13.5 Der zentrale Grenzwertsatz

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1 13.5 Der zentrale Grenzwertsatz Satz 56 (Der Zentrale Grenzwertsatz Es seien X 1,...,X n (n N unabhängige, identisch verteilte zufällige Variablen mit µ := EX i ; σ 2 := VarX i. Wir definieren für alle n N Zufallsgrößen Z n, Z n und Y n durch: Z n := n X i bzw. Z n := Z n n und i=1 Y n = n Zn µ σ 537 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

2 Dann gilt: ( lim P Z n n µ n n σ < x = lim P (Y n < x = Φ(x n = 1 2π x e t2 2 dt. Beweis: (Als Hilfsmittel werden charakteristische Funktionen verwendet, siehe unten, für den interessierten Leser 538 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

3 Bem.: Die Folge {Y n } n N konvergiert in Verteilung gegen eine Zufallsgröße Z, Y n D Z, Z N(0, 1. Anwendungen: Simulation bei der Erzeugung einer normalverteilten Zufallsgröße aus Pseudozufallszahlen Approximation von Wkt.-verteilungen (insbes. von Teststatistiken 539 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

4 Genauigkeitsabschätzung: Satz 57 (BERRY-ESSÉEN Es seien die Voraussetzungen des zentralen Grenzwertsatzes erfüllt und M := E X i µ 3 <. Dann gilt: P < x Φ(x < K, wobei K = 0,8 M σ3 n ist. ( Z n n µ n σ Bsp. 87 Es seien X i R(0, 1, µ = EX i = 1 2 σ 2 = EX 2 i µ 2 = W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

5 Wir bestimmen die Zahl M: M = E X i µ 3 = + x µ 3 f(xdx = 1 x dx = 2 1 (x dx = n K W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

6 Bsp. 88 Seien X i Poi(λ, Wir schätzen die Zahl M ab: EX i = VarX i = λ M 1 3 = ( E X i λ Berry-Esseen Schranke: ( E X i λ (Lemma 47 = ( E(X i λ = (λ + 3λ K 0.8(λ + 3λ λ 3 λ 2 n n 542 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

7 n K W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

8 Bsp. 89 Seien X i B(1,p, i = 1,...,n, unabhängig, X i : p p EX i = µ = p; VarX i = σ 2 = p(1 p. Wir definieren nun für alle n N eine Zufallsgröße Z n := n i=1 X i. 544 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

9 Die Zufallsgrößen Z n (n N haben also folgende Gestalt: Z n : n p 0 p 1 p 2... p n Wir zeigen jetzt: Für alle n N gilt: Z n B(n,p,d.h. p i = ( n i p i (1 p n i. Beweis mittels vollständiger Induktion. IA: Es sei n = 2. Dann gilt: Z 2 = X 1 + X 2 : p 0 p 1 p W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

10 Wir ermitteln die Wktn. p 0, p 1 und p 2 : p 0 = P(Z 2 = 0 = P(X 1 = 0,X 2 = 0 = P(X 1 = 0 P(X 2 = 0 (Unabh. von X 1 und X 2 ( 2 = (1 p (1 p = (1 p 2 = p 0 (1 p p 1 = P(Z 2 = 1 = P({X 1 = 1,X 2 = 0} {X 1 = 0,X 2 = 1} = P(X 1 = 1,X 2 = 0 + P(X 1 = 0,X 2 = 1 (Unvereinbarkeit der Ereignisse = P(X 1 = 1 P(X 2 = 0 + P(X 1 = 0 P(X 2 = 1 ( 2 = p (1 p + (1 p p = p 1 (1 p W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

11 IS: ÜA p 2 = P(Z 2 = 2 = P(X 1 = 1,X 2 = 1 ( 2 = P(X 1 = 1 P(X 2 = 1 = p 2 = p 2 (1 p Satz 58 (MOIVRE LAPLACE Es seien X i Bi(1,p, unabhängig. Dann gilt für Z n = n i=1 X i ( Bi(n,p: lim Z n D Z N(np,np(1 p Bem.: Der Satz sagt aus, daß für ausreichend großes n N die Binomialverteilung durch die (einfachere 547 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

12 (Standard Normalverteilung ersetzt werden kann, ( y n p P(Z n < y Φ. n p (1 p Beweis: Mit EZ n = np und VarZ n = np(1 p folgt unter Anwendung des Zentralen Grenzwertsatzes: P(Z n < y = P < y n µ n σ = P ( Φ ( Z n n µ n σ ( Z n n p n p (1 p < y n p n p (1 p y n p n p (1 p 548 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

13 Bsp. 90 Es seien n = 1000 und p = 0.4. Gesucht werde die Wahrscheinlichkeit P(Z n < 300. Es gilt: P(Z n < 300 = P(Z n = x = großer Rechenaufwand. x< i=0 ( 1000 i 0.4 i ( i besser: Anwendung des Satzes von MOIVRE LAPLACE. 549 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

14 Es gilt: P(Z n < 300 Φ = Φ ( ( , ,4 (1 0,4 ( Φ 15,49 = Φ( 6.45 = 1 Φ(6.45 } {{ } 1 0 Bem.: Die Anwendung des Satzes von MOIVRE LAPLACE setzt voraus, daß n N hinreichend groß ist. Faustregel: n p 10 und n (1 p W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

15 Bsp. 91 Wir betrachten POISSON verteilte unabhängige Zufallsgrößen X i Poi(λ i (i = 1,...,n, k... X i : p 0i p 1i p 2i... p ki... mit p ji = λj i j! e λ i (i = 1,...,n. EX i = VarX i = λ i. Z n := n i=1 X i 551 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

16 Für den Erwartungswert dieser Zufallsgrößen gilt: ( n n n EZ n = E X i = EX i = i=1 i=1 i=1 Wir nehmen nun an, λ i = λ, für alle i = 1,...,n. Ohne diese Annahme haben die Zufallsgrößen X i verschiedene Erwartungswerte und Varianzen, so daß der zentrale Grenzwertsatz (in der angegebenen Form nicht anwendbar ist. Es gilt also unter dieser Annahme: EX i = µ = λ; VarX i = σ 2 = λ. λ i 552 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

17 Lemma 59 Es seien X 1 und X 2 unabhängig, X 1,X 2 Poi(λ i, i = 1, 2. Dann ist die Zufallsgröße Z 2 := X 1 + X 2 ebenfalls POISSON verteilt und es gilt: Z 2 Poi(λ 1 + λ 2. (Bem: Vergleichen Sie mit der Faltungsformel für stetige Zufallsvariablen 553 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

18 Beweis: Es gilt für alle k N: P(Z 2 = k = = = k p 1 (t p 2 (k t t=0 k t=0 k t=0 ( λ t 1 e λ1 λk t 2 t! (k t! e λ 2 ( λ t 1 λ k t 2 t! (k t! e (λ 1+λ 2 = e (λ 1+λ 2 1 k! k t=0 λ t 1 λk t 2 k! t! (k t! = e (λ 1 +λ 2 k! (λ 1 + λ 2 k (Binomischer Lehrsatz 554 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

19 Bem. 22 Die Funktionen p 1 und p 2 heißen auch Faltungsdichten. Mit λ i = λ (i = 1,...,n folgt daraus n Z n = X i Poi(n λ. i=1 Wir wenden jetzt den Zentralen Grenzwertsatz an. Dann erhalten wir für hinreichend großes λ := n λ: P < x = P < x Φ(x. ( Z n n µ n σ ( Z n λ λ Also kann auch eine POISSON Verteilung durch eine einfachere (Standard Normalverteilung ersetzt werden, falls die Parameter λ i (i = 1,...,n alle gleich λ sind und der 555 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

20 Faktor n λ hinreichend groß ist (etwa n λ 10. Bem.: Sind die Parameter λ i (i = 1,...,n nicht alle gleich, so gilt die Aussage trotzdem, falls ihre Summe hinreichend groß ist ( W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

21 Bsp. 92 Seien X i unabhängig, X i N(0, 1, i = 1,...,n. Y = n i=1 X 2 i χ 2 n, d.h. Y ist χ 2 verteilt mit n Freiheitsgraden. 1 xn 2 2 f Y (y = n 2 Γ( n 2 e x 2, falls x sonst. EY = n VarY = E(Y n 2 = E( n (Xi = ne(x i=1 = ne(x 4 1 2EX = n( = 2n. 557 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

22 lim P ( n i=1 X2 i n n 2n < y = Φ(y. P( n i=1 X 2 i < x Φ ( x n 2n z.b. n = 30,x = : P( n i=1 X2 i < x = 0.2 Φ ( x n 2n = Φ( = = W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

23 bleibt z.z.: EX 4 i = 3. 2πEX 4 i = = 2 = 0 0 x 4 e x2 2 dx x 4 e x2 2 dx, t = x 2, dx = 1 2 t 1 2 dt t 3 2 e t 2 dt = = Γ ( 5 5 ( = Γ π = = 3 2π EXi 4 = 3. 0 t e t 2 dt 559 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

24 Dabei haben wir verwendet: 0 t λ 1 e αt dt = Γ(λ α λ Γ(n + 1 = nγ(n = n! Γ(n = (2n 1 π 2 n 560 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

25 Beweis des Zentralen Grenzwertsatzes Sei φ X µ die charakteristische Funktion von X i µ. Da die ersten beiden Momente (µ,σ 2 existieren, folgt aus der Taylorreihendarstellung φ X µ (t = σ2 t 2 + o(t 2 Die ZV X i µ nσ haben die charakteristische Funktion ( t φ X µ, nσ Die ZV Y n = n i=1 X i µ nσ hat also die charakteristische 561 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

26 Funktion Es gilt: φ Yn (t = ( φ X µ ( t nσ n = ( 1 t2 2n + o(t2 n n. ln ( 1 t2 2n + o(t2 n n = n ln ( 1 t 2 2n + o(t2 n t2 2. (vgl. Taylorreihenentwicklung des Logarithmus 562 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

27 ln φ Yn (t t2 2 φ Yn (t e t2 2. D.h. die ch.fkt. von Y n konvergiert gegen die ch.fkt. der Standard-Normalverteilung (sogar gleichmäßig. Aus dem Konvergenzsatz folgt: Y n Z N(0, W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

28 Bsp. 93 Münzwurf: 1000 mal. Wie groß ist die Wkt., dass weniger als 475 mal Zahl fällt? 1 falls Zahl X i = 0 sonst 1000 P( i= Xi } {{ 4 } N(0,1 Φ( = Φ( X i 475 = P( W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

29 Bedeutung des ZGWS in der Statistik beim Schätzen Gesetz der Großen Zahlen: X µ. Frage: Wie groß ist der Stichprobenumfang zu wählen, um eine bestimmte Genauigkeit zu erreichen? ε, δ vorgegeben, klein (ε, δ < 0.5. n ist so zu wählen, dass P( X µ ε 1 δ 565 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

30 1 δ P( X µ ε = P( ( X µ n ε n V arx V arx = P( n ( X µ σ n ε σ Φ( n ε σ Φ( n ε σ = 2Φ( n ε σ 1 gdw. Φ 1 (1 δ/2 n n ε σ ( σφ 1 (1 δ/2 ε W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

31 Bedeutung des ZGWS in der Statistik beim Testen µ := EX. Wir testen z.b. Teststatistik: H 0 : µ µ 0 gegen H 1 : µ > µ 0 T n = n X µ 0 σ T n klein spricht für H 0, T n groß gegen H 0. Fehler 1. Art: H 0 ablehnen, obwohl richtig möchte man begrenzen ( α Fehler 2. Art: H 0 annehmen, obwohl falsch 567 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

32 sollte auch klein sein ( β P µ0 (T n u 1 α α nach ZGWS denn P µ0 (T n < u 1 α Φ(u 1 α = 1 α (wenn µ < µ 0 so P µ (T n < u 1 α > P µ0 (T n < u 1 α 568 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

33 Bsp. 94 In der BRD gab es im Zeitraum insgesamt registrierte Lebendgeburten, davon waren Mädchen. Berechnen Sie die ein 95% Vertrauensintervall für die Wahrscheinlichkeit einer Mädchengeburt! Das zufällige Ereignis einer Mädchengeburt wird dargestellt durch eine Bernoulli-verteilte Zufallsvariable, X i B(1,p. Sei n = und n S n = i=1 X i die zufällige Anzahl der Mädchengeburten. Wir wissen, ES n = n p und VarS n = n p (1 p. 569 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

34 Weiter sei u das Quantil der Standardnormalverteilung, d.h Φ(u = Nachsehen in der Tabelle liefert u = Aus dem ZGWS folgt P( S n np V arsn u = Die folgenden Ungleichungen gelten jeweils mit Wkt. 0.95: S n np 1.96 np(1 p (S n np np(1 p n 2 p 2 2S n np + S 2 n np np W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

35 (n np 2 ( n + 2nS n p + S 2 n 0 bzw. wenn wir die Schätzung ˆp = S n n für die relative Anzahl der Mädchengeburten einsetzen, für die Randpunkte des Vertrauensintervalls 1 p 1,2 = (nˆp ± 1.96 nˆp(1 ˆp n Hier haben wir ˆp = S n n = = %-Vertrauensintervall: [ , ] W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

36 Bsp. 95 (Fortsetzung des vorigen Beispiels Angenommen, es würde gelten p = 1. Mit welcher Wkt. würden dann 2 höchstens auftreten? P(S n = P ( S n np np(1 p np np(1 p Φ( np np(1 p = Φ( W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

37 Bsp. 96 (Roulette Beim Roulette gibt es 36 Zahlen, 18 davon sind schwarz, 18 sind rot, dazu die 0, die ist grün. Bei Setzen der richtigen Farbe gibt es den doppelten Einsatz, bei Setzen der richtigen Zahl den 36 fachen Einsatz. Zwei Spieler A und B spielen folgende Strategie: A setzt auf Farbe, B auf Zahl. Beide spielen 100 mal, und jetzen jeweils 10 Euro. Wie groß ist die Wkt., dass sie nach n = 100 Spielen mindestens 40 Euro gewonnen haben? Wir beschreiben die Gewinne/Verluste im i-ten Spiel durch 573 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

38 Bernoulli-Zufallsvariablen, X i :, Y i : EX i = = =: µ A V arx i = EXi 2 (EX i 2 = 100 ( 10 EY i = = =: µ B 37 2 =: σ 2 A ( 100 V ary i = EYi 2 (EY i 2 = ( ( =: σb 2 ( W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

39 P ( 100 i=1 P ( 100 i=1 X i 40 = P ( 100 i=1 X i nµ A 40 nµ A n V arxi n V arxi = 1 Φ ( 40 nµ A n V arxi 1 Φ(0.67 = 0.25 Y i 40 = P ( 100 i=1 Y i nµ B 40 nµ B n V aryi n V aryi = 1 Φ ( 40 nµ B n V aryi 1 Φ(0.12 = W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

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