Grundlagen der Elektrotechnik 1

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1 Grundlagen der Elektrotechnik 1 Kapitel 5: Elektrisches Strömungsfeld 5 Elektrisches Strömungsfeld 5.1 Definition des Feldbegriffs 5. Das elektrische Strömungsfeld Strömungsfeld in einer zylindrischen Anordnung Strömungsfeld in einer punktförmigen Anordnung Strömungsfeld in einer linienhaften Anordnung Elektrische Spannung und elektrischer Widerstand Grenzbedingungen im Strömungsfeld Aufgaben

2 5. Elektrisches Strömungsfeld 5.1 Definition des Feldbegriffs Der Feldbegriff beschreibt einen Raumzustand. Ein Feld kann dabei als energieerfüllter Raum angesehen werden. n diesem energieerfüllten Raum erfahren Teilchen eine Kraftwirkung. Nur über dies Wechselwirkung zwischen Teilchen und Feld ist der Nachweis des Vorhandenseins eines Feldes möglich. Der Begriff ist dabei letztendlich eine Hilfsvorstellung und hat keine direkte physikalische Entsprechung. Er dient der makroskopischen Beschreibung einzelner Wechselwirkungen. Als Beispiel soll Strömung in einer Wasserleitung dienen. Fließt Wasser bedingt durch einen Druckunterschied durch eine Leitung, kann diese Bewegung der Wassermoleküle als ein Strömungsfeld angesehen werden. Die Strömung nimmt dabei eine bestimmte Richtung an und kann daher als ein Vektorfeld beschrieben werden. Ein Vektorfeld hat immer eine Größe und eine Richtung. Wird nun ein Gegenstand in dieses Strömungsfeld eingebracht, erfährt er eine Kraftwirkung und wird sich entlang der Feldlinien dieses Strömungsfeldes bewegen. Der Gegenstand hat an bestimmten Punkten der Transportstrecke eine bestimmte potentielle Energie. Verbindet man alle Punkte gleicher potentieller Energie miteinander, entsteht ein Skalarfeld. Dieses Skalarfeld beschreibt dann den Zustand des Gegenstands unabhängig von der Herkunftsrichtung (Abbildung 5.1.1). V Äquipotentiallinien Strömungsfeld S Abbildung 5.1.1: Strömungsfeld in einer Wasserleitung Die direkte Ursache für die Bewegung des Körpers ist die Wechselwirkung zwischen den bewegten Wassermolekülen und dem Körper selbst. Da aber sehr viele Wassermoleküle auf den Körper einwirken ist die vom einzelnen Molekül losgelöste Vorstellung des Strömungsfeldes einfacher behandelbar. Ein weiteres Feld ist das Gravitationsfeld von Massen. Auch hier tritt eine Wechselwirkung zwischen Teilchen auf, die für die resultierende Kraftwirkung verantwortlich sind. Diese Teilchen sind die postulierten Gravionen. hr Nachweis ist bisher noch nicht gelungen, die Wirkung jedoch allgemein bekannt. Auch das Gravitationsfeld hat eine Größe und Richtung. Ebenso existieren Äquipotentiallinien, also Linien, entlang derer ein Körper im Gravitationsfeld den gleichen Zustand annimmt (Abbildung 5.1.)

3 Gravitationsfeld E Äquipotentiallinien V Abbildung 5.1.: Gravitationsfeld eines Planeten der Klasse M5 Für die Elektrotechnik von besonderem nteresse sind das elektrische Strömungsfeld, das elektrostatische Feld und das magnetische Feld. Grundsätzlich lassen sich aus den vektoriellen Größen die skalaren Größen durch ntegration ableiten. So gilt für das Gravitationsfeld: V = E ds Gleichung Beziehungsweise im Strömungsfeld: V = S ds 5. Das elektrische Strömungsfeld Gleichung 5.1. Überträgt man diese Überlegungen für Felder auf das elektrische Strömungsfeld, muß zunächst nach der Ursache dieses Feldes gefragt werden. Das elektrische Strömungsfeld wird durch die Bewegung von elektrischen Ladungsträgern hervorgerufen. Die Ausbildung eines elektrischen Strömungsfeldes setzt daher das Vorhandensein eines elektrisch leitfähigen Materials voraus. Für die Bewegung elektrischer Ladungsträger ist weiterhin eine Potentialdifferenz notwendig, um die Bewegung anzuregen. Ein Beispiel für das elektrische Strömungsfeld ist die gesamte Gleichstromtechnik. Betrachtet man einen homogenen Leiter mit der Leitfähigkeit, der an eine Spannungsquelle angeschlossen wird, bildet sich in diesem Leiter ein elektrischer Strom und somit ein elektrisches Strömungsfeld aus (Abbildung 5..1). Die Potentialdifferenz U, allgemein als elektrische Spannung bekannt, hat bei einem leitenden Körper einen elektrischen Strom zur Folge. Wenn dieser Körper eine räumliche Ausdehnung besitzt, wird sich der Strom in diesem Raum ausbreiten und zum Fließen kommen. Es wird sich eine Stromdichte S einstellen. Für diese Stromdichte gilt: d Gleichung 5..1 S = da n integraler Form gilt: = S r da r = S n da Gleichung 5.. Entlang der Länge l des Leiters wird sich eine elektrische Feldstärke ausbilden, die aus Sicht des Leiters und der sich darin bewegenden Ladungsträger die Ursache ihrer Bewegung ist. Für diese Feldstärke gilt:

4 l S A n U E Abbildung 5..1: Strömungsfeld im elektrischen Leiter r E = grad( V ) n integraler Form ergibt sich: V = E dl Gleichung 5..3 Gleichung 5..4 Damit läßt sich die Spannung am Leiter definieren: b Gleichung 5..5 U ab = E dl = Va Vb a Weiterhin gilt für die Stromdichte: S = E Gleichung 5..6 Der Strom durch den Leiter ist an jeder beliebigen Querschnittstelle gleich groß. Die Stromdichte ändert sich abhängig von der Querschnittsfläche Strömungsfeld einer zylindrischen Anordnung Betrachtet man eine zylindrische Anordnung (Abbildung ) mit eineunden unendlich gut leitenden Zuleitung im Zentrum mit dem Radius R 0 und einer unendlich gut leitenden Rückleitung am Außenrand des Leiter mit dem Radius R 1, ergeben sich folgende Zusammenhänge: Für die dem Strom zur Verfügung stehende Querschnittsfläche ergibt sich: A( r) = r π l Gleichung Dabei ist l die Länge der Anordnung. Wenn die Länge sehr groß ist im Vergleich zum Radius, kann das Problem als zweidimensionale Anordnung betrachtet werden. Für die Stromdichte ergibt sich damit: S = A r = Gleichung ( ) r π l Der Betrag der elektrischen Feldstärke bei einer Leitfähigkeit der Anordnung von ist: S Gleichung E = = r π l Die elektrische Feldstärke breitet sich dabei in radialer Richtung aus. Für das Skalarpotential V gilt:

5 V = E dr = dr = ln( r) + r π l π l V C Gleichung R 1 R 0 Abbildung : Zylindrische, leitfähige Anordnung Das Potential V C ist dabei das am nnenleiter anliegende Potential. Betrachtet man die Potentialdifferenz zwischen nnen- und Außenleiter, so ergibt sich: R Gleichung U = E dr = V = 0 V1 ln π l R0 Der elektrische Widerstand dieser Anordnung ist damit: R Gleichung R U ln R0 = = π l Das resultierende Feldbild dieses Strömungsfeldes ist in Abbildung dargestellt. Die Feldstärke nimmt dabei vom Betrag mit dem Logarithmus des Radius ab. E V Abbildung 5..1.: Feldbild der zylindrischen, leitfähigen Anordnung 5.. Strömungsfeld einer punktförmigen Anordnung

6 Als Punktquelle soll dabei eine Kugelelektrode dienen. m nneren der Kugel befindet sich ein Hohlraum, dessen Oberfläche mit einem ideal leitfähigen Material überzogen ist. An diese Oberfläche ist ein Draht angeschlossen, der sie mit einem Strom versorgt. Die äußere Oberfläche der Kugel ist ebenfalls mit einer ideal leitfähigen Oberfläche überzogen. An ihr wird der Rückleiter befestigt. Die gesamte Kugel habe die homogene Leitfähigkeit (Abbildung 5...1). Der nnenradius beträgt R 0 und der Außenradius R 1. R 1 =0 R 0 Abbildung 5...1: Kugel mit nnenleiter und Außenleiter Für die Berechnung dieser Anordnung können die gleichen Überlegungen vorgenommen werden, wie bei der Zylinderanordnung. Die dem Strom zur Verfügung stehende Querschnittsfläche ergibt sich zu: A( r) = 4 r π Gleichung Die Stromdichte S ergibt sich somit zu: Gleichung 5... S = = A ( r ) 4 r π Für den Betrag der elektrischen Feldstärke ergibt sich somit: S Gleichung E = = 4 r π Auch bei dieser Anordnung breitet sich die Feldstärke in radialer Richtung aus. Für das Skalarpotential gilt dann wieder: Gleichung V = E dr = dr = + V C 4 r π 4 π r Die den Strom treibende Spannung U ergibt als Potentialdifferenz zwischen nnnenfläche der Kugel und Außenfläche. ( R1 R0 ) Gleichung U = V0 V1 = = 4 π R0 4 π R1 4 π R0 R1 Der elektrische Widerstand der Anordnung ist damit: R U R1 R0 Gleichung 5..6 = = 4 π R0 R1 Das Feldbild von elektrischer Feldstärke und Skalarpotential gleicht dem der zylindrischen Anordnung. Seine Symmetrie erhöht sich lediglich auf die dritte Dimension. Betrachtet man

7 den Betrag der elektrischen Feldstärke, so fällt auf, daß diese mit dem Quadrat der Entfernung vom Kugelzentrum abnimmt (Abbildung 5...). E R 0 Abbildung 5...: Verlauf der elektrischen Feldstärke R 1 r Läßt man die Kugel zu einem Prunkt zusammenschrumpfen, erhält man den Feldverlauf einer Punktquelle. Bei dieser, nur gedanklich realisierbaren, Quelle steigt die elektrische Feldstärke am Ursprungsort der Quelle über alle Grenzen Strömungsfeld einer linienhaften Anordnung Betrachtet man eine Linienanordnung (Abbildung ), so kann diese als eine Sequenz von Punktquelle aufgefaßt werden. y 1 y r P(x 1,y 1 ) L l x 1 d x Abbildung : Linienquelle Die Stromzuführung erfolgt über einen dünnen Draht, dessen Wirkung vernachlässigbar ist. Der Raum um die Linienquelle besitzt die Leitfähigkeit. Der Rückleiter befindet sich im Unendlichen. Die Linienquelle wird als eine Anreihung von Punktquellen aufgefaßt, so daß gilt: dl Gleichung d = L Für jede dieser Punktquellen gilt dann die Gleichung für das Skalarfeld einer Punktladung. Da die Anordnung nur noch Symmetrie bezüglich ihrer Rotationsachse aufweist, wird die elektri

8 sche Feldstärke zwei Komponenten aufweisen. Daher ist der Lösungsansatz über das Skalarfeld günstiger. Für das Skalarfeld einer Punktquelle gilt: Gleichung V = 4 π r Der Abstandsradius von einer solchen Punktquelle ergibt sich nach: r = ( x l) + y Gleichung Setzt man dies in die Gleichung für das Skalarfeld ein, ergibt sich: Gleichung V = 4 π ( x l) + y Da es sich aber um eine Linienquelle mit der Länge L handelt, muß der Zusammenhang für d eingesetzt werden. Es gilt dann: d dl Gleichung dv = = 4 π ( x l) + y L 4 π ( x l) + y Die elektrische Skalarpotential läßt sich damit durch Lösung des ntegrals ermitteln. L / dl V = L 4 π L / ( x l) + y L / V ln x l ( x l) y L 4 + Gleichung = + π L / Für das Skalarpotential ergibt sich dann: Gleichung L L x + + x + + y V = ln L 4 π L L x + x + y Die elektrische Feldstärke ergibt sich durch partielles Ableiten des Skalarpotentials. r dv r dv r dv Gleichung E = gradv = V = ex + e y + ez dx dy dz Das resultierende Feldbild ist in Abbildung dargestellt. y x Abbildung 5..3.: Skalarfeldbild einer Linienquelle

9 5.3 Elektrische Spannung und elektrischer Widerstand Das elektrische Strömungsfeld wird durch eine am leitenden Medium anliegende Spannung verursacht. Betrachtet man den leitfähigen Weg durch das Medium, können Äquipotentiallinien eingetragen werden. Die sich ergebende Potentialdifferenz zwischen zwei Äquipotentiallinien wird als elektrische Spannung bezeichnet (Abbildung 5.3.1). V V V S V 1 V 1 l l Abbildung 5.3.1: Äquipotentiallinien und elektrische Spannung U Die Spannung ergibt sich dann zu: U1 = V1 V Gleichung Betrachtet man den resultierenden elektrischen Widerstand einer solchen Anordnung, so gilt für homogene Strömungsfelder (Abbildung 5.3.) direkt das ohmsche Gesetz: Der Widerstand ergibt sich somit zu: R U Gleichung 5.3. = m homogenen Strömungsfeld ist der Widerstand nur von der äußeren Geometrie der Anordnung abhängig und es gilt: V 1 V V 3 S A L Abbildung 5.3.: Homogenes Strömungsfeld

10 1 L Gleichung R = A Betrachtet man ein nicht homogenes Strömungsfeld, so gilt zwar weiterhin das ohmsche Gesetz, aber die geometrischen Zusammenhänge können nicht mehr direkt angegeben werden (Abbildung 5.3.3). dl da d E, S dv Abbildung 5.3.3: nhomogenes Strömungsfeld Die Spannung U ergibt sich dann zu: Gleichung U = V V = E d 1 1 l 1 Der Strom ist: = S r da r Gleichung A Somit ergibt sich der Widerstand zu: E dl U1 1 R = = S da A Gleichung Betrachtet man die Kirchhoffschen Sätze im elektrischen Strömungsfeld, so ergibt sich für die Knotenpunktregel: S da = 0 Gleichung A Führt man die ntegration über eine geschlossene Hüllfläche aus, ergibt sich der Wert Null. Die Summe der zufließenden Ladungen ist somit gleich der, der Abfließenden. Für den Maschensatz ergibt sich: E dl = 0 Gleichung L Das ntegral über die Feldstärke entlang eines geschlossenen Weges ergibt ebenfalls Null. 5.4 Grenzbedingungen im Strömungsfeld m folgenden soll die Grenzfläche zweier unterschiedlicher leitfähiger Materialien betrachtet werden (Abbildung 5.4.1).

11 S 1 S t S n S 1t S 1 S 1n Abbildung 5.4.1: Grenzfläche zweier leitfähiger Materialien Tritt der Strom unter einem beliebigen Winkel in die Grenzschicht ein, wird er sie unter einem anderen Winkel verlassen. Der Strom kann als Stromdichte ds = da aufgefaßt werden. Teilt man diese Stromdichte in eine Normal- und eine Tangentialkomponente auf, kann das ntegral um die Hüllfläche gebildet werden. Die Normalkomponente durchdringt die Grenzschicht, die Tangentialkomponente nicht. Für die Normalkomponente gilt: S da = 0 ds n = da = ds Gleichung n A Die Normalkomponente ist somit stetig. Das Verhalten der Tangentialkomponente ergibt sich aus den Potentialunterschieden dv entlang eines kleinen Wegstückes auf beiden Seiten der Grenzschicht. Für einen geschlossenen Umlauf entlang eines Wegstückes links und eines rechts der Grenzfläche muß gelten: E dl = 0 E1 t dl = Et dl Gleichung 5.4. L Daraus folgt: 1 r 1 r Gleichung E1 t = Et S1 t = St 1 Daraus r folgt für die Tangentialkomponente der Stromdichte: S Gleichung t = r 1 S1 t Die Tangentialkomponente der Stromdichte verhält sich an der Grenzfläche wie die Leitfähig- 1 = =0 E V 1 S V Abbildung 5.4.: Grenzschicht zwischen Leiter und Nichtleiter

12 keit. Aus diesen Zusammenhängen ergibt sich für eine Grenzschicht bestehend aus einem Leiter mit 1 = und r Nichtleiter mit =0 folgende Zusammenhänge: = 0 S t = 0 Gleichung Weiterhin gilt E r E r 1t = t und S r n = 0 Der Strom verläuft somit an der Oberfläche des Leiters tangential. Die Äquipotentialflächen stehen senkrecht dazu (Abbildung 5.4.)

13 5.5 Aufgaben Aufgabe Ein Halbkugelerder mit dem Radius R 0 wird in ein Erdreich mit der Leitfähigkeit gebracht. Bestimmen Sie den Widerstand des Erdreichs (Abbildung ). =0 R 0 Abbildung : Halbkugelerder Aufgabe 5.5. Gegeben sei ein halbkreisförmig gebogeneechteckiger Leiter mit dem nnenradius R 0 und dem Außenradius R 1. Die Leiterdicke sei d. An einem Ende des Leiter besteht das Potential V=0 und am anderen Ende das Potential V=V 1 (Abbildung ). Der Leiter wird dann Strom durchflossen..1 Bestimmen Sie das Potential V in Abhängigkeit von dem Winkel ϕ.. Bestimmen Sie die elektrische Feldstärke im Leiter..3 Bestimmen Sie den Strom..4 Bestimmen Sie den elektrischen Widerstand des Leiters. y y e r ϕ da R 1 ds=r. dϕ n r e R 0 d V=0 V=V 1 ϕ x e r z x z z Abbildung : Gebogener Leiter und Zylinderkoordinaten

14 Aufgabe Berechnen Sie den Widerstand des Schalterkontaktes, mit der Leitfähigkeit, eines Segmentschalters abhängig von der Anzahl n der Schaltersegmente (Abbildung ). Der Strom durchdringt das Schaltersegment gleichmäßig und im rechten Winkel zur Oberfläche. Die Segmente haben die Höhe d. R 1 R 0 Schaltersegment Aufgabe solator Achse Abbildung : Segmentschalter mit vier Segmenten Gegeben ist ein auf dem Erdboden liegender Leiterstab der Länge L. Der Leiterstab ist an eine Spannungsquelle angeschlossen. Aus ihm strömt ein Strom gleichmäßig in den Erdboden (Abbildung ). Z L =0 K 0 Y X a b A B Abbildung : Leiterstab auf dem Erdboden 4.1 Bestimmen Sie das Potential V(x,y,z) im Erdboden. 4. Bestimmen Sie die Spannung zwischen den Punkten A und B im Erdinnern. 4.3 Skizzieren Sie den Feldverlauf im gesamten Raum