Interdisziplinäres Vertiefungsfach Geld und Finanzierung. Vertiefungskurs I: Optionspreise und Derivate. Klaus Pötzelberger

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1 Interdisziplinäres Vertiefungsfach Geld und Finanzierung Vertiefungskurs I: Optionspreise und Derivate Klaus Pötzelberger Institut für Statistik und Mathematik Option Slide 1 Klaus Pötzelberger

2 Optionspreis Motivation: Optionspreis. Eine (europäische) Calloption ist ein Vertrag, der dem Käufer das Recht einräumt, eine bestimmte Aktie zu einem festgesetzten Preis K, dem Ausübungspreis der Option, zu einem festen Zeitpunkt T, dem Ausübungszeitpunkt, zu kaufen. Im Rahmen finanzmathematischer Modelle kann der Preis bzw. der Wert der Option berechnet werden. Option Slide 2 Klaus Pötzelberger

3 Optionspreis Der Optionspreis hängt ab von [A] Größen, die explizit Bestandteil des Vertrags sind. 1. Die Aktie, das sogenannte Underlying. 2. Der Ausübungszeitpunkt T. 3. Der Ausübungspreis K. [B] Kosten und Restriktionen. 1. Transaktionskosten, Steuern usw. 2. Öffnungszeiten von Börsen usw. 3. Dividenden, Kosten, Vergünstigungen, die mit dem Besitz von Aktien verbunden sind. [C] Stochastisches Modell. 1. Die Wertpapiere, aus denen ein duplizierendes Portfolio gebildet werden kann, insbesondere der Bankkontoprozeß. 2. Die gemeinsame Verteilung des Aktienkursen (S t ) t [0,T ] und des Bankkontoprozesses (B t ) t [0,T ] bzw. der Komponenten von Portfolios. Option Slide 3 Klaus Pötzelberger

4 Optionspreis Sei C t der Preis der Option zum Zeitpunkt t. C T = C T (S T ), die Auszahlungsfunktion, der Wert der Option zum Ausübungszeitpunkt ist durch den Vertrag festgelegt: Die Calloption wird ausgeübt, wenn S T > K. Der Käufer zahlt K und bekommt S T, der Wert ist C T = S T K. Falls S T K wird nicht ausgeübt und C T = 0. Die Auszahlungsfunktion ist C T = max{s T K, 0} = (S T K) +. Option Slide 4 Klaus Pötzelberger

5 Optionspreis Zum Zeitpunkt des Kaufs der Option (t = 0) ist S T (und damit (S T K) + ) unbekannt, eine stochastische Größe. Das stochastische Modell spezifiziert die gemeinsame Verteilung des Aktienkurses (S t ) t [0,T ] und des Bankkontoprozesses (B t ) t [0,T ]. Ein Zufallsexperiment steuert die Dynamik der Prozesse (S t ) t [0,T ] und (B t ) t [0,T ] : Ω: eine Menge von möglichen Szenarien, P : eine Wahrscheinlichkeitsverteilung P, wählt ω Ω. Die Pfade der des Aktienprozesses und des Bankkontoprozesses sind (S t (ω)) t [0,T ] und (B t (ω)) t [0,T ] sind Funktionen der Zeit. Option Slide 5 Klaus Pötzelberger

6 Optionspreis Eine Calloption auf eine Aktie soll bewertet werden. Der Ausübungszeitpunkt sei T = 2, der Ausübungspreis sei K = 107, S 0 = 100. Der Bankkontoprozeß sei deterministisch, der Zinssatz (effektiv) 3%, d.h. B 0 = 1, B 1 = 1.03, B 2 = (1.03) 2 = Die Stochastik des Aktienprozesses sei durch die Verteilung der Renditen festgelegt. Die Renditen R 1, R 2 in den beiden Perioden seien unabhängig und identisch verteilt, P (R i = 5%) = p (= 0.7), P (R i = 2%) = 1 p (= 0.3). Option Slide 6 Klaus Pötzelberger

7 Optionspreis P (S 1 = 105) = p, P (S 1 = 102) = 1 p S 2 kann die Werte annehmen, = , = 107.1, = P (S 2 = ) = = 0.49, P (S 2 = 107.1) = = 0.42, P (S 2 = ) = = C 2 = (S 2 K) + = 3.25 mit Wahrsch mit Wahrsch mit Wahrsch Option Slide 7 Klaus Pötzelberger

8 Optionspreis S t Abbildung 1: Kurse Option Slide 8 Klaus Pötzelberger

9 Wieviel ist für die Option zu zahlen, C 0 =? Vorschlag 1: Der Preis C 0 ist der Erwartungswert, C 0 = = Begründung: C 2 ist eine Zufallsgröße mit Erwartungswert Wenn die Bank eine große Anzahl von Calloptionen (auf verschiedene Aktien, zu unterschiedlichen Ausübungspreisen und Laufzeiten) verkauft, dann wird sie keinen Verlust machen. Andererseits kann der Preis aber auch nicht höher sein, denn sonst könnte ein Konkurrenzunternehmen die Calloption billiger anbieten und die Bank würde die Kunden verlieren. Option Slide 9 Klaus Pötzelberger

10 Optionspreis Vorschlag 1 berücksichtigt nicht, daß der Erlös investiert werden kann. Der Erlös C 0 kann auf ein Konto gelegt werden, wodurch er nach zwei Perioden auf C 0 B 2 anwächst. Vorschlag 2: Der Preis ist erwartete Barwert, der Erwartungswert der abgezinsten Auszahlung C 2 /B 2, C 0 = / = Option Slide 10 Klaus Pötzelberger

11 Optionspreis Die Bank könnte den Erlös in den Bankkontoprozeß und die Aktie investieren. Sie bildet ein Portfolio, das in t = 2 den Wert C 2 hat. Vorschlag 3: Der Preis des Portfolios zum Zeitpunkt t = 0 ist der Preis der Calloption. Das Portfolio besteht aus π 1 Aktien und π 2 GE, die in den Bankkontoprozeß investiert werden. Der Wert in t = 2 ist Π = π 1 S 2 + π 2 B 2. Option Slide 11 Klaus Pötzelberger

12 Optionspreis Damit Π = C 2 folgt ist (π 1, π 2 ) Lösung von π π 2 = π π 2 = π π 2 = 0. Dieses Gleichungssystem besitzt aber keine Lösung: Subtrahiert man von den ersten beiden Gleichungen die dritte, so erhält man 6.21π 1 = π 1 = π π 2 = 0. Damit wäre π 1 = 3.25/6.21 = nach der ersten und π 1 = 0.1/3.06 = nach der zweiten Gleichung. Option Slide 12 Klaus Pötzelberger

13 Optionspreis Die Bank kann versuchen, in t = 0 ein Portfolio zusammenzustellen und es in t = 1 umzuschichten, ohne Geld zu entnehmen oder hinzuzufügen, sodaß der Wert des Portfolios in t = 2 gleich C 2 ist. Vorschlag 4: Der Preis des duplizierenden Portfolios zum Zeitpunkt t = 0 ist der Preis der Calloption. Option Slide 13 Klaus Pötzelberger

14 Optionspreis Sei (π 1 t, π 2 t ) das Portfolio im Zeitpunkt t. Das Portfolio (π 1 1, π 2 1) ist eine Funktion von S 1, (π 1 1(105), π 2 1(105)) bzw. (π 1 1(102), π 2 1(102)). π 1 1(105), π 2 1(105) ist Lösung der Gleichung π 1 1(105) π 2 1(105) = π 1 1(105) π 2 1(105) = 0.1 und π 1 1(102), π 2 1(102) als Lösung der Gleichung 107.1π 1 1(102) π 2 1(102) = π 1 1(102) π 2 1(102) = 0. Option Slide 14 Klaus Pötzelberger

15 Optionspreis Damit ist π1(105) 1 = 1, π1(105) 2 = , π1(102) 1 = , π1(102) 2 = Der Wert in t = 1 ist V 1 (105) = 105π 1 1(105) π 2 1(105) = V 1 (102) = 102π 1 1(102) π 2 1(102) = (π 1 0, π 2 0) löst dann 105π π0 2 = V 1 (105) 102π π0 2 = V 1 (102). Option Slide 15 Klaus Pötzelberger

16 Optionspreis Es ist und π 1 0 = , π 2 0 = V 0 = 100π π 2 0 = Wenn die Bank die Calloption zu diesem Preis (C 0 = V 0 = ) verkauft, das Portfolio bildet und in t = 1 umschichtet, dann besitzt sie in t = 2 genau den Betrag, den die Option dann wert ist. Option Slide 16 Klaus Pötzelberger

17 Grundlagen Grundlegende Konzepte Inhalt: Aktienkurse, Bankkonto, Calloption, Putoption, Forward, Europäische Option, Amerikanische Option, Portfolio; Arbitrage; Option Slide 17 Klaus Pötzelberger

18 Beispiele Theorie der Preise von Wertpapieren im Rahmen eines stochastischen Modells des Markts. Finanztitel, die gehandelt werden, deren Preise zumindest im Prinzip beobachtbar sind. Finanzmathematik: Bedingungen, unter denen sinnvoller Weise von Preisen geprochen werden kann. Arbitragefreiheit und äquivalenten Bedingungen, die die Berechnung von Preisen erlauben. Preise von Derivaten. Ein Derivat ist ein Finanztitel (Wertpapier), dessen Preis von einem anderen Wertpapier, dem Underlying, abhängt. Eine Option besitzt einen eindeutigen Preis, wenn sie dupliziert werden kann, d.h., wenn ein Portfolio aus gehandelten Wertpapieren gebildet werden kann, das zum Ausübungszeitpunkt der Option den selben Wert besitzt. Option Slide 18 Klaus Pötzelberger

19 Aktienkurs Aktienkurs: Wichtigste Beispiele für gehandelte Wertpapiere. Der Aktienkurs wird als Zufallsprozeß (stochastischer Prozeß ) modelliert. (S t ) t [0,T ], (S t ) T t=0, (S ti ) N i=0 Stetige Zeit: t [0, T ]: S t existiert zu jedem Zeitpunkt t [0, T ]. S 0 ist der aktuelle Kurs. S t eine Zufallsvariable, der Aktienkurs eine zufällige Funktion mit Definitionsbereich [0, T ]. Diskrete Zeit: t = 0, 1,..., T oder t = t 0 < t 1 < < t N der Aktienkurs ist eine endliche (oder unendliche) Folge von Zufallsgrößen, (S ti ) N i=0 oder (S t) N t=0. Option Slide 19 Klaus Pötzelberger

20 Bankkonto Bankkonto. Im Markt gibt es immer ein Bankkonto (eine risikolose Anlageform) (B t ). B 0 = 1 und B t1 B t2 für alle t 1 < t 2 1 GE in t = 0 auf das Konto eingezahlt ist zum Zeitpunkt t, B t GE wert. Option Slide 20 Klaus Pötzelberger

21 Bankkonto Ist (B t ) deterministisch mit konstantem Zinssatz, r ist der nominelle Zinssatz r eff ist der effektive Zinssatz B t = e rt B t = (1 + r eff ) t Aufzinsungsfaktoren (pro Zeiteinheit): e r bzw. 1 + r eff = 1 + r eff r eff = e r 1 r = ln(1 + r eff ) e r Abgezinste diskontierte Größe (X t eine Variable, Wertpapier): X t = X t B t Option Slide 21 Klaus Pötzelberger

22 Calloption Europäische Calloption. Die europäische Calloption ist das Recht, das Underlying S (Aktie, Wechselkurs, Index, Anleihe) zum Ausübungszeitpunkt T zum Ausübungspreis (Strikepreis) K zu kaufen. Sei C t der Wert der Option im Zeitpunkt t. Der Kontrakt legt die Auszahlungsfunktion (und damit C T ) fest: Ist S T K, dann wird die Option nicht ausgeübt. Falls S T > K, wird S T zum Preis von K gekauft. d.h. C T = { 0 falls ST K S T K falls S T > K, C T = (S T K) + = max{s T K, 0}. Option Slide 22 Klaus Pötzelberger

23 Calloption Abbildung 2: Call: Payoff (S T K) + Die Option ist im Geld, wenn S t > K, am Geld, wenn S t = K und aus dem Geld, wenn S t < K. Option Slide 23 Klaus Pötzelberger

24 Amerikanische Calloption Amerikanische Calloption. Die amerikanische Calloption ist das Recht, das Underlying S bis zum Zeitpunkt T zum Ausübungspreis K zu kaufen. Sei τ T der Zeitpunkt, an dem die Option ausgeübt wird oder (falls sie nicht ausgeübt wird) verfällt. Dann ist C τ = (S τ K) + = max{s τ K, 0}. Option Slide 24 Klaus Pötzelberger

25 Putoption Putoption. Die europäische Putoption ist das Recht, das Underlying S (die Aktie) zum Ausübungszeitpunkt T zum Ausübungspreis K zu verkaufen. Sei P t der Wert dieser Option im Zeitpunkt t. Der Kontrakt legt die Auszahlungsfunktion (und damit P T ) fest: Die Option wird ausgeübt, falls S T < K. P T = (K S T ) + = max{k S T, 0}. Die Option ist im Geld, wenn S t < K, am Geld, wenn S t = K und aus dem Geld, wenn S t > K. Option Slide 25 Klaus Pötzelberger

26 Putoption Abbildung 3: Put: Payoff (K S T ) + Die amerikanische Putoption ist das Recht, das Underlying S (die Aktie) bis zum Zeitpunkt T zum Ausübungspreis K zu verkaufen. Option Slide 26 Klaus Pötzelberger

27 Barriereoption Barriereoption. Barrieren erlauben, extreme Situationen auszuschließen bzw. Optionen für extreme Situationen zu adaptieren. Der Verkäufer eines Calls möchte sich gegen extremes Verhalten absichern. Die Auszahlungsfunktion dieser Barriereoption (S T K) + I {St B für alle t T } K ist der Ausübungspreis der Calloption, B > K die Barriere. Sei M T = max{s t 0 t T }. Die Auszahlungsfunktion kann auch als geschrieben werden. (S T K) + I {MT B} Option Slide 27 Klaus Pötzelberger

28 Barriereoption Barriereoption mit Auszahlungsfunktion I {MT >B} Sie zahlt eine Geldeinheit, wenn die Aktien im Intervall [0, T ] zumindest einmal über B ist Option Slide 28 Klaus Pötzelberger

29 Forwards und Futures Forwards und Futures. Ein Forward (Termingeschäft) ist ein Kontrakt, zu einem festgelegten zukünftigen Zeitpunkt T das Underlying S zum Preis F zu kaufen (oder zu verkaufen). S kann eine Aktie, Fremdwährung oder Waren wie Weizen, Kakao, Schweinebäuche, Erdöl oder Edelmetalle sein. Forwards werden meist nicht an der Börse gehandelt. In großem Umfang werden - oft an eigenen Börsen - Futures gehandelt. Für diesen Handel legt die Börse einen Ablauf fest. Um Ausfallrisiken zu vermindern, finden die Transaktionen über einen Intermediär statt. Margen (margins) werden einbezahlt. Die Verträge sind standardisiert, etwa in Bezug auf die gehandelten Mengen und Qualitäten oder die Lieferbedingungen. Option Slide 29 Klaus Pötzelberger

30 Zinsstrukturmodelle Anleihen, Zinsstrukturmodelle. Baustein ist der Zero-Coupon Bond B t (T ). Er zahlt zum Fälligkeitszeitpunkt T eine Geldeinheit, B T (T ) = 1. Linearkombinationen von Zero-Coupon Bonds: C 1 B t (T 1 ) + C 2 B t (T 2 ) + + C n B t (T n ) eine kouponzahlende Anleihe. Sie zahlt C 1, C 2,..., C n zu den Zeitpunkten T 1, T 2,..., T n. Zinsstrukturmodelle: Gemeinsame Verteilung von Bonds für Fälligkeiten T [0, T ]. (B t (T ) t T ) Option Slide 30 Klaus Pötzelberger

31 Exotische Optionen Exotische Optionen. Große Vielfalt unter den am Over-The- Counter Markt gehandelten Derivaten. Viele sind auf spezielle Bedürfnisse maßgeschneidert. Die Auszahlungsfunktion einer asiatischen Option hängt vom Durchschnitt des Underlying ab. S T = 1 T T 0 ( S T K) + S t dt ist der Payoff eines Calls auf den Durchschnitt, (S T S T ) + der Payoff der Option, das Underlying zum Durchschnittspreis zu kaufen. Andere Kontrakte: (max{s t 0 t T } K) +, (S T min{s t 0 t T }) +. Option Slide 31 Klaus Pötzelberger

32 Exotische Optionen max{st 1, S2 T } max{st 1, S2 T, K} min{st 1, S2 T } Maximumoption Maximumoption mit Basis Minimumoption (max{st 1, S2 T } K) + (K min{st 1, S2 T }) + Minimum-Put Maximum-Call (ST 1S2 T K) + Quanto-Produkt-Call (ST 1 S2 T ) + Exchange Option ((S 1 T S2 T ) K) + Spread Call max{st 1 K 1, ST 2 K 2, 0} Dual Strike Call max{k 1 ST 1, K 2 ST 2, 0} Dual Strike Put (a 1 S 1 T + a 2S 2 T K) + Basket Call Option Slide 32 Klaus Pötzelberger

33 Portfolio Vermögen wird in einem Portfolio (mehrere Wertpapiere) angelegt. Verminderung des Risikos Finanzierung eines Anspruchs/Sparziels sein Optionen und Derivate werden durch Portfolios gehedget (dupliziert) Preise von Optionen werden berechnet, indem man hypothetische Portfolios zusammenstellt, deren Payoff mit dem der Option übereinstimmen Option Slide 33 Klaus Pötzelberger

34 Portfolio Seien St 0, St 1,..., St m die Kurse von Wertpapieren. Ein Portfolio wird durch die Mengen ϕ t = (ϕ 0 t, ϕ 1 t,..., ϕ m t ), die an den einzelnen Wertpapieren gehalten werden, festgelegt. Die Mengen ϕ k t können beliebige reelle Zahlen sein. Anteile von Aktien können gekauft werden. Negative Mengen entsprechen Verkäufen. Leerverkäufe, z.b. Verkäufe von Aktien, die man nicht besitzt, sind erlaubt. Der Wert des Portfolios ist V t (ϕ) = ϕ 0 ts 0 t + ϕ 1 ts 1 t + + ϕ m t S m t Option Slide 34 Klaus Pötzelberger

35 Portfolio Die Gewichte eines statischen Portfolios sind konstant, sie hängen nicht von der Zeit t ab. Bei dynamischen Portolios ändert sich die Zusammensetzung der Komponenten über die Zeit. Das Portfolio kann umgeschichtet werden, Beträge können entnommen oder zugeschossen werden. Die Gewichte eines dynamischen Portfolios können natürlich nur auf Grund der zum jeweiligen Zeitpunkt verfügbaren Information gewählt werden. Portfolios werden auch Strategien genannt. Option Slide 35 Klaus Pötzelberger

36 Beispiel Beispiel Am Markt existieren Bankkontoprozeß (B t ), B 0 = 1, B 1 = 1.1, B 2 = 1.2 und ein Aktienkurs (S t ) t=0,1,2. Nur zu t = 0, 1, 2 kann das Portfolio geändert werden. Ein Anleger bildet ein Portfolio, bestehend aus 10 Aktien und einem Guthaben am Bankkonto von Falls die Aktie nach einer Periode mehr wert als in t = 0 ist, kauft er vom gesamten Bankguthaben weitere Aktien. Sonst ändert er das Portfolio nicht. In t = 0 sind die Kurse bekannt, es sei S 0 = 250. Die Gewichte ϕ 0 1 und ϕ 1 1 sind nicht stochastisch. Es ist ϕ0 1 = 10000, ϕ 1 1 = 10 und V 0 = = Option Slide 36 Klaus Pötzelberger

37 Beispiel In t = 1 ist V 1 = S 1 = S 1. Es wird umgeschichtet, ϕ 0 2 und ϕ1 2 sind ϕ 0 2 = ϕ 1 2 = { falls S falls S 1 > 250 { 10 falls S1 250 V 1 /S 1 falls S 1 > 250. Gewichte ϕ k t, t > 1 können stochastisch sein. Sie dürfen aber nur von der Information abhängen, die vor t verfügbar war. ϕ k t kann eine Funktion von S 0, S 1,..., S t 1, aber nicht von S t, S t+1,... sein. Option Slide 37 Klaus Pötzelberger

38 Portfolio Ein Portfolio, dem kein Geld entnommen oder zugeschossen wird, heißt selbstfinanzierend. Es werde zu den Zeitpunkten 0 = t 0 < t 1 < < t n umgeschichtet. Das Portfolio ist selbstfinanzierend, falls für i = 1,..., n 1 ϕ 0 t i S 0 t i + ϕ 1 t i S 1 t i + + ϕ m t i S m t i = ϕ 0 t i+1 S 0 t i + ϕ 1 t i+1 S 1 t i + + ϕ m t i+1 S m t i. Option Slide 38 Klaus Pötzelberger

39 Arbitrage Eine Arbitragemöglichkeit ist eine Strategie, ohne Kapitaleinsatz und nur durch Umschichten des Portfolios einen positiven Erlös zu generieren. Ein Markt heißt arbitragefrei, wenn keine Arbitragemöglichkeit existiert. Option Slide 39 Klaus Pötzelberger

40 Arbitrage Arbitragefreie Märkte zu untersuchen beruht zum Teil auf einem ökonomischen Argument.: Gibt es in einem genügend liquiden Markt Arbitragemöglichkeiten, so werden diese Möglichkeiten, risokolose Gewinne zu erzielen, ergriffen. Ist z.b. ein Wertpapier entsprechend unterbewertet, wird dieses gekauft, der Preis steigt und die Arbitragemöglichkeit verschwindet. Falls es überhaupt Arbitragemöglichkeiten gibt, so das Argument, verschwinden diese innerhalb kürzester Zeit und sind für die Analyse des Marktes irrelevant. Relevante Fragestellungen bei Märkten mit Arbitragemöglichkeit sehen wesentlich anders aus als die bei Märkten ohne diese Möglichkeit. So ist z.b. der Preis einer Option, deren Kauf der Absicherung gegen Kursverlust eines Wertpapiers dienen soll, wenig interessant, wenn man immer ohne Kapitaleinsatz und risikofrei (und auch beliebig große) Gewinne erzielen kann. Option Slide 40 Klaus Pötzelberger

41 Arbitrage Seien ϕ und ψ selbstfinanzierende Handelsstrategien. ϕ dominiert ψ, falls V 0 (ϕ) = V 0 (ψ) und V T (ϕ)(ω) > V T (ψ)(ω) fast sicher. Es gilt das Gesetz des einzigen Preises, falls für alle selbstfinanzierende Handelsstrategien ϕ und ψ aus V T (ϕ) = V T (ψ) auch V t (ϕ) = V t (ψ) für alle 0 t T folgt. PROPOSITION In einem (zeitdiskreten) arbitragefreien Markt gibt es keine selbstfinanzierende Strategie ϕ mit V 0 (ϕ) < 0 und V T (ϕ) In einem (zeitdiskreten) arbitragefreien Markt gibt es gibt keine dominierende Strategie. 3. In einem (zeitdiskreten) arbitragefreien Markt gilt das Gesetz des einzigen Preises. Option Slide 41 Klaus Pötzelberger

42 Arbitrage BEGRÜNDUNG. 1. Sei ϕ eine selbstfinanzierende Strategie mit V 0 (ϕ) < 0 und V T (ϕ) 0. Man kauft das Portfolio und erhält dafür V 0 (ϕ). Legt man diesen Betrag im Bankkontoprozeß an, so erhält man eine selbstfinanzierende Strategie ψ mit V 0 (ψ) = 0 und V T (ψ) > Erfüllen zwei selbstfinanzierende Handelstrategien ϕ und ψ, V 0 (ϕ) = V 0 (ψ) und V T (ϕ) V T (ψ) > 0 gleichzeitig, dann ist ϕ ψ eine Arbitragemöglichkeit. Option Slide 42 Klaus Pötzelberger

43 Arbitrage 3. Seien ϕ und ψ selbstfinanzierende Strategien mit V T (ϕ) = V T (ψ) fast sicher. Angenommen, es gilt ein t mit V t (ϕ) > V t (ψ) mit positiver Wahrscheinlichkeit. Sei A = {ω V t (ϕ)(ω) > V t (ψ)(ω)}. Wir definieren die selbstfinanzierende Handelsstrategie ϕ durch ϕ t = 0 für t t. Für t > t ist ϕ t(ω) = 0 für ω A und ϕ t(ω) = ψ t (ω) ϕ t (ω) für ω A. Zusätzlich wird im Fall ω A, ϕ t (ω) ψ t (ω) in t = t auf das Bankkonto gelegt. In t = T erhält man { V T (ϕ (ϕt (ω) ψ )(ω) = t (ω))b T /B t falls ω A 0 falls ω A. Option Slide 43 Klaus Pötzelberger

44 Beispiel Beispiel 2.14: Put-Call Parität. Der Markt sei arbitragefrei. (S t ) Wertpapier, (B t ) deterministischer Bankkontoprozeß, P t (T, K), C t (T, K) Wert des Put bzw. des Call. Zum Ausübungszeitpunkt T ist C T (T, K) P T (T, K) = (S T K) + (K S T ) + = S T K. Ein Portfolio bestehend aus einem gekauften Call und einem verkauften Put besitzt in t = T den selben Wert wie ein Portfolio, das in t = 0 aus einer Aktie und einem Kredit der Höhe K/B T besteht. Nach dem Gesetz des einzigen Preises gilt die Put-Call Parität C t (T, K) P t (T, K) = S t KB t /B T Option Slide 44 Klaus Pötzelberger

45 Beispiel S 0 = 100, B t = e rt, r = 0.03 C 0 (1, 100) = 26.8, P 0 (1, 100) = Überprüfen, ob eine Arbitragemöglichkeit besteht. Put-Call Parität: Preis des Put C 0 (1, 100) S 0 + Ke r = = Der Put ist zu teuer! Option Slide 45 Klaus Pötzelberger

46 Beispiel Portfolio: t = 0. Kaufen 1000 Calls, verkaufen 1000 Puts und 1000 Aktien. Die Differenz, , kommt auf das Bankkonto. t = 1. Wir besitzen 1000 Calls, haben 1000 Puts und 1000 Aktien leerverkauft und verfügen über ein Bankkonto der Höhe e 0.03 = Wir können bzw. müssen die Aktien wieder zum Preis von = zurückkaufen. Es verbleibt ein Gewinn von : Ist S 1 > K = 100, verfallen die Puts, wir üben die Calloptionen aus und erhalten die 1000 Aktien. Ist S 1 K = 100, verfallen die Calls, der Käufer der Puts übt die Optionen aus, wir müssen die Aktien kaufen. Option Slide 46 Klaus Pötzelberger

47 Beispiel Beispiel Arbitragefreier Markt. (S t ) Wertpapier, (B t ) deterministischer Bankkontoprozeß, P t (T, K), C t (T, K) Wert des Put bzw. des Call. Aus folgt C T (T, K) = (S T K) + S T K Da C t (T, K) 0, folgt C t (T, K) S t KB t /B T. Analog zeigt man, C t (T, K) (S t KB t /B T ) +. P t (T, K) (KB t /B T S t ) +. Option Slide 47 Klaus Pötzelberger

48 Beispiel S 0 = 100, B t = e rt mit r = P 0 (1, 120) = Sie sollte zumindest S 0 Ke r = kosten. Da sie zu billig ist, kaufen wir Puts und Aktien. Wir bezahlen für 100 Aktien und 100 Puts = 11250, was wir durch einen Kredit finanzieren. In t = 1 besitzen wir 100 Aktien, 100 Puts und haben e 0.03 = am Konto. Wir können die Aktien zu einem Preis von mindestens verkaufen. Der Gewinn beträgt mindestens Option Slide 48 Klaus Pötzelberger

49 Beispiel Beispiel Der Markt sei arbitragefrei. (S t ) Wertpapier, (B t ) deterministischer Bankkontoprozeß, C t (T, K) Wert des Call. Es gilt für T 1 T 2 und t T 1, C t (T 1, K) C t (T 2, K) Option Slide 49 Klaus Pötzelberger

50 Beispiel Angenommen, es gibt t 0 T 1 T 2 mit C t0 (T 1, K) > C t0 (T 2, K). Wir kaufen in t 0 eine Calloption mit Ausübungszeitpunkt T 2 und verkaufen eine mit Ausübungszeitpunkt T 1. Die Differenz legen wir auf das Bankkonto. Fall 1, S T1 K: Die verkaufte Calloption verfällt, wir besitzen dann eine Calloption und einen positiven Betrag am Bankkonto, V T2 > 0. Fall 2, S T1 > K: Die verkaufte Option wird ausgeübt, wir legen den erhaltenen Betrag K wieder auf das Bankkonto. Der Wert des Portfolio ist in t = T 2 V T2 = S T2 + (S T2 K) + + KB T2 /B T1 +(C t0 (K; T 1 ) C t0 (K, T 2 ))B T2 /B t0 K(B T2 /B T1 1) + (C t0 (K; T 1 ) C t0 (K, T 2 ))B T2 /B t0 > 0. Option Slide 50 Klaus Pötzelberger

51 Beispiel 2.15 Beispiel 2.15: Forward. Der Markt sei arbitragefrei. (S t ) Wertpapier, (B t ) deterministischer Bankkontoprozeß. Kontrakte, deren Auszahlungsfunktion lineare Funktionen des Underlying sind, insbesondere Forwards, besitzen eindeutige Preise. Sei F der Preis, der in t = 0 für den Kauf des Wertpapiers vereinbart wurde (zu zahlen in t = T ). Ein Portfolio bestehe in t = 0 aus einem Forward, einer verkauften Aktie und einem Bankkonto der Höhe S 0. Sein Wert ist In t = T ist V 0 = 0 S 0 + S 0 = 0. V T = S T F S T + S 0 B T = F + S 0 B T. Man wird das Portfolio kaufen, falls F < S 0 B T und verkaufen, falls F > S 0 B T, um einen Arbitragegewinn zu machen. Daher ist F = S 0 B T Option Slide 51 Klaus Pötzelberger

52 Aufgabe 2.1, 2.2 Aufgabe 2.1. Am Markt befinden sich zwei Aktien, (S 0 t ), (S 1 t ). Ein Anleger bildet ein Portfolio, das aus der ersten Aktie besteht. Zu jedem Zeitpunkt t = 1,..., T 1 bildet er ein Portfolio bestehend aus der besseren Aktie aus der Vorperiode. Wie lauten ϕ 0 t und ϕ1 t? Ist das Portfolio selbstfinanzierend? Aufgabe 2.2. Am Markt befinden sich zwei Aktien, (S 0 t ), (S 1 t ) und ein Bankkonto (B t ). Ein Anleger bildet ein Portfolio, das aus der ersten Aktie besteht. Zu jedem Zeitpunkt t = 1,..., T 1 bildet er ein Portfolio bestehend aus der schlechteren Aktie aus der Vorperiode. Überschüsse werden auf das Bankkonto gelegt.wie lauten ϕ 0 t und ϕ1 t? Ist das Portfolio selbstfinanzierend? Option Slide 52 Klaus Pötzelberger

53 Aufgabe 2.3, 2.4 Aufgabe 2.3. In einem Markt kostet ein Call 57.1 und ein Put Ausübungspreis und -zeitpunkt seien K = 120 und T = 2, das Underlying kostet 130. Der nominelle Zinssatz ist 5%. Finden Sie eine Arbitragemöglichkeit. Aufgabe 2.4. In einem arbitragefreien Markt kostet ein Call 57.1 und ein Put Ausübungspreis und -zeitpunkt seien K = 120 und T = 1, das Underlying kostet 130. Berechnen Sie den konstanten nominellen Zinssatz. Option Slide 53 Klaus Pötzelberger

54 Aufgabe 2.5 Aufgabe 2.5. Sei ein arbitragefreies finanzmathematisches Modell, bestehend aus einem Wertpapier (S t ) und einem deterministischen Bankkontoprozeß (B t ) gegeben. Seien P t (T, K) und C t (T, K) der Wert der Putoption bzw. der Calloption auf das Wertpapier zum Zeitpunkt t. Der Ausübungszeitpunkt sei T und der Ausübungspreis K. Man zeige, daß für K K, C t (T, K ) C t (T, K) C t (T, K ) + (K K)B t /B T, P t (T, K) P t (T, K ) P t (T, K) + (K K)B t /B T. Option Slide 54 Klaus Pötzelberger

55 Aufgabe 2.6 Aufgabe 2.6. Sei ein arbitragefreies finanzmathematisches Modell, bestehend aus einem Wertpapier (S t ) und einem deterministischen Bankkontoprozeß (B t ) gegeben. Seien P t (T, K) und C t (T, K) der Wert der Putoption bzw. der Calloption auf das Wertpapier zum Zeitpunkt t. Der Ausübungszeitpunkt sei T und der Ausübungspreis K. Sei α [0, 1] und K = αk 1 + (1 α)k 2. Man zeige, daß C t (T, K) αc t (T, K 1 ) + (1 α)c t (T, K 2 ), P t (T, K) αp t (T, K 1 ) + (1 α)p t (T, K 2 ). Option Slide 55 Klaus Pötzelberger

56 Aufgabe 2.7, 2.8 Aufgabe 2.7. In Beispiel wird angenommen, daß das Underlying keine Dividenden oder Zinsen zahlt. Sind mit dem Besitz des Underlying Zahlungen verbunden, müssen sie berücksichtigt werden. Sei S t ein Wechselkurs, z.b. der Preis eines Dollar (in Euro). In den USA und Europa seien die nominellen Zinssätze r a = 1.5% bzw. r e = 2.5%. Ein Termingeschäft legt in t = 0 den Preis F fest, der für 1 Dollar in t = T zu zahlen ist. Sei S 0 = 0.8 und T = 1. Berechnen Sie F. Aufgabe 2.8. In Beispiel wurde für einen Forward die Höhe des in t = T zu zahlenden Preises (F = S 0 B T ) festgelegt. Sei f t der Wert des Forward zum Zeitpunkt t (0 t T ). Berechnen Sie f t in einem arbitragefreien Markt. Option Slide 56 Klaus Pötzelberger

57 Stochastische Prozesse Stochastische Prozesse Inhalt: Irrfahrt, Geometrische Irrfahrt, Brown sche Bewegung, Geometrische Brown sche Bewegung. Option Slide 57 Klaus Pötzelberger

58 Stochasische Prozesse Stochastische Prozesse sind zufällige Größen, die sich über die Zeit ändern. Prozesse in diskreter Zeit: Folgen von Zufallsgrößen, (X n ) N n=0, (X tn )) N n=0 oder (X n) n=0 Prozesse in stetiger Zeit: (X t ) 0 t T bzw. (X t ) 0 t Jedem Szenario ω Ω entspricht ein Pfad (X n (ω)) N n=0 bzw. (X t (ω)) 0 t T. Option Slide 58 Klaus Pötzelberger

59 Stochasische Prozesse S t Option Slide 59 Klaus Pötzelberger

60 Stochasische Prozesse S t Option Slide 60 Klaus Pötzelberger

61 Stochasische Prozesse S t Option Slide 61 Klaus Pötzelberger

62 Stochasische Prozesse Die Verteilung des Prozesses (X n ) N n=0 wird festgelegt durch: 1. Verteilung des Anfangswerts X 0 2. alle bedingten Verteilungen X n X 0, X 1,..., X n 1, n = 1,..., N Prozeß mit einfachster Struktur: Weißes Rauschen. (Z n ) unabhängig und identisch verteilt, zentriert, d.h. E[Z n ] = 0 Jeder stochastische Prozeß (X n ) von weißem Rauschen generiert: X 0 = g 0 (Z 0 ) X n = g n (X 0, X 1,..., X n 1, Z n ) Option Slide 62 Klaus Pötzelberger

63 Irrfahrt Irrfahrt: Prozeß (X n ) N n=0 Zuwächsen. mit unabhängigen und identisch verteilten D.h. es gibt unabhängige Zufallsvariable X 0, Z 1,..., Z N, mit Z i Z 1 und für n = 1,..., N, X n = X n 1 + Z n Alternative Darstellung: X n = X n 1 + Z n X n = X n 2 + Z n 1 + Z n. X n = X 0 + Z Z n. Option Slide 63 Klaus Pötzelberger

64 Beispiel Beispiel 3.1. Binomialprozeß. (X n ) ist eine Irrfahrt mit Zuwächsen, die nur zwei Werte, u und d, annehmen können. P (Z n = u) = p, P (Z n = d) = 1 p, 0 p 1 Sei X 0 = 0, u = 1 und d = 0. X n = Z Z n. mit unabhängigen und identisch verteilten Indikatorvariablen Z 1,.., Z n X n B(n, p) und X n X n 1 = x n 1,..., X 1 = x 1 = { xn mit Wahr. p mit Wahr. 1 p x n 1 Die bedingte Verteilung von X n X n 1,..., X 1 hängt nur von der unmittelbaren Vergangenheit X n 1 ab. Option Slide 64 Klaus Pötzelberger

65 Beispiel Allgemein: Die Anzahl der u s binomialverteilt. Es ist also X n = X 0 + ub n + d(n B n ), wobei B n B(n, p) und X n X n 1 = x n 1,..., X 1 = x 1 = { xn 1 + u mit Wahr. p x n 1 + d mit Wahr. 1 p Option Slide 65 Klaus Pötzelberger

66 Beispiel X p 1 p 1 1 p 1 p p 1 p p 1 p p 1 p p 1 p p 1 p p 1 p p 1 p p 1 p n Option Slide 66 Klaus Pötzelberger

67 Irrfahrt Erwartungswert und Varianz einer Irrfahrt (X n ): E[X n ] = E[X 0 + Z Z n ] = E[X 0 ] + E[Z 1 ] + + E[Z n ] = E[X 0 ] + ne[z 1 ] V[X n ] = V[X 0 + Z Z n ] = V[X 0 ] + V[Z 1 ] + + V[Z n ] = V[X 0 ] + nv[z 1 ] Option Slide 67 Klaus Pötzelberger

68 Irrfahrt u=1,d= 1,p=1/2 u=1,d= 1,p=7/10 X X n n u=1,d= 1/2,p=1/3 u=1,d= 1/2,p=1/2 X X n n Option Slide 68 Klaus Pötzelberger

69 Beispiel > u<-1 > d<--1 > p<-1/2 > n<-25 > Z<-sample(c(u,d),n,replace=T,prob=c(p,1-p)) > X<-c(0,cumsum(Z)) > plot(x,type="b",xlab="n",ylab="x",ylim=c(-15,15)) > for(i in 1:5){ + Z<-sample(c(u,d),n,replace=T,prob=c(p,1-p)) + X<-c(0,cumsum(Z)) + lines(x,type="b",col=i)} > title("u=1, d=-1, p=1/2") Option Slide 69 Klaus Pötzelberger

70 Beispiel Beispiel 3.2. Sei (X n ) ein Binomialprozeß mit X 0 = 0. Aus folgt µ = E[Z 1 ] = pu + (1 p)d, σ 2 = V[Z 1 ] = p(u µ) 2 + (1 p)(d µ) 2 = p(1 p) 2 (u d) 2 + (1 p)p 2 (u d) 2 = p(1 p)(u d) 2 E[X n ] = nµ = n(pu + (1 p)d) V[X n ] = nσ 2 = np(1 p)(u d) 2. Option Slide 70 Klaus Pötzelberger