Gleitkommaarithmetik und Pivotsuche bei Gauß-Elimination. Lehrstuhl für Angewandte Mathematik Wintersemester 2009/

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1 Gleitkommaarithmetik und Pivotsuche bei Gauß-Elimination Vorlesung Computergestützte Mathematik zur Linearen Algebra Lehrstuhl für Angewandte Mathematik Wintersemester 2009/0 4. Januar 200

2 Instabilitäten bei Gauß-Elimination Beispiele: A = [ ] 0 Division durch 0 im. Schritt, LR-Zerlegung existiert nicht [ ] 0 A = Pivotelement 0 0, LR-Zerlegung existiert [ ] [ ] 0 0 L = 0 20, R = richtig, wenn keine Rundefehler auftreten

3 Gleitkommaarithmetik Wie werden Zahlen im Rechner dargestellt? Welche Fehler können bei Grundrechenarten passieren? Wie kann man Instabilitäten im Gauß-Algorithmus vermeiden?

4 Gleitpunktdarstellung reeller Zahlen x R, x 0 kann eindeutig durch x = ±a 0 b dargestellt werden: a Mantisse, 0. a < b Exponent Einschränkungen durch den Rechner: nur l Ziffern für die Mantisse nur l Ziffern für den Exponenten hier zur Vereinfachung: l =

5 Gleitpunktdarstellung reeller Zahlen sei a auf l Ziffern gerundete Mantisse von x = ±a 0 b, so kann nur mit fl(x) = ±a 0 b statt x gerechnet werden. Beispiel: l = 8, x = π = fl(π) = Definition. Die Maschinengenauigkeit eps ist die kleinste positive Zahl für die fl( +eps) >. Dezimalsystem mit l-stelliger Genauigkeit: eps = 5 0 l, Binärsystem (Basis 2): eps = 2 l (Matlab: l = 52)

6 IEEE std : Gleitkommazahlen Standardisierung der Darstellung im Rechner durch IEEE: single precision: 32 bit, double precision 64 bit Genauigkeit Vorzeichen Exponent Mantisse einfach = single (3) 8(30-23) 23(22-0) doppelt = double (63) (62-52) 52(5-0) Eine Gleitkommazahl x wird dargestellt durch b Basis (b = 2) x = s m b e e Exponent (8 bzw. bits) m Mantisse (23 bzw. 52 bits) Damit ergibt sich eps = bzw. eps = In Matlab wird standardmäßig doppelt genau gerechnet.

7 Relative Fehler Satz. Für jedes x 0 ist fl(x) x eps x, der relative Fehler ist also durch die Maschinengenauigkeit beschränkt. Beweis. Sei x = a 0 b und fl(x) = a 0 b. Bei l signifikanten Stellen ist a a 5 0 l, also fl(x) x x = a a 0b a 0 b 5 0 l 0 = eps, da a 0. Schreibe daher fl(x) = x( + ǫ) mit ǫ eps

8 Kondition eines Problems Ein Problem sei durch Auswertung einer Abbildung F : R n R beschrieben, wobei F z.b. Polynom rationale Funktion Lösung von Ax = b Lösung eines Eigenwertproblems Ax = λx Wie wirken sich Störungen in den Eingabedaten x = (x,...,x n ) auf das Resultat F(x) aus?

9 Kondition eines Problems Definition. Die relative Kondition κ r von F ist die kleinste Zahl, für die für eine Störung ǫ gilt x i x i x i ǫ = F( x) F(x) F(x) κ r ǫ. Definition. Die absolute Kondition κ a von F ist die kleinste Zahl, für die für eine Störung ǫ gilt x i x i ǫ = F( x) F(x) κ a ǫ. Das Problem heißt gut konditioniert, falls κ r und/oder κ a nicht zu groß ist und anderenfalls schlecht konditioniert.

10 Multiplikation zweier reeller Zahlen Sei F(x, x 2 ) = x x 2. Für die gestörten Werte ist x = x ( + ǫ ), x 2 = x 2 ( + ǫ 2 ), ǫ i eps x x 2 x x 2 x x 2 = ( + ǫ )( + ǫ 2 ) = ǫ + ǫ 2 + ǫ ǫ 2. eps klein, vernachlässige ǫ ǫ 2 : x x 2 x x 2 x x 2 2eps. damit: κ r (F) = 2, Multiplikation ist gut konditioniert.

11 Subtraktion zweier reeller Zahlen Für F(x, x 2 ) = x x 2 ist ( x x 2 ) (x x 2 ) x x 2 = x ǫ x 2 ǫ 2 x x 2 x + x 2 eps = κeps. x x 2 signx = signx 2 (Addition): κ r (F) =, Problem gut konditioniert x x 2 : κ r (F) sehr groß, Subtraktion zweier etwa gleich großer Zahlen ist sehr schlecht konditioniert (Auslöschung)

12 Beispiel bei eps = 0 6 A = [ ] 0 Pivotelement 0 0, LR-Zerlegung von A existiert: [ ] [ ] 0 0 L = 0 20, R = damit fl(l) = L = [ ] [ ] , fl(r) = R 0 = damit [ ] 0 L R = A = 0 [ ] 0

13 fl(l) = L = [ ] [ ] , fl(r) = R 0 = also [ ] 0 L R = A = 0 [ ] 0 [ ] löst man mit L und R das LGS Ax = b mit b =, so ergibt sich 0 [ ] aus Lỹ = b zunächst ỹ = 0 20 (richtig) und dann aus R x = ỹ [ ] [ ] 0 die Lösung x = (statt richtig x = )

14 Spaltenpivotsuche Problem. L-Faktor enthält großes Element. Erinnerung: k Schritte Gauß-Elimination liefern α A A k = α k α k... α n Spaltenpivotsuche: wähle α j = max k i n α i als Pivotelement. damit: l ik

15 Beispiel für n = A = Matlab-Demo: lrdemo A =

16 Gauß-Elimination mit Spaltenpivotsuche nach n Schritten Gauß-Elimination: L n P n L 2 P 2 L P A = R mit Permutationsmatrizen P,...,P n oder L n P n L 2 P 2 L P = (L n L 2L )(P n P 2 P ) =: L P mit L k = P n P k+ L k P k+ P n wichtig: P j führt nur Vertauschungen zwischen Zeilen j und m mit m > j durch, daher bleibt die Struktur von L k unverändert, lediglich die Elemente unterhalb der Diagonalen werden permutiert

17 LR-Zerlegung mit Spaltenpivotsuche Satz. Jede nichtsinguläre Matrix A K n,n hat eine Zerlerung PA = LR mit. P Permutationsmatrix 2. L untere Dreiecksmatrix mit l i,i = und l j,k 3. R obere Dreiecksmatrix mit r j,j 0 Anwendung: Lösung linearer Gleichungssysteme Ax = b PAx = Pb LRx = Pb Ly = Pb, Rx = y

18 Stabilität Definition: Ein Verfahren zur Berechnung von y = F(x) heißt stabil im Sinne der Vorwärtsanalyse, falls bei einer Rechengenauigkeit von eps für das berechnete Resultat ŷ ŷ y y Cκ r eps für eine nicht zu große Konstante C gilt.

19 Stabilität Definition: Ein Verfahren zur Berechnung von y = F(x) heißt stabil im Sinne der Rückwärtsanalyse, falls bei einer Rechengenauigkeit von eps das berechnete Resultat ŷ als exakte Lösung eines leicht gestörten Problems aufgefasst werden kann, d.h. ŷ = F(ˆx), mit ˆx x x Ceps für eine nicht zu große Konstante C gilt.

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