2.3 Univariate Datenanalyse in R

Transkript

1 2.3. UNIVARIATE DATENANALYSE IN R Univariate Datenanalyse in R Wir wollen nun lernen, wie man in R Daten elementar analysiert. R bietet eine interaktive Umgebung, Befehlsmodus genannt, in der man die Daten direkt eingeben und analysieren kann. Durch das Bereitschaftszeichen > wird angezeigt, dass eine Eingabe erwartet wird. Der Befehlsmodus ist ein mächtiger Taschenrechner. Wir können hier die Grundrechenarten Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division mit den Operatoren +, -, * und / durchführen: > 3+4 [1] 7 > 3-4 [1] -1 > 3*4 [1] 12 > 3/4 [1] 0.75 Zum Potenzieren benutzen wir ^ : > 3^4 [1] 81 Man kann aber auch komplizierte Analysen durchführen. Wir wollen zunächst das Merkmal Alter aus Beispiel 1 auf Seite 1 analysieren. Die Werte des Merkmals Alter sind in der dritten Spalte von Tabelle 1.2 auf Seite 9 zu finden. Die Urliste sieht folgendermaßen aus Um die Daten in R analysieren zu können, müssen wir sie eingeben. Hierzu gibt es in R eine Reihe von Möglichkeiten. Schauen wir uns die einfachste an. Wir erzeugen einen Vektor mit den Daten. Ein Vektor ist eine Zusammenfassung von Objekten zu einer endlichen Folge. Ein Vektor besteht aus sogenannten Komponenten. Einen Vektor erstellt man in R mit der Funktion c. Diese macht aus einer Folge von Zahlen, die durch Kommata getrennt sind, einen Vektor, dessen Komponenten die einzelnen Zahlen sind. Die Zahlen sind die Argumente der Funktion c. Argumente einer Funktion stehen in runden Klammern hinter dem Funktionsnamen und sind durch Kommata voneinander getrennt.

2 48 KAPITEL 2. UNIVARIATE ANALYSE Die Funktion c wird also aufgerufen durch: c(a1,a2,...) Dabei sind A1, A2 die Argumente der Funktion. Für das Beispiel geben wir ein: > c(30,23,26,33,37,28,31,23,24,26,23,32,29,25,31,26,37, 38,29,28,28,28,38,27,27) Der Zeilenumbruch findet nur auf dem Papier statt. In R gibt alle 25 Zahlen hintereinander ein. Am Bildschirm erhalten wir folgendes Ergebnis: [1] Die Elemente des Vektors werden ausgegeben. Am Anfang steht [1]. Dies zeigt, dass die erste Zahl gleich der ersten Komponente des Vektors ist. Um mit den Werten weiterhin arbeiten zu können, müssen wir sie in einer Variablen speichern. Dies geschieht mit dem Zuweisungsoperator <-, den man durch die Zeichen < und - erhält. Auf der linken Seite steht der Name der Variablen, der die Werte zugewiesen werden sollen, auf der rechten Seite steht der Aufruf der Funktion c. Die Namen von Variablen dürfen beliebig lang sein, dürfen aber nur aus Buchstaben, Ziffern und dem Punkt bestehen, wobei das erste Zeichen ein Buchstabe oder der Punkt sein muss. Beginnt ein Name mit einem Punkt, so dürfen nicht alle folgenden Zeichen Ziffern sein. Hierdurch erzeugt man nämlich eine Zahl. Wir nennen die Variable Alter. R unterscheidet Groß- und Kleinschreibung. Die Variablennamen Alter und alter beziehen sich also auf unterschiedliche Objekte. Wir geben ein > Alter<-c(30,23,26,33,37,28,31,23,24,26,23,32,29,25,31,26,37, 38,29,28,28,28,38,27,27) Den Inhalt einer Variablen kann man sich durch Eingabe des Namens anschauen. Der Aufruf > Alter liefert das Ergebnis [1]

3 2.3. UNIVARIATE DATENANALYSE IN R 49 In R gibt es eine Vielzahl von Funktionen. Von diesen haben wir die Funktion c kennengelernt. Den Mittelwert bestimmen wir mit der Funktion mean. Sie wird aufgerufen durch mean(x,trim=0,na.rm=false) Im Argument x steht der Datensatz als Vektor. Dieses Argument muss beim Aufruf von mean immer angegeben werden. Diue beiden anderen Argumente müssen nicht angegeben werden. Werden sie nicht angegeben, so wird ihnen der Wert zugewiesen, der oben zu finden ist. Das Argument trim bietet die Möglichkeit, einen getrimmten Mittelwert zu bestimmen. Es gibt den Anteil an, der auf jeder Seite des geordneten Datensatzes vor der Berechnung des Mittelwerts herausgelassen wird. Setzen wir trim zum Beispiel auf 0.1, so wird x 0.1 bestimmt. Das Argument na.rm steuert den Umgang mit fehlenden Beobachtungen im Vektor x. Bei fast jeder statistischen Erhebung fehlen Beobachtungen, da Befragte keine Antwort gegeben haben, oder Versuche abgebrochen werden mussten. In R gibt man fehlende Beobachtungen als NA. Dies heißt not available. SindimVektorx fehlende Werte, so wird der Mittelwert ohne diese bestimmt, wenn das Argument na.rm auf TRUE steht. Nimmt es den Wert FALSE an, so liefert die Funktion mean alsergebnisden Wert NA. Schauen wir uns dies für ein Beispiel an. > z<-c(1,na,5,3) > z [1] 1 NA 5 3 > mean(x=z) [1] NA > mean(x=z,na.rm=true) [1] 3 Beim Aufruf der Funktion können wir die Argumente auch an den Stellen eingeben, an denen sie beim Funktionsaufruf stehen. Wir hätten also auch eingeben können: > mean(x,0,true) [1] 3 Für die Variable Alter erhalten wir > mean(alter) [1] 29.08

4 50 KAPITEL 2. UNIVARIATE ANALYSE Wir können aber auch unsere eigene Funktion Mittelwert schreiben. Hierzu benötigen wir die Funktionen sum und length. Die Funktion sum bestimmt die der Elemente eines Vektor, während die Funktion length die Anzahl der Kopmponenten angibt. Wir können den Mittelwert also folgendermaßen bestimmen: > sum(alter)/length(alter) [1] Wir wollen nun eine Funktion Mittelwert schreiben, die den Mittelwert der Elemente eines Vektors x bestimmt. Eine Funktion wird durch folgende Befehlsfolge deklariert: fname<-function(argumente} { Koerper der Funktion return(ergebnis) } Wir geben also ein Mittelwert<-function(x) { return(sum(x)/length(x)) } Wir können die Funktion sofort benutzen: > Mittelwert(Alter) [1] Der Zweck der Funktion Mittelwert ist ersichtlich, aber auch hier verbessert die Verwendung von Kommentaren die Lesbarkeit. Hier ist die kommentierte Version von Mittelwert: Mittelwert<-function(x) { # Mittelwert der Elemente von x return(sum(x)/length(x)) } Den Median bestimmen wir mit der Funktion median: median(x,na.rm=false)

5 2.3. UNIVARIATE DATENANALYSE IN R 51 Die Argumente kennen wir bereits von der Funktion mean. Für das Merkmal Alter gilt: > median(alter) [1] 28 Die Stichprobenvarianz liefert die Funktion var: var(x,y=null,na.rm=false,use) und die Standardabweichung die Funktion sd sd(x, na.rm = FALSE) Bei der Varianz sind die Argumente y und use für uns nicht relevant. Für das Merkmal Alter gilt > var(alter) [1] und > sd(alter) [1] Mit der Funktion hist kann man ein Histogramm zeichnen. Die Funktion hist hat sehr viele Argumente. Wir wollen hier nicht auf alle eingehen. Schauen wir uns zunächst an, wwas passiert, wenn man sie nur mit dem Datensatz aufruft und alle anderen Argument auf ihren vorbesetzten Werten lässt. Der Aufruf > hist(alter) so liefert das Histogramm in Abbildung 2.13.

6 52 KAPITEL 2. UNIVARIATE ANALYSE Abbildung 2.13: Histogramm des Merkmals Alter Histogram of Alter Frequency Alter Dieses unterscheidet sich beträchtlich vom Histogramm in Abbildung 2.7 auf Seite 25. Die Anzahl der Klassen beträgt in Abbildung 2.7 4, während in Abbildung Klassen gewählt wurden. Gibt man die Anzahl der Klassen oder die Klassengrenzen nicht vor, so wählt R diese nach einem in gewissem Sinne optimalen Algorithmus. Man kann die Anzahl der Klassen oder die Klassengrenzen mit dem Argument breaks vorgeben. Das Argument breaks ist ein fakultatives Argument der Funktion hist. Es ist mit einem Wert vorbelegt, der beim Aufruf verwendet wird. Will man einen anderen benutzen, so muss diesem Aufruf dem Argument breaks zuweisen. Wir hatten die Klassengrenzen 20, 25, 30, 35 und 40 gewählt. Wir rufen die Funktion hist also auf mit > hist(alter,breaks=c(0,25,30,35,40)) und erhalten die Abbildung Abbildung 2.14: Histogramm des Merkmals Alter Histogram of Alter Frequency Alter

7 2.3. UNIVARIATE DATENANALYSE IN R 53 Jetzt stimmt zwar die Anzahl der Klassen, aber die absoluten Häufigkeiten der Klassen stimmt nicht, wie man beim Vergleich von Abbildung 2.14 mit Abbildung 2.7 erkennt. Dies liegt daran, dass R standardmäßig die Klassen links offen und rechts abgeschlossen wählt. Sollen die Klassen rechts offen und links abgeschlossen sein, so müssen wir das Argument right auf F setzen. Außerdem sind in Abbildung 2.14 die absoluten und nicht die relativen Häufigkeiten abgetragen. Die relativen Häufigkeiten erhalten wir, indem wir das Argument freq auf T setzt. Nun gibt es noch zwei kleine Aspekte, die wir berücksichtigen müssen. In Abbildung 2.7 stehen die Zahlen an der Ordinate parallel zur Achse. Wir sind es gewohnt, dass sie senkrecht zur Achse stehen. Dies erreichen wir, indem wir vor dem Aufruf der Funktion hist eingeben: > par(las=1) Die Überschrift über der Graphik des Histogramms unterdrücken wir, indem wir das Argument main auf den Wert "" setzen. Abbildung 2.7 erhalten wir also durch folgende Befehle: > par(las=1) > hist(alter,breaks=c(0,25,30,35,40),freq=f,main="",right=f, xlab="alter") Die 4 Histogramme in Abbildung 2.8 auf Seite 26 erhält man durch folgende Befehlsfolge: > par(mfrow=c(2,2)) > hist(alter,breaks=2,freq=f,main="",right=f,xlab="alter") > hist(alter,breaks=c(23,25,27,29,31,33,35,37,39), freq=f,main="",right=f,xlab="alter") > hist(alter,breaks=c(23,28,33,38,43),freq=f,main="", right=f,xlab="alter") > hist(alter,breaks=c(23,27,31,35,39),freq=f,main="", right=f,xlab="alter") Durch den Befehl par(mfrow=c(2,2)) werden 4 Bilder in einer Grafik erstellt. Die folgende Funktion boxplothist erstellt einen Boxplot und ein Histogramm in einer Grafik, wie sie in Abbildung 2.12 auf Seite 46 zu finden sind. Das Argument der Funktion boxplothist ist der Vektor x.

8 54 KAPITEL 2. UNIVARIATE ANALYSE boxplothist<-function(x) { grenzen<-hist(x,right=f,plot=f)[[1]] k<-length(grenzen) plot(c(grenzen[1],grenzen[k]),c(0,0),xlab="",ylab="", axes=f,ylim=c(-0.1,2),type="l") box<-boxplot.stats(x)[[1]] lines(box[1:2],c(0.5,0.5)) lines(rep(box[2],2),c(0.3,0.7)) lines(rep(box[3],2),c(0.3,0.7)) lines(rep(box[4],2),c(0.3,0.7)) lines(c(box[2],box[4]),c(0.7,0.7)) lines(c(box[2],box[4]),c(0.3,0.3)) lines(c(box[4],box[5]),c(0.5,0.5)) aussen<-x[x>box[5] x<box[1]] text(aussen,rep(0.5,length(aussen)),"*") anz<-hist(x,plot=f,right=f)[[2]] anz<-anz/max(anz)+1 for (i in 1:(length(grenzen)-1)) {lines(rep(grenzen[i],2),c(1,anz[i])) lines(rep(grenzen[i+1],2),c(1,anz[i]))} for (i in 1:length(anz)) lines(grenzen[i:(i+1)],rep(anz[i],2)) lines(c(grenzen[1],grenzen[k]),c(1,1)) text(round(grenzen),rep(-0.1,k),round(grenzen)) } Das untere Quartil x 0.25 und das obere Quartil x 0.75 liefert die Funktion fivenum. Sie wird aufgerufen durch fivenum(x, na.rm = TRUE) Ruft man diese mit der Variablen x auf, so erhält man neben den beiden Quartilen noch den Median, das Maximum und das Minimum. > five<-fivenum(alter) > five [1] Das untere Quartil steht in der zweiten Komponente und das obere Quartil in der vierten Komponente des Vektors five. Auf Komponenten eines Vektors

9 2.3. UNIVARIATE DATENANALYSE IN R 55 greift man durch Indizierung zu. Hierzu gibt man den Namen des Vektors gefolgt von eckigen Klammern ein, zwischen denen die Nummer der Komponente steht, auf die man zugreifen will. Den Wert des unteren Quartils liefert folgender Aufruf: > five[2] [1] 26 und den Wert des oberen Quartils folgender Aufruf: > five[4] [1] 31 Auf mehrere Komponenten eines Vektors greift man zu, indem man einen Vektor mit den Nummern der Komponenten bildet und mit diesem indiziert. So erhält man den Wert des unteren Quartils und den Wert des oberen Quartils durch > five[c(2,4)] [1] Einen Boxplot liefert die Funktion boxplot. Sie wird aufgerufen durch boxplot(x) Den Boxplot des Merkmals Alter in Abbildung 14 auf Seite 44 erhält man durch: > boxplot(alter) Neben dem Merkmal Alter haben wir noch das Merkmal Trinkgeld betrachtet. Dieses ist diskret. Die Häufigkeitstabelle sieht folgendermaßen aus: Trinkgeld absolute Häufigkeit Liegen die Daten in Form einer Häufigkeitstabelle vor, so können wir diese Struktur bei der Eingabe benutzen. Hierzu benutzen wir die Funktion rep. Der Aufruf

10 56 KAPITEL 2. UNIVARIATE ANALYSE rep(x,times) erzeugt einen Vektor, in dem das Argument x times-mal wiederholt wird. Schauen wir uns ein Beispiel an: > rep(1,9) [1] Die Argumente x und times können Vektoren sein. Sind x und times gleich lange Vektoren, so wird x[i] times[i]-mal wiederholt. Wir erzeugen also einen Vektor Geld durch: > Geld<-rep(c(0.8,1.8,2.8,3.8),c(2,13,7,2)) > Geld [1] Um das Stabdiagramm zeichnen zu können, müssen die Daten in Form einer Häufigkeitstabelle vorliegen. Die Funktion table erstellt die Häufigkeitstabelle der Werte eines vektors x: table(x) Wir geben also ein > h<-table(geld) > h Geld Die Funktion table bestimmt absolute Häufigkeiten. Die relativen Häufigkeiten erhalten wir, indem wir die Funktion sum benutzen. Diese berechnet die Summe der Elemente eines Vektors. > sum(h) [1] 24 Der Aufruf > h/sum(h)

11 2.3. UNIVARIATE DATENANALYSE IN R 57 liefert die relativen Häufigkeiten: Geld Mit der Funktion barplot erstellen wir das Stabdiagramm. Der Aufruf > barplot(h/sum(h)) liefert die Abbildung 2.4. Die empirische Verteilungsfunktion bestimmen wir mit der Funktion ecdf. Diese steht in der Bibliothek stepfun. Wir laden diese Bibliothek durch > library(stepfun) Nun stehen alle Funktionen zur Verfügung. Die Abbildung 2.6 auf Seite 22 erhalten wir durch folgenden Aufruf: > plot(ecdf(geld),main="") Schauen wir uns nun noch nominalskalierte und ordinalskalierte Merkmale an. Beginnen wir mit der Analyse des Merkmals Geschlecht. Dieses besitzt die Merkmalsausprägungen w und m. Die Urliste ist: m w w m m m w m w m w m m w w m m m w w w w w w m Wir geben die Urliste als Vektor ein, dessen Komponenten Zeichenketten sind. Eine Zeichenkette ist eine Folge von Zeichen, die in Hochkommata stehen. > Geschlecht<-c("m","w","w","m","m","m","w","m","w","m","w", "m","m","w","w","m","m","m","w","w","w","w","w","w","m") Die Häufigkeitstabelle erhalten wir mit der Funktion table > h<-table(geschlecht) > h Geschlecht m w > h<-h/sum(h) > h Geschlecht m w

12 58 KAPITEL 2. UNIVARIATE ANALYSE und das Stabdiagramm in Abbildung 2.1 auf Seite 13 mit der Funktion barplot. > barplot(h) Liegt nicht die Urliste, sondern Häufigkeiten vor, so erstellen wir einen Vektor mit den Häufigkeiten > h1<-c(0.48,0.52) Rufen wir mit diesem Vektor die Funktion barplot auf, so wird die Abszisse nicht beschriftet. Wir müssen den Kategorien Namen geben. Dies geschieht mit dem Argument names.arg. DerAufruf > barplot(h1,names.arg=c("m","w")) liefert das gewünschte Stabdiagramm. Für das Paretodiagramm benötigen wir den sortierten Vektor. Hierzu benutzen wir die Funktion sort. DerAufruf sort(x) sortiert den Vektor x aufsteigend. Beim Paretodiagramm müssen wir absteigend sortieren. Hierzu setzen wir das Argument decreasing auf den Wert TRUE. Das Paretodiagramm des Merkmals Geschlecht liefert der folgende Befehl: > barplot(sort(h,decreasing=true)) Bei einem Merkmal mit ordinalem Messniveau gehen wir bei einem Merkmal mit nominalem Messniveau vor. Betrachten wir hierzu das Merkmal Bewertung. Wir geben ein: > Bewertung<-c("g","g","g","sg","sg","sg","g","sg", "g","g","g","g","sg","m","sg","g","m") Rufen wir jetzt die Funktion table auf, so erhalten wir folgendes Ergebnis: > table(bewertung) Bewertung g m sg 9 2 6

13 2.3. UNIVARIATE DATENANALYSE IN R 59 Wir sehen, dass die Ausprägungen des Merkmals Bewertung alphabetisch gordnet sind. Die richtige Reihenfolge erhalten wir, indem wir aus Bewertung mit der Funktion ordered einen geordneten Faktor machen: > Bewertung<-ordered(Bewertung,levels=c("sg","g","m")) > Bewertung [1] g g g sg sg sg g sg g g g g sg m sg g m Levels: sg < g < m Jetzt funktioniert auch die Funktion table so, wie wir es uns wünschen: > table(bewertung) Bewertung sg g m Wir haben nun gesehen, wie man univariate Datensätze in R analysiert. Nun wollen wir uns noch anschauen, wie man partielle Informationen aus einem Datensatz herausfiltern kann. Wir haben bereits gelernt, wie man durch Indizieren eine oder mehrere Komponenten eines Vektors auswählen kann. Will man auf die letzte Komponente zugreifen, so benötigt man die Länge des Vektors. Diese liefert die Funktion length: > length(alter) [1] 25 Die letzte Komponente des Vektors Alter erhalten wir also durch > Alter[length(Alter)] [1] 27 Wir können auf Komponenten, die hintereinander stehen, einfacher zugreifen. Sind i und j natürliche Zahlen mit i<j, so liefert in R der Ausdruck i:j die Zahlenfolge i, i + 1,...,j 1,j. Ist i>j, so erhalten wir die Zahlenfolge i, i 1,...,j +1,j. Wollen wir also auf die ersten drei Komponenten von Alter zugreifen, so geben wir ein > Alter[1:3] [1] Wollen wir den Vektor Alter in umgekehrter Reihenfolge ausgeben, so geben wir ein

14 60 KAPITEL 2. UNIVARIATE ANALYSE > Alter[length(Alter):1] [1] Mit der Funktion rev hätten wir das gleiche Ergebnis erhalten. > rev(alter) [1] Oft will man Komponenten eines Vektors selektieren, die bestimmte Eigenschaften besitzen. Hierzu benötigt man Vergleichsoperatoren, mit denen man auf Gleichheit mit ==, Ungleichheit mit!=, kleiner mit <, kleiner gleich mit <=, größer mit > oder größer gleich mit >= überprüfen kann. Das Ergebnis des Vergleichs ist vom Typ logical, ist also entweder T oder F, wobeit für true und F für false steht: > 3<4 [1] T Man kann natürlich auch einen Vektor der Länge n und einen Skalar mit einem Vergleichsoperator verknüpfen: > 1:5 <= 3 [1] T T T F F Indiziert man einen Vektor der Länge n mit einem Vektor vom Typ logical der Länge n, so werden die Komponenten ausgewählt, bei denen im Vektor vom Typ logical ein T steht. Wollen wir das Alter der Teilnehmer wissen, die weniger als 15 Jahre alt sind, so geben wir ein > Alter[Alter<25] [1] Die Nummern der Teilnehmer erhalten wir durch > (1:length(Alter))[Alter<25] [1] Sind alle Komponenten eines Vekors vom Typ logical, sowirdf in 0 und T in 1 umgewandelt, wenn man eine Funktion auf den Vektor anwendet, die numerische Argumente erwartet. Der Aufruf > sum(alter<25) [1] 4

15 2.3. UNIVARIATE DATENANALYSE IN R 61 liefert also die Anzahl der Teilnehmer, die jünger als 25 Jahre sind. Sollen mehrere Bedingungen erfüllt sein, so kann man die logischen Operatoren & und verwenden. Der Operator & entspricht dem logischen "und" und der Operator entspricht dem logischen "oder". Die Indizes der Teilnehmer, die mindestens 25 und höchstens 30 Jahre alt sind, erhalten wir durch > (1:length(Alter))[Alter>=25 & Alter<=30] [1]

16 62 KAPITEL 2. UNIVARIATE ANALYSE Tabelle 2.8: Die Häufigkeitstabelle des Merkmals Anzahl CDs Anzahl CDs absolute Häufigkeit von 0 bis unter von 50 bis unter von 100 bis unter von 150 bis unter von 200 bis unter von 250 bis unter Tabelle 2.9: Die Häufigkeitstabelle des Merkmals Mathematische Grundbildung Mathematische Grundbildung absolute Häufigkeit von 300 bis unter von 350 bis unter von 400 bis unter von 450 bis unter von 500 bis unter von 550 bis unter (Quelle: Deutsches PISA-Konsortium (Hrsg.): PISA Leske + Budrich, 2001.)

17 2.3. UNIVARIATE DATENANALYSE IN R 63 Tabelle 2.10: Die Häufigkeitstabelle der Körpergröße der Männer Körpergröße absolute Häufigkeit von 165 bis unter von 170 bis unter von 175 bis unter von 180 bis unter von 185 bis unter von 190 bis unter von 195 bis unter Tabelle 2.11: Die Häufigkeitstabelle des Merkmals Alter der Teilnehmer einer Weiterbildungsveranstaltung Alter absolute Häufigkeit von 20 bis unter 24 3 von 24 bis unter 28 7 von 28 bis unter 32 9 von 32 bis unter 36 2 von 36 bis unter 40 4