Güte von Tests. die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art bei der Testentscheidung, nämlich. falsch ist. Darauf haben wir bereits im Kapitel über

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1 Güte von s Grundlegendes zum Konzept der Güte Ableitung der Gütefunktion des Gauss im Einstichprobenproblem Grafische Darstellung der Gütefunktionen des Gauss im Einstichprobenproblem Ableitung der Gütefunktion des s auf p Grafische Darstellung der exakten Gütefunktionen des s auf p Grafische Darstellung der approximativen Gütefunktionen des s auf p Ableitung der Gütefunktion des s auf Varianz im Einstichprobenproblem Grafische Darstellung der exakten Gütefunktionen des s auf Varianz Übungen zur Güte von s Grundlegendes zum Konzept der Güte Wir haben uns bislang bei der Durchführung von s auf den Fehler 1. Art bzw. auf die Wahrscheinlichkeit für diesen Fehler beschränkt: Die Wahrscheinlichkeit, die Hypothese abzulehnen, obwohl sie richtig ist. Neben diesem Fehler 1. Art gibt es die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art bei der entscheidung, nämlich anzunehmen, obwohl falsch ist. Darauf haben wir bereits im Kapitel über Fehlerwahrscheinlichkeiten hingewiesen. Wir werden im Folgenden aber nicht den Fehler 2. Art bei einzelnen s untersuchen, sondern die dazu komplementäre korrekte Entscheidung, nämlich die Hypothese abzulehnen, wenn nicht zutrifft, sondern die Gegenhypothese. Die Wahrscheinlichkeit für eine solche korrekte Entscheidung wird als Güte eines s bezeichnet. Sie ist dann die komplementäre Wahrscheinlichkeit zur Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art. Und es ist unmittelbar einleuchtend, dass einem für dieselbe Hypothese und für eine festgelegte Gegenhypothese vorzuziehen ist, wenn eine größere Güte als hat oder damit gleichbedeutend, wenn für die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art kleiner ist als für. Page 1

2 Betrachten wir ein Beispiel aus dem Kapitel zum auf p mit den zu testenden Hypothesen. Was bedeutet es, abzulehnen, wenn wächst bei konstantem und n? Wie ändert sich dann die Güte? Und wie ändert sich die Güte bei festem, aber variierendem n oder? Auf diese Fragen wird im folgenden Modul eine Antwort gegeben werden. Es wird nun die Güte verschiedener s für einige in den jeweiligen kapiteln betrachteten Beispiele untersucht. In einigen Fällen können wir die zugehörige Gütefunktion als Funktion der Parameter aus der Gegenhypothese exakt bzw. asymptotisch herleiten, in anderen Fällen sind wir auf Simulationen zur Berechnung der Güte angewiesen. Wir beginnen der Einfachheit halber mit dem Gauss-. Ableitung der Gütefunktion des Gauss im Einstichprobenproblem Es seien normalverteilte Zufallsvariablen mit, und, kurz bekannt. Zu testen sei: A B C Hypothesen Als Entscheidungsregeln für die drei probleme ergaben sich Ablehnbereich, bzw. über die Prüfgröße : A B C oder Page 2

3 wobei gilt:. Wir wollen die Berechnung der Gütefunktion, die wir mit bezeichnen wollen, am Beispiel des A verdeutlichen; für die anderen beiden s geben wir die Gütefunktion am Ende dieses Abschnitts an. Gütefunktion für A A: Sei, ein fester Wert der Gegenhypothese. Dann ist standardnormalverteilt. Damit ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit entscheidung zu A: abzulehnen, wenn : richtig ist, mit Hilfe der obigen = = = So ist in einem Beispiel im kapitel zum Gauss- für,,, und = =0.8037, d.h. die Wahrscheinlichkeit für die korrekte Entscheidung, abzulehnen, wenn, ist gleich Gütefunktion für B B:... Page 3

4 So ist in einem Beispiel im kapitel zum Gauss für,,, und : = =0.7227, d.h. die Wahrscheinlichkeit für die korrekte Entscheidung, abzulehnen, wenn, ist gleich Gütefunktion für C C:. Grafische Darstellung der Gütefunktionen des Gauss im Einstichprobenproblem Die Gütefunktionen für die einzelnen s A, B und C werden nun grafisch bei variablen,, und Stichprobenumfang n dargestellt. Damit sollen die unterschiedlichen Verläufe bei den einseitigen s A und B und dem zweiseitigen C veranschaulicht werden. Weiterhin soll demonstriert werden, dass mit wachsendem, und größerer Distanz von die Güte zunimmt. Zuerst werden die Auswirkungen von Veränderungen von demonstriert, wobei stets,, und angenommen wird. Es ist klar, dass ist. Wir werden sehen, dass mit zunehmender Distanz zwischen und ein Anwachsen der Güte zu beobachten ist, was natürlich verständlich ist. In den weiteren Analysen werden noch und variiert Grafische Darstellung der Gütefunktion für A bei Änderung von My Page 4

5 Grafische Darstellung der Gütefunktion für B bei Änderung von My Güte für B Grafische Darstellung der Gütefunktion für C bei Änderung von My Grafische Darstellung der Gütefunktion für A/B bei Änderung von n mit My1=105 /B Grafische Darstellung der Gütefunktion für C bei Änderung von n mit My1=105 bzw. My1=98 Grafische Darstellung der Gütefunktion für A/B bei Änderung von Sigma mit My1=105 /B Grafische Darstellung der Gütefunktion für C bei Änderung von Sigma mit My1=105 Grafische Darstellung der Gütefunktion für A/B bei Änderung von My und bei Veränderungen von Alpha (0.05, 0.2,0.3) /B Grafische Darstellung der Gütefunktion für C bei Änderung von My und bei Veränderungen von Alpha (0.01, 0.05, 0.1) Eine Veranschaulichung der Gütefunktionen findet sich auch im Applet Güte (c2b.jar). Ableitung der Gütefunktion des s auf p Zunächst wird die Gütefunktion der Prüfgröße T für den auf p exakt über die Binomialverteilung bestimmt. Die Hypothesen lauteten: Hypothesen A Page 5

6 . B. C. Als Entscheidungsregeln für die obigen drei probleme ergeben sich damit: A B Ablehnbereich oder C Bestimmung der exakten Gütefunktion Unter der Hypothese ist die Prüfgröße T binomialverteilt mit Parametern n und, unter der Hypothese ist T binomialverteilt mit Parametern n und p mit. Damit ergibt sich für die Gütefunktion bei den einzelnen s: A B C Ablehnbereich = mit = mit =+ mit Es ist klar, dass ist. Bestimmung der approximativen Gütefunktion Page 6

7 Nach dieser Bestimmung der exakten Gütefunktion des p-s wird nun die approximative Gütefunktion über die approximative Verteilung der Prüfgröße T bestimmt, siehe das Kapitel zum auf p: Die standardisierte Prüfgröße ist für beliebiges p approximativ N(0,1)-verteilt. Damit ergibt sich für die (approximative) Gütefunktion : A Gütefunktion, B, C, Wir wollen noch an einem Beispiel einen Vergleich der exakten mit der approximativen Güte vornehmen. Zu testen sei, d.h. ( A). Wir wählen, n=100 und als Parameter der Alternativhypothese bzw.. Exakte Güte: Zunächst ist (mit und damit Approximative Güte: Wir sehen, dass die Approximation der Güte als gut angesehen werden kann. Es ist klar, dass diese Approximation mit wachsenden n noch besser wird; und erst recht dann, wenn ist (symmetrischer Fall wie beim Münzwurf). Grafische Darstellung der exakten Gütefunktionen des s auf p Die Gütefunktionen für die einzelnen s A, B und C werden nun grafisch dargestellt Page 7

8 und, um zu demonstrieren, dass mit wachsendem, und größerer Distanz von die Güte zunimmt. Grafische Darstellung der exakten Gütefunktion für A bei Änderung von p mit p0=0.18, n=1000 und Alpha=0.05. Grafische Darstellung der exakten Gütefunktion für B bei Änderung von p mit p0=0.03, n=1000 und Alpha=0.05. Güte für B Grafische Darstellung der exakten Gütefunktion für C bei Änderung von p mit p0=0.5, n=1000 und Alpha=0.05. Grafische Darstellung der exakten Gütefunktion für A/B am Beispiel von A bei Änderung von n, mit p0=0.18, p1=0.15 und Alpha=0.05. Grafische Darstellung der exakten Gütefunktion für C bei Änderung von n mit p0=0.5, p1=0.53, p1=0.48 und Alpha=0.05 Grafische Darstellung der exakten Gütefunktion für A/B am Beispiel von A bei Veränderung von p und von Alpha (0.01,0.05,0.1) mit p0=0.18: Grafische Darstellung der exakten Gütefunktion für C bei Veränderung von p und von Alpha (0.01, 0.05, 0.1) mit p0=0.5 Grafische Darstellung der approximativen Gütefunktionen des s auf p Die Gütefunktionen für die einzelnen s A, B und C werden nun grafisch dargestellt mit variablen und, um zu demonstrieren, dass mit wachsendem, und größerer Distanz von die Güte zunimmt. Grafische Darstellung der approximativen Gütefunktion für A bei Änderung von p mit n=1000, p0=0.18 und Alpha=0.05 Um zu demonstrieren, wie die Approximation bei kleinen Stichproben arbeitet, wird die Page 8

9 folgenden Darstellung herangezogen. Grafische Darstellung der approximativen Gütefunktion für A bei Änderung von p mit n=50, p0=0.18 und Alpha=0.05 Grafische Darstellung der approximativen Gütefunktion für B bei Änderung von p mit n=1000, p0=0.03 und Alpha=0.05 Güte für B Um zu demonstrieren, wie die Approximation bei kleinen Stichproben arbeitet, wird die folgenden Darstellung herangezogen. Grafische Darstellung der approximativen Gütefunktion für B bei Änderung von p mit n=50, p0=0.03 und Alpha=0.05 Güte für B Grafische Darstellung der approximativen Gütefunktion für C bei Änderung von p für p0=0.5, n=1000 und Alpha=0.05. Um zu demonstrieren, wie die Approximation bei kleinen Stichproben arbeitet, wird die folgenden Darstellung herangezogen. Grafische Darstellung der approximativen Gütefunktion für C bei Änderung von p für p0=0.5, n=50 und Alpha=0.05. Grafische Darstellung der approximativen Gütefunktion für A/B am Beispiel von A bei Änderung von n für p0=0.18, p1=0.15 und Alpha=0.05 Güte für Text A Grafische Darstellung der approximativen Gütefunktion für C bei Änderung von n für p0=0.5, p1=0.6 und Alpha=0.05 Grafische Darstellung der approximativen Gütefunktion für A/B am Beispiel von A bei Änderung von p und Veränderung von Alpha (0.01, 0.05, 0.1) mit p0=0.18 und n=1000 Grafische Darstellung der approximativen Gütefunktion für C bei Änderung von p und Veränderung von Alpha (0.01, 0.05, 0.1) mit p0=0.5 und n=1000 Page 9

10 Ableitung der Gütefunktion des s auf Varianz im Einstichprobenproblem Wir betrachten folgende Annahmen, siehe das kapitel zum auf. Es seien normalverteilte Zufallsvariablen mit, und, kurz Folgende Hypothesen können dann getestet werden: A B C Hypothesen Wir betrachten hier nur den (realistischen) Fall, dass unbekannt ist und damit die Prüfgröße. Diese Prüfgröße ist unter mit Freiheitsgraden. Die kritischen Werte werden also über die mit Freiheitsgraden bestimmt. Als Entscheidungsregeln für die obigen drei probleme ergeben sich somit bei vorgegebenem niveau : A B C Hypothesen Das ist gleichbedeutend damit, dass Das ist gleichbedeutend damit, dass oder Das ist gleichbedeutend damit, dass oder Unterhat eine Verteilung mit n-1 FG. Damit ergibt sich für die Gütefunktionen Beta bei den s A, B und C: Gütefunktion A = B = C =+ Wir wollen die Berechnung der Güte des s auf an einem Beispiel demonstrieren Page 10

11 Beispiel für die Anwendung der Gütefunktion für den A : Sei und, d.h.. Für ergibt sich: == Für ergibt sich: == Grafische Darstellung der exakten Gütefunktionen des s auf Varianz Die Gütefunktionen für die einzelnen s A, B und C werden nun grafisch dargestellt mit variablen und, um zu demonstrieren, dass mit wachsendem, und größerer Distanz von die Güte zunimmt. Grafische Darstellung der Gütefunktion für A bei Änderung von Sigma, wobei gilt Sigma-quadrat0=0.025 quadrat, n=16 und Alpha=0.05 Grafische Darstellung der Gütefunktion für B bei Änderung von Sigma mit Sigma-quadrat0=0.25, n=16 und Alpha=0.05 Güte für B Grafische Darstellung der Gütefunktion für C bei Änderung von mit Sigma-quadrat0=100, n=16 und Alpha=0.05 Grafische Darstellung der Gütefunktion für A/B am Beispiel von A bei Änderung von n mit Sigma-quadrat0=0.025 quadrat, Sigma-quadrat1= und Alpha=0.05 Grafische Darstellung der Gütefunktion für C bei Änderung von n mit Sigma-quadrat0=100 quadrat, Sigma-quadrat1=144 und Alpha=0.05 Grafische Darstellung der Gütefunktion für A/B am Beispiel von A bei Veränderung von Sigma mit Sigma-quadrat0= , n=16 und Änderungen von Alpha (0.01, 0.05, 0.1) Grafische Darstellung der Gütefunktion für C mit Sigma-quadrat0=100, n=9, bei Änderungen von Sigma und Veränderungen von Alpha (0.01, 0.05, 0.1) Page 11

12 Übungen zur Güte von s Multiple-Choice-Aufgaben (Genau eine der vier Alternativen ist richtig.) Aufgabe 1: Die Güte eines s ist definiert als die Wahrscheinlichkeit dafür, (a) anzunehmen, wenn richtig ist, (b) anzunehmen, wenn falsch ist, (c) abzulehnen, wenn richtig ist, (d) abzulehnen, wenn falsch ist. Aufgabe 2: Für den exakten auf mit Hilfe der binomialverteilten statistik T gilt: (a) Die Güte wächst mit abnehmendem, (b) die Güte fällt mit wachsendem Stichprobenumfang, (c) die Güte fällt mit abnehmendem, (d) die Güte strebt 1, falls p strebt. Aufgabe 3: Für den Gauss- auf bei bekanntem gilt: (a) Die Güte ist für größer als für, (b) die Güte ist für größer als für, (c) die Güte ist für größer als für, (d) die Güte ist für größer als für falls ist. Aufgabe 4: Für den auf gilt: (a) Die Güte ist für kleiner als für (b) die Güte fällt mit abnehmendem, falls (c) die Güte ist für gleich der Güte für falls ist, (d) die Güte strebt, falls strebt. Aufgabe 5: Zu testen sei. (a) Berechnen Sie die exakte Güte des s für n=20, und p=0.25, p=0.15. (b) Berechnen Sie die exakte Güte des s für n=75, und p=0.25, p=0.15. (c) Berechnen Sie die approximative Güte des s für n=20, und p=0.25, p=0.15. (d) Berechnen Sie die approximative Güte des s für n=75, und p=0.25, p=0.15. Aufgabe 6: Page 12

13 Zu testen sei: bei bekanntem. (a) Berechnen Sie die Güte des s für n=10, und,. (b) Berechnen Sie die Güte des s für n=20, und,. (c) Berechnen Sie die Güte des s für n=10, und,. (d) Berechnen Sie die Güte des s für n=20, und,. Aufgabe 7: Zu testen sei: bei unbekanntem (a) Berechnen Sie die Güte des s für n=20, und,, (b) Berechnen Sie die Güte des s für n=50, und,, (c) Berechnen Sie die Güte des s für n=20, und,, (d) Berechnen Sie die Güte des s für n=50, und,. Aufgabe 8: Zu testen sei: unbekannt. Simulieren Sie kritische Werte der t-statistik für, n=20 und die Güte des t-s für und und für Daten aus einer (a) Standardnormalverteilung, (b) Standardisierten Doppelexponentialverteilung (c) Gleichverteilung über. (d) Wiederholen Sie die Simulation für n=50. Aufgabe 9: Zu testen sei:, unbekannt. Simulieren Sie kritische Werte der Statistik für, n=20 und die Güte des s für und und für Daten aus einer (a) Standardnormalverteilung, (b) Standardisierten Doppelexponentialverteilung (c) Gleichverteilung über. (d) Wiederholen Sie die Simulation für n=50. approximative Gütefunktion Erklärungexakten Gütefunktion ErklärungFehler 1. Art ErklärungFehler 2. Art ErklärungGegenhypothese ErklärungGüte ErklärungGütefunktion (c) Projekt Neue Statistik 2003, Freie Universität Berlin, Center für Digitale Systeme Kontakt: Page 13