Die Laufzeit muss nun ebenfalls in Monaten gerechnet werden und beträgt = 300 Monate. Damit liefert die Sparkassenformel (zweiter Teil):

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1 Lösungen zur Mathematikklausur WS 2004/2005 (Versuch 1) 1.1. Hier ist die Rentenformel für gemischte Verzinsung (nachschüssig) zu verwenden: K n = r(12 + 5, 5i p ) qn 1 q 1 = 100(12 + 5, 5 0, 03)1, , 03 = 44352, 70 Am Ende der Einzahlungsperiode ist also ein Guthaben von K 25 = ,70 EUR aufgelaufen Hier gilt die Sparkassenformel, da nun mit einer Zinsperiode von einem Monat gerechnet werden muss und die Zinsperiode damit gleich der Rentenperiode ist. Zunächst wird der konforme Monatszinsfaktor q M berechnet: q M = 12 q = 12 1, 03 = 1, Die Laufzeit muss nun ebenfalls in Monaten gerechnet werden und beträgt = 300 Monate. Damit liefert die Sparkassenformel (zweiter Teil): K n = r qn M , q M 1 = 1 0, Hier ergibt sich ein Kapitalendwert von ,49 EUR. = , 49 bzw ,48 bei genauer Rechnung 2.1. Für den Zusammenhang zwischen der Annuität, der Dauer der Rückzahlung und der Schuld gilt laut Skript: A = Kq n q 1 q n 1 Für die erste Alternative ergibt sich die volle Schuldsumme von EUR, dafür ist der Zinsfaktor mit q =1,02 recht niedrig. Die Laufzeit beträgt für beide Alternativen 4 Jahre. Also ergibt sich: A = , , 02 1, Der jährliche Abtrag beträgt hier 5 252,48 EUR. = 5252, Beim Tilgungsplan ergeben sich die Zinsen aus der Restschuld multipliziert mit 0,02 und die Tilgung aus der Differenz aus Annuität und Zinslast. Die Restschuld verringert sich von Jahr zu Jahr jeweils um die Tilgung: Jahr Restschuld zu Zinsen Tilgung Beginn des Jahres [EUR] [EUR] [EUR] ,00 400, , ,52 302, , ,99 203, , ,47 102, ,49 5-0,02

2 Dass nicht exakt 0 für die Restschuld nach Ende der Laufzeit herauskommt, liegt an Rundungsfehlern aufgrund der Centrundung Im Gegensatz zur ersten Alternative ist die Anfangsschuld hier um 8% reduziert, beträgt also nur 92% EUR = EUR. Dafür ist der Zinsfaktor mit q =1,06 höher. Also ergibt sich: A = , , 06 1, = 5310, 08 Der jährliche Abtrag ist etwas höher und beträgt 5 310,08 EUR. 3. Die beim Tip angegebene Formel war nicht ganz korrekt. Sich daraus ergebende Folgefehler werden Ihnen nicht negativ angerechnet. Korrekt lautet die Formel: 3 a + b 3 a = b 3 (a + b) a(a + b) + 3 a 2 Der Differentialquotient wird nach der Definition aus dem Vorlesungsskript berechnet: d( 3 x) dx x0 = lim h 0 = lim h 0 3 x0 + h 3 x 0 3 h h (x 0 +h) x 0 (x 0 +h)+ 3 x 2 0 h = lim (x 0 + h) 2 + x 3 0 (x 0 + h) + 3 = 1 h x x 0 x = x Zunächst soll die Preis-Absatz-Funktion anhand der zwei bekannten Datenpunkte bestimmt werden. Dabei sei N die Anzahl der täglich verkauften Portionen und p V K der Verkaufspreis. N = mp V K + b, N(2,5) = 40, N(3) = 30 Setzt man die Datenpunkte in die lineare Gleichung ein, so ergibt sich ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten: x 2 0 x = m 2,5 + b, 30 = m 3 + b Subtraktion 10 = m 0,5 m = 20 Einsetzen in II b = 90 N = 20p V K + 90 Nun sollen die täglichen Kosten betrachtet werden. Sie ergeben sich aus dem Einkaufspreis p EK multipliziert mit der Anzahl der täglich verkauften Portionen, weil keine Fixkosten zu berücksichtigen sind: K(N) = Np EK = 1, 5 N

3 Sollen die Kosten in Abhängigkeit des Preises bestimmt werden, so ist die Preis-Absatz- Beziehung einzusetzen: K(p V K ) = 1, 5 ( 20p V K + 90) = 30p V K Der tägliche Umsatz U resultiert aus dem Verkauf der Portionen: U = Np V K Der Umsatz hängt also von zwei Unbekannten ab, die über die Preis-Absatz-Beziehung zusammenhängen. Um den Umsatz ausschließlich durch p V K auszudrücken, muss für N wiederum der Preisterm eingesetzt werden: Eingesetzt in die Umsatzgleichung ergibt das: U(p V K ) = ( 20p V K + 90)p V K = 20p 2 V K + 90p V K 4.3. Der Gewinn ergibt sich aus der Differenz des Umsatzes und der Kosten: G(p V K ) = 20p 2 V K + 90p V K ( 30p V K + 135) = 20p 2 V K + 120p V K 135 Zur Ermittlung des Gewinnmaximums wird der Gewinn nach N abgeleitet und die Ableitung 0 gesetzt: G (p V K ) = 40p V K = 0 p V K = 3 Um zu testen, ob bei einem Preis von 3 EUR tatsächlich ein Gewinnmaximum vorliegt, wird das Vorzeichen der zweiten Ableitung untersucht: G (3) = 40 < 0 Maximum f x = 2x2 + 2xy, f y = x2 1 (I) 2x 2 + 2xy = 0, (II) x 2 1 = 0 x 1 = 1, x 2 = 1 Die zugehörigen y-werte werden dadurch ermittelt, dass x 1 und x 2 in die erste Gleichung eingesetzt werden: (I) 2x 2 + 2xy = y 1 = 0 y 1 = 1, 2 2y 2 = 0 y 2 = 1 Es gibt also zwei stationäre Punkte: (x S1,y S1 ) = (1, 1) und (x S2,y S2 ) = ( 1, 1) Die zweiten partiellen Ableitungen werden ausgehend von den bereits bekannten ersten Ableitungen berechnet: 5.4. Die Hessematrix lautet entsprechend: x 2 = x (2x2 + 2xy) = 4x + 2y x y = y (2x2 + 2xy) = 2x y x = x (x2 1) = 2x y 2 = y (x2 1) = 0

4 H = x 2 y x x y y 2 = 4x + 2y 2x 2x 0 Hier sind noch die Koordinaten der 2 stationären Punkte einzusetzen. Das geschieht in der nächsten Teilaufgabe Nun müssen die Charaktere dieser Punkte mit Hilfe der Hessematrix überprüft werden. Das kann für jeden Punkt mit Hilfe des Hurwitz-Kriteriums bewerkstelligt werden. Für Punkt (1, 1) ergibt sich: H = 2 2 H 11 = 2 > 0, 2 0 H 11 H 12 H 21 H = = 4 < 0 Die Vorzeichenfolge +, - zeigt, dass hier kein Extremum vorliegt. Für Punkt ( 1, 1) ergibt sich: 2 2 H 11 H 12 H = H 11 = 2 < 0, 2 0 H 21 H = 22 Die Vorzeichenfolge -, - zeigt, dass hier kein Extremum vorliegt = 4 < Die Matrix A wird zusammen mit der Einheitsmatrix in ein Tableau übertragen, und es wird das Gaußverfahren durchgeführt: Normierung entfällt I Auf-Null-Bringen des A 21 -Koeffizienten I Auf-Null-Bringen des A 31 -Koeffizienten ( 1/2) Normierung des A 22 -Eintrags auf II Auf-Null-Bringen des A 12 -Koeffizienten /2 1/ II Auf-Null-Bringen des A 32 -Koeffizienten /2 3/ /2 1/ /2 3/2 1 1/2 Normierung des A 33 -Eintrags auf /2 3/2 0 + III Auf-Null-Bringen des A 13 -Koeffizienten /2 1/2 0 2 III Auf-Null-Bringen des A 23 -Koeffizienten /4 3/4 1/ /4 3/4 1/ /4 3/4 1/2 Die Inverse ist also:

5 A 1 = 1/4 3/4 1/ /4 3/4 1/ Zur Ermittlung der Grenzgeraden werden die Ungleichungen in Gleichungen umgesetzt, nach x 2 aufgelöst und jeweils in eine Wertetabelle übertragen. Für die erste Ungleichung ergibt sich: x 1 + x 2 = 13 x 2 = 13 x 1 Daraus kann man z.b. folgende Wertetabelle ermitteln: x x Aus der zweiten Ungleichung ergibt sich die Grenzgleichung: Eine passende Wertetabelle ist: 2x 1 + x 2 = 22 x 2 = 22 2x 1 x x Die letzte Ungleichung liefert die Grenzbedingung und die Wertetabelle: x 1 + 2x 2 = 20 x 2 = x 1 x x Die sich aus den Wertetabellen ergebenden Punkte werden dann in die Grafik eingezeichnet und jeweils durch eine Gerade verbunden. Nun muß noch mindestens eine Niveaulinie für die z-funktion eingezeichnet werden. Als Niveauwert kann man z.b. 12 wählen: Als mögliche Wertetabelle ergibt sich: Insgesamt ergibt sich folgendes Bild: z = 2x 1 + 3x 2 = 12, x 2 = x 1 x x 2 4 0

6 Die optimale Lösung liegt also x 1 = 6, x 2 = 7. Der maximale z-wert beträgt Zuerst werden die Ungleichungen mit Hilfe von Schlupfvariablen zu Gleichungen umgeformt: x 1 + x 2 + u 1 = 13 2x 1 + x 2 + u 2 = 22 x 1 + 2x 2 + u 3 = 20 z 2x 1 3x 2 = 0 mit x 1,x 2,u 1,u 2,u 3 0 Dieses Gleichungssystem wird in ein Simplex-Tableau übertragen, und es werden alle Simplex- Verfahrensschritte solange durchgeführt, bis in der z-zeile keine negativen Zahlen mehr auftreten.

7 x 1 x 2 u 1 u 2 u 3 b Θ Θ min, 1/ II 1 1/2 0 1/ II II 0 1/2 1 1/ Θ min, 2 1 1/2 0 1/ /2 0 1/ /2 0 1/ /2 I 0 3/2 0 1/ /2 I I Θ min, III III III x 2 = x 1 = u 2 = z = 33 Das Endergebnis inklusive der Schlupfvariablen lautet also: x 1 = 6, x 2 = 7, u 1 = 0, u 2 = 3, u 3 = 0, z = 33 Alternativ kann das Simplexverfahren im ersten Schritt auch mit der Optimierungsvariablen x 2 durchgeführt werden. Dann ergibt sich folgender Berechnungsverlauf:

8 x 1 x 2 u 1 u 2 u 3 b Θ Θ min, 1/ III III 1/ / III 1/ /2 3 6 Θ min, 2 3/ / / / / / / /2 12 3/2 I 1/ /2 10 1/2 I 1/ / /2 I x 1 = u 2 = x 2 = u 2 = 33