleinen Anleitung geht es nur darum, aus einer bestehenden Tabelle ein x-y-diagramm zu erzeugen. D.h. es müssen in der Tabelle mindestens zwei
MehrStatuten in leichter Sprache
Statuten in leichter Sprache Zweck vom Verein Artikel 1: Zivil-Gesetz-Buch Es gibt einen Verein der selbstbestimmung.ch heisst. Der Verein ist so aufgebaut, wie es im Zivil-Gesetz-Buch steht. Im Zivil-Gesetz-Buch
MehrMehr Geld verdienen! Lesen Sie... Peter von Karst. Ihre Leseprobe. der schlüssel zum leben. So gehen Sie konkret vor!
Peter von Karst Mehr Geld verdienen! So gehen Sie konkret vor! Ihre Leseprobe Lesen Sie...... wie Sie mit wenigen, aber effektiven Schritten Ihre gesteckten Ziele erreichen.... wie Sie die richtigen Entscheidungen
MehrVerband der TÜV e. V. STUDIE ZUM IMAGE DER MPU
Verband der TÜV e. V. STUDIE ZUM IMAGE DER MPU 2 DIE MEDIZINISCH-PSYCHOLOGISCHE UNTERSUCHUNG (MPU) IST HOCH ANGESEHEN Das Image der Medizinisch-Psychologischen Untersuchung (MPU) ist zwiespältig: Das ist
MehrLösungsvorschlag für die Probeklausuren und Klausuren zu Algebra für Informations- und Kommunikationstechniker bei Prof. Dr.
Lösungsvorschlag für die Probeklausuren und Klausuren zu Algebra für Informations- und Kommunikationstechniker bei Prof. Dr. Kurzweil Florian Franzmann André Diehl Kompiliert am 10. April 2006 um 18:33
MehrChemie Zusammenfassung KA 2
Chemie Zusammenfassung KA 2 Wärmemenge Q bei einer Reaktion Chemische Reaktionen haben eine Gemeinsamkeit: Bei der Reaktion wird entweder Energie/Wärme frei (exotherm). Oder es wird Wärme/Energie aufgenommen
MehrTipp III: Leiten Sie eine immer direkt anwendbare Formel her zur Berechnung der sogenannten "bedingten Wahrscheinlichkeit".
Mathematik- Unterrichts- Einheiten- Datei e. V. Klasse 9 12 04/2015 Diabetes-Test Infos: www.mued.de Blutspenden werden auf Diabetes untersucht, das mit 8 % in der Bevölkerung verbreitet ist. Dabei werden
MehrCharakteristikum des Gutachtenstils: Es wird mit einer Frage begonnen, sodann werden die Voraussetzungen Schritt für Schritt aufgezeigt und erörtert.
Der Gutachtenstil: Charakteristikum des Gutachtenstils: Es wird mit einer Frage begonnen, sodann werden die Voraussetzungen Schritt für Schritt aufgezeigt und erörtert. Das Ergebnis steht am Schluß. Charakteristikum
MehrPersönliche Zukunftsplanung mit Menschen, denen nicht zugetraut wird, dass sie für sich selbst sprechen können Von Susanne Göbel und Josef Ströbl
Persönliche Zukunftsplanung mit Menschen, denen nicht zugetraut Von Susanne Göbel und Josef Ströbl Die Ideen der Persönlichen Zukunftsplanung stammen aus Nordamerika. Dort werden Zukunftsplanungen schon
MehrZahlen und das Hüten von Geheimnissen (G. Wiese, 23. April 2009)
Zahlen und das Hüten von Geheimnissen (G. Wiese, 23. April 2009) Probleme unseres Alltags E-Mails lesen: Niemand außer mir soll meine Mails lesen! Geld abheben mit der EC-Karte: Niemand außer mir soll
MehrWas ist das Budget für Arbeit?
1 Was ist das Budget für Arbeit? Das Budget für Arbeit ist ein Persönliches Geld für Arbeit wenn Sie arbeiten möchten aber nicht mehr in einer Werkstatt. Das gibt es bisher nur in Nieder-Sachsen. Und in
MehrModellbildungssysteme: Pädagogische und didaktische Ziele
Modellbildungssysteme: Pädagogische und didaktische Ziele Was hat Modellbildung mit der Schule zu tun? Der Bildungsplan 1994 formuliert: "Die schnelle Zunahme des Wissens, die hohe Differenzierung und
MehrWir machen neue Politik für Baden-Württemberg
Wir machen neue Politik für Baden-Württemberg Am 27. März 2011 haben die Menschen in Baden-Württemberg gewählt. Sie wollten eine andere Politik als vorher. Die Menschen haben die GRÜNEN und die SPD in
Mehr4.4 AnonymeMärkteunddasGleichgewichtder"vollständigen Konkurrenz"
4.4 AnonymeMärkteunddasGleichgewichtder"vollständigen Konkurrenz" Wir haben bisher nachvollziehen können, wie zwei Personen für sich den Anreiz zum TauschentdeckenundwiemitwachsenderBevölkerungdieMengederAllokationensinkt,
MehrEinführung in. Logische Schaltungen
Einführung in Logische Schaltungen 1/7 Inhaltsverzeichnis 1. Einführung 1. Was sind logische Schaltungen 2. Grundlegende Elemente 3. Weitere Elemente 4. Beispiel einer logischen Schaltung 2. Notation von
MehrSpeicher in der Cloud
Speicher in der Cloud Kostenbremse, Sicherheitsrisiko oder Basis für die unternehmensweite Kollaboration? von Cornelius Höchel-Winter 2013 ComConsult Research GmbH, Aachen 3 SYNCHRONISATION TEUFELSZEUG
MehrGleichungen und Ungleichungen
Gleichungen Ungleichungen. Lineare Gleichungen Sei die Gleichung ax = b gegeben, wobei x die Unbekannte ist a, b reelle Zahlen sind. Diese Gleichung hat als Lösung die einzige reelle Zahl x = b, falls
MehrSowohl die Malstreifen als auch die Neperschen Streifen können auch in anderen Stellenwertsystemen verwendet werden.
Multiplikation Die schriftliche Multiplikation ist etwas schwieriger als die Addition. Zum einen setzt sie das kleine Einmaleins voraus, zum anderen sind die Überträge, die zu merken sind und häufig in
MehrVergleichsarbeiten in 3. Grundschulklassen. Mathematik. Aufgabenheft 1
Vergleichsarbeiten in 3. Grundschulklassen Mathematik Aufgabenheft 1 Name: Klasse: Herausgeber: Projekt VERA (Vergleichsarbeiten in 3. Grundschulklassen) Universität Koblenz-Landau Campus Landau Fortstraße
Mehr1: 9. Hamburger Gründerpreis - Kategorie Existenzgründer - 08.09.2010 19:00 Uhr
1: 9. Hamburger Gründerpreis - Kategorie Existenzgründer - Sehr geehrter Herr Bürgermeister, sehr geehrter Herr Dr. Vogelsang, sehr geehrter Herr Strunz, und meine sehr geehrte Damen und Herren, meine
Mehr4. Jeder Knoten hat höchstens zwei Kinder, ein linkes und ein rechtes.
Binäre Bäume Definition: Ein binärer Baum T besteht aus einer Menge von Knoten, die durch eine Vater-Kind-Beziehung wie folgt strukturiert ist: 1. Es gibt genau einen hervorgehobenen Knoten r T, die Wurzel
MehrLenstras Algorithmus für Faktorisierung
Lenstras Algorithmus für Faktorisierung Bertil Nestorius 9 März 2010 1 Motivation Die schnelle Faktorisierung von Zahlen ist heutzutage ein sehr wichtigen Thema, zb gibt es in der Kryptographie viele weit
Mehr1. Was ihr in dieser Anleitung
Leseprobe 1. Was ihr in dieser Anleitung erfahren könnt 2 Liebe Musiker, in diesem PDF erhaltet ihr eine Anleitung, wie ihr eure Musik online kostenlos per Werbevideo bewerben könnt, ohne dabei Geld für
MehrProzentrechnung. Wir können nun eine Formel für die Berechnung des Prozentwertes aufstellen:
Prozentrechnung Wir beginnen mit einem Beisiel: Nehmen wir mal an, ein Handy kostet 200 und es gibt 5% Rabatt (Preisnachlass), wie groß ist dann der Rabatt in Euro und wie viel kostet dann das Handy? Wenn
MehrWas ist Sozial-Raum-Orientierung?
Was ist Sozial-Raum-Orientierung? Dr. Wolfgang Hinte Universität Duisburg-Essen Institut für Stadt-Entwicklung und Sozial-Raum-Orientierte Arbeit Das ist eine Zusammen-Fassung des Vortrages: Sozialräume
MehrMind Mapping am PC. für Präsentationen, Vorträge, Selbstmanagement. von Isolde Kommer, Helmut Reinke. 1. Auflage. Hanser München 1999
Mind Mapping am PC für Präsentationen, Vorträge, Selbstmanagement von Isolde Kommer, Helmut Reinke 1. Auflage Hanser München 1999 Verlag C.H. Beck im Internet: www.beck.de ISBN 978 3 446 21222 0 schnell
MehrDas sogenannte Beamen ist auch in EEP möglich ohne das Zusatzprogramm Beamer. Zwar etwas umständlicher aber es funktioniert
Beamen in EEP Das sogenannte Beamen ist auch in EEP möglich ohne das Zusatzprogramm Beamer. Zwar etwas umständlicher aber es funktioniert Zuerst musst du dir 2 Programme besorgen und zwar: Albert, das
MehrGrundlagen der Theoretischen Informatik, SoSe 2008
1. Aufgabenblatt zur Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik, SoSe 2008 (Dr. Frank Hoffmann) Lösung von Manuel Jain und Benjamin Bortfeldt Aufgabe 2 Zustandsdiagramme (6 Punkte, wird korrigiert)
Mehrsondern alle Werte gleich behandelt. Wir dürfen aber nicht vergessen, dass Ergebnisse, je länger sie in der Vergangenheit
sondern alle Werte gleich behandelt. Wir dürfen aber nicht vergessen, dass Ergebnisse, je länger sie in der Vergangenheit liegen, an Bedeutung verlieren. Die Mannschaften haben sich verändert. Spieler
MehrEigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen
Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Das Eigenwertproblem Sei A eine quadratische Matrix vom Typ m,m. Die Aufgabe, eine Zahl λ und einen dazugehörigen Vektor x zu finden, damit Ax = λx ist, nennt
Mehr1. Fabrikatshändlerkongress. Schlussworte Robert Rademacher
Robert Rademacher Präsident Deutsches Kraftfahrzeuggewerbe - Zentralverband - 1. Fabrikatshändlerkongress Schlussworte Robert Rademacher 24. Oktober 2008 Frankfurt Es gilt das gesprochene Wort Meine sehr
MehrWas meinen die Leute eigentlich mit: Grexit?
Was meinen die Leute eigentlich mit: Grexit? Grexit sind eigentlich 2 Wörter. 1. Griechenland 2. Exit Exit ist ein englisches Wort. Es bedeutet: Ausgang. Aber was haben diese 2 Sachen mit-einander zu tun?
MehrErfahrungen mit Hartz IV- Empfängern
Erfahrungen mit Hartz IV- Empfängern Ausgewählte Ergebnisse einer Befragung von Unternehmen aus den Branchen Gastronomie, Pflege und Handwerk Pressegespräch der Bundesagentur für Arbeit am 12. November
MehrONLINE-AKADEMIE. "Diplomierter NLP Anwender für Schule und Unterricht" Ziele
ONLINE-AKADEMIE Ziele Wenn man von Menschen hört, die etwas Großartiges in ihrem Leben geleistet haben, erfahren wir oft, dass diese ihr Ziel über Jahre verfolgt haben oder diesen Wunsch schon bereits
MehrDas RSA-Verschlüsselungsverfahren 1 Christian Vollmer
Das RSA-Verschlüsselungsverfahren 1 Christian Vollmer Allgemein: Das RSA-Verschlüsselungsverfahren ist ein häufig benutztes Verschlüsselungsverfahren, weil es sehr sicher ist. Es gehört zu der Klasse der
MehrOECD Programme for International Student Assessment PISA 2000. Lösungen der Beispielaufgaben aus dem Mathematiktest. Deutschland
OECD Programme for International Student Assessment Deutschland PISA 2000 Lösungen der Beispielaufgaben aus dem Mathematiktest Beispielaufgaben PISA-Hauptstudie 2000 Seite 3 UNIT ÄPFEL Beispielaufgaben
Mehr