Polygonalisierung einer Kugel. Verfahren für die Polygonalisierung einer Kugel. Eldar Sultanow, Universität Potsdam,

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1 Verfahren für de Polygonalserung ener Kugel Eldar Sultanow, Unverstät Potsdam, Abstract Ene Kugel kann durch mathematsche Funktonen beschreben werden. Man sprcht n desem Falle von ener analytschen Beschrebung der Kugel. Soll ene Kugel bespelswese mt Hlfe des Computers vsualsert werden, muss aus der analytschen Beschrebung ene dskrete Beschrebung erzeugt werden. De dskrete Darstellung besteht zum Bespel aus ener Aufzählung aller Kanten oder ener Menge von ebenen Begrenzungsflächen. Jede Geometre (so auch de Kugel) n ener dskreten Darstellung heßt 3D Modell. Besteht de dskrete Darstellung aus ener Menge von ebenen Begrenzungsflächen, so wrd das 3D Modell auch Polygonmodell genannt. Das Erzeugen des Polygonmodells ausgehend ener gegebenen analytschen Beschrebung bezechnet man als Polygonalserung. In dem vorlegenden Artkel wrd en Polygonalserungsverfahren für de Kugel vorgestellt. 1 Enletung Das Polygonmodell ener Kugel kann, we n Abbldung 1-1 dargestellt, unterschedlch detallert sen. In Abbldung 1-1 (lnks) enthält das Polygonmodell 6 Eckpunkte und 3 Begrenzungsflächen (Polygone). Das Polygonmodell n Abbldung 1-1 (mtte) besteht aus 114 Eckpunkten und 18 Polygonen. In Abbldung 1-1 (recht) st das Polygonmodell mt dem höchsten Detalgrad dargestellt. Es besteht aus 48 Eckpunkten und 51 Polygonen. Abbldung 1-1: Unterschedlch detallerte Polygonmodelle für ene Kugel Das her vorgestellte Polygonalserungsverfahren kann für enen gewünschten Detalgrad angepasst werden. Das Verfahren hat zwe Engabeparameter: den Detalgrad und de Anzahl der Ecken enes Polygons. Derzet snd für den zweten Engabeparameter nur de Werte 3 und 4 zulässg. Das heßt, sämtlche Begrenzungsflächen des Polygonmodells für de Kugel snd entweder Verecke oder Dreecke (Abbldung 1-). Ene Ausnahme blden de Polygonmodelle, de Verecke enthalten, da se ncht ausschleßlch aus Verecken bestehen. Unmttelbar an den zwe Polen der Kugel hat das Modell Dreecke als Begrenzungsflächen. En solches Polygonmodell, das we n Abbldung 1- (lnks) dargestellt, Verecke enthält, wrd m Folgenden als Verecksmodell bezechnet. En Polygonmodell, das, we n Abbldung 1- (rechts) dargestellt, ausschleßlch aus Dreecken besteht wrd her Dreecksmodell genannt. In Abbldung 1- snd zwe Polygonmodelle, en Verecksmodell (lnks) und en Dreecksmodell (rechts) für ene Kugel dargestellt. Bede Polygonmodelle bestehen jewels aus 66 Eckpunkten. Das n Abbldung 1- lnks dargestellte Polygonmodell besteht aus 88 Polygonen (40 Verecke und 48 Dreecke), das rechts dargestellte Modell besteht aus 58 Dreecken. Sete 1 von 5

2 Abbldung 1-: Verecksmodell (lnks) und Dreecksmodell (rechts) für ene Kugel Berechnung der Eckpunkte In desem Kaptel wrd begnnend für das Verecksmodell und anschleßend für das Dreecksmodell beschreben, we mt vorgegebenen Detalgrad n de Eckpunkte berechnet werden. Gegeben se der Detalgrad n. De Anzahl der Eckpunkte auf jedem Großkres st gegeben durch 4n. Für bespelswese n =, befnden sch auf jedem Großkres, we n Abbldung -1 (lnks) llustrert, 8 Eckpunkte. Das entsprechende Verecksmodell mt dem Detalgrad st n Abbldung 1-1 (lnks) dargestellt. Abbldung -1: Eckpunkte des Verecksmodells auf den Großkresen De Anzahl aller Eckpunkte, Polygone und Kanten enes Verecksmodells für de Kugel st gegeben durch: 4n numvertces = 4 n +, 4n numfaces = 4n, numedges = (4 n) 4n In Abbldung -1 (rechts) st mt n = bespelhaft dargestellt, we sch de Anzahl aller Eckpunkte des Verecksmodells für en vorgegebenen Detalgrad n berechnet. In desem Bespel gbt es genau dre horzontale Krese mt jewels 8 Eckpunkten. Insgesamt snd das unter Berückschtgung des oberen und unteren Eckpunktes 3 8+ = 6Eckpunkte. Das Verecksmodell hat n desem Bespel nsgesamt 48 = 3 Polygone und 8 8= 56 Kanten. An dem Bespel für n = soll beschreben werden, we de Eckpunkte des Verecksmodells berechnet werden. De Berechnung erfolgt n dre Schrtten: Sete von 5

3 1) Es wrd, we n Abbldung - (lnks) dargestellt, en Punkt auf dem horzontalen Großkres n der x-y-ebene sebenmal um den Wnkel α = 360 / 8 = 45 um de z-achse rotert. Auf dese Wese erhält man zunächst acht Eckpunkte P0, P1,, P7, de n der x-y-ebene legen, mt ( cos( α),sn( α),0) P =, = 0,1,,7 ) Jeder deser acht Eckpunkte wrd anschleßend n 1mal, n desem Bespel also genau enmal, um 45 nach oben rotert. Man erhält neue Punkte ( α α α ) P+ k 4n = xcos( k ), ycos( k ),sn( k ), = 0,1,,7, 0 < k < n Hnzu kommt der oberste Punkt P = (0,0,1) 4 n Damt snd sämtlche Eckpunkte berechnet, deren z-koordnate größer oder glech Null st. Dese Eckpunkte blden de obere Halbkugel des Verecksmodells. 3) Im letzten Schrtt werden de Eckpunkte, deren z-koordnate größer als Null st, an der x-y- Ebene gespegelt. Auf dese Wese erhält man de Eckpunkte der unteren Halbkugel. Schleßlch snd alle Eckpunkte des Verecksmodells für de Kugel ermttelt. Abbldung -: Berechnung der ersten 4n Punkte für n = (lnks) und für n = 3 (rechts) De Berechnung der Eckpunkte für das Dreecksmodell erfolgt auf deselbe Wese, we für das Verecksmodell mt der Ausnahme, dass de Eckpunkte gemäß der Darstellung n Abbldung 3- versetzt snd. Für en vorgegebenen Detalgrad n st de Anzahl der Eckpunkte des Dreecksmodells glech jener des Verecksmodells. De Anzahl aller Polygone und Kanten des Dreecksmodells st gegeben durch: numfaces = 4 n (4n ), numedges = 1 n (n 1) 3 Indzerung der Eckpunkte und Polygone Abbldung 3-1 llustrert bespelhaft für den Detalgrad n = 3 de Indzerung der Eckpunkte und Polygone enes Verecksmodells. In Abbldung 3- st ebenfalls am Bespel für n = 3 de Indzerung der Eckpunkte und Polygone enes Dreecksmodells dargestellt. In beden Abbldungen snd nur de Eckpunkt- und Polygonndzes der oberen Halbkugel des Modells dargestellt. Sete 3 von 5

4 Abbldung 3-1: Indzerung der Eckpunkte, der Ver- und Dreecke Sowohl be den Verecks- als auch be den Dreecksmodellen für de Kugel exstert zu jedem Eckpunkt P, dessen z-koordnate größer als Null st, en Eckpunkt, der durch Spegelung von P an der x-y-ebene entsteht. Sen Index st + (n 1). In dem Bespel für n = 3 st folglch de Dfferenz der Indzes zweer solcher Spegelpunkte stets ( 3 1) = 5. Alle Eckpunkte und Polygone snd m Gegenuhrzegersnn von außen nach nnen nummerert. De Indzes der Eckpunkte snd sowohl n Abbldung 3-1 als auch n Abbldung 3- rot dargestellt. Sete 4 von 5

5 Abbldung 3-: Indzerung der Eckpunkte und der Dreecke Sete 5 von 5