Coupon Collector's-Problem (Sammelbilderproblem) Name: Walter Wolf Matrikelnr.: Dozent: Dr. W. Kössler

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1 Coupon Collector's-Problem (Sammelbilderproblem) Name: Walter Wolf Matrikelnr.: Dozent: Dr. W. Kössler

2 Problemstellung Als Sammelbilderproblem bezeichnet man die Frage, wie viele Produkte bzw. Bilder man im Schnitt kaufen muss, um eine Serie solcher Sammelbilder zu vervollständigen.

3 Mathematisches Modell N Anzahl der verschiedenen Coupons Voraussetzung: von jedem Coupon existieren gleich viele Exemplare X i Anzahl der Käufe, bis man den i-ten Coupon erhält (wenn wir bereits i 1 verschiedene Coupons besitzen)

4 Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg die Wahrscheinlichkeit p für einen Erfolg (wir kaufen einen Coupon, den wir noch nicht besitzen) ergibt sich aus: p = P X i = 1 mit P X i = 1 = N i + 1 N

5 Verteilung Welche Verteilung liegt vor? X i ist geometrisch verteilt, d.h. P X i = k = 1 p k 1 p mit p = N i+1 N

6 Erwartungswert (1) Wir bestimmen nun den Erwartungswert einer geometrischverteilten Zufallsvariable Z: E Z = k P(Z = k) k=1 = k p k=1 1 p k 1 = (k + 1) p 1 p k k=0

7 Erwartungswert (2) = k p 1 p k + p 1 p k 1 k=0 k=1 = 1 p E Z + 1 E Z = 1 p Somit ergibt sich für X i : N E X i = N i + 1

8 Neue Zufallsvariable (1) Wir definieren uns nun eine neue Zufallsvariable V n : V n : = X X n = Dann gilt letztendlich: n i=1 X i n E(V n ) = E(X i ) i=1 = N 1 N + 1 N N n + 1

9 Neue Zufallsvariable (2) Mit H n = n 1 k=1 (harmonische Reihe) gilt: E(V n ) = N (H N H N n ) Für n = N gilt also: E(V N ) = N H N k

10 Approximation (1) Wir wollen H n mit Hilfe der Logarithmusfunktion ln (n) approximieren. Sei dazu γ die Euler-Mascheroni-Konstante mit: 1 γ = lim (H n ln (n)) = lim n n k = 1 1 x 1 x Dann ergibt sich: H N ln (n) + γ dx. n k=1 ln (n)

11 Approximation (2) Für unsere Zufallsvariable V n mit n = N ergibt sich somit: E(V N ) N (ln N + γ) Wobei: γ = 0,57721

12 Approximation (3) Vergleich einiger Partialsummen mit Werten der Näherungsformel: n H n (gerundet) Näherung (gerundet) Genauigkeit (gerundet) % % % % %

13 Wayne Wir wollen eine Abschätzung für die Wahrscheinlichkeit, dass wir deutlich mehr als N ln(n) Ziehungen benötigen. Satz: Sei φ N ln N + cn mit N 1, c 0, dann gilt: P V N > φ e c.

14 Wayne (2) Beweis: Sei A i das Ereignis, dass der Coupon i in den ersten ψ Ziehungen nicht erwischt wird, dann gilt N N φ P V N > φ = P A i P A i = N 1 1 N i=1 i=1 < Ne φ N e c.

15 Mischen

16 Mischen Wir nehmen ein Stapel von n Karten und bezeichnen die Karten mit den Zahlen 1 bis n in der Reihenfolge, in der sie vorliegen. ( 1 ist die oberste Karte und n die unterste Karte) S n Menge aller Permutationen von 1,, n Mischen des Stapels: zufällige Permutation auf die Ordnung der Karten anwenden beileibe Permutation π S n auf Startreihenfolge (1,, n) anwenden (mit Wahrscheinlihckeit 1 ) perfekte n! Zufallsreihenfolge π = (π 1,, π n )

17 Mischen oberste Karte zufällig hineinstecken (1) Mischverfahren: wir nehmen oberste Karte vom Stapel und stecken sie wieder in den Stapel an einer der n möglichen Kartenzwischenräume d.h. wir wenden eine der n Permuationen auf den Stapel an, 1 i n (Wahrscheinlichkeit 1 n )

18 Mischen oberste Karte zufällig hineinstecken (2) Typischer Ablauf (für n = 5):

19 Mischen oberste Karte zufällig hineinstecken (3) Wann ist der Kartenstapel zufällig genug? messbar mit der Variationsdistanz Anfangsverteilung E: E(id) = 1, E(π) = 0 sonst Gleichverteilung U: U π = 1 n! für alle π S n Variationsdistanz: (Q 1, Q 2 Wahrscheinlichkeitsverteilungen) Q 1 Q π S n Q 1 (π) Q 2 (π)

20 Mischen oberste Karte zufällig hineinstecken (4) setzen wir S *π S n : Q 1 (π) > Q 2 (π)+ und verwenden π Q 1 (π) = π Q 2 (π) Q 1 Q 2 = 1, so können wir dies auch als = max S S n Q 1(S) Q 2 (S) schreiben, mit Q i S Q i (π) π S Offensichtlich gilt dann immer: 0 Q 1 Q 2 1 zufällig genug interpretieren wir als kleine Variationsdistanz von der Gleichverteilung

21 Mischen oberste Karte zufällig hineinstecken (5) Variationsdistanz zwischen Anfangs- und Gleichverteilung fast 1: E U = 1 1 n! nach einmaligem zufälligem Hineinstecken der obersten Karte: Top U = 1 1 (n 1)! Top k Wahrscheinlichkeitsverteilung auf S n, die wir erhalten, wenn wir k-mal die oberste Karte zufällig in den Stapel hineinstecken Interessant, wie sich d k Top k U verhält

22 Mischen oberste Karte zufällig hineinstecken (6) Schematische Skizze:

23 Mischen stark gleichverteile Halteregeln (1) Halteregel ist dann stark gleichverteilt, wenn folgende Bedingung für alle möglichen k erfüllt ist: wenn Prozess nach genau k Schritten abgebrochen wird, dann gilt für die daraus resultierende Permutationen des Kartenstapels die Gleichverteilung (und zwar genau) sei T mal gemischt worden, bis Halteregel aktiv wurde (T ist also eine Zufallsvariable) X k Reihenfolge des Stapels nach k-maligem Mischen (X k ist Zufallsvariable mit Werten in S n )

24 Mischen stark gleichverteile Halteregeln (2) somit ist die Halteregel stark gleichverteilt, wenn für alle möglichen Werte von k gilt: P X k = π T = k = 1 n! für alle π S n

25 Mischen stark gleichverteile Halteregeln (3) Für das zufällige Einmischen der obersten Karte in den Stapel ist HALT, sobald die ursprünglich unterste Karte (mit Nummer n) das erste Mal in den Stapel hineingesteckt wurde! eine stark gleichverteile Halteregel. Wenn wir die Karte n während dieser Mischvorgänge verfolgen: Reihenfolge der Karten unter dieser Karte ist zufällig wenn n-te Karte bis ganz oben aufgestiegen und dann wieder in Stapel eingefügt wurde, dann ist der Stapel gleichverteilt

26 Mischen stark gleichverteile Halteregeln (4) T i ZV, die zählt, wie oft man mischen muss, bis erstmals i Karten unter der Karte n liegen wir müssen also die Wahrscheinlichkeitsverteilung von T = T 1 + T 2 T T n 1 T n 2 + (T T n 1 ) bestimmen Problem ist bekannt Sammelbilderproblem: T i T i 1 ist die Zeit, bis oberste Karte an einer der i möglichen Stellen unterhalb der Karte n eingefügt worden ist Bilder sammeln vom (n i)-ten bis (n i + 1)-ten Bild mit: V n = V 1 + V 2 V V n 1 V n 2 + (V n T n 1 )

27 Mischen stark gleichverteile Halteregeln (5) somit gilt für alle i und j: P T i T i 1 = j = P V n i+1 V n i = j aus Sammelbilderproblem resultiert: P T > k e c für k n ln n + cn das heißt wiederum, dass nach k n ln n + cn -maligem Mischen der Stapel nahezu zufällig ist mit d k = Top k U e c

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