Bildverarbeitung Herbstsemester Fourier-Transformation

Transkript

1 Bildverarbeitung Herbstsemester 2012 Fourier-Transformation 1

2 Inhalt Fourierreihe Fouriertransformation (FT) Diskrete Fouriertransformation (DFT) DFT in 2D Fourierspektrum interpretieren 2

3 Lernziele Sie erkennen den Nutzen der Fourier-Transformation. Sie können die Fourier-Transformation in konkreten Beispielen einsetzen. Sie kennen den Zusammenhang zwischen Diskretisierung und Periodizität. Sie kennen die diskrete Fourier-Transformation (DFT). Sie können die DFT sowohl in einer als auch in zwei Dimensionen ausprogrammieren. Sie können DFT-transformierte Bilder analysieren und solche qualitativ selber zeichnen. 3

4 Anwendung der DFT/FFT/DCT Bildanalyse Bildrekonstruktion Bildkomprimierung Filterung das Filtern eines Bildes (M 2 Pixel) mit einem Filter (N 2 Pixel) basiert oft auf der Anwendung der Faltungsoperation im Bildraum mit Aufwand O(M 2 N 2 ) durch die Verwendung der FFT kann der Aufwand auf O(M 2 log M) reduziert werden 4

5 Frequenz, Amplitude, Phase Beispiel a sin( x ) Kreisfrequenz: = 2 f Frequenz: f = 1/T = /(2) Periodenlänge: T Amplitude: a Phase: 5

6 Fourierreihe jede periodische Funktion g(x) mit einer Grundfrequenz 0 kann als unendliche Summe von harmonischen Schwingungen dargestellt werden Fourierkoeffizienten: A k, B k Fourieranalyse Berechnung der Fourierkoeffizienten aus einer gegebenen Funktion g(x) 6

7 Fourierintegral und -spektrum eine nicht periodische Funktion g(x) kann als Summe von unendlich vielen Sinus- und Kosinusschwingungen dargestellt werden das bedarf nicht nur Vielfache von der Grundfrequenz Fourierintegral sondern unendlich viele dicht aneinander liegende Frequenzen Bestimmung des Fourierspektrums (Fourierkoeffizientenfunktionen) 7

8 Fouriertransformation (FT) Übergang von Fourierintegral zu Fouriertransformation Ausgangsfunktion g(x) und Fourierspektrum sind komplexwertige Funktionen Vorwärtstransformation Rücktransformation 8

9 Fourier-Transformationspaare (1) + Imaginärteil 9

10 Beispiel: Rücktransformation G( ) f( x ) 2 ( ( 3 )( 3 ) ) G( ) e ( j x ) 2 d f( x ) e ( j 3 x ) e ( j 3 x ) f( x ) 2 f( x ) ( 3 ) e ( j x ) d ( 3 ) e ( j x ) d cos( 3 x )j sin( 3 x ) cos( 3 x ) j sin( 3 x ) f( x )cos ( 3 x )

11 Fourier-Transformationspaare (2) 11

12 FT von diskreten Signalen Abtastung (Sampling) Abtastung = Multiplikation mit Kammfunktion durch Abtastung wird aus einer kontinuierlichen Ausgangsfunktion g(x) eine diskrete Funktion Auswirkungen Diskretisierung im Ortsraum führt zu Periodizität im Fourierspektrum (Frequenzraum) Invers zu: Periodizität im Ortsraum führt zu diskretem Fourierspektrum ( Fourierreihe) 12

13 Aliasing und Abtasttheorem Diskretisierung im Ortsraum Periodizität im Frequenzraum falls die sich wiederholenden Spektralkomponenten im Frequenzraum nicht überschneiden, so ist eine verlustlose Rücktransformation möglich maximal zulässige Signalfrequenz max ist von der Abtastfrequenz s abhängig Spektrum des kontinuierlichen Ausgangssignals Spektrum des abgetasteten Ausgangssignals mit Abtastfrequenz 1 > 2 max Spektrum des abgetasteten Ausgangssignals mit Abtastfrequenz 2 < 2 max 13

14 Zusammenfassung (1) 14

15 Zusammenfassung (2) 15

16 Diskrete Fouriertransformation (DFT) Ausgangslage diskretes, periodisches Signal g(u) mit M Abtastwerten Vorwärtstransformation Rücktransformation 16

17 DFT Einheiten Periodenlänge t 0 : M Abtastwerte im Abstand t s Frequenz f 0 = 1 / Mt s Abtastfrequenz f s = 1/t s = M f 0 Wellenzahl m: 0 m < M Kreisfrequenz = m 0 = 2 m f 0 Leistungsspektrum Phasenspektrum Pha( m) G arctan G Im Re ( m) ( m) 17

18 Implementierung der DFT 18

19 FFT und DCT Zeitkomplexität der DFT zwei verschachtelte for-schleifen von 0 bis M O(M 2 ) Fast Fourier Transform (FFT) z.b. Algorithmus von Cooley und Tukey, 1965 Optimierung auf Signallängen von M = 2 k Reduktion der Zeitkomplexität auf O(M log M) Discrete Cosine Transform (DCT) nur für reelle Signale geeignet Spektrum ist auch reell Transformation verwendet nur Kosinusfunktionen 19

20 DFT in 2D Vorwärtstransformation Rücktransformation 20

21 Implementierung der 2D-DFT Umformung eindimensionale DFT genügt zuerst alle Zeilen eines Bildes mit der DFT transformieren dann alle transformierten Zeilen spaltenweise mit DFT transformieren 21

22 Amplituden und Phasen 22

23 Fourierspektrum zentriert (1) 23

24 Fourierspektrum zentriert (2) 24

25 Geometrische Korrektur 25

26 Periodizität 26

27 2D-DFT: Beispiele (1) 27

28 2D-DFT: Beispiele (2) 28

29 2D-DFT bei Rasterbildern 29

30 Saliency Detection (SD) Wo schauen wir hin? Wo ist es interessant im Bild? 30

31 Ansatz 31

32 SD Algorithmus 32

33 Matlab Code Verfahren von Hou & Zhang,

34 SD: Resultate (1) 34

35 SD Resultate (2) 35