Dr. Günter Rothmeier Kein Anspruch auf Vollständigkeit Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit

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1 30 % 25 % 37 % Universität Regensburg 4. Prozent-, Promille- und Zinsrechnung 4.1. Grundbegriffe der Prozentrechnung Die Prozent, Promille- und Zinsrechnung ist ein Teil der Bruchrechnung mit dem vorgegebenen Nenner bzw. 0. Wir legen fest: Grundwert GW Prozentwert PW Prozentsatz Prozentformel PW = Prozentdarstellungen Wir erklären die verschiedenen Darstellungsformen von Prozentsätzen jeweils an einem Beisiel a) 1. Prozentkreis Kreisfläche: 360 % Darzustellender Prozentsatz: 35 % GW % % x x = = 126 Der darzustellende Prozentsatz von 35 % entsricht einem Winkel von 126. b) Prozentstreifen Gesamtlänge: 10 cm % Darzustellende Prozentsätze: 76 %; 12%; 21% 10% % 10 cm % x cm x = = 6,7 Also 67 % 6,7 cm Ebenso erhält man: 12 % 1,2 cm 21 % 2,1 cm c) Säulendiagramm Gesamtmenge: 500 Stück % 12,5 cm Darzustellende Prozentsätze: 30 %; 25%; 37% 150 Stück 3,75 cm 125 Stück 3,13 cm 185 Stück 4,6 cm d) Figurendiagramm Gesamtmenge: 500 Stück 40% 30% 20% % Stück 500 Stück 10% 0% Stück 500 Stück Eine Figur (Männchen, Symbol u. dgl.) bestimmter Größe entsricht %. Andere Prozentzahlen werden durch mehrmalige Anordnung der Grundfigur oder durch eine Abbildungsvorschrift, z.b. zentrische Streckung dargestellt.

2 Prozentrechnung und Proortionalität Wenn der Prozentsatz konstant ist, das heißt einen festen Wert hat, entsricht die Prozentformel der Gleichung einer direkten Proortionalität. PW = GW Wert auf der y-achse Proortionalitätsfaktor Wert auf der x-achse Grundwert und Prozentwert sind direkt roortional, wenn der Prozentsatz konstant ist. Beisiel Stelle eine Wertetabelle auf und veranschauliche die zugehörigen Punkte, wenn gilt: PW = 12 GW. x 0,00 25,00 50,00 60,00 90,00 PW = y 0,00 3,00 6,00 7,20 10, PW = 4,50 Aus der Grahik kann man beliebige Zuordnungen 4 ablesen, z. B.: PW = 9 also 75 37,5 2 37,5 also PW = 4, x 4.2. Rechnen mit vermindertem Grundwert Wir zeigen die Vorgehensweise an einem Beisiel. Durch Preisnachlass ergibt sich aus dem ursrünglichen Grundwert (GW) ein neuer, verminderter Grundwert, den man auch als Prozentwert (PW) verstehen kann. Zu ihm gehört der Prozentsatz % %. Beisiel: Der Preis eines Hemdes wurde um 12 % herabgesetzt und kostet jetzt 22,44 C (verminderter Grundwert). Wie teuer war das Hemd vorher (ursrünglicher Grundwert)? Um welchen Betrag wurde das Hemd billiger? 12 % 12 % = = 1 0,12 = 0,88 PW Das Hemd kostete ursrünglich 25,50 C. Preissenkung: 25,5 C 22,44 C = 3,06 C 22, = 25,5 C 4.3. Rechnen mit vermehrtem Grundwert Durch Preisaufschlag ergibt sich aus dem ursrünglichen Grundwert (GW) ein neuer, vermehrter Grundwert, den man auch als Prozentwert (PW) verstehen kann. Zu ihm gehört der Prozentsatz % + %. Beisiel: Eine Mieterhöhung von 8 % ergibt einen neuen (vermehrten) Mietreis von 486 C. wie hoch war die Miete ursrünglich? Um wie viel wurde sie erhöht? % + 8 % = 8 = 1 + 0,08 = 1,08 PW Ursrüngliche Miete: 450 C Mieterhöhung: 486 C 450 C = 36 C y = 450 C PW = 9

3 4.4. Zins- und Tilgungslan Zinslan Ein Zinslan wird durch eine monoton wachsende Exonentialfunktion der Form y = k a x mit a > 0 und a 0 beschrieben. Die Exonentialfunktion steigt für jedes a > 1. Die maximale Definitionsmenge einer Exonentialfunktion ist stets I R. Die Funktionswerte sind immer ositiv: \W = IR +. Für einen Zinslan ist es sinnvoll, die Definitionsmenge auf IR + einzuschränken. Wertetabelle für y = 2 x x y = 2 x y = 10 x y =2 x y = 1,5 x Bei einem Zinslan wird der jährliche Zinsertrag dem Kaital zugerechnet. Für ein Kaital K 0 ergibt sich bei einem Zinssatz = 4,5 % folgender Plan: Steigende Exonentialfunktionen Alle Grahen gehen durch den Punkt P (0 1), da stets gilt: a 0 = 1. Zu Beginn: K 0 = = K 0 1,045 0 Nach 1 Jahr: K 1 = K 0 + K 0 0,045 = K 0 (1 + 0,045) = K 0 1,045 1 Nach 2 Jahren: K 2 = K 1 + K 1 0,045 = K 1 (1 + 0,045) = K 0 1,045 2 Nach 3 Jahren: K 3 = K 2 + K 2 0,045 = K 2 (1 + 0,045) = K 0 1,045 3 Nach x Jahren: K(x) = K 0 1,045 x Tilgungslan Ein Tilgungslan wird durch eine monoton fallende Exonentialfunktion der Form y = k a x mit a > 0 und a 0 beschrieben. Die Exonentialfunktion fällt für jedes a < 1. y = 0,1 x a) Einfache Tilgung Die maximale Definitionsmenge einer Exonentialfunktion ist stets I R. Die Funktionswerte sind immer ositiv: \W = IR +. Für einen Zinslan ist es sinnvoll, die Definitionsmenge auf IR + einzuschränken. Wertetabelle für y = 0,5 x x y = 0,5 x Alle Grahen gehen durch den Punkt P (0 1), da stets gilt: a 0 = 1. Bei einem einfachen Tilgungslan wird der jährliche Tilgungsbetrag vom Kaital subtrahiert. die anfallende Verzinsung bleibt dabei unberücksichtigt. Für ein Kaital K 0 ergibt sich bei einem Tilgungssatz = 4,5 % folgender Plan: Zu Beginn: K 0 = = K 0 0,955 0 Nach 1 Jahr: K 1 = K 0 K 0 0,045 = K 0 (1 0,045) = K 0 0,955 1 Nach 2 Jahren: K 2 = K 1 K 1 0,045 = K 1 (1 0,045) = K 0 0,955 2 Nach 3 Jahren: K 3 = K 2 K 2 0,045 = K 2 (1 0,045) = K 0 0,955 3 y = y = 0,5 x 2 3 x Fallende Exonentialfunktionen Nach x Jahren: K(x) = K 0 0,955 x Für k 1 werden die Grahen der Grundfunktionen mit dem Faktor k gestaucht bzw. gestreckt.

4 b) Tilgung mit Annuität Üblicherweise erfolgt die Tilgung einer Schuld jedoch unter Berücksichtigung der Verzinsung bei einem festen Rückzahlungsbetrag (Annuität). Die Annuität ergibt sich aus der anfänglichen Tilgung und dem Zinssatz. Beisiel: werden mit einer Verzinsung von 4,2 % und einer 1%-Tilgung zurückbezahlt. 1. Berechnung der Annuität Anfangskaital Verzinsung Tilgungssatz Annuität ,2 % 1 % Aufstellung des Tilgungslans Kaital Zins Tilgung Restschuld ,00, , ,00 415,80 104, , ,80 411,42 108, ,22

5 4.5. Übungsblatt: Prozent-, Promille-, Zinsrechnung Aufgabe Eine Wohnung wird neu vermietet. Wie viel muss der neue Mieter zahlen, wenn die Wohnungsmiete ursrünglich 525 C betrug und der Vermieter die Miete um 12 % erhöht. 1.2 Bei einer zweiten Wohnung verlangt der Vermieter statt 480 C nun 510 C. Wie hoch war die Mieterhöhung? 1.3 Ein anderer Mieter muss 540 C Miete zahlen. Sie enthält 12 % Steigerung. Wie viel zahlte der Vormieter? Aufgabe Geben Sie alle Formeln in obigem Beisiel an. 2.2 Welche Endbeträge ergeben sich, wenn die erste Einlage (8 000 ; ) beträgt. 2.3 Verändern Sie den Anfangsrämiensatz bei ansonsten gleicher Steigerung auf 3,75 % und geben Sie die zugehörigen Kontostände an. 2.4 Setzen Sie die Sardauer um weitere fünf Jahre fort. Aufgabe Zeichnen Sie die Grahen der Funktionen f 1 mit y = 2x und f 2 mit y = 4x für x [ 2 ; 2] mit x = 0, Auf jeder Parallelen zur x-achse haben die Punkte P 1 f 1 und P 2 f 2 die gleiche Entfernung voneinander wie der Punkt P 2 von der y-achse. Begründen Sie diesen Sachverhalt. 1 f 2 f Lösungen Zu Aufgabe = 588 Der neue Mieter muss 588 zahlen x x = 6,25 Die Mieterhöhung betrug 6,25 %. 540 x x = 482,14 Der Vormieter zahlte 482,14. Zu Aufgabe 2 entsrechend der eigenen Programmierung Zu Aufgabe x 2 1,5 1 0,5 y = 2 x 0,2 0,35 0,5 0,71 y = 4 x 0,06 0,125 0,25 0,5 0 0,5 1 1, ,41 2 2, P 1 (x 1 ) P 2 (x 2 4 x 2 ) P 1 und P 2 liegen auf einer Parallelen zur x-achse, also: = 4 x 2 = (2 2 ) x 2 = 2 2x 2 Daraus folgt: x 1 = 2x 2 x 1 x 2 = x 2 x 1 x 2 = x 2