Abtastung schmalbandiger Signale und ihre Anwendung zur Hüllkurvenanalyse bei rechnergestützten schwingungsdiagnostischen Systemen

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1 tm Technisches Messen 74 (2007) 2 / DOI /teme Oldenbourg Verlag 63 Abtastung schmalbandiger Signale und ihre Anwendung zur Hüllkurvenanalyse bei rechnergestützten schwingungsdiagnostischen Systemen Zhongdong Liu, Qingdao University of Science und Technology, Ralf Nötzel, Karl Walter Bonfig, Universität Siegen Manuskripteingang: 11. August 2006; zur Veröffentlichung angenommen: 11. Dezember 2006 Im Beitrag wird ein modifiziertes Verfahren zur Fehlererkennung an Wälzlagern unter Nutzung der Hüllkurvenanalyse vorgestellt. Es wird dabei der Nachweis erbracht, dass beim Vorliegen von schmalbandigen Signalen die Abtastfrequenz zur Signalerfassung dabei niedriger als die vom Abtasttheorem verlangte Abtastfrequenz liegen kann. Darauf aufbauend wird dieses Verfahren anhand von numerischen Beispielen näher erläutert. Ergebnisse praktisch durchgeführter Messungen an einem Versuchsaufbau schließen den Beitrag ab. Schlagwörter: Abtastung, schmalbandiges Signal, Abtasttheorem, Hüllkurvenanalyse, Fehlererkennung, Wälzlager Sampling of Narrow Band Signals and its Application for Envelope Analysis in Computer-aided Diagnosis Systems This paper presents a modified procedure for the application of the envelope analysis for fault detection and diagnosis in rolling bearings. It is shown that the sampling frequency for the sampling of narrow band signals can be considerably lower than sampling theorem demands as long as some conditions are met. Based on this technique a new signal processing procedure for the envelope detection is proposed and illustrated with numerical and practical examples. Keywords: Sampling, narrow band signal, sampling theorem, envelope analysis, fault diagnosis, rolling bearing

2 64 1 Einleitung Stoßförmige Anregungen entstehen bei Wälzlagerschäden oder Verzahnungsfehlern. Solche periodischen Anregungen verfügen über eine Vielzahl von Frequenzanteilen und sind mit der Fourier-Reihe darstellbar. Sie können in der Maschine Schwingungen anregen, wobei alle auftretenden Frequenzen Vielfache der Stoßfrequenz f 1 sind. Die höchsten Amplituden dieser Schwingungen treten meist in den Resonanzbereichen der Maschine auf (Resonanzschwingungen). Die angeregten Resonanzschwingungen klingen exponentiell ab. Infolge der Überlagerung dieser Schwingungen mit den von anderen Anregungsquellen erzeugten Schwingungen tritt im gesamten Schwingungsspektrum eine komplizierte Struktur auf. Im Prinzip kann man in beliebigen Bereichen des gesamten Schwingungsspektrums die periodische Stoßimpulsfolge identifizieren. Allerdings sind im niederfrequenten Bereich des gesamten Schwingungsspektrums strukturbedingt die Amplituden der durch die Stoßimpulsfolge angeregten Schwingungsanteile meist sehr niedrig. Zudem können viele von anderen Anregungsquellen erzeugte Schwingungsanteile (z. B. Zahneingriff) ebenfalls in diesem Bereich liegen und wesentlich stärker sein. Es wird dann schwierig, teilweise sogar unmöglich, diese Stoßimpulsfolge zu detektieren. Daher untersucht man meist in den hochfrequenten Resonanzbereichen der Maschine oder im Resonanzbereich des angebrachten Beschleunigungssensors die Stoßimpulsfolge, wo die Resonanzschwingungen durch die hohen harmonischen Anteile der Stoßimpulsfolge angeregt werden. Das entsprechende Zeitsignal ist der Modulation zwischen der Resonanzschwingung und einer Impulsreihe ähnlich [1]. Die Demodulationstechnik lässt sich für die Vorverarbeitung von häufig auftretenden modulierten Schwingungssignalen verwenden. Die Nachrichtentechnik kennt für die Demodulation eine Reihe von Verfahren, zu denen die Hüllkurvenbildung gehört. Durch die Hüllkurvenbildung einer Reso- Bild 1: Vorgehensweise der Hüllkurvenanalyse einer periodischen Stoßimpulsfolge. Figure 1: Flow diagram of the envelope analysis for a periodical impulse sequence. nanzschwingung erhält man die Impulsreihe. Durch die Spektralanalyse der Impulsreihe lässt sich ihre Grundfrequenz und somit auch die Stoßfrequenz f 1 die Grundfrequenz der ursprünglichen periodischen Stoßimpulsfolge erkennen, wie in Bild 1 gezeigt. Damit kann man die Anregungsquellen in Maschinen gezielt untersuchen. Die Hüllkurvenbildung einer Resonanzschwingung lässt sich hardwaremäßig oder softwaremäßig realisieren. Bei rechnergestützten schwingungsdiagnostischen Systemen werden die analogen Schwingungssignale aus Schwingungssensoren nach einer geeigneten Signalanpassung und Anti-Aliasing-Filterung zuerst in Digitalsignale umgewandelt. Die Digitalsignale werden mit einem digitalen Bandpassfilter im Frequenzbereich begrenzt, welcher dem Resonanzbereich der Maschinen oder des angebrachten Beschleunigungssensors entspricht. Die Hüllkurvenbildung erfolgt meist softwaremäßig durch die Gleichrichtung mit einer Tiefpassfilterung oder mit Hilfe der Hilbert-Transformation [1]. In der Praxis wird der Resonanzbereich des Beschleunigungssensors bevorzugt zur Messung ausgenutzt, da der Resonanzbereich eines Beschleunigungssensors strukturbedingt festgelegt und in den meisten Fällen bekannt ist. Die Mittenfrequenz des Resonanzbereichs industrieüblicher Beschleunigungssensoren liegt bei idealen Montagebedingungen normalerweise zwischen 15 khz und 25 khz. Wird dieses analoge Schwingungssignal unmittelbar in das Digitalsignal umgewandelt, ist gemäß dem Abtasttheorem eine hohe Abtastfrequenz von über 30 khz bis 50 khz erforderlich. Dies führt zu hohen Anforderungen für den benutzten A/D-Umsetzer und hohem Rechenaufwand bei der Hüllkurvenbildung. In diesem Beitrag wird die Abtastung eines schmalbandigen Signals mit niedrigen Abtastfrequenzen variabler Bereiche behandelt. Dies stellt ein neues Verfahren zur Hüllkurvenanalyse bei rechnergestützten schwingungsdiagnostischen Systemen dar.

3 65 2 Abtastung eines schmalbandigen Signals Das Abtasttheorem besagt [2], dass sich ein kontinuierliches Signal x(t) aus seinen Abtastwerten x(t) = x[n] δ(t n T ) mit dem Abtastintervall n= T = 1/ f s = 1/(2 f c ) eindeutig rekonstruieren lässt, wenn die Fourier-Transformierte des Signals für alle Frequenzen größer als die Frequenz f c identisch null ist. In diesem Fall ist x(t) gegeben durch x(t) = T n= x[n] sin 2π f c(t n T ) π(t n T ) Als erste Bedingung gilt, dass das kontinuierliche Signal x(t) bandbegrenzt ist. Dies bedeutet, dass das kontinuierliche Signal vor der Abtastung mit einem Tiefpassfilter in seiner Bandbreite f c begrenzt werden muss. Die zweite Bedingung verlangt, dass die Abtastfrequenz f s 2 f c gewählt werden muss. Die empfohlenen Sicherheitsfaktoren für praktische Anwendungen liegen zwischen 3 f c und 10 f c [3]. Aber für ein schmalbandiges Signal ist die zweite Bedingung nicht zwingend notwendig. Zur Erläuterung dieser Aussage wird das Signal wie folgt angesetzt: (1) x(t) = A sin(2π f 0 t + ϕ) (2) Das Signal wird mit der Abtastfrequenz f s = 1/ T abgetastet und man erhält das diskrete Signal: x[n]=a sin(2π f 0 n T + ϕ)(n = 0, 1, 2,...) (3) Durch Benutzen der Identität sin x = sin(x + 2pπ) (p =±1, ±2,...) kann eine Äquivalenz wie folgt aufgestellt werden: x[n]= A sin(2π f 0 n T + ϕ) = A sin(2π f 0 n T + ϕ + 2pπ) = A sin(2π( f 0 + q/ T ) n T + ϕ) = A sin(2π( f 0 + q f s ) n T + ϕ) wobei q derart eine ganze Zahl ist, dass n q = p wieder eine ganze Zahl ist. Gl. (4) bedeutet in Worten: Für eine Abtastfrequenz f s sind Frequenzkomponenten bei f 0 und f 0 + q f s mit (q =±1, ±2,...) nicht voneinander unterscheidbar, d. h., sie haben dieselben Abtastwerte. Bild 2 zeigt diesen Fall, in dem das Abtasttheorem verletzt ist. Dabei wird ein Sinussignal der Frequenz f 0 = 10 Hz mit der Abtastfrequenz f s = 12,5 Hz diskretisiert. Werden die abgetasteten Werte der Diskreten Fourier-Transformation unterworfen, ergibt sich eine Spektrallinie bei einer Frequenz von 2,5 Hz. Mit q = 1 ergibt sich ebenfalls folgende Frequenz: f 0 f s =2,5Hz. Dies bedeutet, dass das Spektrum eines Sinussignals auch unter Verletzung des Abtasttheorems zurückgewonnen werden kann. Dieses Prinzip lässt sich mit bestimmten Einschränkungen auf schmalbandige Signale übertragen. Im Allgemeinen gilt [3; 4], dass ein diskretes Signal ein kontinuierliches und periodisches Spektrum (die zeitdiskrete Fourier-Transformation) der Periode von f s besitzt, wobei f s die Abtastfrequenz ist. Bild 3a zeigt das Spektrum eines analogen schmalbandigen Signals. Das Signal hat eine untere Frequenz f n und eine obere Eckfrequenz f c. Die Bandbreite ist B. Wird dieses Signal mit der Abtastfrequenz f s > 2 f c digitalisiert, ergibt sich kein Aliasing-Effekt (Bild 3b). Bei der ungeeigneten Abtastung mit der Abtastfrequenz f s < 2 f c entsteht wegen der periodischen Fortsetzung im Frequenzbereich der Aliasing-Effekt. Aufgrund dieses Effekts lässt sich das Originalspektrum dann nicht mehr zurückgewinnen (Bild 3c). Bild 2: Sinussignal ( f 0 = 10 Hz), abgetastet mit der Abtastfrequenz f s = 12,5Hz. Figure 2: Sine signal ( f 0 = 10 Hz) sampled with the sampling frequency f s = 12.5Hz. (4)

4 66 Bild 3: Spektrum eines bandbegrenzten Signals bei unterschiedlichen Abtastfrequenzen (a) Spektrum des analogen bandbegrenzten Signals (b) Spektrum des abgetasteten Signals (ohne den Aliasing-Effekt bei der Abtastung mit f s > 2 f c ) (c) Spektrum des abgetasteten Signals (Entstehen des Aliasing-Effekts bei der ungeeigneten Abtastung mit der Abtastfrequenz f s < 2 f c ) (d) Spektrum des abgetasteten Signals (ohne den Aliasing-Effekt bei der geeigneten Abtastung mit der Abtastfrequenz f s < 2 f c ). Figure 3: Spectrum of a band-limited signal sampled with different sampling frequencies (a) Spectrum of the band-limited analog signal (b) Spectrum of the sampled band-limited signal (no aliasing with f s > 2 f c ) (c) Spectrum of the sampled band-limited signal (occurrence of the aliasing with f s < 2 f c ) (d) Spectrum of the sampled band-limited signal (no aliasing by selecting suitable sampling frequency with f s < 2 f c ).

5 67 Bild 4: Spektralverteilung des abgetasteten schmalbandigen Signals ohne Aliasing bei f s < 2 f c. Figure 4: Spectral location of the sampled narrow band signal without aliasing with f s < 2 f c. Bild 3d zeigt einen Fall bei f s < 2 f c.trotzder Verletzung des Abtasttheorems entsteht kein Aliasing- Effekt und man kann das Spektrum des originalen Signals wiedergewinnen. Um aus dem mit der Abtastfrequenz f s < 2 f c abgetasteten Signal das ursprüngliche Spektrum wieder rekonstruieren zu können, dürfen sich das Originalspektrum und das durch den Abtastvorgang entstehende, an der Spektrallinie f = f s gespiegelte Originalspektrum nicht überlappen. Aus dieser Forderung resultieren die folgenden Bedingungen (Bild 4): (N 1) f s f n < f n f s < 2 f n N 1 und N f s f c > f c f s > 2 f c N, (6) wobei N > 1 eine natürliche Zahl ist. Die Zusammenstellung von Gl. (5) und (6) ergibt 2 f c N < f s < 2 K B N 2 f n N 1 oder < f s < (5) 2 B (K 1), mit K = f c /B (7) N 1 Die Ungleichung nach (7) ist demnach nur erfüllt, wenn gilt: N K bzw. f s 2B. In [5] und [6] wird die Abtastung bandpassbegrenzter Signale mathematisch näher beschrieben und schon auf die dabei auftretende Möglichkeit des Untersamplings hingewiesen, allerdings ohne konkreten Bezug auf eine praktische Anwendung zu nehmen. Ein Beispiel: Ein schmalbandiges analoges Signal besitzt eine Bandbreite B = 1000 Hz und die obere Grenzfrequenz f c = 20 khz (K = 20). Bei der Abtastung dieses Signals muss gemäß dem Abtasttheorem die Abtastfrequenz höher als 40 khz sein, sodass sich das originale Signal im Zeitbereich wieder rekonstruieren lässt und kein Aliasing-Effekt im Frequenzbereich entsteht. Interessiert nur die Spektralstruktur des Signals im Bereich von 19 khz bis 20 khz, kann man zur Digitalisierung dieses Signals ohne den Aliasing-Effekt im Frequenzbereich nach Gl. (7) die Abtastfrequenz aus den folgenden Bereichen wählen: N = 2 : Hz < f s < Hz, N = 3 : Hz < f s < Hz, N = 4 : Hz < f s < Hz, N = 5 : 8000 Hz < f s < 9500 Hz, N = 10 : 4000 Hz < f s < 4222 Hz,... Mit der Zunahme von N wird der Bereich, worin die zulässige Abtastfrequenz liegt, kleiner. 3 Hüllkurvenanalyse mit niedriger Abtastfrequenz (8) Seit Jahrzehnten bewährt sich die Hüllkurvenanalyse als geeignetes Verfahren, um stoßförmige Anregungen, wie sie z. B. bei Wälzlagerschäden oder Verzahnungsfehlern auftreten, zu erkennen und zu untersuchen [7 12]. Bei ihren praktischen Anwendungen ist nicht das Hüllkurvensignal im Zeitbereich, sondern das Spektrum des Hüllkurvensignals aussagekräftig. In den meisten Fällen beträgt die Bandbreite der durch Wälzlagerschäden oder Verzahnungsfehler angeregten Resonanzschwingungen eines Beschleunigungssensors etwa 1000 Hz, und die Mittenfrequenz der Resonanzschwingungen liegt im Bereich von 15 khz bis 25 khz. Diese schmalbandigen Resonanzschwingungen hoher Mittenfrequenz lassen sich mit einer Frequenz abtasten, die niedriger als die vom Abtasttheorem verlangte Abtastfrequenz ist. Bild 5a zeigt das Spektrum eines Signals: x(t) = 4sin(2π t) + 2sin(2π t) + sin(2π t)

6 68 Bild 5: Spektrum des schmalbandigen Signals x(t) bei den zulässigen Abtastfrequenzen. Figure 5: Spectrum of the narrow band signal x(t) sampled with the permissible sampling frequencies.

7 69 bei der Abtastfrequenz f s = 40 khz. In diesem Fall ist das Abtasttheorem erfüllt und die richtigen Amplituden und Frequenzen werden im Spektrum gezeigt. In Bild 5b bis e wird das Spektrum des schmalbandigen Signals x(t) dargestellt, wobei das Signal mit den in (8) aufgestellten Abtastfrequenzen digitalisiert ist. Die Signalfrequenzen liegen in unterschiedlichen Frequenzbereichen, aber die ursprünglichen Signalfrequenzen lassen sich mit Gl. (4) wiedergewinnen. In praktischer Fehlerdiagnose an Wälzlagern oder Zahnradgetrieben ist das Spektrum des Hüllkurvensignals von Bedeutung. Tatsächlich kann man dasselbe Hüllkurvenspektrum aus diesen mit den in Gl. (8) aufgestellten Frequenzen abgetasteten Signalen, das in Bild 6 gezeigt ist, gewinnen. Bild 7 stellt das Verfahren zur Hüllkurvenanalyse mit niedriger Abtastfrequenz dar. Durch den Einsatz eines Bandpassfilters wird ermöglicht, dass sich die Abtastfrequenz signifikant reduzieren lässt. Dies kann u. a. den nachfolgenden Rechenaufwand erheblich mindern. Zur Überprüfung des vorgestellten Verfahrens wurde der in Bild 8 gezeigte Prüfstand aufgebaut. Bei einem Rillenkugellager mit Beschädigung im Außenring (Typ: Bild 6: Hüllkurvenspektrum von Bild 5 (a) bis (e). Figure 6: Envelope spectrum of Figure 5 (a) to (e). Bild 7: Vorgehensweise der Hüllkurvenanalyse mit dem vorgeschlagenen Verfahren. Figure 7: Flow diagram of the envelope analysis with the proposed method. 6004; d = 20, D = 42, B = 12; Teilkreis Durchmesser: 31 mm; Kugeldurchmesser: 6,35 mm; Anzahl der Kugeln: 9, Berührungswinkel: 65 ) wurde das Schwingungssignal durch einen Beschleunigungssensor (Resonanzfrequenz: etwa 20 khz) aufgenommen und anschließend mit einem analogen Bandpassfilter gefiltert, dessen Frequenzgang in Bild 9 dargestellt ist. Bei einer Drehzahl von 1500 min 1 ergibt sich die Überrollfrequenz Außenring (BPFO) von etwa 89 Hz [2]. Das gefilterte Signal muss im Prinzip zur Erfüllung des Abtasttheorems mit der Frequenz über 40 khz abgetastet werden. Zur Hüllkurvenbildung mit dem hier vorgestellten Verfahren kann die Abtastfrequenz viel niedriger sein. Bild 10 zeigt die Ergebnisse des Hüllkurvenspektrums, das aus dem jeweils mit der Abtastfrequenz Hz, 8192 Hz und 4096 Hz abgetasteten Signal gerechnet wird. Unter den Amplituden der Hüllkurvenspektren gibt es wegen des nicht idealen Abfalls des analogen Filters kleine Abweichungen, aber die Grundfrequenz die Überrollfrequenz beim Außenringschaden ist in allen Fällen gleich. Zum Vergleich ist das mit dem industriellen Messgerät von Brüel und Kjaer Vibro gewonnene Ergebnis in Bild 11 dargestellt.

8 70 Bild 8: Versuchsaufbau zur Messung von Schäden an Wälzlagern. Figure 8: Testing set for the measurement of faults in rolling bearings. Bild 9: Frequenzgang des in Bild 7 aufgestellten Analogfilters. Figure 9: Amplitude spectrum of the analog filter used in Figure 7.

9 71 Bild 10: Hüllkurvenspektren für die Drehzahl von 1500 min 1 bei verschiedenen Abtastfrequenzen, gerechnet mit dem neuen Verfahren. Figure 10: Envelope spectra at the speed of 1500 min 1 with different sampling frequencies, calculated with the new method.

10 72 Bild 11: Hüllkurvenspektrum für die Drehzahl von 1500 min 1, gemessen mit dem Messtechnik-Set von Brüel und Kjaer Vibro. Figure 11: Envelope spectrum at the speed of 1500 min 1, measured with the measuring set of Brüel and Kjaer Vibro. 4 Zusammenfassung In diesem Beitrag wird ein Verfahren zur Abtastung schmalbandiger Signale behandelt. Die zulässigen Bereiche für die Abtastfrequenz können bei Einhaltung bestimmter Randbedingungen dabei niedriger als die vom Abtasttheorem verlangte Abtastfrequenz liegen. Aufbauend darauf wird ein neues Verfahren zur Hüllkurvenbildung vorgeschlagen. Durch Simulation und praktische Messungen werden das Verfahren überprüft und die erreichten Ergebnisse vorgestellt. Besonders für kostengünstige Lösungen, wie sie z. B. im Bereich embedded systems vorherrschen, wird dieses Verfahren zukünftig möglicherweise größere Bedeutung erlangen. Literatur [1] K. W. Bonfig, Z. Liu, Virtuelle Instrumente und Signalverarbeitung Zustandsüberwachung und Diagnose an Maschinen mit LabView, VDE Verlag, Berlin, Offenbach, [2] E. O. Brigham, FFT-Anwendungen, S. 101, R. Oldenbourg Verlag München Wien, [3] P. Profos, T. Pfeifer, Handbuch der industriellen Messtechnik, S , R. Oldenbourg Verlag München Wien, [4] K. D. Kammeyer, K. Kroschel, Digitale Signalverarbeitung Filterung und Spektralanalyse, S , B. G. Teubner Stuttgart, [5] A. V. Oppenheim, R. W. Schafer, Zeitdiskrete Signalverarbeitung, 3. Auflage, S , R. Oldenbourg Verlag München Wien, [6] R. Unbehauen, Systemtheorie 1: Allgemeine Grundlagen, Signale und lineare Systeme im Zeit- und Frequenzbereich, 8. korr. Auflage, S , R. Oldenbourg Verlag München Wien, [7] Z. Liu, Signalverarbeitungsverfahren und virtuelle Instrumente zur Messung von elektrischen Signalen und zur Fehlerdiagnose an Maschinen, b-quadrat Verlag, Kreuztal, [8] R. B. Randall, Y. J. Li, Modified Envelope Analysis for Diagnostics of Planetary Gear Bearings, Machine Vibration, Vol. 3, S , Springer-Verlag London Limited, [9] B. Geropp, Hüllkurvenanalyse Verfahren zur Schadensfrüherkennung. Teil I: Grundlagen. Antriebstechnik, Band 38(1), S , [10] B. Geropp, Hüllkurvenanalyse Verfahren zur Schadensfrüherkennung. Teil II: Anwendungen. Antriebstechnik, Band 38(3), S , [11] F. Mignano, Envelope Detection, Technical article of the Monotoring Technology Corporation, The Woodlands, Texas, USA, [12] K. Comes, M. Thurau, Lagerschäden vermeiden durch Überwachung der Wälzlager während des Betriebs: FAG-Diagnoseverfahren mit Signalverarbeitung, Wälzlagertechnik. Industrietechnik (FAG), , S , 1991.

11 Prof. Dr.-Ing. Zhongdong Liu hat den Bachlorund Mastergrad im Fachbereich Maschinenbau an der nordchinesischen Universität für Elektrizitätswesen erworben. Seine Arbeitsgebiete sind Messtechnik, Signalverarbeitung und Fehlerdiagnose an Maschinen. Von 2001 bis 2003 arbeitete er in der Firma Klose Antriebstechnik GmbH & Co KG, Hilchenbach. Von Anfang 2003 bis Ende 2006 war er als wissenschaftlicher Mitarbeiter bei Prof. Bonfig am Institut für Messtechnik der Universität Siegen tätig. Er promovierte zum Dr.-Ing. mit dem Thema Signalverarbeitungsverfahren und virtuelle Instrumente zur Messung von elektrischen Signalen und zur Fehlerdiagnose an Maschinen. Ab Januar 2007 ist er als Universitätsprofessor und Leiter des Chinesisch-Deutschen Instituts für Mess- und Regelungstechnik der Qingdao University of Science und Technology tätig. Adresse: Chinese-German Institute of Measurement and Control, Qingdao University of Science and Technology, P.O. 575, Qingdao, Shandong, , P.R. CHINA, liuzhd-cdtf@qust.edu.cn 2 Dr.-Ing. Ralf Nötzel studierte Elektrotechnik/Automatisierungstechnik an der Technischen Universität Chemnitz war er Entwicklungsingenieur für elektro-hydraulische Steuerungen bei der Firma Dango und Dienenthal in Siegen. Seit 2002 ist er Wissenschaftlicher Mitarbeiter am Institut für Messtechnik der Universität Siegen unter Leitung von Prof. Bonfig promovierte er zum Dr.-Ing. mit dem Thema Echtzeitprognose des Schmiedemaßes an hydraulischen Freiformpressen. Adresse: Universität Siegen, Fachbereich Elektrotechnik und Informatik, Institut für Messtechnik, Hölderlinstr. 3, Siegen, noetzel@mt.et-inf.uni-siegen.de 3 Prof. Dr.-Ing. Dr. h. c. Karl Walter Bonfig hat an der Technischen Universität München Elektrotechnik studiert. Später wurde er Professor an der Ruhr- Universität Bochum und dann ordentlicher Professor und Leiter des Instituts für Messtechnik der Universität Siegen. Adresse: Universität Siegen, Fachbereich Elektrotechnik und Informatik, Institut für Messtechnik, Hölderlinstr. 3, Siegen, bonfig@mt.et-inf.uni-siegen.de