A B C D E F

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1 Fachhochschule Köln Fakultät für Wirtschaftswissenschaften Prof. Dr. Arrenberg Raum 221, Tel Übungen zur Vorlesung Wirtschaftsstatistik Wiederholungsaufgaben für die Klausur am Aufgabe 2 ( ) Der Vorstand einer Wirtschaftsprüfungsgesellschaft vermutet, dass die Anzahl der vom Prüfungsteam festgestellten und zur Korrektur vorgeschlagenen Fehler im Rahmen der Jahresschlussprüfung von Unternehmen von der Höhe des vereinbarten Prüfungshonrars abhängt. Um den möglichen Zusammenhang zwischen festgestellten Fehlern und Prüfungshonorar bestimmen zu können, werden für sechs (nach Größe, Rechtsform und Branche) vergleichbare Unternehmen die Anzahl der festgestellten Rechnungslegungsfehler ermittelt und dem jeweiligen Prüfungshonorar gegenübergestellt (siehe folgende Tabelle). Unternehmen Prüfungshonorar Anzahl festgestellter (in TEUR) Fehler A B C D E F a) Ermitteln Sie eine geeignete statistische Maßzahl zur Messung des linearen Zusammenhangs zwischen den festgestellten Rechnungslegungsfehlern und dem vereinbarten Prüfungshonorar. Beurteilen Sie die Stärke des Zusammenhangs. b) Das vereinbarte Honorar mit Unternehmen Q beträgt 90 TEUR. Wie hoch dürfte die Anzahl der festzustellenden Rechnungslegungsfehler sein? Für wie verlässlich halten Sie die Prognose? Begründen Sie Ihre Antwort! c) Mit Unternehmen T hat die Wirtschaftsprüfungsgesellschaft ein Honorar von 130 TEUR vereinbart. Wie hoch ist die Anzahl der festzustellenden Fehler, die im Rahmen der Prüfung erwartet werden können? Wie beurteilen Sie diese Prognose? Begründen Sie Ihre Antwort! d) Berechnen Sie das Bestimmtheitsmaß. Welcher Zweck wird mit der Ermittlung dieser Maßzahl verfolgt? Aufgabe 5 ( ) Einem Unternehmen stehen für eine Investitionsentscheidung zwei Alternativen A und B zur Auswahl. Die Zufallsvariable X sei der Gewinn (gemessen in GE) der Anlagealternative A für das Kalenderjahr 2005, die Zufallsvariable Y sei der Gewinn (gemessen in GE) der Anlagealternative B ebenfalls für das Kalenderjahr Die Unternehmensleitung hat folgende Gewinnerwartungen für 2005: 1

2 Höhe des Alternative Alternative Gewinns (G) A B (in GE) P (X = G) P (Y = G) ,10 0, ,20 0,15 0 0,20 0, ,30 0, ,20 0,20 In der Geschäftsleitung des Unternehmens gibt es vier verschiedene Meinungen dazu, welches Entscheidungskriterium man zu Grunde legen soll bei der Wahl zwischen A und B. Welche der beiden Anlagealternativen A und B wird gewählt, wenn als Entscheidungskriterium herangezogen wird: a) die Höhe der Gewinnerwartung in 2005? b) die Minimierung der Streuung des Gewinns in 2005? c) die Maximierung der Wahrscheinlichkeit, in 2005 einen positiven Gewinn (G > 0) zu erzielen? d) die Minimierung der Wahrscheinlichkeit, in 2005 eine Verlust (G < 0) zu erleiden? Aufgabe 1 ( ) Performance-Vergleich weltweit angelegter Aktienfonds im Drei-Jahres-Vergleich vom bis Investmentfonds Astra 1) FMM 1) Templeton Global Smaller Companies 2) Wertpapier kenn-nummer Wertzuwachs je Fonds-Anteilschein im Kalenderjahr... (in %) ,5 +14,6 +27, ,0 +3,6 +2, ,5 +4,2 +2,2 1) Geführt von dem Vermögensverwalter Dr. Jens Erhardt 2) Ein Fonds der bekannten US-Investmentgesellschaft Franklin Templeton Quelle: Euro am Sonntag, 6. Januar 2002, Seite 44 a) Um wie viel Prozent lag der Wert eines Anteilscheins des Astra-Fonds am Jahresende 2001 höher als am Jahresanfang 1999? b) Berechnen Sie die durchschnittliche jährliche Wertsteigerung eines Anteilscheins des FMM-Fonds für den Zeitraum vom bis zum c) Welcher der drei Fonds wies vom bis zum die beste Performance (=Wertzuwachs) auf? Begründen Sie Ihre Antwort durch Berechnung und Interpretation geeigneter statistischer Maßzahlen. 2

3 Fachhochschule Köln Fakultät für Wirtschaftswissenschaften Prof. Dr. Arrenberg Raum 221, Tel Übungen zur Vorlesung Finanzmathematik Wiederholungsaufgaben für die Klausuren am und am Aufgabe 4 ( ) Für einen Hauskauf nimmt eine Familie zu Beginn des Jahres 2010 einen Kredit über Euro auf. Für die Rückzahlung wird eine Annuitätentilgung zu 4,2% Jahreszinsen vereinbart. Die erste Rückzahlung ist fällig am und hat einen Tilgungssatz von 1%. a) Wie hoch sind die Annuitäten? b) Wie oft sind volle Annuitäten zu zahlen? c) Geben Sie die Tilgungsplanzeile (Zinsen, Tilgung, Annuität, Restschuld) für das 21. Jahr an. d) Wie hoch ist die Restschuld ein Jahr nach Zahlung der letzten vollen Annuität? Aufgabe 6 ( ) Eine Privatperson möchte einen Betrag von für vier Jahre anlegen. Sie erhält von ihrer Bank die folgenden beiden Angebote: Angebot 1: Der Betrag wird zu jährlich nachschüssigen Zinseszinsen angelegt. Die Bank gewährt im ersten Jahr 0,7% Zinsen, im zweiten 1,5% Zinsen und im dritten und vierten Jahr jeweils 2% Zinsen. Angebot 2: Die Bank legt den Betrag extern (bei einer Lebensversicherung) an. Die Privatperson erhält nach vier Jahren einen Betrag von zurück. Alternativ kann eine lebenslängliche jährlich vorschüssige Rente in Höhe von 640,92 gewählt werden, erste Rentenauszahlung ist fällig genau vier Jahre nach der Anlage. a) Welches Kapital ergibt sich nach vier Jahren bei Angebot 1? b) Welcher gleichbleibende Zinssatz wäre in Angebot 1 bei jährlicher nachschüssiger Verzinsung anzusetzen, damit ebenfalls das unter a) berechnete Kapital nach vier Jahren erreicht wird? c) Welcher gleichbleibende Zinssatz wäre bei jährlicher nachschüssiger Verzinsung anzusetzen, damit der eingezahlte Betrag wie in Angebot 2 nach vier Jahren auf anwachsen kann? 1

4 d) Wie lange muss bei Angebot 2 die Privatperson den Zeitpunkt der Geldanlage überleben, damit sich die Wahl der lebenslänglichen jährlich vorschüssigen Rente lohnt? Verwenden Sie als Rechnungszins 2,25% p.a. (derzeitiger Mindestzins bei Abschluss einer Lebensversicherung). Aufgabe 5 ( ) Bei 4,8% Jahreszins wird für einen Hauskauf am ein Kredit in Höhe von Euro aufgenommen. Als Rückzahlung wird Annuitätentilgung über 20 Jahre vereinbart, erste Annuität ist fällig am In den ersten fünfzehn Jahren betragen die Annuitäten jeweils Euro. a) Wie hoch ist die Restschuld am ? b) Wie hoch müssen die Annuitäten in den letzten fünf Jahren der Annuitätentilgung sein, damit der Kredit nach 20 Jahren abgezahlt ist? c) Wie hoch ist der 20. Tilgungsbetrag? 2

5 Fachhochschule Köln Fakultät für Wirtschaftswissenschaften Prof. Dr. Arrenberg Raum 221, Tel Übungen zur Vorlesung Wirtschaftsmathematik Wiederholungsaufgaben für die Klausur am Aufgabe 1( ) a) Berechnen Sie: lim x 4 x 2 + 4x 32 6x 24 b) Gegeben sei die Gesamtkostenfunktion K(x) eines Unternehmens mit K(x) = e x 5x ; x 0 Die produzierte Menge x kann am Markt gemäß der folgenden linearen Preis- Absatz Funktion abgesetzt werden: p(x) = 904,71 0,5x ; x [0 ; 1 809,42] 1. Erstellen Sie die Gewinnfunktion. 2. Geben Sie die erste Ableitung der Kostenfunktion an. 3. Wie hoch sind die Grenzkosten an der Stelle x 0 = 3? 4. Was besagen die Grenzkosten an dieser Stelle? c) Bestimmen Sie die erste Ableitung der folgenden Funktionen: f(x) = 3 x 4 + 5x 2 ; x > 0 h(x) = x ln x ; x > 0 Aufgabe 2 ( ) a) Ein Unternehmen stellt seine Produkte in Produktlinie A in einem zweistufigen Produktionsprozess her. Aus den Rohstoffen R 1, R 2, R 3 werden zunächst die Zwischenprodukte Z 1, Z 2 sowie anschließend die Endprodukte E 1, E 2 hergestellt. Die Direktbedarfe in Mengeneinheiten (ME) stellen sich wie folgt dar: Direktbedarf an Rohstoffen für jeweils eine ME der Zwischenprodukte: Z 1 Z 2 R R R Direktbedarf an Zwischenprodukten für jeweils eine ME der Endprodukte: E 1 E 2 Z Z

6 Direktbedarf an Rohstoffen für jeweils eine ME der Endprodukte: E 1 E 2 R R R Berechnen Sie den Gesamtbedarf an Rohstoffen R 1, R 2, R 3 für die Herstellung jeweils einer ME der Endprodukte E 1, E Wie viele Mengeneinheiten der Rohstoffe R 1, R 2, R 3 werden benötigt, um 40 ME von E 1 und 60 ME von E 2 herzustellen? b) In Produktlinie B des Unternehmens werden in einem fünfstufigen Prozess aus den Rohstoffen R 1, R 2 die Endprodukte E 1, E 2, E 3 hergestellt. Der Gesamtbedarf an Rohstoffen zur Herstellung je einer ME der Endprodukte lässt sich der folgenden Matrix [ ablesen: ] C = Von R 1 stehen 44 ME und von R 2 92 ME zur Verfügung. Ermitteln Sie alle ökonomisch sinnvollen Produktionsprogramme für die drei Endprodukte. Dabei ist ein Produktionsprogramm ökonomisch sinnvoll, wenn es nicht negativ und ganzzahlig ist. Zur Lösung dieser Fragestellung gehen Sie wie folgt vor: 1. Stellen Sie das Gleichungssystem auf. 2. Geben Sie die Lösungsmenge des Gleichungssystems an. Anmerkung: Lösungen ohne ausführliche Angabe des Lösungsweges werden nicht berücksichtigt, siehe auch Hinweis auf dem Deckblatt!) 3. Geben Sie alle nicht negativen Lösungen an. 4. Geben Sie alle nicht negativen ganzzahligen Lösungen an. Aufgabe 5 ( ) In Abhängigkeit des Konsums x 1 von Gut I und des Konsums x 2 von Gut II ist die folgende Nutzenfunktion gegeben: u(x 1, x 2 ) = x x 2 ; x 1, x 2 > 0 Wie hoch ist der maximale Nutzen unter der Nebenbedingung, dass insgesamt 96 GE zum Kauf der beiden Güter zur Verfügung stehen und der Preis von Gut I genau 0,5 GE pro Stück, der Preis von Gut II genau 4 GE betragen? Bestimmen Sie die Lösung mit Hilfe der Lagrange-Methode, wenn das Budget von 96 GE voll ausgenutzt werden soll. 2