Longitudinale und transversale Relaxationszeit

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1 Longitudinale und transversale Relaxationszeit Longitudinale Relaxationszeit T 1 (Zeit, die das System benötigt, um nach dem rf- Puls zurück ins Gleichgewicht zu kommen) Transversale Relaxationszeit T 2 (Lebensdauer der Quermagnetisierung) M z (t)/m 1. Fett (26ms) CSF (24ms) weiße Substanz (78ms) graue Substanz (92ms) M xy (t)/m Fett (8ms) weiße Substanz (9ms) graue Substanz (1ms) CSF (16ms) t [msec] t [msec] 1

2 Signaldetektion Rotierender magnetischer Dipol Signalspule Freier Induktionszerfall (Free Induction Decay, FID) Induziertes Signal (ohne Dämpfung) FID Signal Induzierte Spannung t [msec] t [msec] 2

3 Transversale Relaxation Transversale Relaxationszeiten T 2 und T 2 * (Lebensdauer der Quermagnetisierung) Freier Induktionszerfall (Free Induction Decay, FID) Einfluß von Inhomogenitäten des Magnetfeldes: T 2 vs T 2 * M xy (t) = M exp(-t/t 2 ) 1. M xy (t) = M exp(-t/t 2 ).8 FID Signal M xy (t) / M.6.4 M xy (t) = M exp(-t/t 2 *) t [msec] t [msec] 3

4 2. Magnetresonanztomographie (MRT, MRI) 2.5. Pulssequenz und Bildrekonstruktion 4

5 Pulssequenz Beispiel einer Pulssequenz 5 Quelle: Hendrix, A., Magnete, Spins und Resonanzen. Siemens AG (23); Medical Solutions

6 Schichtselektion 6 Quelle: Hendrix, A., Magnete, Spins und Resonanzen. Siemens AG (23); Medical Solutions

7 Multischichtmessung TR: time of repetition 7 Quelle: Hendrix, A., Magnete, Spins und Resonanzen. Siemens AG (23); Medical Solutions

8 Schichtselektion Inverse Fouriertransformation ν = (γ/2π)b z Amplitude ν Zeit Fouriertransformation Frequenz ν / Β ν ν z z 8

9 9 Einschub: Fourier-Transformation

10 Allgemeine Bemerkungen zu Transformationen Ziel einer Transformation Daten in eine andere Repräsentation zu bringen, die Vorteile für anschließende Operationen bringt (z.b. Filterung der Daten) Darstellung innerer Zusammenhänge oder verbesserte Robustheit gegenüber Störungen Beispiele für Signal-Repräsentationen Repräsentation in der Zeit-Domäne ( time-amplitude representation ) Repräsentation in der Frequenz-Domäne ( spectrum ): Fourier-Transformation Repräsentation in der Zeit-Frequenz-Domäne ( time-frequency representation ): Short-time Fourier-Transformation, Wavelet-Transformation, Adaptive Approximation Grundprinzip Zerlegung eines Signals in eine Summe von Basisfunktionen mit dazugehörenden Koeffizienten Basisfunktionen der Fourier-Transformation: Sinus und Kosinus 1

11 Sampling rate / Sampling frequency / Abtastrate 1,, 5, -,5-1, 1/f Zeit [s] Datenerfassung: analoges Zeitsignal Digitalisierung: Abtastfrequenz / Sampling rate (Sampling frequency) f: Rate, mit der ein im Zeitverlauf kontinuierliches Signal (analoges Signal) in ein im Zeitverlauf diskretes Signal (digitales Signal) umgewandelt wird (Analog-Digital Wandlung des Signals). Länge des Zeitintervals hängt von der Anwendung ab, wird aber durch das Nyquist-Shannon-Theorem begrenzt. 11

12 Nyquist-Frequenz / Aliasing Bei der Konvertierung eines analogen in ein digitales Signal (beim Abtasten eines Signals in diskreten Intervallen) muss die Abtastfrequenz größer sein als das Zweifache der höchsten Frequenz des Input-Signals, um das Original aus der abgetasteten Version wieder korrekt rekonstruieren zu können. Die maximal analysierbare Frequenz wird durch die Hälfte der Nyquist- Frequenz bestimmt: f c = 1 / (2f) Aliasing: Effekt, der verursacht, dass verschiedene kontinuierliche Signale ununterscheidbar werden, wenn sie abgetastet werden. 12

13 Nyquist-Frequenz / Aliasing Signalfrequenz: Sampling Rate: ν = 1 Hz f = 22 Hz Signalfrequenz: Sampling Rate: ν = 1 Hz f = 14 Hz 1s 1s 13

14 Spektrum Elektromagnetisches Spektrum des sichtbaren Lichts Was sagt es uns? Das sichtbare Licht setzt sich aus vielen Farben zusammen. Ihre Superposition (Summe) resultiert in weißem Licht. Wie können wir dieses Wissen in der Signalverarbeitung verwenden? 14

15 Spektrum Üblicherweise sehen wir dem zusammengesetzten Signal nicht dessen einzelne Komponenten an. 15

16 Beispiel: Rechteckfunktion Eine Rechteck-Funktion kann sehr gut durch Sinusfunktionen beschrieben werden. Je mehr harmonische Funktionen wir verwenden, umso besser kann ein Signal, das mit einer Sinusform auf den ersten Blick nicht viel gemeinsam hat, angenähert werden. Sind unendliche Sinus- und Kosinusfunktionen ausreichend, um jedes Signal darzustellen? (Harmonische Funktion in der Akustik/Technik: ganzzahliges Vielfaches einer Grundfrequenz) Figure by courtesy of Piotr J. Durka

17 Spektrum Aber: enthalten echte Signale wirklich nur Sinus- oder Kosinus- Komponenten? Natürlich nicht! Aber manchmal kann man sie als Summe von Sinus- und Kosinus-Anteilen beschreiben. Warum Kosinus? Um die Phase zu berücksichtigen. 17

18 18 Allgemeine Bemerkung zur Fourier-Transformation

19 Fourier-Reihe + Fourier-Transformation Fourier-Reihen: Methode, eine periodische Funktion (ein Signal) als Summe aus Sinus- und Kosinus-Komponenten darzustellen (harmonische Analyse) Fourier-Reihen liefern die Basis für die Darstellung eines Signals in der Frequenzdomäne. Fourier-Transformation kann als Grenzfall der komplexen Fourier-Serie betrachtet werden, indem man die Periode T gegen unendlich gehen lässt Mathematische Bedingungen: Im folgenden betrachten wir ein zeitkontinuierliches, periodisches, reelles Signal x(t), welches den Dirichlet-Bedingungen genügt, d.h. es ist innerhalb einer Periode T absolut integrierbar, hat endlich viele Maxima und Minima, und besitzt höchstens eine endliche Anzahl von Sprungstellen, deren Sprunghöhen alle endlich sind. 19

20 Fourier-Reihen Trigonometrische Form x( t) = a 2 + k k ) k = 1 [ a cos( kω t) + b sin( kω t ] 2π ω = T Grundkreisfrequenz, T Periodendauer a = 2 T t + T t x( t) dt a k, b k Fourier-Koeffizienten a k = 2 T t + T t x( t)cos( kω t) dt k = 1,2,3, 2 t = + T bk x( t)sin( kωt) dt k = 1,2,3, T t 2

21 Fourier-Reihen Harmonische Form x( t) = C + C k cos( kωt + θ k ) k = 1 C = k a 2 2 k C = a + b 2 k k = 1,2,3, tanθ k = b a k k k = 1,2,3, a k, b k sind die Koeffizienten der trigonometrischen Darstellung. 21

22 Fourier-Reihen Komplexe Form k= ikω t x( t) = c k e mit den komplexen Fourier-Koeffizienten c k = 1 T t + T t x( t) e ikω t dt k =, -2,-1,,1,2,3, und folgendem Zusammenhang mit den Koeffizienten der trigonometrischen Form a 1 c = ck = ( ak ibk ) 2 2 k = 1,2,3, 22

23 Fourier-Transformation FT Die Gleichungen und x( t) i 2πft = X ( f ) e df beschreiben ein Fourier-Paar x( t) 1 i = ω ω t X ( ) e dω 2π x( t) X ( f ) mit der nichtperiodischen Zeitfunktion x(t) und ihrer Fourier-Transformierten ( Spektrum ) X(f). Die Rücktransformation wird inverse Fourier-Transformation genannt. Besonders zu beachten ist die Symmetrie zwischen der Fourier-Transformation und der inversen Fourier-Transformation, was von großer Bedeutung für deren Anwendungen ist. 23

24 Fourier-Transformation FT Was sagt diese Gleichung aus? Das Signal wird mit einer komplexen Exponentialfunktion (d.h. Sinus- und Kosinusfunktion) einer bestimmten Frequenz f multipliziert, und dann über alle Zeiten t integriert. Liefert diese Integration einen großen Wert, dann hat das Signal x(t) eine (dominante) spektrale Komponente der Frequenz f, d.h. ein wesentlicher Teil des Signals besteht aus Frequenz f. Liefert diese Integration einen kleinen Wert, dann bedeutet das, dass das Signal x(t) keine Hauptkomponente bei dieser Frequenz besitzt. Ist der Integralwert Null, dann ist diese Frequenz nicht im Signal enthalten. Das Integral wird für alle Frequenzen f berechnet. 24

25 Fourier-Transformation FT Was sagt diese Gleichung aus? Das Integral liefert Informationen über den Zeitraum ± ; d.h. unabhängig davon, wann die Komponente mit der Frequenz f auftritt, wird sie das Ergebnis beeinflussen. Eine Fourier-Transformation gibt Auskunft darüber, ob ein bestimmte Frequenz- Komponente existiert oder nicht. Diese Information ist unabhängig davon, in welchem Zeitintervall dies geschieht. 25

26 Frequenz Spektrale Darstellung Fourier Amplitude 26