BMS Aufnahmeprüfung Jahr 2014 Basierend auf Lehrmittel: Mathematik (Schelldorfer)

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1 Bildungsdirektion des Kantons Zürich Mittelschul- und Bildungsamt BMS Aufnahmeprüfung Jahr 2014 Basierend auf Lehrmittel: Mathematik (Schelldorfer) Fach Mathematik Teil 1 Serie A Dauer 45 Minuten Hilfsmittel Vorschriften Bewertung - Zeichenutensilien, kein Taschenrechner, keine Formelsammlung - Lösen Sie die Aufgabe im dafür vorgesehenen Feld. - Der Lösungsvorgang muss vollständig ersichtlich sein. - Ungültiges ist zu streichen. - Bleistift ist nur für Zeichnungen zulässig. - Unterstreichen Sie die Ergebnisse. - Dieser Prüfungsteil umfasst 9 Aufgaben mit insgesamt 18 Punkten. - Die Bewertung ist bei jeder Aufgabe angegeben. - Der Lösungsweg wird mitbewertet. Name Vorname Prüfungsnummer.... Teil 1 Punkte Teil 2 Punkte Summe ( Teil 1 und 2 ) Punkte Ergebnis ( auf eine halbe Note gerundet ) Der Experte / die Expertin....

2 BMS Aufnahmeprüfung 2014 Basierend auf Lehrmittel: Mathematik (Schelldorfer) Mathematik Serie A Teil 1 1. Schreiben Sie den Term ohne Klammern und vereinfachen Sie soweit wie möglich. ( e f ) 2 ( e f) ( e + f ) ( 2 Punkte ) 2. Rechnen Sie aus und geben Sie das Resultat ohne Zehnerpotenz in dm 3 an mm dm 3. ( 2 Punkte ) Serie A, Teil 1 Seite 1

3 BMS Aufnahmeprüfung 2014, Serie A, Teil 1 3. Eine Pferderennbahn hat vier Bahnen. Es nehmen aber nur drei Pferde (A, B und C) teil. Wie viele Varianten gibt es, die drei Pferde auf die vier Bahnen zu verteilen? Die Lösungsidee muss nachvollziehbar sein. ( 2 Punkte ) Serie A, Teil 1 Seite 2

4 BMS Aufnahmeprüfung 2014, Serie A, Teil 1 4. Das abgebildete Rechteck ist in fünf Teilflächen a A 1 b h unterteilt. Dabei sind die drei Flächeninhalte A 1, A 2 und A 3 gleich gross. Vom kleinen Rechteck sind die Länge a und die Breite b gegeben: a = 5 cm und b = 4 cm A 2 A 3 Berechnen Sie die Höhe h des rechtwinkligen Trapezes mit dem Flächeninhalt A 3. ( 2 Punkte ) Serie A, Teil 1 Seite 3

5 BMS Aufnahmeprüfung 2014, Serie A, Teil 1 5. Formen Sie den Term in einen Bruch um und kürzen Sie diesen soweit wie möglich a a 2 ( 2 Punkte ) 6 a 2 6. Eine Treppe hat 19 Stufen, welche x Zentimeter hoch sind. Würde man jede Stufe um 3 Zentimeter erhöhen, so könnte man 3 Stufen sparen. Stellen Sie eine Gleichung mit x auf, mit welcher die Höhe der Stufen berechnet werden kann. Berechnen Sie anschliessend die Höhe der Stufen. (Diese Aufgabe wird nur bewertet, wenn eine korrekte Gleichung formuliert wurde.) ( 2 Punkte ) Serie A, Teil 1 Seite 4

6 BMS Aufnahmeprüfung 2014, Serie A, Teil 1 7. Zeichnen Sie analog zum Beispiel den räumlichen Würfelkörper, von dem einige Kanten bereits vollständig und andere teilweise eingezeichnet sind. Lösung von vorn von rechts von oben Beispiel: von vorn von rechts von oben Aufgabe: ( 2 Punkte ) 8. Ein Einfamilienhaus erfuhr im Laufe der Zeit eine Wertzunahme von 10%. Durch die Finanzkrise nahm nun dieser erhöhte Wert des Einfamilienhauses um 20 % ab. Um wie viel Prozent hat der ursprüngliche Wert des Einfamilienhauses insgesamt abgenommen? ( 2 Punkte ) Serie A, Teil 1 Seite 5

7 BMS Aufnahmeprüfung 2014, Serie A, Teil 1 9. Vom abgebildeten geraden Prisma ist folgendes gegeben: V = 2100 cm 3 h = 20 cm a = 15 cm b = 5 cm Berechnen Sie die Länge der Seite c! ( 2 Punkte ) Serie A, Teil 1 Seite 6

8 BMS Aufnahmeprüfung 2014, Serie A, Teil 1 Zusatzblatt Serie A, Teil 1 Seite 7

9 BMS Aufnahmeprüfung 2014, Serie A, Teil 1 Zusatzblatt Serie A, Teil 1 Seite 8

10 Bildungsdirektion des Kantons Zürich Mittelschul- und Bildungsamt BMS Aufnahmeprüfung Jahr 2014 Basierend auf Lehrmittel: Mathematik (Schelldorfer) Fach Mathematik Teil 2 Serie A Dauer 45 Minuten Hilfsmittel Vorschriften Bewertung - Zeichenutensilien, Taschenrechner ohne Grafikfunktionen, keine Formelsammlung - Lösen Sie die Aufgabe im dafür vorgesehenen Feld. - Der Lösungsweg muss vollständig ersichtlich sein. - Ungültiges ist zu streichen. - Bleistift ist nur für Zeichnungen zulässig. - Unterstreichen Sie die Ergebnisse. - Dieser Prüfungsteil umfasst 6 Aufgaben mit insgesamt 18 Punkten. - Die Bewertung ist bei jeder Aufgabe angegeben. - Der Lösungsweg wird mitbewertet. Name Vorname Prüfungsnummer.... Teil 2 Punkte Der Experte / die Expertin....

11 BMS Aufnahmeprüfung 2014 Basierend auf Lehrmittel: Mathematik (Schelldorfer) Mathematik Serie A Teil 2 1. a) Lösen Sie die Gleichung. (x 15) (x + 24) + x = (x 25) b) Lösen Sie die Gleichung nach x auf. a) 6ax 45 = 6bx 39 ( 1.5 Punkte ) b) ( 1.5 Punkte ) Serie A, Teil 2 Seite 1

12 BMS Aufnahmeprüfung 2014, Serie A, Teil 2 g 2 2. a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichungen für die drei Geraden g 1, g 2 und g 3. ( 2 Punkte ) g 1 g 3 b) Gegeben ist die Gerade g mit der Funktionsgleichung y = -21x Berechnen Sie von den Punkten A(9/y A ) und B(x B /11) je die fehlende Koordinate, sodass die Punkte auf der Geraden g liegen. ( 1 Punkt ) Serie A, Teil 2 Seite 2

13 BMS Aufnahmeprüfung 2014, Serie A, Teil 2 3. Von der abgebildeten Figur ist folgendes gegeben: a = 45 mm, r = 16 mm, α = 30 Berechnen Sie den Flächeninhalt der Figur. Für π ist der Taschenrechner-Wert zu nehmen. r α r. a. r α r Geben Sie das Resultat auf mm 2 genau an. ( 3 Punkte ) Serie A, Teil 2 Seite 3

14 BMS Aufnahmeprüfung 2014, Serie A, Teil 2 4. Ein Radfahrer benötigt für das Hinauffahren auf einer 8.5 km langen Passstrasse genau eine Stunde. Auf dem Pass oben angekommen, fährt er ohne eine Pause zu machen wieder die gleiche Passstrasse hinunter. Bei seiner Ankunft am Startort stellt er fest, dass er für seine ganze Fahrt eine durchschnittliche Geschwindigkeit von 14.5 km/h erreicht hat. Mit welcher durchschnittlichen Geschwindigkeit ist der Radfahrer die Passstrasse hinuntergefahren? Geben Sie das Resultat in km/h an. Genauigkeit: 1 Dezimale. ( 3 Punkte ) Serie A, Teil 2 Seite 4

15 BMS Aufnahmeprüfung 2014, Serie A, Teil 2 5. Gegeben ist das abgebildete gerade Prisma mit quadratischer Grundfläche. M 1 und M 2 sind Kantenmittelpunkte. Länge der Grundkante a = 12 cm. Länge der Höhe h = 20 cm. a) Berechnen Sie die Länge der Strecke M 1 M 2. b) Berechnen Sie die Länge der Strecke BH. c) Berechnen Sie den Flächeninhalt der Fläche BM 2 HM 1 h 2 h 2 H M 1 M 2 a a B a) Geben Sie die Resultate in cm bzw. cm 2 an. Genauigkeit: 1 Dezimale ( 1 Punkt ) b) ( 1 Punkt ) c) ( 1 Punkt ) Serie A, Teil 2 Seite 5

16 BMS Aufnahmeprüfung 2014, Serie A, Teil 2 6. Mit einem Würfel wird dreimal hintereinander gewürfelt. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass a) dreimal die Augenzahl 6 gewürfelt wird? b) die Summe der Augenzahlen 16 beträgt? a) Geben Sie die Resultate in Prozent an. Genauigkeit: 2 Dezimalen. ( 1 Punkt ) b) ( 2 Punkte ) Serie A, Teil 2 Seite 6

17 BMS Aufnahmeprüfung 2014, Serie A, Teil 2 Zusatzblatt Serie A, Teil 2 Seite 7

18 BMS Aufnahmeprüfung 2014, Serie A, Teil 2 Zusatzblatt Serie A, Teil 2 Seite 8

19 Lösungen AP 2014 ( 1. Teil ohne TR, Serie A, Zeit: 45 Minuten ) Basierend auf Lehrmittel: Mathematik (Schelldorfer) 1. e 2 2ef + f 2 (e 2 f 2 ) = e2 2ef + f 2 e 2 + f 2 = 2f 2 2ef 1 P 1.5 P 2 P 2. 1 mm 3 = (10 2 dm) 3 = 10 6 dm 3 1P 0.25 dm dm 3 = dm 3 2P dm 3 = 0.25 dm P 3. Pferd A auf Bahn1: 1 A A A A A A (6 Möglichkeiten) 2 B B C C C - B - B C 4 - C - B C B Auf Bahn 1 können auch B, C oder kein Pferd starten. > Es gibt 4 6 = 24 Möglichkeiten. Bewertung: 2 Punkte, falls ein nachvollziehbarer Lösungsweg vorhanden ist; sonst 0 Punkte. Teilpunkte nur bei offensichtlich flüchtigen Rechenfehlern wie z.b: 4 6 = 23 Variante: Die leere Bahn kann berücksichtigt werden wie wenn ein viertes Pferd am Rennen teilnehmen würde: > Es gibt 4! = = 24 Möglichkeiten. 4. A 2 a A 1 e b m e 2 h A 3 A 1 = A 2 = A 3 = 4 cm 5 cm = 20 cm 2 a e = 2 A 2 e = 2 A 2 a m = b + e 2 h m = A 3 h = A 3 m = 40 cm2 5 cm = 8 cm 1 P = 4 cm+ 4 cm = 8 cm 1.5 P = 20 cm2 8 cm = 2.5 cm 2 P 5. 2 a 2 6 a + 18 a 2 6 a 3 + 2a2 2 6 a P = 2 a a (3 + 2a 2 ) 6 a 2 1 P = 18 a 3 6 a P = 3(6 a 1) = 6 a 1 6 a 2 2 a 2 2 P x = 16 (x + 3) 1 P 19 x = 16 x x = 48 x = 16 Die Höhe der Stufe ist 16 cm. 2 P

20 Lösungen AP 2014 ( 1. Teil ohne TR, Serie A, Zeit: 45 Minuten ) Basierend auf Lehrmittel: Mathematik (Schelldorfer) 7. von vorn von rechts von oben Lösung Bewertung: - Pro falsche oder fehlende Kante: minus 1 P - Im Prinzip richtige Lösung aber ungenau (Abweichung > 2mm): 0.5 bis 1 P Abzug 8. W 1 = 1.1 W P W 2 = 0.8 W 1 = W 0 = 0.88 W P Der ursprüngliche Wert hat um 12 % abgenommen. 2 P 9. G = V h = 2100 cm3 20 cm = 105 cm2 0.5 P G = m a m = G 105 cm2 = a 15 cm = 7 cm 1 P c + 5 cm = 7 cm c = 14 cm 5cm = 9 cm 2P 2

21 Lösungen AP 2014 ( 2. Teil mit TR, Serie A, Zeit: 45 Minuten ) 1. a) x 2 + 9x x = x 2 50x x = 100 x = P 1.5P 0.5 P b) 6ax 6bx = 6 6x(a b) = 6 0.5P x(a b) = 1 1P x = 1 a b 1.5P 2.a) g 1 : y = P 2 g 2 : y = 3 x P g 3 : y = 3 4 x + b ; b = P g 3 : y = 3 4 x P b) y A = = P 11 = 21 x B x B = = P 1P 3. A 2 r α r b A 1 r. a. h A 3 a b α A 2 r A 1 = a r = 45 mm 16 mm = 720 mm P A 2 = r 2 π β 360 = 162 π 120 mm mm 2 1P 360 A 3 = h m ; h = 0.5r = 8 mm (0.5 P) m = a + b = a + 3 h mm 2 (0.5 P) A 3 = h m mm P A = A 1 + 2A 2 + A mm 2 3P

22 Lösungen AP 2014 ( 2. Teil mit TR, Serie A, Zeit: 45 Minuten ) 4. Gesamtzeit t = s v = 17 km 14.5 km/h = h 1 P Zeit für das Hinunterfahren t 2 = h 1 h = 5 29 h 2 P v 2 = s 2 t 2 = 8.5 km 29 5 h = 49.3 km/h 3 P 5. H a) M 1 M 2 = 2 a = 2 12 cm 17.0 cm 1P h 2 M 1 h 2 a a B M 2 b) BH = 2a 2 + h 2 = cm 26.2 cm 1 P c) A = M 1 M 2 BH cm 2 1 P 3 P 6. a) P 1 = = % 1 P b) 16 = = = = = = Das sind 6 verschiedene Möglichkeiten P 2 = 6 P 1 = % 2 P 3 P