Grundprinzipien der funktionalen Programmierung

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1 Grundprinzipien der funktionalen Programmierung

2 Funktionen haben keine Seiteneffekte Eine Funktion berechnet einen Ausgabewert der nur von den Eingabewerten abhängt: 12 inputs + output

3 Nicht nur Zahlen, auch Bilder A function to flip a picture in a vertical mirror: input flipv output 3

4 Mehr Funktionen auf Bildern A function to invert the colours in a picture: invertcolour 4

5 Mehr Funktionen auf Bildern A function to superimpose two pictures: superimpose 5

6 Mehr Funktionen auf Bildern A function to put one picture above another: above 6

7 Mehr Funktionen auf Bildern A function to put two pictures side by side: sidebyside 7

8 Typen Ein Typ ist eine Menge von Werten, wie Zahlen oder Bilder. Auf alle Werte eines Typs sind die gleichen Funktionen anwendbar: Wir können zwei Zahlen addieren, nicht aber eine Zahl und ein Bild oder zwei Bilder. 8

9 Alles hat einen Typ Werte haben Typen: true : bool 1 : int Funktionen haben Typen: + : int -> int -> int above: picture -> picture -> picture 9

10 Klammerung von Typen Implizite Klammerung: T1 -> T2 -> T = T1 -> (T2 -> T) + : int -> int -> int + : (int -> int) -> int integrate: (real -> real) -> real -> real -> real integrate: real -> real -> real -> real -> real 10

11 Auswertung von Ausdrücken durch Termersetzung Ausdruck (7-3)+ 2 (7-3) Auswertung Wert

12 sidebyside (invertcolour ) sidebyside Auswertung mit Bildern 12

13 Auswertungsstrategien f x = 1 g x = g x Eager evaluation / Call-by-value / Eifrige Auswertung: f(g 1) => f(g 1) =>... Prinzip: Zuerst die Parameter, dann die Funktion Lazy evaluation / Call-by-need / Verzögerte Auswertung: f(g 1) => 1 Prinzip: Parameter erst, wenn sie gebraucht werden 13

14 Auswertungsstrategien Wenn eifrige Auswertung terminiert, dann auch verzögerte Auswertung, und beide berechnen den gleichen Wert. SML: Eager evaluation Haskell: Lazy evaluation 14

15 Ausdrücke (Terme) Ein Ausdruck ist entweder atomar (z.b. x, true, 42) oder zusammengesetzt: f a1... an wobei f, a1,..., an Ausdrücke passenden Typs sind: f : T1 ->... -> Tn -> T ai : Ti 15

16 Klammerung von Ausdrücken Implizite Klammerung: f a b = (f a) b Funktionsanwendung ist nach links geklammert sin cos pi = (sin cos) pi sin(cos pi) integrate sin pi = (integrate sin) pi integrate (sin pi) 16

17 Präfix und Infix Infix: 3+4 ist Abkürzung für Präfix bindet stärker als Infix: f x+1 = (f x)

18 Funktionale Programmierung in SML

19 The Web page... SML distributions and documentation. Background material: books, FAQs, etc... 19

20 Wertedefinitionen in SML Allgemeines Format: val name = expression Beispiele: val null = 0+0; val Horse = above horse horse; 20

21 Funktionsdefinitionen in SML Einfaches Format: fun name x1... xn = expression Beispiel: fun sum n = if n=0 then 0 else n+sum(n-1); 21

22 Funktionsdefinitionen in SML Mit Pattern Matching: fun name pat... pat = expression name pat... pat = expression... Beispiel: fun sum 0 = 0 sum n = n + sum(n-1) Reihenfolge der Gleichungen wichtig! 22

23 Lokale Definitionen: let let val x = 42 in x+x end => => 84 let fun f x = x+1 in f(f 5) end... => 7 23

24 Typen in SML

25 Typinferenz SML berechnet automatisch den Typ jedes Ausdrucks val x = 42; >... : int fun f x = x+1; >... : int -> int 25

26 Polymorphismus Der Typ einer Funktion kann Typvariablen enthalten: a, b, name Ein solcher Typ heisst polymorph. fun f x = x; >... : a -> a f 5; > 5 : int f true; > true : bool 26

27 Polymorphismus fun S x y z = (x z) (y z); Was ist der Typ der Funktion? Typinferenz berechnet den allgemeinsten Typ. Polymorphismus ist ein Abstraktionsprinzip. 27

28 Basistypen bool int, real char, string 28

29 Booleans Everything is true or false 29

30 Vordefinierte Boolesche Operatoren if x:bool then y:t else z:t a andalso b = if a then b else false a orelse b = if a then true else b not a = if a then false else true 30

31 Beispiel Pattern Matching fun xor true true = false xor false true = true xor true false = true xor false false = false; 31

32 Arithmetik: int und real 42 : int 42.0 : real Funktionen: ~ + - * / div mod... Vergleiche: < <= > >= Infix syntax: Präfix syntax: op + (3,4) op + : int * int -> int 32

33 Überladung Die meisten vordefinierten Operatoren (+,..., <,...) sind überladen, dh sowohl für int als auch real definiert. Benutzerdefinierte Funktionen dürfen nicht überladen sein: fun doppel x = x+x; > Fehlermeldung wg Überladung fun doppeli(x:int) = x+x; fun doppelr(x:real) = x+x; 33

34 Primitive Rekursion auf int Ein Schema oder Schablone: fun f 0 =... f n =... f(n-1)... Beispiel: 2er Potenzen. fun power2 0 = 1 power2 n = 2 * power2 (n-1); 34

35 Wie viele Teile nach n Schnitten? 35

36 Wie viele Teile nach n Schnitten? 0 Schnitte: 1 Teil. Mit dem n-ten Schnitt erhält man n weitere Teile: fun pieces 0 = 1 pieces n = pieces(n-1) + n; 36

37 Nicht alles ist primitiv rekursive fun ggt 0 n = n ggt m n = ggt (n mod m) m; 37

38 Characters Letters, digits and special characters. Literal characters are: #"a" Special characters are: #"\n" #"\t" #"\\" #"\" newline tab backslash double quote 38

39 Characters und strings "This is a string" : string Standardfunktionen: explode: string -> char list implode: char list -> string chr :: int -> char ord :: char -> int 39

40 Paare und Tupel (1,2) : int * int (1,2,true) : int * int * bool (1,(2,true)) : int * (int * bool) ((1,2),true) : (int * int) * bool fun fst(x,y) = x; fun snd(x,y) = y; fun swap(x,y) = (y,x); fun pair x = (x,x); 40

41 Listen T list: Listen von Element des Typs T Leere Liste: [] Cons : x :: xs Endliche Liste: [1,2,3] = 1::2::3::[] = 1::(2::(3::[])) 41

42 Zusammenfassung: Typen Τ ::= bool int... T * T T list (T,...,T)Typkonstruktor T -> T (T) Typvariable 42

43 Gleichheit op = : a * a -> bool a ist eine Typvariable über Gleichheitstypen. Gleichheitstypen sind (in erster Näherung) alle Typen ohne ->. 1 = 1 : bool not = not : Typfehler 43

44 Funktionen

45 Partielle Anwendung Sei f: T1 -> T2 -> T und a1:t1. Dann ist f a1 : T2 -> T eine partielle Anwendung. Bsp: Gegeben parser : grammar -> string -> bool Cgram : grammar kann man definieren val Cparser = parser Cgram > Cparser : string -> bool 45

46 Currying (nach Haskell B. Curry) fun f x y =... > : T1 -> T2 -> T fun f(x,y) =... > : T1 * T2 -> T f ist curried f ist gepaart 46

47 Funktionen höherer Stufe = Funktionen als Parameter integrate: (real -> real) ->... sort: ( a -> a -> bool) ->

48 Funktionen als Werte Lambda Kalkül: λx.e SML: fn x => e : T -> U falls x:t und e:u x ist formaler Parameter e ist Funktionskörper, d.h. Resultat Bsp: fn x => x+1 : int -> int (fn x => x+1) 41 => 42 48

49 fun, fn und val Parameter kann man von links nach rechts verschieben: fun f x y = e fun f x = fn y => e ist äquivalent zu fun ist val rec: fun g x = e val rec g = fn x => e ist äquivalent zu 49

50 Programmierung, Spezifikation und Verifikation mit Listen

51 Primitive Rekursion auf list Ein Schema oder Schablone: fun f [] =... f (x::xs) =... f xs... Beispiel: fun length [] = 1 length (x::xs) = length xs + 1; 51

52 Wichtige Funktionen auf Listen fun ys = ys ys = x :: ys); fun concat [] = [] concat(xs::xss) = concat xss; Informell: concat [xs1,...,xsn] xsn fun rev [] = [] rev (x::xs) = rev [x]; 52

53 map und filter fun map f [] = [] map f (x::xs) = f x :: map f xs Informell: map f [x1,...,xn] = [f x1,...,f xn] fun filter p [] = [] filter p (x::xs) = if p x then x :: filter p xs else filter p xs 53

54 Taking and... fun take n [] = [] take n (x:xs) = if n <= 0 then [] else x :: take (n-1) xs; fun takewhile p [] = [] takewhile p (x:xs) = if p x then x :: takewhile p xs else []; 54

55 ... dropping Analog: drop : int -> a list -> a list dropwhile : ( a -> bool) -> a list -> a list 55

56 Zipping fun zipwith f (x::xs) (y::ys) = f x y :: zipwith f xs ys zipwith _ = []; Anwendung: zipwith??? [x1,...] [y1,...] = [(x1,y1),...] zipwith??? [x1,...] [y1,...] = [x1+y1,...] 56

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