Titel: Darstellung und Analyse abgetasteter Signale Titel-Kürzel: ABT

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1 Titel: Darstellung und Analyse abgetasteter Signale Titel-Kürzel: ABT Autoren: Niklaus Schmid, sni Koautor: U. Gysel, gys Version: v Dezember 2005 v Januar 2006 Korrekturen von G. Lekkas verarbeitet v Januar 2006 kleinere Korrekturen ausgeführt v Februar 2006 kleinere Korrekturen auf den Seiten 2, 11, 20, 27 und 28 ausgeführt v Januar 2007 kleiner Korrekturen Version 2.4 1

2 Darstellung und Analyse abgetasteter Signale 1. EINSTIEG: BERÜHRUNGSLOSE ÜBERWACHUNG VON PATIENTEN ABTASTUNG ZEITKONTINUIERLICHER SIGNALE Der Abtastvorgang Das Spektrum des abgetasteten Signals Übergang zur idealen Abtastfunktion Übergang zur Zahlenfolge DIE DISKRETE FOURIERTRANSFORMATION Das Linienspektrum eines abgetasteten Signals Die inverse diskrete Fouriertransformation (IDFT) Der Fast-Fourier-Transformations (FFT)-Algorithmus FREQUENZANALYSE ABGETASTETER PERIODISCHER SIGNALE Problemstellung Die Auswirkungen des Zeitfensters Auswirkungen einer Fensterfunktion Parameterwahl zur Spektrumsberechnung einer periodischen Zeitfunktion Ein zweiter Blick auf das Zeitfenster Vergleich zweier gebräuchlicher Fensterfunktionen Praktische Hinweise zur Spektrumsberechnung FREQUENZANALYSE ABGETASTETER APERIODISCHER SIGNALE Problemstellung Die Fouriertransformation aperiodischer Zahlenfolgen Ein Vergleich der vier Fouriertransformationen Anwendung der DFT als Approximation der FTD ZUSAMMENFASSUNG...41 Version 2.4 2

3 Lernziele Digitale Signale können auf geeigneten Medien (Fest- und Wechselplatten, Compact Disc, DVD etc.) ohne Informationsverlust abgespeichert und mit Rechnern automatisierbar verarbeitet werden. Deshalb wollen wir lernen, analoge Signale in eine von Rechnern lesbare Form zu bringen und sie zu analysieren. Insbesondere wollen wir Die mathematische Abtastung verstehen Das Abtastintervall richtig wählen können Die Auswirkungen der Abtastung im Frequenzbereich (Spektrum) erkennen Bei periodischen und nichtperiodischen Signalen das Spektrum mit dem Computer berechnen können Wissen, wann eine Fensterfunktion bei der Spektrumsbeurteilung sinnvoll ist Voraussetzungen Sie benötigen zum Verständnis dieses Kapitels fundiertes Wissen über Die komplexe Fourierreihe Das Linienspektrum von periodischen Funktion, insbesondere von Impulsfolgen Die Definition der Deltafunktion (x), inkl. Dimension Die Fouriertransformation von Impulsen und Impulsfolgen Die Stossantwort und Frequenzgangfunktion 1. Einstieg: Berührungslose Überwachung von Patienten Am Institut für Hygiene und Arbeitsphysiologie der ETHZ wurde vor einigen Jahren ein Dormograph entwickelt. Dieses Gerät erlaubt, Körperbewegung sowie Herz- und Atemfrequenz einer schlafenden Person aufzuzeichnen. Entscheidender Vorteil des Dormographen gegenüber herkömmlichen, in der Schlafforschung eingesetzten Instrumenten ist der Umstand, dass die Messung berührungsfrei geschieht. Dazu wird unter jedem Bettpfosten ein Drucksensor angebracht, der die äusserst kleinen, durch den Schlafenden verursachten Bewegungen des Bettes misst. Durch geeignete analoge Schaltungen mit anschliessender digitaler Datenverarbeitung lässt sich aus den Rohsignalen die gewünschte Information gewinnen. Fig. 1 zeigt das Prinzipschema des Dormographen. Die Drucksensoren messen optisch die Bewegungen des Bettfusses und erzeugen ein analoges elektrisches Signal. Ein typisches Sensor-Rohsignal zeigt Fig. 2. Die Daten einer ganzen Nacht müssen gespeichert werden. Anschliessend sollen daraus Körperbewegungen sowie Herz- und Atemfrequenz in Funktion der Zeit extrahiert werden. Version 2.4 3

4 Fig. 1 Prinzip des Dormographen Fig. 2 Typisches Sensor-Rohsignal des Dormographen Zwei Fragen interessieren uns hier am Dormographen besonders: Wie wandeln wir das analoge Sensorsignal in eine Zahlenfolge oder Zeitreihe um, d.h. in eine Signalbeschreibung, welche ein Rechner speichern und verarbeiten kann, ohne wesentliche Information im Signal zu verlieren? Wie analysieren wir dieses Signal mit einem Rechner, damit wir daraus die gesuchten Informationen finden können. Ähnliche Fragestellungen ergeben sich in sehr vielen anderen Anwendungen und sind daher von zentraler Bedeutung in der Erzeugung und Verarbeitung digitaler Signale. In diesem Kapitel wollen wir uns zuerst mit der Abtastung analoger Signale befassen und uns anschliessend intensiv mit der Frequenzanalyse solcher digitaler Signale auseinandersetzen. 2. Abtastung zeitkontinuierlicher Signale 2.1 Der Abtastvorgang Ein Rechner ist nicht in der Lage, kontinuierliche Signale aufzuzeichnen. Er kann nur Zahlenwerte oder andere Informationen in Form von Bitmustern speichern. Wir sind daher gezwungen, das kontinuierlich anfallende Signal in eine Folge von diskreten Zahlenwerten, in der Regel zu äquidistanten Zeitpunkten t n = n T mit n =..., -2, -1, 0, 1, 2, 3,... zu wandeln. Version 2.4 4

5 Bereits im Kapitel Signalformen und Systemtypen haben wir diese Signalart als digitale Signale kennen gelernt. Entnehmen wir von einem analogen Signal zu diskreten Zeitpunkten Signalwerte oder Stichproben, nennen wir diesen Vorgang Abtastung (englisch sampling). In der Praxis werden fast ausschliesslich elektrische Spannungen abgetastet. Nichtelektrische Signale, wie z.b. die mechanische Bewegung des Bettfusses, müssen also zuerst in eine elektrische Spannung umgewandelt werden. Den Abtastvorgang stellen wir uns so vor, dass ein für kurze Zeitmomente periodisch schliessender Schalter verwendet wird, Fig. 3. Damit werden schmale Ausschnitte aus dem kontinuierlichen Signal herausgeschnitten. 1 Fig. 3 Prinzip der Abtastung eines analogen Signals mit kurzen Impulsen Mathematisch lässt sich die Abtastung mit einer Multiplikation beschreiben: u s (t) = u(t) r(t) (1) Dabei besteht die Abtastfunktion r(t) aus einer Folge von kurzen Impulsen der Dauer T 0 und mit dem Pulsabstand T s. Damit wird die Abtastfrequenz f s (englisch sampling frequency) f s = 1 T s (2) Die Form des abgetasteten Signals lässt erkennen, dass man der idealen Abtastung zum einzelnen Zeitpunkt am nächsten kommt, wenn T 0 des Abtastimpulses möglichst klein ist. Die entscheidende Frage lautet, wie oft das Eingangssignal abgetastet werden muss, damit es genügend genau durch seine Abtastwerte dargestellt wird. Dazu betrachten wir Fig. 4, welche zwei Sinussignale mit einer Frequenz von f e1 = 2.5 Hz im Teil a) und von f e2 = 8.6 Hz im Teil b) zeigt. Beide Signale werden mit einer Abtastfrequenz von f s = 10 Hz abgetastet. 1 In der Praxis führt man den Abtastvorgang mit einer sog. Sample-and-Hold-Schaltung, auch S/H-Schaltung genannt, aus, welche die Momentanspannung zu Zeitpunkten im Abstand von T s festhält. Diese während eines Teils von T s festgehaltene Spannung wird anschliessend im sog. Analog-Digital-Wandler, kurz A/D-Wandler, in ein digitales Wort umgewandelt. Etwas ungenau bezeichnet man mit A/D-Wandler meist die Kombination von S/H-Schaltung und eigentlichem A/D-Wandler. Version 2.4 5

6 Fig. 4 Zur minimalen Abtastfrequenz eines Signals, f e1 = 2.5 Hz, f e2 = 8.6 Hz, f s = 10 Hz Ob bei der Abtastung nichts an Information des kontinuierlichen Signals verloren geht, erfahren wir bei der sog. Rekonstruktion. Darunter versteht man die Wiederherstellung des analogen Signals aus seinen Abtastwerten. Ohne Kenntnisse der technischen Realisierung kann man sich vorstellen, man könne das analoge Signal durch Verbinden der Abtastwerte zurückgewinnen. Beim niederfrequenteren von Fig. 4a) scheint dies ohne weiteres möglich zu sein. Beim höherfrequenteren von Fig. 4b) ist dies nicht der Fall. Wenn man nur die Abtastwerte kennt, würde man ohne Vorkenntnisse des ursprünglichen Signals das gestrichelt gezeichnete rekonstruieren. Man spricht bei diesem Vorgang von Unterabtastfehler oder englisch Aliasing, wobei auch im Deutschen fast ausschliesslich der englische Ausdruck gebraucht wird. Die unerwünschten Signale, die man bei der Rekonstruktion des ursprünglichen Signals erhält, werden Aliassignale oder einfach kurz Alias' genannt. Die Schlüsselfrage lautet Wie soll man die Parameter T 0 und T s der Abtastfunktion wählen, damit im abgetasteten Signal genügend Information zur Rekonstruktion vorhanden ist? Wir beantworten diese Frage, indem wir einen Blick auf das Spektrum des abgetasteten Signals werfen, das wir im nächsten Schritt berechnen. Version 2.4 6

7 2.2 Das Spektrum des abgetasteten Signals Wir führen die Berechnung beispielhaft mit einem analogen Eingangssignal bestehend aus zwei Cosinusanteilen der Frequenzen f e1 und f e2 durch (Fig. 5). Die Parameter des Eingangssignals u(t) und des Abtastsignal r(t) lauten: u(t) = u 1 (t) + u 2 (t) mit u 1 (t) = 1V cos(2f e1 t) u 2 (t) = 1V cos(2f e2 t) f e1 = 1 Hz f e2 = 2 Hz r(t) mit T s = 125 ms T 0 = 12.5 ms f s = 8 Hz Das Produkt von Eingangs- und Abtastsignal ist in Fig. 5 links unten dargestellt. Fig. 5 Links die Zeitsignale und rechts die Spektren von Eingangssignal, Abtastsignal und abgetastetem Signal. Version 2.4 7

8 Achtung Die Spektren in Fig. 5 sind mit Diracstössen (Pfeilen) dargestellt, da es sich hier um diskrete Spektrallinien in Funktion der kontinuierlichen Frequenzvariablen f handelt, also die Darstellung eines Dichtespektrums (siehe dazu das Kapitel Fouriertransformation). Im Gegensatz dazu erfolgt die übliche Darstellung von diskreten Spektren mit Zahlenfolgen in Funktion des Laufparameters k der Harmonischen, die wir mit vertikalen Geraden mit einem Punkt als Ende in eine grafische Darstellung eintragen. Allerdings ist es für diskrete Spektren oft sinnvoll, als Argument der Abszisse die Frequenz und nicht den Laufparameter anzugeben. Dies gilt vor allem für die Präsentation von praktischen Berechnungen und Messungen. Dies bedeutet eine kleine Inkonsequenz, erleichtert aber oft die Lesbarkeit der Spektren. Das Spektrum des abgetasteten Signals lässt sich, wie im Kapitel Fouriertransformation gezeigt, elegant als Faltung der Spektren von Eingangs- und Abtastsignal berechnen. Es gilt: z(t) = x(t) y(t) Z() = 1 X ()*Y() (3) 2 oder z(t) = x(t) y(t) Z(f ) = X (f )*Y(f ) (4) Neben dem Spektrum von u(t) brauchen wir noch jenes von r(t). Letzteres kennen wir aus dem Kapitel Fourierreihen. Für Impulse der Breite T 0, der Periodendauer T s und mit dem Spitzenwert A besteht es aus Spektrallinien im Abstand von f s mit den Werten 2 R[k] = A T 0 T s sin(kt 0 /T s ) kt 0 /T s (5) Wendet man die Faltung auf die zweiseitigen Spektren des Eingangssignals und der Abtastfunktion (A = 1) an, so erhält man das in der rechten Spalte von Fig. 5 unten abgebildete Spektrum. Dabei fällt auf, dass das zweiseitige Spektrum des Eingangssignals periodisch mit dem Frequenzabstand f s wiederholt wird. Die Amplituden des nach k f s verschobenen Eingangsspektrums sind mit dem Faktor R[k] gewichtet, nehmen also gemäss Gl. (5) ab. Diese Abnahme wird erst bei einem anderen Massstab der Frequenzachse deutlich erkennbar. Dieses Resultat liefert uns die entscheidende Antwort auf die brennende Frage nach der minimalen Abtastfrequenz, auch Abtasttheorem, Nyquist-Kriterium oder Shannon- Theorem genannt: 2 Die konsequente Schreibweise für Spektrallinien eines kontinuierlichen, periodischen Signals x(t) in Funktion des Laufparameters k ist X[k]. Dies steht im Gegensatz zur Schreibweise im Kapitel Fourierreihen, wo wir die Schreibweise X k bzw. c k verwendet haben. Wir werden die alte Schreibweise weiter verwenden, wenn dies zur Unterscheidung von anderen hilfreich ist. Version 2.4 8

9 Das abgetastete Signal enthält immer noch das unverfälschte Spektrum des Eingangssignals, falls die Abtastfrequenz grösser als das Doppelte der maximalen Eingangsfrequenz ist, oder f s > 2 f e,max Wir erkennen nun aus dem Spektrum des abgetasteten Signals, Fig. 5, auch den notwendigen Schritt zur Rekonstruktion: Man gewinnt das ursprüngliche Signal aus dem abgetasteten wieder zurück, indem man alle Frequenzkomponenten unterhalb f s /2 mit einem geeigneten Tiefpassfilter herausfiltert. Da realisierbare Filter nicht unendlich steile Flanken besitzen, ist man in der Praxis auf maximale Eingangsfrequenzen f e,max < f s /2 beschränkt. Als Beispiel sei die Abtastung eines Audiosignals in CD-Qualität erwähnt mit f e,max = 20 khz und f s = 44.1 khz oder f e,max = f s /2. Verletzt man das Abtasttheorem, so kommt es zu einer Überlappung des Eingangsspektrums mit solchen, die um k f s verschoben sind. Es entsteht ein unerwünschtes Aliassignal 3 im zulässigen Band des Eingangssignals. Es braucht also bereits vor der Abtastung ein Tiefpassfilter mit einer Grenzfrequenz bei f s /2. Wegen seiner Funktion wird es auch Antialiasfilter genannt. Beispiel 1: Aliasfrequenzen im Beispiel von Fig. 4 Betrachtet man das Spektrum der abgetasteten Signale von Fig. 4 (siehe Fig. 6), so erkennt man die Spektrallinien der beiden Eingangssignale, aber auch die durch die Abtastung entstehenden gefalteten Spektren. Da f e2 > f s /2 ist, kommt ein Alias bei f s -f e2 = 1.4 Hz unterhalb von f s /2 = 5 Hz zu liegen. Es ist diese Frequenz, welche man bei der Rekonstruktion ohne weitere Vorkenntnisse aus den vorhandenen Abtastwerten gewinnt (siehe gestrichelte Sinusschwingung in Fig. 4b) 3 Aliassignale kennt jeder Laie, weiss aber nicht immer genau, wie sie entstehen. Ein typisches Beispiele sind die berühmten rückwärts oder nur langsam drehenden Speichenräder im Film. Sie entstehen aufgrund der Wiedergabe des Films mit einer diskreten Anzahl von Einzelbildern, welche einer Abtastung entspricht. Dreht sich das Rad von Bild zu Bild näherungsweise um den Winkel, der zwischen zwei Speichen gebildet wird (oder Vielfache davon), so steht das Rad für den Filmbetrachter nahezu still (ev. dreht es leicht vor- oder rückwärts). Ein zweites Beispiel betrifft stroboskopische Drehzahlkontrollen, wie sie teilweise bei alten Plattenspielern eingebaut waren. Dort wird ein Strichmuster auf dem Rand des Drehtellers mit einer Stroboskoplampe beleuchtet (abgetastet). Stimmt die Drehzahl, so scheint das Strichmuster stillzustehen. In beiden Fällen ist die Eingangsfrequenz näherungsweise oder völlig identisch mit der Abtastfrequenz und man beobachtet einen Alias, der näherungsweise oder exakt bei f = 0 liegt. Version 2.4 9

10 Fig. 6 Spektrum zu den Signalen im Beispiel von Fig Übergang zur idealen Abtastfunktion Die Gewichtung der Spektrallinien des abgetasteten Signals mit R[k] vermindert die Amplituden aller Frequenzkomponenten im abgetasteten Signal. Die Abschwächung um den Faktor T 0 /T s lässt sich verhindern, wenn wir die Abtastfunktion mit A = T s /T 0 "verstärken". Der Abtastimpuls erhält dadurch die Fläche T s (Fig. 7a). Schliesslich lassen wir die Impulsdauer gegen null streben und erhalten so im Grenzfall als Abtastfunktion eine periodische Folge von Diracstössen mit dem Gewicht T s (Fig. 7b). δ δ Fig. 7 Übergang von Abtastimpulsen endlicher Breite zur idealen Abtastfunktion und zugehörige Spektren Version

11 Diese ideale, dimensionslose Abtastfunktion lässt sich als r(t) = T s + ( ) t nt s (6) n= schreiben und führt zu folgender mathematischen Beschreibung des Abtastvorganges: u s (t) = u(t) r(t) = T s u(t) + ( ) t nt s = T s u(nt s ) t nt s (7) n= + n= ( ) Das Spektrum der idealen Abtastfolge erhalten wir ebenfalls als Grenzübergang für 1 /T 0 aus dem Spektrum der Impulsfolge endlicher Breite (Fig. 7c). Das Ergebnis ist eine periodische Folge von Spektrallinien mit dem Wert 1 bei den Frequenzen k f s (Fig. 7d). Dieses Spektrum liesse sich natürlich auch direkt aus der Definition der Fourierreihen gewinnen. Das Spektrum eines abgetasteten Eingangssignals verändert sich durch die ideale Abtastung insofern, dass nun alle nach k f s verschobenen Eingangsspektren genau gleich gross werden. 2.4 Übergang zur Zahlenfolge Die mathematische Beschreibung der Abtastung von Gl. (7) hat den Vorteil, dass sie eine auf der Zeitachse kontinuierliche Funktion darstellt. Auf sie kann die Fouriertransformation angewendet werden. Mit den Deltafunktionen der mathematischen Beschreibung kann ein Rechner natürlich nichts anfangen: er benötigt Zahlen. Für die Bearbeitung mit dem Rechner sind nur Zahlenfolgen geeignet. Dazu wird die Impulsfolge u s (t) mit Hilfe des eigentlichen A/D-Wandlers in eine Zahlenfolge bzw. eine Zeitreihe u[n] umgewandelt (Fig. 8). Die Zuordnung der Zahlen u[n] zum abgetasteten Signal u s (t) erfolgt in der Regel so, dass der quantisierte Signal-Momentanwert zum Zeitpunkt der Abtastung als Zahl verwendet wird, also u[n] = u(t = nt s ) (8) Fig. 8 Das vollständige Schema des idealen Abtasters und A/D-Wandlers Version

12 Achtung Die Zahlenfolge u[n] unterscheiden wir sowohl grafisch als auch in der Schreibweise klar von u s (t). Letztere ist als Funktion der kontinuierlichen Zeitvariablen mit Diracstössen dargestellt, während die Zahlenfolge u[n] in Funktion des Laufparameters n mit Geraden mit Punkten dargestellt wird. Dies ist analog zur Unterscheidung der Linienspektren in Funktion des Laufparameters k von Dichtespektren in Funktion von f. Die Analyse der Zahlenreihe u[n] und die Beschreibung des Verhaltens von digitalen Systemen ist nicht mehr mit den bekannten Methoden für kontinuierliche Signale und Systeme möglich. Dazu werden wir in einem späteren Kapitel neue Verfahren kennen lernen, zum Beispiel die Differenzengleichungen und die z-transformation. Beispiel 2 Zeitbeschreibung von diskreten Signalen Es ist das abgetastete Signal von Fig. 9 mathematisch und als Zahlenfolge zu beschreiben. Fig. 9 Beispiel eines abgetasteten Signals Mathematische Formulierung: 3 u s (t) = T s u(nt s ) (t nt s ) n=1 = 0.2 mvs ( t ms)+ 0.2 mvs ()+ t 0.2 mvs t 0.1 ms 0.1 mvs ( t 0.2 ms) 0.1 mvs ( t 0.3 ms) Zahlenfolge: u[n] = V mit n = -1, 0, 1, 2, 3, 4 ( ) Beispiel 3 Abtastung eines Sinussignals ( ) Die analoge Funktion u(t) = 3V cos 100s 1 t Abtastfrequenz f s = 1 khz abgetastet (T s = 1 ms). werde mit einem idealen Abtaster mit der Wie lautet die mathematische Formulierung des abgetasteten Signals u s (t) allgemein und zum Zeitmoment t = 3 T s =3 ms? Version

13 u s (t) = T s + u( nt s ) ( t nt s ) = T s 3V cos nt s n= + = 3mVs cos 100s 1 n T s n= + n= ( ) t nt s ( ) ( ) t nt s ( ) und u s (3T s ) = u s (3ms) = 2.87 mvs(3 ms 3 ms) = 2.87 mvs(0) 3. Die diskrete Fouriertransformation 3.1 Das Linienspektrum eines abgetasteten Signals Im letzten Abschnitt haben wir das Spektrum des abgetasteten Signals über die Spektren der Eingangssignale und der Abtastfunktion berechnet. In der Praxis verläuft der Weg aber anders. Im Beispiel des Dormographen werden die anfallenden Signale digitalisiert und anschliessend geht es darum, aus den Zahlenreihen sichtbare oder versteckte Periodizitäten, z.b. die Atmungs- oder Herzfrequenz herauszulesen. Wir haben also keine a priori Kenntnisse über mögliche Frequenzanteile in unserer Zahlenreihe. Es geht um die Fourieranalyse des abgetasteten Signals. Im Folgenden verwenden wir für diskrete Signale, also Zahlenreihen, analog zu den kontinuierlichen die allgemeinen Bezeichnungen un [ ] für Eingangsgrössen, und xn [ ] oder yn [ ] für Ausgangsgrössen. Das Subskript s für "abgetastet" lassen wir immer dann weg, wenn aus dem Zusammenhang klar hervorgeht, dass es sich um abgetastete Signale handelt oder dass es sich um die Abtastperiode T = T s handelt. Wir gehen aus vom mathematisch beschriebenen, abgetasteten Signal + x s (t) = x(t) r(t) = T x(nt ) (t nt ) (9) n= Als nächstes stellt sich die Frage, welche Anzahl von Abtastwerten wir für unsere Analyse verwenden wollen. Für die Fourieranalyse kontinuierlicher Signale haben wir eine Periode der Grundschwingung des zu analysierenden Signals gewählt. Bei digitalen Signalen sind wir in der Regel durch die feste Abtastfrequenz gezwungen, Abtastwerte zu definierten Zeiten zu wählen. Im Moment gehen wir davon aus, dass wir nur N Abtastwerte verwenden. Unser Analyseintervall, auch Fensterbreite oder Zeitfenster genannt, ist daher T 1 = N T (10) und die Grundkreisfrequenz der Fourieranalyse 1 = 2 NT Gl. (9) setzen wir ein in die Berechnungsformel für die Fourierkoeffizienten (11) Version

14 X k = 1 T 1 T 1 = 1 0 x s (t) e jk 1 t dt T 1 N 1 T x(nt ) (t nt ) e jk 1 nt dt T 1 T 1 0 n=0 = 1 N 1 T x n T e jk 1 nt (t nt ) dt 1 n=0 0 1für jedes n 0,N 1 Dabei haben wir die Werte x(nt ) der kontinuierlichen Funktion x(t) ab der Stelle in dieser Herleitung, wo sie zu den diskreten Abtastzeitpunkten nt vor das Integral bewegt werden, nach Gl. (8) durch die Zahlenfolge x n ersetzt. Der resultierende Ausdruck kann übersichtlicher geschrieben werden, wenn T 1 und 1 durch die Gl. (10) bzw. (11) ersetzt werden. Wir erhalten so die diskrete Fouriertransformation (DFT) N 1 X k = 1 N x n N (12) n=0 e j2kn Achtung Wie schon bei der kontinuierlichen Fourierreihe sind auch hier alle Fourierkoeffizienten Spitzenwerte der zugehörigen Sinuskomponenten. Um die Schreibweise nicht zu überlasten, wird aber meist das Spitzenwertzeichen weggelassen. Wir schreiben also statt ˆX [ k]nurx[ k]. Für den Teilausdruck s n s n k j2kn = e N, der in Gl. (12) auftritt, gilt der Zusammenhang: N )n j2(k+ k + N = e N = e j2kn N e j2nn N = e j2kn N = s n k (13) Die Folge s n k ist also periodisch mit der Periode N. Aus Gl. (12) und (13) folgt daraus für die Fourierkoeffizienten: N 1 X k + N = 1 N x n N = 1 N x k N = X k (14) n=0 e j2(k+ N )n e j2kn Die Fourierkoeffizienten sind also selber periodisch mit der Periode N. Es genügt daher, wenn die ersten N Koeffizienten berechnet werden. Zudem fällt auf, dass genau gleich viele Koeffizienten vorhanden sind wie Abtastwerte. Version N 1 n=0

15 Falls die Abtastwerte xn [ ] reell sind, gilt weiter X k = 1 N 1 N x n j2kn e+ N = 1 N 1 N x n n=0 n=0 j2kn e N * = X * k (15) Die Fourierkoeffizienten mit negativem Laufparameter sind konjugiert komplex zu denjenigen mit positivem Laufparameter. Kombiniert man diese Eigenschaft mit der Periodizität der Fourierkoeffizienten, so findet man X k = X* N k (16) Es genügt also bei reellen Abtastwerten, die Hälfte aller Koeffizienten X[k] gemäss Gl. (12) zu berechnen. Beispiel 4 DFT einer gegebenen Zahlenfolge Gegeben sei die folgende Zahlenfolge von 20 Abtastwerten, die mit einer Abtastperiode T = 1 ms gewonnen wurde (Fig. 10a): x n = { } Fig. 10 Beispiel 4: Abtastwerte und zugehöriges Spektrum Diese Werte setzen wir in Gl. (12) ein und berechnen so die Fourierkoeffizienten X k = { } Aus T = 1 ms und N = 20 folgt f 1 = 1/(N T ) = 50 Hz. Das Spektrum enthält Signalanteile bei der Grundfrequenz f 1 und den Vielfachen f 3 und f 5 sowie oberhalb von f s /2 die verschobenen Spektren aus dem Band -f s /2 < f < f s /2. Betrachtet man die Abtastwerte etwas genauer, so erkennt man eine hohe Symmetrie. Tatsächlich entstand die Zahlenfolge durch Abtastung von exakt einer Periode des periodischen Signals x(t) = 1 cos(250t) 0.3 cos(2150t) cos(2250t) Version

16 (siehe Umhüllende der Abtastwerte in Fig. 10a). Die DFT liefert uns die im abgetasteten Signal steckenden drei Frequenzanteile X[1] = 0.5, X[3] = 0.15 und X[5] = 0.1. Die DFT ergibt in diesem Beispiel exakt die Fourierkoeffizienten, die wir auch von einer Fourieranalyse des kontinuierlichen Signals erhalten hätten. Zusätzlich kommen die gefalteten Spektren dazu. Das Spektrum wird periodisch, wie wir das schon im ersten Abschnitt gesehen haben. Neu bei der DFT ist die Tatsache, dass wir nur N Spektrallinien erhalten, nämlich ausschliesslich Vielfache von f 1 = 1/(N T ). Welche Folgen dies auf die Analyse eines Signals hat, dessen Spektrum nicht nur Vielfache von f 1 enthält, wollen wir später betrachten. 3.2 Die inverse diskrete Fouriertransformation (IDFT) Nach der Theorie der Fourierreihen lässt sich das Zeitsignal wieder aus den komplexen Spektralkomponenten regenerieren, wenn man alle Harmonischen zusammenzählt, also eine Fouriersynthese durchführt: x(t) = k = X k e jk 1 t Bei einem periodischen Linienspektrum erhalten wir ( ) = X k x nt + e jk 1 nt + j2kn = X k e N (17) k= k= Da unser Spektrum aber periodisch ist, genügt es, für einen Zeitwert die N Koeffizienten einer Spektrumsperiode zu addieren. Zusätzlich schreiben wir die Signalwerte, die wir nur für die ursprünglichen Abtastzeitpunkte berechnen, als Zahlenfolge. So erhalten wir die inverse diskrete Fouriertransformation (IDFT) x n = N 1 j2kn X k e N (18) k=0 Dass nur N Summanden nötig sind, um einen Zeitwert wieder zu erhalten, wird deutlich, wenn in der Gl. (18) die Fourierkoeffizienten X[k] durch die DFT-Summe von Gl. (12) ausgedrückt werden: N 1 j2km x m = X k e N = k=0 N 1 N 1 1 N x n j2kn e N N (19) k=0 n=0 Diese Doppelsumme kann umgeschrieben werden zu j2km e Version

17 N 1 N 1 mn) j2k( e x m = x n 1 N N (20) n=0 k=0 P Dabei nimmt der hintere Teil "P" der Summe die folgenden Werte an: P = N,falls m=n 0, falls mn Der 2. Fall kann an einigen Beispielen einfach gezeigt werden. So gilt für N = 4 und m-n = 1 P = e 0 + e j2 + e j + e j32 = 0 Es entstehen vier Einheitszeiger, die sich gesamthaft aufheben, da sie einen regelmässigen Stern ergeben. Dies gilt für alle denkbaren Kombinationen von N, m und n. Von Gl. (20) bleiben also nur die folgenden Summanden übrig: x m = x n 1 N N = n=m x n= m Weiter ist es unwesentlich, welchen Ausschnitt aus dem periodischen Spektrum wir für die IDFT verwenden. Wir könnten auch schreiben x n = N +l1 k=l j2kn X k e N Um dies zu zeigen, tauschen wir in der IDFT Gl. (18) den Summanden mit X[k] durch jenen mit X[k+N] aus, die nach Gl. (14) identisch sind. { Beispiel 5 DFT eines periodischen digitalen Signals Es soll die DFT der periodischen Rechteckspannung von Fig. 11 berechnet und das Spektrum skizzieren werden. Fig. 11 Digitale Rechteckspannung mit N = 8 und der abgetasteten kontinuierlichen Spannung (gestrichelt), T s = 0.1 s, f s = 10 Hz, T 1 = 0.8 s = Periodendauer = Fensterbreite Es ist immer sinnvoll, sich ein Bild von dem zu erwartenden Ergebnis zu machen. Dazu skizzieren wir die kontinuierliche Spannung, welche durch Abtastung zu unserer Abtastfolge wird (gestrichelt in Fig. 11). Dieses kontinuierliche Signal muss symmetrisch zu den Abtastwerten liegen und ist daher um T 1 /16 gegenüber einem Rechtecksignal mit positivem Sprung bei t = 0 Version

18 verschoben. Das zugehörige Spektrum (siehe Kapitel Fourierreihen) besitzt ausschliesslich ungerade Harmonische mit den Koeffizienten u 0 = A/2, oder in Zahlen U k = A k und U k = 90 +k 22.5, k = 1, 3, 5,... U 0 = 5 V, U 1 = V -67.5, U 3 = V 22.5 U 5 = V 22.5, U 7 = V 67.5 Die Phasenverschiebung erklärt sich aus der Zeitverschiebung des kontinuierlichen Rechtecksignals von -3T 1 /16 gegenüber dem zeitlich symmetrischen, geraden Signal. Nun berechnen wir die DFT des abgetasteten Signals und erhalten die Fourierkoeffizienten U 0 = 5 V, U 1 = U* 7 = V und 3 = U* 5 = V 22.5 Ein Vergleich dieses Ergebnisses mit den ersten sieben Werten der kontinuierlichen Fourierreihe zeigt markante Unterschiede (Fig. 12). Fig. 12 Spektren zu den Spannungen von Fig. 11, a) abgetastete und b) kontinuierliche Rechteckspannung Die Phasen beider Spektren sind identisch. Das Amplitudenspektrum des digitalen Signals ist periodisch mit der Periode N = 8, d.h. bereits ab der 5. Harmonischen wiederholt sich das Spektrum. So ist es nicht überraschend, dass die 3. Harmonische des digitalen Signals schon merklich von jener des kontinuierlichen abweicht. Der Grund liegt in der sehr ungenauen Nachbildung des kontinuierlichen Signals mit seinen Sprüngen durch nur 8 Abtastwerte. Umgekehrt muss das Spektrum des digitalen Signals nur in der Lage sein, die 8 Abtastwerte zu rekonstruieren, was es auch kann. 3.3 Der Fast-Fourier-Transformations (FFT)-Algorithmus Die in den letzten beiden Abschnitten kennen gelernten Algorithmen DFT und IDFT zur Berechnung des Spektrums von digitalen Signalen (von sog. Zeitreihen) benötigen bei grossen Version

19 Signalausschnitten (grosser Zahl N von Abtastwerten) viel Rechenzeit, wie die folgende Überlegung zeigt. Die DFT-Gleichung (12) besteht aus einer Summe von komplexen Exponentialfunktionen multipliziert mit den reellen Werten der Zeitfolge. Für einen Frequenzpunkt sind minimal 2 N Multiplikationen und 2 (N 1) Additionen durchzuführen, wenn wir die vorberechneten N Werte der Exponentialfunktion und den 1/N-Faktor in Tabellen ablegen. Für ein ganzes Spektrum sind wegen der Symmetrie der Koeffizienten Gl. (16) N/2 Frequenzlinien zu berechnen. Für ein ganzes DFT-Spektrum sind also ungefähr N/2 x 2N = N 2 Multiplikationen und Akkumulationen nötig (englisch MAC). Zahlenbeispiel: Wollen wir ein Signal mit 1000 Stützwerten transformieren, so benötigen wir 1 Million MAC, bei 10'000 Stützwerten bereits 100 Millionen. Die Mathematiker J.W. Cooley und J.W. Tukey publizierten 1965 ein Verfahren, um den Rechenaufwand zu reduzieren. Später folgten von anderen Autoren noch weitere Algorithmen. Alle basieren auf der Idee, die DFT einer Zahlenfolge in eine Summe von DFT's über Teile der ursprünglichen Zahlenfolge zu zerlegen. Im einfachsten Fall, wenn N eine Zweierpotenz ist, lässt sich so der Rechenaufwand auf nur noch N log 2 (N ) reellen MAC-Operationen reduzieren. Für N = 1000 ergibt dies noch ca MAC, eine drastische Reduktion des Aufwandes. Diese schnellen Algorithmen werden Fast-Fourier-Transform oder FFT bzw. in der inversen Ausführung IFFT genannt. Implementationen dieser Algorithmen finden sich nicht nur in allen Mathematik-Computerprogrammen wie Matlab oder Mathcad, sondern überall dort, wo rechnerisch und ev. sogar in Echtzeit eine DFT oder IDFT bestimmt werden muss, z.b. in Messgeräten oder Analysegeräten. In Matlab lauten die entsprechenden Befehle fft(x) und ifft(x). Zur Berechnung des Spektrums zum Beispiel 4 (Fig. 10) genügt folglich das Matlabprogramm: %ABT Beispiel 4 x=[ ] k=0:1:19; xf=fft(x,20)/20; %FFT berechnen inkl. Faktor 1/N xfr=real(xf) %Realteil wählen, da xf rein reell ist, stem(k,xfr) grid Achtung Matlab fügt den Faktor 1/N der IDFT statt der DFT hinzu. Damit die mit Matlab berechneten Werte mit unsern theoretischen Resultaten übereinstimmen, sind bei der DFT die berechneten Werte noch durch N zu dividieren bzw. bei der IDFT die Ergebnisse mit dem Faktor N zu multiplizieren. Version

20 4. Frequenzanalyse abgetasteter periodischer Signale 4.1 Problemstellung Zur Überwachung eines Patienten haben wir unter der Matratze seines Bettes einen Drucksensor angebracht. Das Sensorsignal wird laufend mit einer Taktfrequenz von 200 Hz erfasst und soll digital ausgewertet werden. In Fig. 13 ist ein ca. 3 Sekunden langer Signalausschnitt sichtbar. Die deutlich sichtbaren Ausschläge werden vor allem durch die Herzbewegung erzeugt. Näherungsweise ist das Signal periodisch mit einer Periodendauer von ca. 1 s. Fig. 13 Ausschnitt aus dem Signal eines Bettsensors Die Auswertung der Messwerte soll laufend Aufschluss über die Herzfrequenz des Patienten geben. Dazu sollen die Resultate in regelmässigen Abständen auf einem Monitor dargestellt werden. Es ist nahe liegend, die abgetasteten Zahlenwerte mit einem "FFT-Analysator" zu verarbeiten. Wir machen einen Versuch und nehmen an, der FFT-Analysator sei so eingestellt, dass sein Zeitfenster ungefähr eine ganze Periode aus diesem Signal auswähle. Zudem wählen wir in diesem Fenster nur 50 äquidistante Abtastwerte aus, um Rechenzeit zu sparen, also nur jeden 4. Wert. Die für unsere Analyse massgebende Abtastfrequenz beträgt damit neu nur noch f s = 50 Hz. Das Resultat ist in Fig. 14 dargestellt, allerdings nur bis zur halben Abtastfrequenz. Dies ist bei Messgeräten üblich, da alle DFT-Spektren reeller Signale symmetrisch bezüglich der halben Abtastfrequenz sind. Fig. 14 Anzeige des FFT-Analysators für den Bettsensor bei einer Fenstergrösse von 1 s und 50 Abtastwerten (f s = 50 Hz, f 1 = 1 Hz) Version

21 Dieses Ergebnis scheint in etwa mit einer intuitiven Abschätzung überein zu stimmen. Es tritt eine kleine Gleichspannung auf. Dann findet man die 4. bis 9. Harmonische relativ stark ausgeprägt. Von Auge würde man sagen, es ist die 8. Harmonische, welche am stärksten auftritt. Zu diesem Ergebnis stellen sich einige Fragen: Haben wir den Zeitausschnitt T 1 sinnvoll gewählt? Wie wirkt sich dieser auf das Ergebnis aus? Wie steht es mit der Anzahl der gewählten Abtastwerte in diesem Fenster? Sollten wir alle oder mindestens einen grösseren Teil der von der Datenerfassung erzeugten Abtastwerte verwenden? Um Antworten auf diese entscheidenden Fragen zu finden, wollen wir im nächsten Abschnitt einen einfachen, im Voraus bekannten Fall betrachten. 4.2 Die Auswirkungen des Zeitfensters Wir kehren nochmals zurück zum Beispiel 4. Dort haben wir eine Folge von 20 Abtastwerten eines periodischen Signals analysiert. Wir haben dabei bewusst die Abtastwerte exakt aus einer Periode dieses Signals gewählt. Beim Signal unseres Bettsensors dürfte es schwierig sein, diese Bedingung immer einzuhalten. Erstens ist die Abtastrate im Gerät meist fest eingestellt. Zweitens können wir nicht annehmen, die Herzfrequenz des Patienten bleibe immer konstant. Wir müssen also damit rechnen, dass wir nicht genau eine Periode oder allenfalls ein Vielfaches davon für unsere Analyse erwischen. Um uns einen Einblick zu verschaffen in die Auswirkungen einer Abtastfolge, die nicht genau einer Periode eines periodischen digitalen Signals entspricht, nehmen wir ein einziges Cosinussignal der Frequenz f 0. In Fig. 15a) werden für die DFT exakt 16 Abtastwerte verwendet, welche genau einer Periode entsprechen. Wie schon in Beispiel 4 liefert uns die DFT hier exakt die Frequenz der Sinusschwingung bei f 0, welche gleich der Grundfrequenz f 1 = 1/T 1 der DFT ist. Verwenden wir für die DFT aber 5/4 einer Periode mit 20 statt 16 Abtastwerten, so erhalten wir das Spektrum von Fig. 15b). Da wir eine grösserer Anzahl Abtastpunkte bei gleich bleibender Abtastfrequenz gewählt haben, ist die Grundfrequenz im neuen Spektrum kleiner als im alten, nämlich f 1 '= 1 T 1 ' = 1 =0.8 f 1 =0.8 f 0 = neuer Linienabstand 1.25 T 1 Weil die DFT aber nur Spektrallinien bei Vielfachen der Grundfrequenz ergibt, kommt die tatsächlich im digitalen Signal vorhandene Frequenz im Spektrum nicht vor. Das neue Spektrum ergibt also nur ungefähr einen Anhaltspunkt, wie die spektrale Verteilung aussieht. Die beiden Spektrallinien bei f 1 ' = 0.8 f 0 und f 2 ' = 1.6f 0, welche der tatsächlich vorhandenen Linie am nächsten liegen, sind am stärksten. Aus der Tatsache, dass die Linie bei f 1 ' stärker als jene bei f 2 ' ist, können wir schliessen, dass die tatsächlich vorhandene Spektrallinie näher bei f 1 ' als bei f 2 ' liegt. Weitere im Spektrum vorhandene Harmonische klingen zunehmend ab. Auch die Amplituden der stärksten Spektrallinien sind kleiner geworden, da sich die Leistung des Signals auf mehrere Harmonische verteilt. Version

22 Fig. 15 DFT eines Cosinussignals, wenn die Fenstergrösse von T 1 = Periodendauer auf T 1 ' =1.25 T 1 vergrössert wird Man spricht hier von einem verschmierten Spektrum, da aus einer Spektrallinie mehrere werden. Man kann nur noch aus der Grösse und der Frequenz der stärksten Linien sagen, wo etwa eine einzelne Spektrallinie liegt. Zusätzlich entstehen viele Nebenlinien, man spricht vom Lecken. Beide Effekte sind unerwünscht und sollen reduziert werden. Die DFT wird also in den meisten Fällen nur eine Approximation des realen Spektrums liefern, das wir berechnen könnten, wenn die Funktion analytisch vorliegen würde. Dem Grund dafür wollen wir im nächsten Abschnitt nachgehen. 4.3 Auswirkungen einer Fensterfunktion Wir kommen den Fehlern des mit der DFT berechneten Spektrums auf die Spur, wenn wir uns überlegen, welches digitale Signal x'[n] als Rücktransformation des Spektrums von Fig. 15d) entsteht. Dieses ist in Fig. 16b) der ursprünglichen Folge x[n] gegenüber gestellt. Die DFT mit ihrem periodischen Linienspektrum ist immer die Transformierte eines periodischen Signals. Das im Zeitfenster T 1 ' abgetastete Signal bildet die Grundperiode für die periodische Fortsetzung von Fig. 15d). Damit erhält das so analysierte Signal einen Sprung, der zu zusätzlichen Harmonischen führen muss. Diese Unstetigkeit tritt nicht auf, wenn wir das Zeitfenster exakt als Vielfaches der effektiv vorhandenen Periodendauer wählen. Wie wir schon gesehen haben, ist dies in der Praxis oft nicht möglich. Wir müssen versuchen die Unstetigkeit ohne Kenntnis der Periodendauer zu beseitigen. Dies ist realisierbar mit sog. Fensterfunktionen, mit denen das Signal zu den Fenstergrenzen hin auf null abgeschwächt Version

23 wird. Eine einfache Fensterfunktion ist eine sin 2 -Funktion, auch Hanning-Fenster genannt (Fig. 16c) Fig. 16 a) Ursprüngliches digitales Signal b) vom FFT-Analysator mit dem Zeitfenster T 1 ' ausgewertetes Signal, c) Fensterfunktion und d) gefenstertes Signal w(t) = 2 sin 2 ( t ) = 1 cos( 2t ) T 1 T 1 oder als Zahlenfolge für N Abtastwerte: (21) Version

24 w n = 2 sin2 ( n 2n ) = 1 cos( N N ) (22) Mit dieser Fensterfunktion gewichten wir die Abtastwerte x'[n] von Fig. 16b) und erhalten so eine an den Fenstergrenzen stetige Folge x dp '[n] (Fig. 16d) Das zugehörige Spektrum (Fig. 17) zeigt eine gewisse Verbesserung, indem die Harmonischen ab k = 4 jetzt praktisch verschwunden sind. Trotzdem ist das Bild noch nicht befriedigend, da die im Spektrum vorhandenen Frequenzen auch jetzt nicht mit der im Signal vorkommenden übereinstimmen. Diese Ungenauigkeit lässt sich nur reduzieren, indem wir die Frequenzauflösung verbessern, d.h. die Fensterlänge vergrössern. Fig. 17 Spektrum der gewichteten Abtastwerte von Fig. 16d) 4.4 Parameterwahl zur Spektrumsberechnung einer periodischen Zeitfunktion Aus den vorstehenden Erkenntnissen können wir einige Kriterien für die Wahl der Abtastfrequenz und die Anzahl Messpunkte festgelegen: - Abtastfrequenz: Um eine Frequenzgang-Unterabtastung zu vermeiden, muss f s so gross gewählt werden, dass bei f s /2 die zu erwartende Frequenzkomponente vernachlässigbar klein ist (z.b. < 1% der Grundharmonischen). Bei Bedarf ist das Eingangssignal mit einem Vorfilter (Antialiasfilter) in der Bandbreite auf f s /2 zu begrenzen. - Fensterlänge: Die Grundfrequenz der DFT f 1 = 1 (N T ) = f s /N, also der Kehrwert der Fensterlänge ergibt die Frequenzauflösung im Spektrum. Wenn f 1 ca Mal kleiner als die geschätzte Signalgrundfrequenz gewählt wird, so haben die Spektrallinien einerseits einen erkennbaren Abstand. Andererseits ist die Frequenzauflösung genau genug, sodass eine starke diskrete Spektrallinie im Spektrum durch nahe genug liegende Linien erkennbar wird. Die Fensterlänge soll möglichst genau als Vielfaches der Signalperiode gewählt werden. So bildet ein Aneinanderreihen der Fensterausschnitte am besten die ursprüngliche periodische Signalfolge nach. Version

25 - Anzahl Messpunkte: Nachdem die Abtastfrequenz und die Fensterlänge gewählt sind, ist N gegeben. Bei der FFT wird vorteilhaft auf die nächste Zweierpotenz gerundet. In manchen praktischen Fällen ist dies nicht genau erreichbar, da die Anzahl der Messpunkte für N = 2 k (mit k = 1, 2, 3...) nur grob anpassbar ist. Dies gilt meistens auch für die Wahl der Abtastfrequenz. In diesen Fällen wird die gemessene Zeitfunktion mit einer Fensterfunktion wie gezeigt gewichtet. So werden Signalsprünge zwischen den sich periodisch wiederholenden Fensterausschnitten vermieden. 4.5 Ein zweiter Blick auf das Zeitfenster Nach dieser pragmatischen Einführung in die Auswirkungen des Zeitfensters auf das mit der DFT berechnete Spektrum, wollen wir einen genaueren, theoretisch fundierten Blick darauf werfen. Wir machen dies anhand unseres Sinussignals von Fig. 15. Die Auswahl der Abtastwerte für die DFT können wir im Zeitbereich als Multiplikation der periodischen Folge mit einer Fensterfunktion beschreiben. Diese Multiplikation im Zeitbereich entspricht, wie bereits gezeigt, einer Faltung im Frequenzbereich. In Fig. 18 verfolgen wir die einzelnen Schritte vom analogen, abgetasteten Signal x s (t) bis zum Signal x dp (t), welches die DFT analysiert. Neben den Schritten im Zeitbereich wie in Fig. 16, verfolgen wir diese hier parallel dazu auch im Frequenzbereich. Bei allen Darstellungen in Fig. 18 handelt es sich um kontinuierliche Zeitfunktionen und Dichtespektren. Wir müssen daher die Abtastwerte im Zeitbereich mit Diracstössen schreiben. Ebenso müssen wir diskrete Spektrallinien mit Diracstössen darstellen. Dafür können wir Zeitfunktionen multiplizieren, was nach Gl. (3) oder (4) einer Faltung der zugehörigen Spektren entspricht. Die Auswahl der N Abtastwerte aus dem Zeitfenster der Dauer T 1 können wir als Multiplikation des abgetasteten Signals x s mit einer Rechteckfunktion w(t) beschreiben (Fig. 18b). Das Spektrum der gefensterten Abtastwerte erhalten wir als Faltung der Einzelspektren (Fig. 18c): X da (f ) = X s (f ) W (f ) (23) Das Spektrum des Rechteckfensters hat, abgesehen von einer zusätzlichen Phasenverschiebung, den bekannten sin(x)/x-verlauf. Bei X da (f) handelt es sich um ein periodisches Dichtespektrum. Wie schon bei den kontinuierlichen Funktionen sind auch bei abgetasteten Signalen die Spektren einmaliger, aperiodischer Vorgänge kontinuierlich, also Dichtespektren. Neu ist nun, dass durch die Abtastung diese periodisch werden. Man spricht hier von der Fouriertransformation eines diskreten Signals (FTD) oder englisch Discrete Time Fouriertransform (DTFT). Wir werden diese im letzten Teil dieses Kapitels noch genauer ansehen, wenn wir uns mit der Frequenzanalyse abgetasteter, aperiodischer Signale befassen. Der Übergang von diesem Zwischenprodukt zur DFT unseres abgetasteten Signals beschreiben wir als periodische Wiederholung des ausgeschnittenen Zeitfensters. Im Zeitbereich lässt sich dies als Faltung von x da (t) mit einer periodischen Folge von Diracstössen im Abstand von T 1 beschreiben (Fig. 18d). Im Frequenzbereich entspricht dies der Multiplikation der Spektren, also Version

26 δ δ Fig. 18 Zur Entstehung des Spektrums einer DFT: a) Spektrum des abgetasteten Signals, b) Reckteckfenster mit seinem Spektrum, c) gefensterte abgetastete Funktion, d) periodische Diracstösse mit ihrem Spektrum und e) gefensterte und periodisch wiederholtes Fenster mit ihrem Spektrum x dp (t) = x da (t) s(t) X dp (f ) = X da (f ) S(f ) (24) Wir können diesen Vorgang auch als Abtastung des kontinuierlichen Spektrums X da (f) mit der Funktion S(f) beschreiben. Version

27 Über diesen scheinbaren Umweg erhalten wir das periodische Spektrum, welches wir mit der DFT berechnen. Wir erkennen nun, warum das Spektrum bei T 1 T 0 mehr als die eine gewünschte Linie ergibt. Durch die Fensterung werden die Spektrallinien in Fig. 18a) mit dem Spektrum des Fensters von Fig. 18b) verbreitert, Fig. 18c). Im allgemeinen Fall tasten wir mit der DFT dieses Dichtespektrum an beliebigen Stellen ab. Nur im Falle T 1 = m T 0 mit m = ganze Zahl fallen alle spektralen Abtastfrequenzen von S(f) mit Ausnahme der in Fig. 18a) gezeigten auf Nullstellen von X da (f). Dank dieser Analyse erkennen wir geeignete Massnahmen zur Reduktion der unerwünschten Spektrallinien in der DFT: Eine grosse Fensterlänge verschmälert das sin(x)/x-spektrum des Zeitfensters. Fensterfunktionen mit einem rasch abklingenden Spektrum (kleinere Nebenlappen) reduzieren die Nebenlinien in der DFT weiter. Unser bereits bekanntes Hanningfenster hat genau diese Eigenschaft. 4.6 Vergleich zweier gebräuchlicher Fensterfunktionen Neben dem Reckteckfenster werden zahlreiche andere Fensterfunktionen verwendet. Wir beschränken uns hier auf zwei davon: das Hanning-Fenster und das Kaiser-Bessel-Fenster. Ihre Graphen sind in Fig. 19 und ihre Funktionen in Tabelle 1 zusammengestellt. Fig. 19 Graphen von zwei Fensterfunktionen Fensterfunktion Hanning Kaiser-Bessel w(t) für 0 t T 1 = N T 2 sin 2 ( t ) = 1 cos( 2t ) T 1 T cos 2t T cos 4t T cos 6t T 1 Tabelle 1 Zwei Fensterfunktionen Version

28 Wie der Name besagt, beruht das Kaiser-Bessel-Fenster auf einer Approximation von Besselfunktionen, womit die Berechnungen beschleunigt werden. Trotzdem ist der Rechenaufwand für das Kaiser-Bessel-Fenster grösser als für das Hanning-Fenster. Die Spektren der zwei Fenster inkl. des Rechteckfensters sind in den Figuren Fig. 20a) bis c) wiedergegeben. Dabei sieht man deutlich die kleinen Seitenlappen insbesondere des Kaiser- Bessel-Fensters gegenüber dem Rechteckfenster, welche das Lecken dieser beiden Fenster stark reduzieren. Das Hanning-Fenster bietet einen guten Kompromiss zwischen Frequenzselektion und Leckrate. Das Kaiser-Bessel-Fenster mit seinen sehr kleinen Seitenlappen ist gut geeignet, um Frequenzkomponenten mit grossen Amplitudenunterschieden zu trennen auf Kosten einer etwas schlechteren Frequenzselektivität (der Hauptlappen ist breiter als beim Hanningfenster). Fig. 20 Vergleich der Spektren der drei behandelten Fensterfunktionen Beide Fensterfunktionen (abgesehen vom Reckteckfenster) sind so konstruiert, dass die Amplitude einer Spektrallinie, die exakt in die Mitte des Fensterspektrums zu liegen kommt, wie- Version

29 der korrekt wiedergegeben wird. Da Abtastwerte am Rande des Fensters abgeschwächt werden, müssen Spektralanteile in der Mitte des Fensters angehoben werden. So ergeben sich die Maximalwerte von 2.0 und 2.48 der Hanning- bzw. Kaiser-Bessel-Fensterfunktion. Beispiel 6 Einfluss der Fenster auf die Analyse von Sinussignalen In diesem Beispiel zeigen wir den Einfluss der drei Fensterfunktionen auf die Analyse eines Cosinussignals von 8 bzw. 8.5 Perioden innerhalb der Fensterlänge von 1 s, also Frequenzen von 8 Hz bzw. 8.5 Hz. Die Abtastfrequenz beträgt f s = 128 Hz. Im Falle des linken Signals mit f e = 8 Hz entspricht die Abtastperiode exakt einem Vielfachen der Periodendauer. Dann ergibt das Rechteckfenster die korrekte Spektrallinie (Fig. 21). Fig. 21 Einfluss der Fenster auf die Spektren (nur Frequenzbereich von 0 bis f s /2 dargestellt, Beträge relativ zur Amplitude des Signals in db): a) die Zeitfunktionen, b) Rechteckfenster, c) Hanning- und d) Kaiser-Bessel-Fenster Version

30 Mit den beiden andern Fenstern findet selbst in diesem Fall eine Verschmierung statt, wie die Bilder c) und d) zeigen. Dies ist der Preis, den man dafür bezahlt, dass die Spektren für f e = 8.5 Hz mit dem Hanning- und Kaiser-Bessel-Fenster wesentlich besser die korrekte Spektrallinie bei 8.5 Hz anzeigen. Die Amplituden der benachbarten Spektrallinien bei 8 und 9 Hz sind in allen drei Fällen etwas reduziert. Die richtige Amplitude des Signals kann man nur abschätzen, indem man die Umhüllende der vorhandenen Linien einzeichnet. Neben den beiden gezeigten Fenstern gibt es eine ganze Reihe anderer Fensterfunktionen mit anderen Vor- und Nachteilen. Beispiel 7 Einfluss auf die Analyse eines Zweiton-Signals Durch das Verschmieren der Spektrallinien wird es schwierig, Sinussignale mit nahe beieinander liegenden Frequenzen und einem grossen Amplitudenunterschied auseinander zu halten. Wir zeigen den Einfluss der drei Fenster auf folgendes Signal: x(t) = 1 cos(2f e1 t) cos(2f e2 t) mit f e1 = 8.5 Hz und f e2 = 13.5 Hz Dieses Signal tasten wir mit f s = 128 Hz ab. Im Spektrum mit dem Rechteckfenster (Fig. 22a) verschwindet die schwache Spektrallinie von f e2 völlig in den verschmierten Linien des starken Signals bei f e1. Bei den beiden andern Fenstern (Fig. 22b) und c) wird die schwache Spektrallinie sichtbar, besonders beim Kaiser-Bessel-Fenster. Fig. 22 Spektren der Überlagerung von zwei nahe beieinander liegenden Sinusschwingungen mit 40 db Amplitudendifferenz (Beträge relativ zur Amplitude des Signals in db) Ein Blick auf das Spektrum des Kaiser-Bessel-Fensters (Fig. 20) zeigt, dass zwei nahe beieinander liegende Spektrallinien im Abstand f getrennt werden können, falls mindestens 4 oder 5 Spektrallinien der DFT dazwischen liegen. Deren Abstand beträgt bekanntlich 1/T 1. Die Fensterdauer T 1 muss also folgende Bedingung erfüllen: Version

31 T 1 > 1 6f (25) 4.7 Praktische Hinweise zur Spektrumsberechnung Bei allen Berechnungen eines Spektrums mit der DFT (bzw. FFT) ist es sinnvoll, eine Rechenerwartung (oder Messerwartung, wenn es sich um ein Messgerät mit FFT handelt) zu erstellen. Mit etwas Systematik kann dies ohne grossen Aufwand erfolgen. Weiss man ungefähr, bei welcher Frequenz oder welchen Frequenzen sich Signalanteile befinden, so empfiehlt sich folgendes Vorgehen: 1. Abtastfrequenz f s wählen, so dass das Abtasttheorem erfüllt ist 2. Anzahl Zeitwerte für die Analyse wählen, für eine effiziente Berechnung ist eine Zweierpotenz optimal 3. Fensterfunktion wählen auf Grund des ev. bekannten minimalen Abstandes der Signalfrequenzen, Gl. (25) 4. Skizze des Spektrums vorbereiten, beginnend mit der Frequenzachse von 0 bis f s /2 und Marken im f 1 -Raster. 5. Spektrum der Fensterfunktion einzeichnen mit Zentrum bei der Signalfrequenz oder den Signalfrequenzen. 6. Sichtbare Spektrallinien von 0 bis f s /2 eintragen. Beispiel 8 Abschätzung und Berechnung eines einfachen Spektrums Das soeben skizzierte Vorgehen soll anhand der Berechnung des Spektrums einer harmonischen Spannung mit f e = 25 Hz und Amplitude 1 V demonstriert werden. 1. f s = 160 Hz oder T s = 1/160 s 2. N = 16 und damit T 1 = N T s = 16/160 = 0.1 Hz Linienabstand im Spektrum f = f 1 = 1/T 1 = 10 Hz 3. Fensterfunktion = Rechteckfenster (keine) 4. Die Skizze für das Spektrum mit der Frequenzachse von 0 bis 80 Hz wird vorbereitet (Fig. 23) 5. In dieses Koordinatensystem wird die Fensterfunktion eingezeichnet 6. Schliesslich folgt das berechnete Spektrum. Man beachte, dass das Maximum der Hauptkeule der Fensterfunktion dem halben Spitzenwert der Amplituden der Spannung entspricht, da wir jeweils nur eine Hälfte des zweiseitigen Spektrums zeichnen. Version