Simple Solvency. Ein Solvenzmodell für deutsche Lebensversicherer. Holger Bartel

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1 Simple Solvency Ein Solvenzmodell für deutsche Lebensversicherer Holger Bartel

2 Simple Keine Simulation Keine Cashflows Keine Zeitschrittigkeit Aber: Komplexe Interaktion der Inputparameter

3 Solvency Orientierung an Solvency II, aber Abweichungen z. B. bei Risikomarge und Surplus Fund Ökonomische Marktwertbilanz Einjährige Risiken zu 0,5%

4 Input Ca. 20 Parameter des Lebensversicherers: HGB-Bilanzwerte Durationen Asset Allocation Ca. 20 Markt-Parameter: Zins Volatilitäten

5 Garantien und Optionen Garantie ist finanzmathematisch ein Put Geschlossene Formel anstatt Simulation Neu: Puffer Put anstatt Austauschoption Vorteil Nutzung der HGB-Puffer Optimale Aktienquote und Durationslücke positiv, wie in Realität

6 SCR Wertschwankungsansatz SII Quote = ASM/SCR Wertschwankungsansatz im Holistic Balance Sheet: SCR = ASM

7 SCR Multistress Ein diversifizierter Multistress anstatt korrelierte Einzelstresse Vorteil: keine Mehrfachnutzung der Puffer Kapitalanforderung nach Diversifikation SCR Brutto = SCR Zins + SCR Kredit + SCR AI +SCR VT + SCR Op Diversifizierte Einzelrisiken durch Schrumpfung mit Diversifikationsfaktor

8 SCR Einzelrisiken SCR Zins = SCR ALM + SCR VNO + SCR Kredit = div creditrisk 0 FI 0 SCR AI = div airisk Aktien 0 + SCR VT = div vtrisk HGBDR D VT,0 SCR Op = oprisk HGBDR Der Index 0 steht für die Größe vor Stress

9 SCR Zins ALM-Risiko aus Durationslücke SCR ALM = r ( Garantie 0 D VT r 0 + r +FI 0 D FI r 0 + r ) VN-Option auf Storno / Kapitalabfindung SCR VNO = VNO mit VNO = s PBWR und Stornoquote 2 s = s min + s max s min N r; μ VNO + mrz; σ VNO mit Zins steigt s, PBWR, VNO

10 Zinsprozess Vasicek Zinsprozess dr t = mr ufr r t dt + σ Vasicek dw t Zins r ist normalverteilt, kann negativ werden Mean Reversion mr, Ultimate Forward Rate ufr r = div (q r r 0 ) mit Quantil q r = r 0 e mr + ufr 1 e mr ± 2,58 σ Zins

11 Aktien- und Immobilienprozess geometrische Brownschen Bewegung S t = e m Aktie t+σ Aktie W t airisk = 1 q S

12 Kreditrisiko Vasicek Vasicek Kreditrisikoverteilung defaultrisk = LGD N N 1 pd + ρ Kredit 2,58 1 ρ Kredit Annahme: diversifiziertes Portfolio, mit Ausfallwahrscheinlichkeit pd und Loss Given Default LGD

13 Kreditrisiko Basel II Basel II creditrisk = defaultrisk mf = defaultrisk + spreadrisk mit Maturity Faktor 1+ rlz 2,5 b mf = 1 1,5 b und b abhängig von pd Versicherer können den spread verdienen spread = LGD pd mf 1

14 Marktwertbilanz Überblick

15 Marktwertbilanz Assets = Aktien + FI + FLV + EK = EK + RfBEM + ZÜ + VNO + Garantie + FLV = ASM + Liabilities Liabilities = Garantie + FLV + VNO + RM + DT + ZÜ(VN)

16 Marktwertbilanz ASM = EK + RfBEM + ZÜ VU RM DT EK = EK 0 + INJ RfBEM = fr. RfB + SÜAF RM = coc D VT SCR DT = tax ZÜ VU wenn ZÜ VU 0 tax 2 ZÜ VU wenn ZÜ VU < 0

17 Marktwertbilanz und HGB-Bilanz HGBBS = EK + RfBEM + HGBDR + FLV = Assets ABWR HGBDR = Garantie + PBWR HGBDR ist Garantie zum Zins mrz m VT ZÜ = ABWR + PBWR VNO

18 Marktwertbilanz nach Stress Wirkung der Risiken auf die gestresste Bilanz Kapitalanforderung Aktiva Passiva SCR Op FI, Aktien ZÜ(KA) SCR Zins FI ZÜ(KA), Garantie, VNO SCR Kredit FI ZÜ(KA) SCR AI Aktien ZÜ(KA) SCR VT ZÜ(VT), Garantie, VNO

19 Marktwertbilanz nach Stress ZÜ VT = m VT HGBDR D VT SCR VT Garantie = Garantie 0 D VT D VT r 0 + SCR VT FI = FI 0 D FI D FI r 0 SCR Kredit 1 a 0 SCR Op Aktien = Aktien 0 SCR AI a 0 SCR Op ZÜ(KA) = ZÜ ZÜ(VT) als Residuum Geringere VNO erhöhen die ZÜ(KA)

20 Bestandsentwicklung Annahme: geometrischer Bestandsabbau mit der konstanten Rate κ VT = ln 1 1 D VT r 0 + r 0 D VT = 1 1 e κ VT+r Aktiva analog: κ FI und D FI

21 Put-Call-Parität Allgemein: Underlying + Put = Barwert Strike + Call Hier: Underlying = Aktien + FI RfBEM VNO Barwert Strike = Garantie Es folgt Differenzierung nach positiven und negativen Überschüssen: ZÜ = Call Put

22 Gesamtverzinsung RZ+ZÜ VN gvz = HGBDR D VT = mrz + v m VT mrz + KAErtrag+Put HGBDR D VT mit KAErtrag = ZÜ KA + RZ RZ = HGBDR mrz D VT Δgvz Δv Call HGBDR D VT

23 Garantien und Optionen Weitere ZÜ-Zerlegungen: ZÜ = ZÜ KA + ZÜ VT ZÜ = ZÜ VN + ZÜ VU v = ZÜ VN Call Aufteilung ZÜ auf VN und VU ZÜ VN = v Call ZÜ VU = 1 v Call Put ZÜ = Call Put

24 Garantien und Optionen long Call v TP TP 1 v ZÜ short Put

25 Garantien und Optionen Call = Call KA + Call VT Put = Put KA + Put VT ZÜ VU ZÜ VN = IV VU G&O = IV VN + G&O TV Call = TV Put = TV G&O = v TV

26 Handelsrechtlicher Rahmen Hier nicht genutzte Pufferungsmöglichkeiten 56b VAG: Nutzung freie RfB 5 MindZV: Verrechnung Gewinnquellen 89 VAG: Leistungsherabsetzung 163 VVG: Prämien- und Leistungsänderung 169 VVG: Kürzung der Rückkaufswerte

27 Puffer Put Idee Brownsche Bewegung mit Drift für Puffer X X t = x + m t + σ W t m, σ sind Drift und Volatilität der Gewinnquellen Zins sowie Risiko u. Kosten Erst bei negativem Puffer X t werden VU- Zahlungen für Garantie erforderlich

28 Puffer Put Idee

29 Puffer Put Kapitaleinschüsse X t Y ist der nichtnegative reflektierte Prozess Y t ist der monoton ansteigende Prozess der kumulierten Kapitaleinschüsse X t Y = X t + Y t mit Y t = min(0, X 0,, X t ) Puffer Put ist der Erwartungsbarwert aller Kapitaleinschüsse E 0 Y t e δ t d t

30 Puffer Put Annahmen Siehe Shreve et al. (1984), Ruintheorie Annahmen Zeit ist stetig Zeithorizont unendlich kein Bestandsabbau nur eine Rechnungszinsgeneration keine Mean Reversion

31 Puffer Put Formel PP = mit Aktien + FI 1/p e p x p = m + m2 + 2 δ σ 2 σ 2

32 Puffer Put Innerer Wert Innerer Wert des Puffer Puts für σ 0, mind. so hoch, dass Kunde Garantie erhält IV PP = Aktien + FI max 1/q e q x für m < 0 0 für m 0 ; ZÜ KA + + ZÜ VT + mit q = δ m Zeitwert wird reduziert, bleibt 0 TV PP = PP IV PP +

33 Puffer Put Limited Liability Put LLP: Aktionär beschränkt Haftung auf EK, keine weiteren Einschüsse, kein Neugeschäft, dann PP EK PP = PP x PP x + PP x wenn NG = 1 EK Aktien + FI wenn NG = 0 LLP

34 Puffer Put Limited Liability Put long LLP long Call v EK 1 v EK ZÜ short Put

35 Puffer Put Startpuffer Startpuffer x = Call x+rfbem+ngf 0 Aktien + FI Wert temporärer Pufferung durch Startpuffer TP = 1/p 1 e p x x Aktien + FI Aufteilung Startpuffer Aktien + FI x KA = x p VT p KA + p VT x VT = x x(k)

36 Puffer Put Startpuffer Call x dient zur Glättung des PP, anstatt Funktion mit Knick ABWR + MSL + ist Black-Scholes Call auf die Assets (Aktien + FI) mit Strike in Höhe des um die maximalen Stillen Lasten reduzierten Buchwerts (Aktien + FI ABWR MSL) mit Zins null, Restlaufzeit eins, Glättungsparameter σ x MSL = f MSL HGBBS 0

37 Puffer Put Startpuffer Neugeschäftsfinanzierung ist Barwert überrechnungsmäßiger Abschlusskosten NGF = 0 wenn NG = 1 15% Aktien + FI κ VT wenn NG = 0

38 Puffer Put Drift m VT = NGF ln 1 + ufr Aktien+FI m KA = + a m Aktie (Aktien) + (1 a) (mr ufr + spread) (Spread) ( PBWR)+ Aktien+FI ln 1 + ufr (ZZR) 50% ( ABWR + PBWR + ) + lfd Aktien+FI ZÜ VN +RfBEM Aktien+FI ln 1 + ufr ln 1 + ufr (BWR) (lfd ÜB)

39 Puffer Put Anpassung an SII Parameter δ Basis verhindert Überschätzung δ = δ Basis + ln 1 + r Passivduration fließt nicht in Vola der Gewinnquelle Kapital ein, da HBG- Reservierung mit mrz σ KA = a 2 2 σ Aktie + 1 a 2 D 2 2 FI σ Zins σ VT wird als Parameter vorgegeben 2 + σ Kredit

40 Embedded Value EV = ZÜ VU RM DT + EK INJ coc VU D VT EK = ASM RfBEM INJ coc VU D VT EK VU-Kapitalkostensatz analog Kreditrisiko coc VU = LGD pd VU mf VU mit pd VU = N 0; μ = ASM, σ = SCR + 2,58

41 Appraisal Value AV = EV + NBV NBV = paf κ VT ZÜ VU DT für NG = 1 paf D VT coc VU EK 0 für NG = 0

42 Appraisal Value Der Neugeschäftswert NBV hat stets Zinsmarge NG 1 r mrz 0,6 FI FI 0 + MFI mit MFI = FI 0 1 e κ FI+ mrz 0,6 1 e κ FI+r lfd 1

43 Appraisal Value Preis-Absatz-Faktor paf = 1 ufr g mit g = min gvzsensi v v Markt ufr 1% Call HGBDR D VT ;

44 Beispiel Input Allgemeine Parameter r 2,66% oprisk 2,00% rlz VU 10,00 LGD 50,00% m Aktie 6,00% σ Aktie 20,00% vtrisk 0,50% σ Zins 0,80% coc 6,00% s min 5,00% s max 25,00% μ VNO 3,00% σ VNO 2,00% Allgemeine Parameter mr 5,00% ufr 3,50% v Markt 90,00% gvzsensi 10,00 f MSL 5,00% δ Basis 6,00% σ(vt) 1,00% σ x 10,00% Individuelle Parameter r lfd 4,01% r 2,66% NG 1 Individuelle Parameter D FI 8,10 a 5,10% pd 0,020% Assets ,00 ABWR 1.000,00 EK 200,00 fr.rfb 300,00 SÜAF 150,00 D VT 12,00 flv 10,00% mrz 3,30% m VT 0,60% v 85,00% lfd 50,00% tax 30,00%

45 Beispiel Bilanz HGB-Bilanz EK 200,00 RfBEM 450,00 HGBDR 7.350,00 PBWR -35,28 Garantie 7.385,28 FLV 1.000,00 HGBBS 9.000,00 Marktwertbilanz EK 200,00 RfBEM 450,00 ZÜ(VU) -226,73 (1 v) Call 210,61 Put -437,35 (RM+DT) -197,05 VNO -2,01 RM 231,06 DT -34,01 ZÜ(VN) 1.193,46 Garantie 7.385,28 FLV 1.000,00 Assets ,00

46 Beispiel G&O über Zins G&O Wirkung Pufferung erster Strike ZÜ(KA) = 0 zweiter Strike (ABWR + MSL) + = 0 0% 2% 4% 6% 8% 10% Zins

47 Beispiel Überschussbeteiligung ZÜ(VN) = IV(VN) + G&O G&O IV(VN) % 2% 4% 6% 8% 10% Zins

48 Beispiel Solvabilität absolut ASM und SCR % 2% 4% 6% 8% 10% Zins ASM SCR

49 Beispiel Solvabilität relativ 1000% Solvency II-Quote 800% 600% 400% 200% A.-Option Puffer Put 0% -200% 0% 2% 4% 6% 8% 10% Zins

50 Beispiel G&O über Aktivduration G&O Aktivduration

51 Beispiel Solvabilität ASM und SCR Aktivduration ASM SCR

52 Beispiel Solvabilität 200% 150% Solvency II-Quote Durationslücke 100% 50% 0% -50% -100% -150% Aktivduration A.-Option Puffer Put

53 Beispiel G&O über Aktienquote 600 G&O % 10% 20% 30% 40% 50% Aktienquote

54 Beispiel Solvabilität ASM und SCR % 10% 20% 30% 40% 50% ASM SCR Aktienquote

55 Beispiel Solvabilität 120% 100% 80% 60% 40% 20% 0% -20% -40% -60% -80% Solvency II-Quote positive optimale Aktienquote 0% 10% 20% 30% 40% 50% Aktienquote A.-Option Puffer Put