Zur Behandlung der Division. Klassifikationstypen und heuristische Strategien

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1 Zur Behandlung der Division Klassifikationstypen und heuristische Strategien

2 Wiederholung: Erkennen der Operation und des Klassifikationstypes Am Inselsberg ist ein neuer Skilift in Betrieb genommen worden. Es ist ein Sessellift mit 12 Gondeln. In jeder Gondel haben 4 Personen Platz. Wie viel Personen können damit transportiert werden? Papa hat die Urlaubsstrecke in die Schweizer Alpen geplant und die Gesamtstrecke von 1089 km in Abschnitte geteilt. Am ersten Tag will die Familie die 378 km bis nach München reisen und dort bei Tante Helga übernachten. Am zweiten Tag geht es 247 km bis nach Basel. Welche Wegstrecke muss die Familie dann noch zurücklegen?

3 Wiederholung: Erkennen der Operation und des Klassifikationstypes Am Inselsberg ist ein neuer Skilift in Betrieb genommen worden. Es ist ein Sessellift mit 12 Gondeln. In jeder Gondel haben 4 Personen Platz. Wie viel Personen können damit transportiert werden? Multiplikation: räumlich-simultaner (statischer) Aspekt Papa hat die Urlaubsstrecke in die Schweizer Alpen geplant und die Gesamtstrecke von 1089 km in Abschnitte geteilt. Am ersten Tag will die Familie die 378 km bis nach München reisen und dort bei Tante Helga übernachten. Am zweiten Tag geht es 247 km bis nach Basel. Welche Wegstrecke muss die Familie dann noch zurücklegen? Subtraktion: Vereinigen (Teilmenge gesucht)

4 Wiederholung: Erkennen der Operation und des Klassifikationstypes Lena hat im Sportgeschäft ein Paar Alpinskier für gesehen. Wenige Tage später werden die gleicher Skier im Winterschlussverkauf für angeboten. Wie viel Geld kann Lena sparen, wenn sie die Skier im Winterschlussverkauf nimmt? Paul wünscht sich neue Skier. Es hat im Winterschlussverkauf ein Paar im Angebot für gesehen. Sein Geburtstagsgeld in Höhe von 85.- reicht dafür leider noch nicht. Wie viel Geld muss Paul noch von seinem Spargeld hinzutun?

5 Wiederholung: Erkennen der Operation und des Klassifikationstypes Lena hat im Sportgeschäft ein Paar Alpinskier für gesehen. Wenige Tage später werden die gleicher Skier im Winterschlussverkauf für angeboten. Wie viel Geld kann Lena sparen, wenn sie die Skier im Winterschlussverkauf nimmt? Addition/ Subtraktion: Vergleichen (Operator gesucht) Paul wünscht sich neue Skier. Es hat im Winterschlussverkauf ein Paar im Angebot für gesehen. Sein Geburtstagsgeld in Höhe von 85.- reicht dafür leider noch nicht. Wie viel Geld muss Paul noch von seinem Spargeld hinzutun? Subtraktion: Ergänzen/ Addition: Ausgleichen

6 Lösungsstrategien zu Divisionsaufgaben vor der Behandlung der Operation Beispielaufgabe: Mama hat eine Tüte Bonbons mit insgesamt 18 Stück geöffnet. Jedes der 6 Kinder bekommt gleich viele. reine Schätzstrategie: das Ergebnis wird geschätzt und über eine wiederholte Addition geprüft Schätzen und Verteilen: das Ergebnis wird geschätzt und dabei wird ein Verteilen gleich vorgenommen Beispielaufgabe: Mama hat eine Tüte mit 18 Bon- Bons geöffnet. Jedes Kind bekommt 3 Bonbons. Rückwärtsstrategie: es werden Teilmengen in der Größe des Divisors gebildet Vorwärtsstrategie: es werden so lange Teilmengen in der Größe des Divisors hingelegt, bis die Gesamtzahl erreicht ist

7 Grundvorstellungen der Division Was ist Dividieren? es ist das Zerlegen einer endlichen Menge in gleichmächtige, paarweise elementfremde Teilmengen kann aus unterschiedlichen Sachkontexten hergeleitet werden können Aufteilen Verteilen

8 Beispiele zum Aufteilen In einer Kiste liegen 18 Mandarinen. Immer 6 werden in einen Beutel verpackt. Wie viele Beutel können gefüllt werden? (zeitlich-sukzessiver Kontext) In der Klasse 2 a lernen 24 Kinder. Die Lehrerin sagt: Bildet Vierergruppen. Wie viele Gruppen entstehen? (räumlich-simultaner Kontext) Papa hat ein Brett von 3 m Länge im Baumarkt gekauft. Um die Bretter anschrauben zu können, muss er 60 cm lange Stücke abschneiden. (Aufteilen bei Längen entspricht dem Messen)

9 Beispiele zum Verteilen In einer Kiste liegen 18 Mandarinen. Sie sollen in 3 Beutel gleichmäßig verpackt werden. Wie viele Mandarinen kommen in einen Beutel? In der Klasse 2 a lernen 20 Kinder. Die Lehrerin sagt: Wir wollen 4 gleich starke Gruppen bilden. Wie viele Kinder gehören zu einer Gruppe? 20 Plättchen liegen geordnet auf dem Tisch. Sie liegen in 5 Reihen, in jeder Reihe liegen gleich viele. Wie viele Plättchen gehören zu einer Reihe?

10 Grundvorstellungen der Division Aufteilen Was charakterisiert das Aufteilen? Verteilen Was charakterisiert das Verteilen? gegeben ist die Gesamtmenge (entspricht in der formalen Aufgabe dem Dividenden) und die Anzahl der Elemente in der Teilmenge gesucht ist die Anzahl der Teilmengen gegeben ist die Gesamtmenge (entspricht in der formalen Aufgabe dem Dividenden) und die Anzahl der Teilmengen gesucht ist die Anzahl der Elemente in der Teilmenge

11 Weitere Grundvorstellungen zur Division, die ergänzend zu behandeln sind Division als Umkehrung der Multiplikation eine Multiplikationsaufgabe wird genutzt, um die Division zu begründen Beispiel: 18 : 3 gesucht ist die Zahl, die mit 3 multipliziert 18 ergibt Grund: Rechnen von Grundaufgaben Division als wiederholte Subtraktion formale Beziehung zur Subtraktion zur Einführung der Division nutzen Beispiel: 18 : 3 Wie oft können wir 3 von 18 abziehen, bis wir Null erhalten? Grund: halbschriftliche und schriftliche Division

12 Weitere Grundvorstellungen zur Division, die ergänzend zu behandeln sind Division als multiplikativer Vergleich Beispiel: Arne und Thomas sammeln Briefmarken. Arne hat 3 mal soviel Marken mit Rennautos wie Thomas. Arne kann 21 Marken in seinem Album finden. Wie viele Briefmarken mit Rennautos hat Thomas? Grund: Sachsituationen im täglichen Leben

13 Welchem Klassifikationstyp entspricht jede Aufgabe? Gr. A Jonas hat eine Schachtel mit 20 Murmeln gefunden. Die 5 Kinder beschließen nun, damit zu spielen. Maria sagt zu ihrem Bruder, Mama und Papa: Kommt, wir spielen zusammen Mau, mau. Dazu gibt sie die 32 Karten gleichmäßig aus. Gr. B Zu einem Memoryspiel gehören 48 Kärtchen. Jedes Kind bekommt gleich viele Kärtchen, nämlich immer 8. Theo hat 15 Luftballons aufgeblasen. Immer 5 Luftballons werden an einer Girlande befestigt. Mit den Girlanden wird der Raum geschmückt.

14 Formulieren Sie die Aufgabe so um, dass der jeweils andere Aspekt zum Ausdruck kommt. Gr. A Gr. B Maria sagt zu ihrem Bruder, Mama und Papa: Kommt, wir spielen zusammen Mau, mau. Dazu gibt sie die 32 Karten gleichmäßig aus. Theo hat 15 Luftballons aufgeblasen. Immer 5 Luftballons werden an einer Girlande befestigt. Mit den Girlanden wird der Raum geschmückt.

15 Welchem Klassifikationstyp entspricht jede Aufgabe? Lösungen Gr. A Jonas hat eine Schachtel mit 20 Murmeln gefunden. Die 5 Kinder beschließen nun, damit zu spielen. Verteilen Maria sagt zu ihrem Bruder, Mama und Papa: Kommt, wir spielen zusammen Mau, mau. Dazu gibt sie die 32 Karten gleichmäßig aus. Verteilen Gr. B Zu einem Memoryspiel gehören 48 Kärtchen. Jedes Kind bekommt gleich viele Kärtchen, nämlich immer 8. Aufteilen Theo hat 15 Luftballons auf-geblasen. Immer 5 Luftballons werden an einer Girlande befestigt. Mit den Girlanden wird der Raum geschmückt. Aufteilen

16 Formulieren Sie die Aufgabe so um, dass der jeweils andere Aspekt zum Ausdruck kommt. Lösung Gr. A Maria sagt zu ihrem Bruder, Mama und Papa: Kommt, wir spielen zusammen Mau, mau. Dazu gibt sie die 32 Karten gleichmäßig aus. Aufteilen: Es sind 32 Mau-mau- Karten. Maria sagt: Jeder braucht 8 Karten, um mitspielen zu können. Wie viele Personen können insgesamt mitspielen? Gr. B Theo hat 15 Luftballons aufgeblasen. Immer 5 Luftballons werden an einer Girlande befestigt. Mit den Girlanden wird der Raum geschmückt. Verteilen: Theo hat 15 Luftballons aufgeblasen. Sie sollen an den 3 Girlanden gleichmäßig festgebunden werden. Wie viele Luftballons kommen an jede Girlande?

17 Heuristische Strategien bei der Division 42 : 7 Nachbaraufgabe 49 : 7 = 7 42 : 7 = 6, 42 sind 1 x 7 weniger Umkehraufgabe 6 * 7 = 42 also ist 42 : 7 = 6 Verdoppeln oder Halbieren 21 : 7 = 3 21 ist die Hälfte von 42, also ist Ergebnis das Doppelte von 3

18 Heuristische Strategien bei der Division 42 : 7 schrittweises Rechnen Dividend wird in eine Summe oder Differenz zerlegt und durch den Divisor geteilt (Distributivgesetz) 42 : 7 = (35 + 7) : 7 = oder 42 : 7 = (49 7) : 7 = 7 1 gleichsinniges Verändern von Dividend und Divisor wenn Dividend und Divisor mit derselben Zahl multipliziert oder durch dieselbe Zahl dividiert werden, bleibt das Ergebnis gleich (Anwendung nur bei speziellen Zahlen möglich) 42 : 7 42 : 6 (42 : 6) : 2 = (42 : 2) : (6 : 2) = 21 : 3 = 7

19 Die besondere Zahl Null Erklärung mit der Umkehroperation Multiplikation 8 : 2 = 4, denn 4 * 2 = 8 8 : 8 = 1, denn 1 * 8 = 8 0 : 8 = 0, denn 0 * 8 = 0 aber: 8 : 4 = 2, denn 2 * 4 = 8 8 : 1 = 8, denn 8 * 1 = 8 8 : 0 ist nicht definiert, denn * 0 = 8 hat keine Lösung 0 : 0 ist nicht definiert, denn für alle natürlichen Zahlen n gilt n * 0 = 0 (also lässt sich 0 : 0 nicht eindeutig ein Ergebnis zuordnen)

20 Die besondere Zahl Null Erklärung über die wiederholte Subtraktion 0 : 8 Wie oft muss ich 8 von Null abziehen, um Null zu erhalten? Null mal 8 : 0 Wie oft muss ich 0 von 8 abziehen, um Null zu erhalten? Geht nicht, ist also nicht definiert