Prüfung der allgemeinen Fachhochschulreife an den Fachoberschulen im Schuljahr 2006 / 2007

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1 Senatsverwaltung für Bildung, Wissenschaft und Forschung Prüfung der allgemeinen Fachhochschulreife an den Fachoberschulen im Schuljahr / 7 Name, Vorname: Klasse: Prüfungsfach: Mathematik Prüfungstag: 7. April 7 Prüfungszeit: Zugelassene Hilfsmittel: Allgemeine Arbeitshinweise: Spezielle Arbeitshinweise:.. ( Zeitstunden) Mathematische Formelsammlungen (keine selbst angefertigten) ohne Musterlösungen, Taschenrechner ohne Graphikdisplay, frei programmierbare Speicher müssen gelöscht sein. Bleistifte dürfen nur für Skizzen benutzt werden. Die Reinschriften und Entwürfe sind nur auf den besonders gekennzeichneten Bögen anzufertigen, die Sie für die Prüfung erhalten. Diese sind zu nummerieren und sofort mit Ihrem Namen zu versehen. Für jede Aufgabe ist ein neuer gekennzeichneter Bogen zu beginnen. Denken Sie an eine übersichtliche, saubere und fehlerfreie Wiedergabe, da es sonst Punktabzüge geben kann. Bedenken Sie die Folgen einer Täuschung oder eines Täuschungsversuchs! Der Aufgabensatz Mathematik besteht aus 5 Aufgaben, die Sie alle bearbeiten müssen. Die Lösungswege müssen klar gegliedert, schrittweise und eindeutig nachvollziehbar sowie angemessen kommentiert sein. Nebenrechnungen sind durch Einrücken etc. kenntlich zu machen. Nur einwandfrei Leserliches wird bewertet. Die erste nicht durchgestrichene Lösung zählt. Besonders gute sprachliche und graphische Darstellungen, Übersichtlichkeit und Sauberkeit bei der Bearbeitung der Prüfungsaufgaben können zu einem Sonderpunkt führen (Bonusregelung). Grobe Verstöße gegen die sprachliche Richtigkeit oder Übersichtlichkeit und Sauberkeit können zu einem Punktabzug von einem Punkt führen (Malusregelung). Gesamtzahl der abgegebenen Lösungsblätter: Blätter Bewertungseinheiten, Gesamtpunkte und Gesamtnote: Aufgabe Nr.: Soll Ist Ist (ggf. Zweitkorrektur) BE 5 BE BE BE 5 5 BE Summe: BE Notenpunkte: 5 Punkte Punkte Durch die / den Bonus- bzw. +/- Punkt Punkt Prüfungsvorsitzende/n Maluspunkte: festgelegt: Insgesamt: Punkte / Note Punkte / Note Punkte / Note Name / Kurzzeichen:

2 Vorschlag Abschlussprüfung 7 Aufgabenblatt Aufgabe : Gegeben sei die Funktion f durch ( ) f + mit R. a) Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte im Unendlichen und geben Sie den Wertebereich der Funktion f an. b) Untersuchen Sie den Graphen von f auf mögliche Symmetrie. c) Ermitteln Sie die Schnitt- und Berührungspunkte des Graphen von f mit den Koordinatenachsen. d) Untersuchen Sie, ob der Funktionsgraph von f Hoch-, Tief-, Wende- und Sattelpunkte besitzt und bestimmen Sie gegebenenfalls deren Koordinaten. e) Skizzieren Sie den Graphen von f unter Nutzung aller ermittelten Ergebnisse für [,5; ]. f) Im Folgenden betrachten Sie den Graphen der Ableitungsfunktion f sowie eine beliebige Gerade g, deren Anstieg m beträgt, also g ( ) + n mit n R. Skizzieren Sie unter Einbeziehung seiner Etrem- und Nullpunkte den Graphen der,5;,5. Ableitungsfunktion f in ein Koordinatensystem für [ ] Skizzieren Sie ebenfalls für [,5;,5] zwei Geraden, deren Anstieg m beträgt. - Gerade g sei Sekante bezüglich des Graphen von f - Gerade g sei Passante bezüglich des Graphen von f und geben Sie die jeweilige Größe von n an. Ermitteln Sie rechnerisch, wie das absolute Glied n im Funktionsterm von g gewählt werden muss, damit g eine Tangente des Graphen der Ableitungsfunktion f wird. Aufgabe : Bewertungseinheiten / Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades schneidet die Abszissenachse in N ( ) und besitzt dort eine Tangente, die senkrecht zur Geraden g verläuft. Außerdem sei W ( ) ein Wendepunkt dieses Graphen. Es gilt: g ( ) a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion. Grades, deren Graph diese Bedingungen erfüllt. b) Erläutern Sie, warum der Graph nicht punktsymmetrisch zum Ursprung des Koordinatensystems sein kann. Sollten Sie das zur Bestimmung der Koeffizienten des Funktionsterms benötigte Gleichungssystem nicht oder nicht vollständig aufgestellt haben, lösen Sie das folgende Gleichungssystem: a + a + a+ a 8 a+ a+ 8 a+ a 8 a + 8a + a + a a + a + a + a Bewertungseinheiten /5 OF-Prüfung Mathematik 7 Vorschlag - -

3 Vorschlag Abschlussprüfung 7 Aufgabenblatt Aufgabe : Gegeben sei die Funktion f mit f ( ) +. f() f a) Berechnen Sie den Wert des bestimmten Integrals f ( d ). Erläutern Sie anhand der Skizze, dass dieser Wert nicht der Maßzahl des Flächeninhalts der Fläche entspricht, die vom Graphen der Funktion f und der -Achse vollständig eingeschlossen wird. b) Berechnen Sie den Flächeninhalt der Fläche, die vom Graphen der Funktion und der -Achse vollständig eingeschlossen wird. c) Gegeben sei weiterhin die Funktion g mit 5 g ( ). Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von den Graphen der Funktionen f und g und dem auf der -Achse liegenden Intervall [ ; ] vollständig eingeschlossen ist. Aufgabe : Bewertungseinheiten / Den Eingang einer Einkaufspassage schmückt ein Leuchtbogen. Die Vorderfront dieses Leuchtbogens ist verglast und besitzt zwei parabelförmige Begrenzungen (siehe Abbildung). a) Berechnen Sie die Glasfläche dieser Vorderfront. b) Aus Kostengründen soll bei einer neu gebauten Einkaufspassage die Glasfläche des Leuchtbogens auf m reduziert werden. Dazu ist der äußere Parabelbogen zu verkleinern, und zwar so, dass der 8 m Scheitelpunkt um k Meter nach unten versetzt wird m und die Berührungspunkte am Boden um jeweils k Meter nach innen versetzt werden. Zeigen Sie stichpunktartig (ohne zu rechnen), wie m Sie die Funktionsgleichung für den äußeren m Parabelbogen bestimmen würden. Bewertungseinheiten / OF-Prüfung Mathematik 7 Vorschlag - -

4 Vorschlag Abschlussprüfung 7 Aufgabenblatt Aufgabe 5: In dieser Aufgabe ist ausschließlich mit Maßzahlen zu arbeiten, Einheiten der physikalischen Größen und Konstanten bleiben in der Rechnung unberücksichtigt! Für gegebene bzw. berechnete Größen gilt: Kraft F in N Leistung P in kw Geschwindigkeit v in kmh - Drehzahl n in min - Beachten Sie diese Angaben bei der Beantwortung der gestellten Sachaufgaben. Ein Fahrzeug besitze einen Verbrennungsmotor. Die Kraft F, die auf seine Kolben ausgeübt wird, ist abhängig von seiner Drehzahl n. Die Funktion, die diese Kraft beschreibt, sei gegeben durch: F ( n) 8 n n, n,75. Die Leistung P des Motors sei proportional zu seiner Drehzahl n und der von diesem Motor entwickelten Kraft F. Für die Funktion, welche die Leistung P beschreibt, gelte also: P ( F, n) F( n) n, n,75. a) Bestimmen Sie die maimale Leistung P ma und die zugehörige Drehzahl n ma. Handelt es sich um ein absolutes Maimum? b) Für die Geschwindigkeit v des Fahrzeugs und der dazu vom Motor zu erbringenden Leistung P gelte: P 9 v. Berechnen Sie die maimal erreichbare Geschwindigkeit v ma. Sollten Sie die Teilaufgabe a) nicht gelöst haben, so rechnen Sie mit dem nicht korrekten Wert P ma 98. c) Bestimmen Sie, bei welcher Drehzahl n der Motor die nötige Leistung für eine Reisegeschwindigkeit von v erbringt. Sollte es Ihnen nicht gelungen sein die Bestimmungsgleichung für die Drehzahl n zu ermitteln, so rechnen Sie mit der nicht korrekten Ersatzgleichung: n n Die Ergebnisse sollen auf drei Stellen genau berechnet werden. Sollten Sie das Newton-Verfahren verwenden, so benutzen Sie den Startwert n. Bewertungseinheiten /5 OF-Prüfung Mathematik 7 Vorschlag - -

5 Vorschlag Abschlussprüfung 7 Lösungen Lösungswege von Schülerinnen und Schülern, die den im Erwartungshorizont vorgestellten Lösungswegen nicht entsprechen, sind nach dem Prinzip: GPRÜFT WIE GELERNT zu bewerten. Lösung zu Aufgabe : zu a) Verhalten im Unendlichen und Wertebereich Bewertungsvorschlag BE 8 lim f( ) lim ( ) lim ( + ) ± ± ± ( ± ) ( + ) ± Wertebereich W f ( ; ) zu b) Symmetrieeigenschaften Bewertungsvorschlag BE Da im Funktionsterm von f die Variable sowohl mit geraden als auch ungeraden Eponenten erscheint, ist der Graph von f weder achsensymmetrisch zur y-achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung des Koordinatensystems. Das Symmetrieverhalten kann selbstverständlich auch mit den Bedingungen für Achsensymmetrie zur y-achse f ( ) f ( ) bzw. für Punktsymmetrie zum Ursprung f ( ) f ( ) überprüft werden. zu c) Punkte des Graphen mit den Koordinatenachsen Bewertungsvorschlag BE Ordinatenachse: f() S y ( ) Abszissenachse (Nullpunkte mit Nullstellen als -Koordinaten): f ( ) Es gibt die Nullstelle, denn durch Raten folgt: f N () + + Polynomdivision durch ( ) führt zu f ( + ) ( ) ( ) + ( + ) ( ) ( ) ( ) Die Produktdarstellung des Funktionsterms und die Regel vom Nullprodukt ergeben: ( ) oder Der Linearfaktor ( ) liefert die schon bekannte Nullstelle der zweite Faktor ergibt: + / ± N weitere Nullstellen. Die Funktion hat somit die einfache Nullstelle S ( ) ist Schnittpunkt und S / ( ) OF-Prüfung Mathematik 7 Vorschlag und die doppelte Nullstelle N. N/ Berührungspunkt des Graphen mit der -Achse.

6 Vorschlag Abschlussprüfung 7 Lösungen zu d) Hoch-, Tief-, Sattel- und Wendepunkte Bewertungsvorschlag BE Bestimmung der ersten drei Ableitungen: f ( ) + f '( ) f ''( ) f ( ) Etrempunkte: Ansatz: f '() ist notwendig und f ''() ist hinreichend f '( ) ist notwendig und f ''() ist hinreichend Nullstellen von f ' : ( ) pqf ( ) + /5 9 Also sind und 5 Art der Etrempunkte: Untersuchung, ob die NS von Nullstellen von f ' f ''( ) f ''( ) ( ) < ist Hochstelle H f ' Etremstellen von f sind f ( ) ( ) ( ) ( ) Hochpunkt H 7 : ( ) OF-Prüfung Mathematik 7 Vorschlag - - () + f ''( 5 ) f ''() f + > T ist Tiefstelle Tiefpunkt : T ( ) siehe auch S / ( ) Sattelpunkte: Ansatz: f ( ) ist notwendig und f () ist hinreichend Aus der Untersuchung der Etrempunkte folgt: f '( ) und f ''( ),somit liegt bei kein Sattelpunkt vor. f '( ) und f ''( ),somit liegt bei kein Sattelpunkt vor Der Graph der Funktion f besitzt keine Sattelpunkte. Wendepunkte: Ansatz: f ''( ) ist notwendig und f '''( ) ist hinreichend Nullstellen von f '' : f ( ) + ist NS von f ist Wendestelle von f, da f ( ) w als Berührungspunkt des Graphen mit der -Achse.

7 Vorschlag Abschlussprüfung 7 Lösungen Mit yw f( ) ( ) ( ) ( ) Wendepunkt : W ( ) bzw. W (,,7) 7 7 zu e) Graph der Funktion f Bewertungsvorschlag BE Funktionswerte an den Grenzen des Zeichenintervalls: f ( ) ( ) ( ) ( ) + f () ,,5 y 5 f zu f) Graph der Funktion f mit Sekante und Passante Bewertungsvorschlag 5 BE f ( ) Nullstellen von f sind die Etremstellen von f - also und 5 Scheitelstelle von f ist die Wendestelle von f - also 8 8 f und somit S( ) und damit ( ) ( ) ( ) Ohne die Ergebnisse aus zu d) müssen die beiden Nullstellen und die Scheitelstelle des Graphen rechnerisch bestimmt werden. OF-Prüfung Mathematik 7 Vorschlag - 7 -

8 Vorschlag Abschlussprüfung 7 Lösungen y 5 f Sekante für z.b. n Tangente der Funktion f Schnittstellen bzw. Berührungsstellen von f und g f ( ) g( ) + n n ( + n) ± ( + n) / -8 Passante für z.b. n Bewertungsvorschlag BE Nur für n ergibt sich genau eine Lösung, und zwar /, die damit Berührungsstelle von f und g ist. Hieraus folgt: Die Gerade g ist genau dann Tangente des Graphen von f, wenn das absolute Glied im Funktionsterm n ist. Also ist folgende Gleichung der Geraden g die Tangentengleichung g ( ) Denkbar ist auch folgende Lösung: Stellen gleicher Steilheit von f und g: Da g Tangente an f sein soll, kann der Berührungspunkt über Stellen gleicher Steigungswerte von f und g bestimmt werden. Es gilt also: OF-Prüfung Mathematik 7 Vorschlag - 8 -

9 Vorschlag Abschlussprüfung 7 Lösungen 5 f ( ) g ( ) Stelle gleicher Steigungswerte von g und f f '() damit ist P( -) Berührungspunkt und somit g ( ) Tangentengleichung Lösung zu Aufgabe : zu a) Aufstellen des Bedingungsgefüges Bewertungsvorschlag BE I: Nullpunkt ( ) II: Tangente in ( ) III: (Wende)Punkt ( ) N f () IV: Wendepunkt ( ) N senkrecht zu g f () f () W f () W f () g () Aufstellen des Gleichungssystems Bewertungsvorschlag BE f ( ) a + a + a + a f ( ) a + a + a f ( ) a+ a Es ergibt sich also folgendes Gleichungssystem: I : a + a + a + a II : 8 a + 8 a + a + a III : a + a + a + a IV : a + a + a + a Lösen des Gleichungssystems Bewertungsvorschlag 7 BE Nr. a a a a Kommentar I III II I III II IV IV I I II 5 II I III III IV IV I I II IV III II III IV IV III I I II IV III 9-9 III IV -8 9 IV + III OF-Prüfung Mathematik 7 Vorschlag - 9 -

10 Vorschlag Abschlussprüfung 7 Lösungen Aus IV folgt a a 8 Aus III folgt 9( ) + a a Aus II folgt 8 ( ) a a + 8 a 8 Aus I folgt ( ) a a + a Die Funktionsgleichung heißt: f ( ) zu b) Bewertungsvorschlag BE Ein zum Ursprung des Koordinatensystems punktsymmetrischer Graph besitzt immer im Ursprung des Koordinatensystems einen Wendepunkt. Der Graph einer Funktion dritten Grades hat genau einen Wendepunkt. Im Ursprung des Koordinatensystems kann der vorgegebene Graph der Funktion dritten Grades keinen Wendepunkt besitzen, da er schon einen in W ( ) besitzt. Also kann der Funktionsgraph nicht punktsymmetrisch zum Ursprung des Koordinatensystems sein. Lösung zu Aufgabe : zu a) ( ) d Die als bestimmtes Integral ( ) ( ) + ( ) 9 9 [ 9, + 7] [ 9, + 7] 8, 8, 7,8 Bewertungsvorschlag BE f ( ) derrechnete reelle Zahl stellt die Differenz der Flächeninhalte zwischen positiv und negativ orientierten Flächen dar, die im Intervall [ ;] zwischen dem Graphen der Funktion f und der -Achse liegen. Eine Fläche nennt man negativ orientiert, wenn sie unterhalb der -Achse liegt, positiv orientiert, wenn sie oberhalb der -Achse liegt. Da hier im Beispiel das bestimmte Integral einen negativen Wert ergibt, muss die oberhalb der - Achse liegende Fläche kleiner sein, als die unterhalb der -Achse liegende Fläche. Selbst wenn N und N die Nullstellen von f sind, entspricht hier dieses bestimmte Integral nicht dem vom Graphen von f und der -Achse eingeschlossenen Flächeninhalt. Bewertungsvorschlag BE zu b) Berechnung der Nullstellen: f( ) + f( ) und Sub. z z z+ z z N N N N Bewertungsvorschlag BE OF-Prüfung Mathematik 7 Vorschlag - -

11 Vorschlag Abschlussprüfung 7 Lösungen 7 Berechnung des Flächeninhalts: A A + A G Ausnutzung der Symmetrie ergibt: f A y 8 A A g A A f( ) d, da f( ) für [ ] , FE A f( ) d, da f( ) für [ ],8 5, 5, FE A A + A G, 8 + 8, 8 9, FE Bewertungsvorschlag BE (+BE falls Stammfunktion vorher in zu a) nicht ermittelt wurde) zu c) Berechnung der Schnittstelle f( ) g( ) + Planvolles Raten mit ganzen Zahlen aus ; ergibt als Schnittstelle 5 Aufgrund der vorgegebenen Skizze liegt die zweite Schnittstelle ( S 7, ) nicht im Intervall ; und ist deshalb nicht relevant. Bewertungsvorschlag BE [ ] [ ] S OF-Prüfung Mathematik 7 Vorschlag - -

12 Vorschlag Abschlussprüfung 7 Lösungen 8 Flächeninhalt: Bewertungsvorschlag BE Den Inhalt der Fläche, die zwischen den Graphen von f und g im Intervall [ ;] liegt, berechnen und von A subtrahieren: A A A 5,,5 9,FE A f( ) g( ) d, da f( ) g( ) für [ ] ,5 FE oder wenn das Ergebnis für A nicht vorliegt Den Inhalt folgender Flächen berechnen und addieren: Fläche, die zwischen dem Graphen von f im Intervall [ ] ; liegt Fläche, die zwischen dem Graphen von g im Intervall [ ; ] liegt A A + A [;] [;] g() f( ) d, da f( ) für , + 8,75 + 5, [,9],8 +,7 9,FE Lösung zu Aufgabe : zu a) Bewertungsvorschlag 5 BE Legt man den Ursprung des Koordinatensystems in den Schnittpunkt von Bodenlinie und Symmetrieachse, gilt Folgendes: innerer Bogen: Aus Pi( ), Pi( ) und S iy( ) folgt: f ( ) ( + )( ) innen + äußerer Bogen: Aus P 5/ ), P (5/ ) und S ( /8) folgt: a( a 8 außen f ( ) ( + 5)( 5) ay OF-Prüfung Mathematik 7 Vorschlag - -

13 Vorschlag Abschlussprüfung 7 Lösungen 9 Unter Ausnutzung der Symmetrie und mit ( ) für - und ( ) für ( ) außen ( ) A + d innen 9 + m f f gilt: innen aussen 5 ADiff. Aaußen Ainnen m 9 m A d + Die verglaste Vorderfront des Leuchtbogens besitzt eine Fläche von 9 m. Bewertungsvorschlag 5 BE zu b) - Verkleinerung des äußeren Parabelbogens um k Meter ergibt folgende Punkte des Bogens: P ( 5 + k ), P (5 k ) und S ( 8 k) a a - Berechnung von f außen () in Abhängigkeit von k - Berechnung von A außen / k : A A + A außen / k Diff./ k innen m ay Daraus ergibt sich: außen / k 5 k A f ( ) d außen 5 k ADiff./ k + Ainnen Faußen ( ) [ F (5 k) F ()] falls berechnet wurde außen außen Lösen dieser Gleichung ergibt k. Bewertungsvorschlag BE Lösung zu Aufgabe 5: zu a) Für die Leistung P gilt: P( F, n) F( n) n. Durch Einsetzen von F in P P ( n) n n, mit : n,75. () mit: P ( n) 8n n P ( n) 9n 8n Bewertungsvorschlag BE Notwendige Bedingung für Etrema Nullstellen der ersten Ableitung: P ( n) 8n n oder n ( n) Damit folgen die beiden Nullstellen: n und n. Bewertungsvorschlag BE Hinreichende Bedingung für Etrema Es gilt: n ist der linke Rand des Definitionsbereichs.. Randwerte: P ( n ) P() und P(,75) 5, 7 () d.h. bei n liegt offenbar kein relatives Maimum der Funktion P vor. Bewertungsvorschlag BE OF-Prüfung Mathematik 7 Vorschlag - -

14 Vorschlag Abschlussprüfung 7 Lösungen Es bleibt die Untersuchung von n : P ( n ) P () <, d.h. es handelt sich um ein relatives Maimum. Es ist: P ( n ) P() 8 Mit den Randwerten () folgt, dass es sich bei P( ) Pma 8kW um ein absolutes Maimum handelt, mit n min. Bewertungsvorschlag BE ma zu b) Es gilt, nach Aufgabenstellung: P 9 v. () Für die maimale Leistung P Pma wird die maimale Geschwindigkeit v vma erreicht. Es gilt also: P 9 v. ma 8 v ma 8,9. 9 km Die Höchstgeschwindigkeit v ma beträgt also 8,9. Bewertungsvorschlag BE h zu c) Aus () und () folgt: P ( n) n n 9 v, mit : v n n,9 Dies ist eine ganzrationale Funktion f ( n) n n,9 vierten Grades mit der Ableitung f ( n) 8n n Bewertungsvorschlag BE deren Nullstelle im Bereich n,75 zu bestimmen ist. Für das Aufsuchen dieser Nullstelle kann z.b. das Newton-Verfahren gewählt werden. Hier gilt: f ( ni ) ni+ ni, Startwert: n Bewertungsvorschlag BE f ( n ) i ma I n f n ) f n ) i, -,9,,975,787 5,7,,,975,8 -,5,8775,8 Damit ist gezeigt, dass bei einer Drehzahl des Motors von n,8 min die km Geschwindigkeit von v erreicht wird. Bewertungsvorschlag BE h ( i ( i OF-Prüfung Mathematik 7 Vorschlag - -