Monte Carlo Simulationen

Transkript

1 Monte Carlo Simulationen Zahlreiche Vorgänge in der Natur werden durch stochastische Prozesse bestimmt. Beispiele: Diffusion Spin-Spin-Wechselwirkung (Magnetisierung eines Ferromagneten, Ising-Modell) Streuung von Photonen oder Teilchen in Materie Derartige Vorgänge können mit Monte Carlo Simulationen beschrieben werden

2 Monte Carlo Integration Ziel: Berechnung von mit f(x) z für x є [a,b] b a f ( x ) dx Erzeugung von statistisch verteilten Punkten P i (x i y i ) aus gleichverteilten, nicht korrelierten Zufallszahlen x i є [a,b] und y i є [,z] y=f(x) x Abschätzung des Integrals durch Zählen der Punkte, die innerhalb der von der Kurve und der x-achse eingeschlossenen Fläche liegen: f ( x) dx ( b a) z g( P) 1 1, falls yi < f ( xi ) 1 g ( P ) = ( ) N g P = g( P i ) i, sonst N i= b a

3 Monte Carlo Integration Alternatives Verfahren: Erzeuge Folge von Zufallszahlen x i b a f ( x) dx ( b a) f ± ( b a) f 2 N f N 2 mit f = f ( ) f = f ( ) N i= x i N N i= x i

4 1 Monte Carlo Integration N Beispiel: x 2 dx, Fehler = f ( x i ) 3 N i= 1 Fehler.1.1 1E-3 1E-4 N Gleichverteilte Zufallszahlen x i ε [,1[ mit L Ecuyer Generator, Seed=-1 1E-5 1E Anzahl Zufallszahlen

5 Erzeugung von Zufallszahlen Lineare Kongurenz-Generatoren Liefern eine Folge von Pseudo-Zufallszahlen ξ i Vorschrift: ξ i+1 = (a. ξ i + c) mod m, mit a, c, m є N a: multiplier, c: increment, m: moduls ξ : seed Liefert Zufallszahlen mit ξ i є..m-1 Maximale Periodizität (bei geeigneter Wahl von a, c und m): m Vorteil: Schnell und einfach zu Implementieren Nachteil: Nicht frei von Korrelationen (n-cube)

6 Minimaler Standard-Generator nach Park und Miller ξ i+1 = (a. ξ i ) mod m, mit a = 7 5 = 1687, m = = Problem bei der Implementierung: Die Rechnung kann nicht in einem 32-Bit Register durchgeführt werden Lösung: Schrage-Algorithmus Approximative Faktorisierung von m: m=a. q+ r q = (int) m/a := [m/a], r = m mod a Für ξ i mit < ξ i < m-1 folgt: a ξ mod m i = a a ( ξi mod q) r[ z q], falls a ( ξi mod q) r[ z q] ( ξ mod q) r[ z q] + m, sonst i Periodizität: ~ 2.1*1 9 Besonderheit: Seed muss ungleich null sein Beispielprogramm ran

7 Verbesserte Generatoren Beim 2-Cube Test werden beim Park-Miller Generator noch Korrelationen beobachtet, die durch zufälliges vertauschen der Zufallszahlen in der Folge vermieden werden können Beispeilprogramm ran1 L Ecuyer Generator: Zwei Folgen von Zufallszahlen mit unterschiedlicher Periodizität werden erzeugt: m 1 = , a 1 =414, q 1 =53668, r 1 =12211 m 2 = , a 2 =4692, q 2 =52774, r 2 =3791 Eine neue Serie von Zufallszahlen wird erzeugt gemäß: ξ Neu i = (ξ 1 i + ξ i2 ) mod m 1 Mit den oben angegebenen Konstanten ergibt sich eine Periodizität von ca. 2.3*1 18 Beispielprogramm ran2

8 Erzeugung von gleichverteilten Zufallszahlen є [,1[ Sei ξ i eine Folge von ganzzahligen, gleichverteilten Zufallszahlen mit ξ i RAND_MAX. Dann bildet x i = ξ i /(RAND_MAX+1) eine Folge gleichverteilten Fließkommazahlen mit x i є [,1[. Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung p(x) für gleichverteilte Zufallszahlen x i mit x i є [,1[: p ( x) 1, falls x [,1[ =, sonst Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallszahl zwischen x und x+dx gezogen wird, beträgt p(x)dx Normierung: + p ( x) dx =1

9 Erzeugung von Zufallszahlen mit beliebiger Verteilung: Transformationsverfahren Zufallszahlen y i mit einer anderen Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung können durch Anwendung einer Funktion f generiert werden: y = ( ) i x i Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung p~ ( y) der y i : f d 1 ( ) f ( y) ~ dx p( y) dy p( x) dx ~ 1 = p( y) = p( x) = p f ( y) dy dy Beispiel: Exponentialverteilte Zufallszahlen y = ~ p 1 f ( x) = ln( x) f ( y) = exp( y) ( y) = exp( y)

10 Gaußverteilte Zufallszahlen: Box Muller Verfahren Seien x 1 und x 2 gleichverteilt in [,1[. Dann sind y y 1 2 = = 2ln 2ln ( x1 ) cos( 2π x2 ) ( x ) sin( 2π x ) 1 2 normalverteilte Zufallszahlen Programm BoxMuller.cpp 8 Häufigkeitsverteilung von 1 Zufallszahlen, die mit dem Box Mueller Generator erzeugt wurden Häufigkeit Zufallszahl ξ

11 Random Walk Beispiel: Diffusion einer Substanz in einem Torus π/2*r 1. t = : Gaußförmiges Konzentrationsprofil π*r R x Konzentration [b. E.] (π/2)r πr (3π/2)R 2πR 3/2* π*r Ortskoordinate π/2* R 1. Späterer Zeitpunkt: Konzentrationsprofil konvergiert gegen Gleichverteilung π*r R x Konzentration [b. E.] (π/2)r πr (3π/2)R 2πR 3/2* π*r Ortskoordinate

12 Random Walk: Diskretisierung der Ortskordinate t= R j= N-1 N-2 N-3 Anzahl Teilchen N/4 N/2 Position X (3/2)N N-1 λ = Δt D Δ 2 x

13 Bewegung der Teilchen Im Fall der Diffusion beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Partikel zum Zeitpunkt t+δt am gleichen Ort bleibt: p() = 1-2λ am Ort X+1 befindet: p(1) = λ am Ort X-1 befindet: p(-1) = λ 1) Bewegung eines einzelnen Partikels i: Ziehe Zufallszahl ξє[,1[ ξ< λ? Bewege Partikel von X[i] nach X[i]-1 λ ξ<2λ? Bewege Partikel von X[i] nach X+1 Achtung: periodische Randbedingungen 2) Sweep Wiederholung von Schritt 1 für alle Teilchen

14 Random Walk 25 Teilchentahl Zeit [1*t ] Ortskoordinate [x ]

15 Erstellen einer DLL mit dem Visual Studio Neues Projekt Projekttyp: Visual C++ Projekte Win32 Projekt Anwendungseinstellungen: DLL Das DLL Hauptprogramm DllMain ist bereits vorhanden Noch zu erledigen: Funktionen hinzufügen double _stdcall summe (double x, double y) {return x+y;} double _stdcall produkt (double x, double y) {return x*y;}

16 Exportieren von Funktionen aus einer DLL Verwendung einer Moduldefinitionsdatei (.def) LIBRARY RechnenMitDLL EXPORTS Erstellen der Moduldefinitionsdatei: Projekt Neues Element hinzufügen DEF-Datei (.def)

17 Exportieren von Funktionen aus einer DLL Andere Möglichkeit: Verwendung von declspec (dllexport): declspec(dllexport) double _stdcall summe (double x, double y) { return x+y; } declspec(dllexport) double _stdcall produkt (double x, double y) { return x*y; }

18 Laden der DLL Implizites Verknüpfen (statisches Laden): Die DLL (.dll) wird über die Importbibliothek (.lib) mit dem Programm verknüpft. Die.lib Datei muss als zusätzliche Abhängigkeit im Projekt angegeben sein. Die exportierten Funktionen müssen im Programm deklariert werden (z.b. durch einbinden der Headerdatei) und können direkt verwendet werden. Explizites Verknüpfen (dynamisches Laden): Die DLL wird über einen Funktionsaufruf geladen. Auf die exportierten Funktionen wird über einen Funktionszeiger zugegriffen.

19 Implizites Verknüpfen double _stdcall summe (double, double); double _stdcall produkt (double, double); #include <iostream> using namespace std; void main () { double a=1.; double b=2.; double c,d; c=summe (a,b); d=produkt (a,b); } cout << c << endl << d; cin.get ();

20 Implizites Verknüpfen Erstellen des Programms als Win32 Konsolenanwendung Kopieren der Importbibliothek (.lib) und der DLL (.dll) in das Projektverzeichnis Einbinden der Importbibliothek Projekt Eigenschaften Konfigurationseigenschaften Linker Eingabe Zusätzliche Abhängigkeiten: RechnenMitDLL.lib

21 IO mit Parallelport

22 IO mit Parallelport

23 Parallelportprogrammierung bei Windows 9x Datenausgabe durch Port 888 (x378) #include <conio.h> #include <stdio.h> void main () { _outp(888,1); }

24 Parallelportprogrammierung bei Windows NT/ 2/ XP Direkte Ansteuerung der Ports wird vom Betriebssystem nicht zugelassen Zugriff auf Ports nur mit Kernel-Mode Treiber DLL mit eingebautem Kernel Mode Treiber für Parallelport: Inpout32.dll

25 Ansteuerung von Ports mit Out32 short _stdcall Inp32(short PortAddress); void _stdcall Out32(short PortAddress, short data); int main() { Out32(888,8); } return ;

26