Hochschule Regensburg. Spezielle Algorithmen (SAL) Lehrbeauftragter: Prof. Sauer

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1 Hochschule Regensburg Übung 44_ Multilayer-Perzeptron: Entwurf, Implementierung Bacpropagation Spezielle Algorithmen (SAL) Lehrbeauftragter: Prof. Sauer Name: Vorname: Multilayer-Perzeptrons (MLPs) sind universelle Funtionsapproimatoren, d.h.: Sie önnen beliebige Muster und Funtionen darstellen 3. Wie viele Neuronen für ein bestimmtes Problem benötigt werden, ist allerdings nicht beannt. Gibt man einem NN zu viele Neuronen, lernt es sehr schnell auswendig und generalisiert nicht. Hat es zu wenige, wird das Problem nicht ordentlich gelöst 4.. Ein einführendes Beispiel Das Bsp. zum XOR-Problem zeigte: Das lineare Perzeptron besitzt nur eine begrenzte Trennfähigeit und ist für Klassifiationsaufgaben nur beschränt geeignet. Eine Verallgemeinerung des linearen Perzeptrons betrachtet anstatt einer einzigen Hyperebene mehrere Hyperebenen. Im einfachsten Fall entsteht eine Netzstrutur mit mehreren Schichten (neben Input- und Outputschicht noch eine verborgenen Schicht. Allgemein önnen Netze mit mehreren Ebenen betrachtet werden. Kann das folgende Klassifiationsbeispiel mit einem MLP gelöst werden? Vgl. Sriptum 4.4. vgl. Sriptum Neuronale, Netze, Fuzzy Control und Genetische Algorithmen WS 09/0 : Aus der Mathemati ist beannt, dass Abbildungsoperatoren mit einer verdecten Schicht und nicht-linearer Abbildungsfuntion in der Lage sind, egliche stetig differenzierbare Abbildung zu realisieren. 4 Vgl. Sriptum Neuronale, Netze, Fuzzy Control und Genetische Algorithmen WS 09/0 :.4.

2 0 Trenngerade H 5 Trenngerade H Den beiden Trenngeraden H : = H.. : = entsprechen die Netze: , 4. Abb.: Perzeptrons zu den Trenngeraden H und H

3 H und H önnen somit bei geeigneter Wahl der Anfangswerte Ergebnis des üblichen Netztrainings sein. Die folgende Abbildung zeigt: Cluster C enthält nur Knoten, während bei C, C 3 und C 4 überwiegen. Zur Bestimmung der Kantengewichte des MLP zwischen verborgener Schicht und Output- Schicht sowie des Schwellenwerts der Outputnoten ist im H-Raum eine geeignete Trenngerade O festzulegen: O sollte C (0, ) von den Clustern C (0,0 ), C (, ), 3 C (,0) 4 separieren. Geometrisch lässt sich das, wie die Folgende Abbildung zeigt, leicht bewältigen. Ein passendes O ist bspw.: H + H = 0 H Raum der Hyperebenen (H-Raum) C 3 Trenngerade O H C Trenngerade H 5 C 4 Trenngerade H C Abb.: Clusterbildung im Mermalraum und Zuordnung im H-Raum 3

4 H H y Abb.: MLP orrespondierend zur vorstehenden Abb. Der Cluster C enthält einen fehlerlassifizierenden Datensatz, C 3 zwei und C 4 einen. Insgesamt werden durch die Clusterbildung 4 Datensätze falsch zugeordnet. Die Trennebene O separiert die Cluster ohne dass ein Zuordnungsfehler entsteht. Folglich hat das MLP der vorstehenden Abb. den Fehlerwert 4. Für ein Netz mit internen Knoten ist das Netz des abgebildeten MLP s nicht optimal. Ein besseres Ergebnis ann erzielt werden, wenn die Clusterbildung optimiert wird: 4

5 0 Mermalsraum: X-Raum H Raum der Hyperbenen (H-Raum) C 3 Trenngerade O H C 5 Trenngerade H C 4 Trenngerade H C Abb.: Clusterbildung im Mermalraum und Zuordnung im H-Raum Nur C 3 enthält noch eine Fehlerlassifiation. Eine bessere Clusterbildung lässt sich mit nur Trennebenen im Mermalraum nicht vornehmen. 5

6 . Bacpropagation-Algorithmus. Ausgangspunt Ausgangspunt für den Bacpropagation-Algorithmus sind MLPs. Mit Mehrschicht- Perzeptrons wurde der Mermalraum in Bereiche aufgeteilt, die Klassenzugehörigeiten repräsentieren. Diese Bereiche waren allgemeine Vereinigungen von Polyedern, die durch Entscheidungs-Hyperebenen begrenzt wurden durch die Verwendung von Stufenfuntionen als Ativierungsfuntionen. Für eine gegebene endliche Stichprobe (Mermalsvetoren mit beannter Klassenzugehörigeit) gibt es im Allg. eine unbegrenzte Anzahl möglicher Perzeptron- Realisierungen, die die Klassifiationsaufgabe lösen. Zur Bestimmung einer eindeutigen Lösung wurden Beschränungen formuliert mit dem Ziel, unter dem eingeschränten Satz von Lösungen nach der besten Lösung zu suchen. Die Suche nach der besten Lösung wurde als Suche nach dem Minimum einer Kostenfuntion (Fehlerquadratsumme) formuliert.. Problemstellung und Algorithmus Bei Netzen mit verborgenen Schichten steht man vor dem Problem, dass man einen direten Fehler für Neuronen der Hidden-Schicht bestimmen ann. Man ennt nur den gewünschten und eweils berechneten Output und ann hieraus einen Fehlerterm errechnen. Dies gilt aber nur für die Ausgabe-Schicht. Für die verborgenen Schichten hingegen sind die gewünschten Ativitätslevel nicht beannt. E w ' w ' ' W Abb..4-3: Fehlerverlauf Dem Bacpropagation Lernalgorithmus liegt folgende Idee zugrunde: Minimierung der Fehlerfuntion (Summe der Fehlerquadrate) durch Gradientenabstieg. Fehlerfuntion: E = ( t y ) ( p, t) y ist Netzausgabe bei Eingabe p E = E w, w,...) ( Gradientenabstieg. Das Lernverfahren für Bacpropagation beruht auf dem Gradientenabstiegsverfahren. Gradientenabstiegsverfahren werden im Allg. verwendet, um Maima oder Minima n-dimensionaler Funtionen auszumachern. Ein Gradient ist für eden Punt einer differenzierbaren (n-dimensionalen) Funtion bestimmt: g,..., ) = f (,..., ). Bei einem Gradientenabstieg geht man entgegen dem ( n n 6

7 Gradienten schrittweise bergab 5, wobei die Schrittgröße proportionl zu g ist 6. Im vorliegenden Fall erfolgt die Änderung der Gewichte in Richtung des negativen Gradienten E (steilsten Abstiegs): Δwi = ε w i Ativierungsfuntion. Dafür wird oft die logistische Funtion verwendet:., die zur + e Gruppe der sigmoide Funtionen gehört. Allen sigmoiden Funtionen ist gemeinsam: Sie approimieren die Treppenfuntion und sind differenzierbar. Die Differenzierbareit geht entscheidend in die Herleitung des Gradientenabstieg-Verfahrens ein. Wesentliche Eigenschaften einer sigmoiden Ausgabefuntion sind: - Eine sigmoide Funtion ermöglicht die Approimation einer nicht-linearen Funtion durch ein Bacpropagation-Netz. - Eine sigmoide Ausgabefuntion approimiert die Treppenfuntion - Eine sigmoide Ausgabefuntion ist differenzierbar - Die Fehlerurve wird geglättet - Die Fehlerurve besitzt nur in einem Minimum oder Maimum eine waagrechte Tangente: r r we(w) zeigt immer in Richtung des Minimums - Sigmoide Funtionen forcieren die Entstehung loaler Minima ni Feedbacward (i)... w i ()... w ()... Feedforward Abb.: Beispiel eines zweistufigen Multilayer-Perzeptrons. In der Feedforward-Richtung wird die Ausgabe für ein angelegtes Eingangsmuster berechnet. In der Bacpropagation-Richtung wird in der Trainingsphase der fehler am Output auf die Gewichte zwischen den Schichten aufgeteilt. Zur Modifiation der Gewichte über entsprechende Fehlerterme ist die Trainingsphase eder Gewichtsveränderung in 3 Schritte unterteilt:.forward Pass 5 anschaulich ausgedrüct: in die Richtung, in der auch eine Kugel vom Startpunt aus rollen würde. 6 Analog zum Gradientenabstieg geht man beim Gradientenanstieg nicht entgegen sondern in Richtung des Gradienten. 7

8 Die Ausgabe des neuronalen Netzes wird berechnet.. Fehlerbestimmung der Ausgabe-Units. Falls die Fehler eine vorgegebene Schwelle überschreiten, folgt der 3. Schritt (Bacward Pass). Sind die Fehler lein genug und die vorgegebene Schwelle wird unterschritten, ann die Trainingsphase abgebrochen werden. δ = ( t o ) o ( o ) : Δw = ε δ o für die Ausgabeschicht Bacward-Pass (innovativer Schritt). Die Fehlerterme breiten sich in entgegengesetzter Richtung zur Eingabeschicht aus. Mit Hilfe dieser Fehlerterme werden nach und nach die Gewichte des Netzes modifiziert. Diese werden so verändert, dass die Fehlerterme leiner werden. Somit önnen die Gewichte zu den verborgenen Schichten modifiziert werden. δ = o o ) δ w Δw ( : i i = ε δ o für die inneren Schichten Gewichtsanpassung Problem: Fehlerminimierung beim Bacward-Pass Lösung: Gradientenabstiegsverfahren 8. Die Gewichte werden mit dem Gradientenabstiegsverfahren minimiert. Bei diesem Verfahren muß man nicht die gesamte Hyperebene ennen. Start: Zufällig gewählte Gewichtsombination. Für diese wird der Gradient bestimmt und um eine vorgegebene Länge hinabgestiegen. Die Gewichte werden entsprechend verändert. Ende: Erreichen des loalen Minimums Bacpropagation Lernalgorithmus (Musterlernen, Online-Learning 9 ) n Lernaufgabe: L = (( p, t),( p, t ),...,( p n, tn ), p R, t [ ] m i 0, i Initialisiere alle Gewichtsvetoren mit zufälligen Werten while Lernaufgabe noch nicht erfüllt do for edes ( p, t) L do - Bestimme für edes Ausgabe-Neuron sein Fehlersignal δ = ( t o ) o ( o ) - für alle Neuronen in den vorderen Schichten (mit vorletzter Schicht beginnend und schrittweise bis zur Eingabeschicht): o ( o w δ = ) δ - Korrigiere alle Gewichte um Δwi = ε δ oi end for end while 7 Vgl. Sriptum: Neuronale, Netze, Fuzzy Control und Genetische Algorithmen WS09/0, Vgl. Sriptum: Neuronale, Netze, Fuzzy Control und Genetische Algorithmen WS09/0,.4. Im Gegensatz zum Epochenlernen, Batch-Learning - Gewichtsänderung wird über eine Epopche aufsummiert - Anpassung der Gewichte am Epochenende 8

9 .3 Probleme beim Lernen / Trainieren eines MLP. Bacpropagation ist ein Gradientenabstiegsverfahren. Diese onvergieren angeblich schlecht.. Die Zielfuntion ist im allg. nicht onve. Folglich lässt sich nicht vermeiden, dass das Verfahren in einem loalen Minimum hängen bleibt (spurious state). Das ann man durch den Start von Bacpropagation mit verschiedenen Anfangswerten vermeiden. 3. Die benötigte Anzahl der verborgenen (hidden) Knoten ist nicht beannt. Werden zu viele interne Knoten zunächst verwendet, bläht dies das Problem unnötig auf und erschwert die Konvergenz, werden zu wenige Knoten verwendet, dann bleibt die Abbildungsleistung des Netzes schlecht, d.h. die Fehlerrate bleibt sehr hoch. Praislösung: Man startet mit einer hinreichend großen Ausgangsschäzung für die Anzahl an internen Knoten, bestimmt eine gute Näherung für die Gewichte und reduziert dann schrittweise die Anzahl an Knoten ( pruning ), wobei bei eder Struturänderung des Netzes erneut die Gewichte zu bestimmen sind. 4. Angestrebt wird nicht nur eine möglichst gute Approimation des gegebenen Trainingsdatensatzes sondern eine gute generaliserende Approimation: a) Gesucht ist das NN, das eine unbeannte Funtion f () möglichst gut approimiert. Da f () nicht beannt ist, önnen zur Bestimmung von NN nur Messwerte ( i, y i ) verwendet werden. Wird das NN so bestimmt, dass für alle i gilt NN ( i ) = yi,. dann würde das NN eden Ausreißerwert orret abbilden. Deswegen ist ein NN gesucht, dass die Ausreißer in geeigneter Form glättet (und damit dem unterstellten Verhalten von f () nahhe ommt. Der Idee nach sollen NN das generelle Bildungsgesetz der Beziehung f : y repräsentieren. b) Zur Überprüfung der Güte eines NN hat sich folgende Vorgehensweise bewährt: Der omplette Messdatensatz wird zufällig in 3 Teile zerlegt, ein Teil wird zum Trainieren des Netzes verwendet (Trainingsdatensatz). Der zweite Teil, die sog. Testdates, werden zur Überprüfung der Generalisierungsleistuing herangezogen. Die Güte des NN wird mit Hilfe der Testdatenmenge bestimmt. Dazu wird der Wert von E bzgl., aus der Testdatenmenge besimmt. ( ) i y i E overfitting t (Testdaten) overfitting: In diesen Bereich gelangt man bei zu starem Training, wenn overlearning vorliegt. Auch wenn zum Lernen ein Netz mit zu vielen Knoten verwendet wird, beobachtet man das overfitting. Die dritte Teilmenge der Messdaten sind die sog. Validierungsdaten, sie sollen dem Netzentwicler während der Traingsphase nicht zur Verfügung stehen und nicht beannt sein. Sie erlauben die unabhängige Überprüfung der Güte des Netzes. 9

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