Beispiel Wenn p ein Polynom vom Grad größer gleich 1 ist, ist q : C Ĉ definiert durch q (z) =

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1 Funktionentheorie, Woche Funktionen und Polstellen. Meromorphe Funktionen Definition.. Sei U C offen und sei f : U gilt, nennt man f meromorph auf U: Ĉ eine Funktion. Wenn folgendes. P := f hat keine Häufungspunkte;. P besteht nur aus Polstellen von f; 3. f : U\P C ist holomorph. Beispiel.. Wenn p ein Polynom vom Grad größer gleich ist, ist q : C Ĉ definiert durch { /pz für p z 0, q z = für p z = 0, eine meromorphe Funktion auf C. Es ist übrigens üblich zu schreiben q z = /p z und an den nicht-definierten Stellen zu nehmen. Beispiel.3. Die Funktion z tan z ist meromorph auf C. Auch hier nimmt man, wenn cos z = 0. Eine Skizze der Funktionenlandschaft finden sie in Abbildung.. Beispiel.4. Die Funktion f : C Ĉ, definiert durch f z = { e z für z C \ {0}, für z = 0 ist nicht meromorph auf C. Wenn f einen Pol von Ordnung m in 0 hätte, dann würde lim z 0 z m f z existieren. Für alle m N + gilt jedoch lim x m f x =. x 0 Übrigens, auch wenn man f 0 = w für ein w C, statt f 0 =, definieren würde, wird f nicht meromorph bei 0. 3

2 . Nullstellen, Pole und ein Kurvenintegral 5. Juni 05 5 Korollar.6. Sei U C offen, sei f : U Ĉ meromorph und f 0. Dann gibt es für jedes w U eine Zahl r R +, ein k 0 Z und eine Folge {a k } k0 k Z C derart, dass a k0 0 und f z = a k z w k für z B r w \ {w}.. k=k 0 Das heißt, a k z w k konvergiert auf B r w, und k=0 für k 0 > 0 hat f eine Nullstelle von Ordnung k 0 in w; für k 0 < 0 hat f eine Polstelle von Ordnung k 0 = k 0 in w. Beweis. Wegen Lemma.5 gibt es r > 0 und holomorphen Funktionen f, f : B r w C mit f z = f z /f z. Dann ist f auf B r w als Potenzreihe zu schreiben: f z = m=m 0 b m z w m bei der wir m 0 die kleinstmögliche Zahl in N nehmen derart, dass b m0 0. Dann gilt f z = m=m 0 b m z w m = z w m 0 m=m 0 b m z w m m 0. Für die Funktion g z = m=m 0 b m z w m m 0 gilt g w 0 und daher ist z /g z holomorph in einer Umgebung B r w. Es folgt, dass f z = z w m f 0 z g z. Weil z f z /g z holomorph ist auf B r w mit r = min {r, r }, kann man diese Funktion als Potenzreihe auf B r w schreiben und wenn man dann durch z w m 0 dividiert, folgt.. Lemma.7. Sei U C offen. Wenn f, g : U C meromorphe Funktionen sind mit g 0, dann sind f + g, f g, f.g und f/g meromorphe Funktionen auf U. Der Beweis ist fast direkt und wird dem Leser überlassen. Bemerkung.7.. Wenn f, g : C Ĉ meromorphe Funktionen sind, ist f g : C Ĉ im Allgemeinen nicht meromorph und auch nicht zu ergänzen zu einer meromorphen Funktion. Das Standardbeispiel ist f z = e z und g z =. Die Funktionen f und g z sind meromorph auf C; die Funktion f g jedoch nicht.. Nullstellen, Pole und ein Kurvenintegral Sei U C offen, und sei Γ das Bild einer linksherum laufenden differenzierbaren Jordan- Kurve γ. Nehmen wir an, dass Γ und sein Innengebiet in U liegen. Sei f meromorph auf U und derart, dass f weder Nullstellen noch Polstellen auf Γ hat. Wir schreiben dann # N f, Γ = die Zahl der Nullstellen von f innerhalb von Γ, # P f, Γ = die Zahl der Polstellen von f innerhalb von Γ,

3 6 5. Juni 05 Woche, Funktionen und Polstellen Abbildung.: U, Γ und die Richtung von γ wobei diese Zahl inklusive Multiplizität gezählt wird. Die Multiplizität einer n-fachen Nullstelle in n; die Multiplizität eines Pols von Ordnung m ist m. Im nächsten Beispiel sieht man nochmals wie dies gemeint ist. Beispiel.8. Die Funktion gz = z z+iz 5 4 sinz z+ z ist meromorph und man findet i ist eine Nullstelle mit Multiplizität ; ii i ist eine Nullstelle mit Multiplizität ; iii 5 ist eine Nullstelle mit Multiplizität 4; iv 0 ist eine Nullstelle mit Multiplizität : sin z z = z 6 z3 + O z 5 z = z 3 z + O z 4 ; v ist eine Polstelle mit Multiplizität. Also gilt # N g, B 0 = + + = 4 und # P g, B 0 =. Die Nullstelle 5 liegt außerhalb B 0. Lemma.9. Seien f und Γ wie oben und sei γ eine Parametrisierung von Γ. Dann gilt # N f, Γ # P f, Γ = ˆ f z dz.. πi fz Beweis. Sei m Z und w U. Lokal hat man fz = k=m α k z w k mit α m 0. Wenn m > 0, dann ist w eine Nullstelle von f mit Ordnung m. Wenn m < 0, dann ist w eine Polstelle von f der Ordnung m. Es gilt für m 0, dass f z fz = k=m kα k z w k k=m α k z w k = z w hz, γ wobei hz = k=0 k + m α k+m z w k k=0 α k+m z w k eine in einer Umgebung von w holomorphe Funktion ist. Weiter gilt hw = mα m α m = m.

4 8 5. Juni 05 Woche, Funktionen und Polstellen und es folgt, dass hθ, z weder eine Nullstelle noch eine Polstelle auf Γ hat. Denn hätte hθ, z eine Nullstelle w Γ, dann liefert fw = fw hθ, w < fw den Widerspruch. Hätte hθ, z eine Polstelle w Γ, dann findet man einen Widerspruch durch = fw hθ, w < fw <. Also ist die Funktion A : [0, ] R durch A θ := ˆ πi γ h θ, z hθ, z dz mit h θ, z = hθ, z für jedes θ [0, ] wohldefiniert. Weil z h θ, z und hθ, z keine Null- oder Polstellen für z Γ haben, ist θ A θ sogar stetig auf [0, ]. Und weil ˆ h θ, z πi hθ, z dz = # Nhθ,, Γ # P hθ,, Γ nur ganze Zahlen als Wert annimmt, folgt, dass γ θ # N hθ,, Γ # P hθ,, Γ konstant ist. Das besagt genau, dass.4 erfüllt ist..3 Partialbruchentwicklung In der Analysis Vorlesung haben Sie gesehen, dass man rationale Funktionen in Partialbrüche zerlegen kann. Eine rationale Funktion ist der Quotient zweier Polynome. Zerlegen in Partialbrüche heißt, dass es für jedes paar Polynome p und q ein Polynom p und komplexe Zahlen c k,l gibt derart, dass p z q z = p z + l k qz k =0 l= mit l k die Multiplizität der Nullstelle z k von q. Zum Beispiel gilt: z 5 3z 4 + 5z 3 3z + 4z z 4 4z 3 + 5z 4z + 4 = z + 3 i 5 50 z i c k,l z z k l.5 = z5 3z 4 + 5z 3 3z + 4z z + z = + 3 i z + i z + 5 z. Wenn man in.5 die Polynome p und q ersetzt durch holomorphe Funktionen, bekommt man meromorphe Funktionen. Kann man bei einer meromorphen Funktion etwas machen mit Partialbruchzerlegung? Eine meromorphe Funktion h ist holomorph mit möglicher Ausnahme von möglichst unendlich, aber höchstens abzählbar vielen Polstellen z k. Bei so einer Polstelle kann man h wie folgt schreiben hz = l= m α k z z k l + gz,

5 .3 Partialbruchentwicklung 5. Juni 05 9 wobei g eine in einer Umgebung von z k holomorphe Funktion ist und m ist die Ordnung des Pols. Man nennt l= m α l z z k l.6 den Hauptteil von h an der Stelle z k. Übrigens, da die Parameter m N + und α l C im Allgemeinen für jede Polstelle unterschiedlich sind, müsste man eigentlich m k und α l,k schreiben. Die Polstellen z k mit den Hauptteilen nennt man die Hauptteilverteilung von h: { } α l,k z z k l l= m k k= Die zentrale Frage, die wir nun betrachten, ist, ob man zu vorgegebenen Hauptteilen bei Polstellen ohne Häufungspunkte immer eine meromorphe Funktion finden kann, die genau diese Polstellen hat. Wenn U C beschränkt ist, ist die Frage leicht zu lösen. Für beschränktes U gibt es höchstens endlich viele Polstellen, und man summiert die Hauptteile. Bei unbeschränkten Gebieten, wie zum Beispiel ganz C, ist die Frage weniger einfach. Wenn man erneut einfach die Hauptteile addiert, kann man nicht garantieren, dass diese Summe konvergiert. Bevor wir uns an eine Konstruktion wagen, die unendlich viele Terme enthalten muss, müssen wir uns also eine Art von Konvergenz überlegen. Eine Schwierigkeit dabei bilden die Polstellen. Wie kann man Konvergenz einer Funktionenfolge definieren, wenn diese Funktionen an einigen Stellen den Wert haben? In der folgenden Definition wird verwendet, dass die Polstellen einer meromorphen Funktion keine Häufungspunkte haben und es deshalb nur endlich viele auf einem Kompaktum geben kann. Man kann zum Beispiel die Polstellen nach absoluter Größe anordnen z z... und wie folgt versuchen zu summieren: h z = k= l= m k α k,l z z k l..7 Nehmen wir an, dass z n > R, dann hätten wir für z k=n l= m k α k,l z z k l auf B R 0 keine Polstellen und könnten auf B R 0 die gleichmäßige Konvergenz dieser Folge betrachten. Wir werden noch sehen, dass die rechte Seite in.7 oft nicht konvergiert, im Grunde jedoch ist diese Idee nicht schlecht. Wenn wir die Hauptteile mit einem geschickten Polynom ergänzen, kann man die Konvergenz erlangen. Diese Art von Konvergenz wird in der folgenden Definition festgelegt. Definition.. Sei U C offen { und sei {f l : U C} l= eine Folge meromorpher l } Funktionen. Man sagt, dass die Folge kompakt konvergiert auf U, wenn es k= f k für jede kompakte Teilmenge K U ein l K gibt, so dass gilt: l= für l l K sind die Funktionen f l holomorph auf K, { l } m=l K f m konvergiert gleichmäßig auf K. l=

6 0 5. Juni 05 Woche, Funktionen und Polstellen Bemerkung... Eine Funktionenfolge {g l } l= konvergiert gleichmäßig auf K, wenn es g : K C gibt, mit Anders gesagt, wenn ε > 0 l ε N z K : l l ε g l z gz < ε..8 lim g l g L l K = 0, wobei g l g L K = sup { g lz gz ; z K}. Bemerkung... Wenn eine Funktionenfolge gleichmäßig Cauchy ist auf K, dann ist sie auch gleichmäßig konvergent auf K. Gleichmäßig Cauchy bedeutet, dass für die Funktionenfolge gilt ε > 0 l ε N z K : k, l l ε g l z g k z < ε..9 In dem Fall kann man g auf K definieren durch gz = lim l g l z. Die Folge {g l } l= konvergiert gleichmäßig gegen g. Das sieht man wie folgt. Sei ε > 0. Man nehme l ε/ wie in.9 und k z l ε/ derart, dass g kz z gz < ε. Für l > l ε/ folgt dann, dass g l z gz g l z g kz z + g kz z gz < ε + ε = ε. Wenn die g l in.9 stetig sind, dann ist auch g stetig. Auch dies kann man einfach nachvollziehen. Sei ε > 0 und nehme l ε/4 in.8. Für k > l ε/4 folgt gw gz gw g k w + g k w g k z + g k z gz 4 ε + g kw g k z + 4 ε. Weil g k stetig ist, gibt es δ > 0 derart, dass g k w g k z < ε für w z < δ. Theorem. Mittag-Leffler. Sei {z k } k= eine Folge paarweise verschiedener komplexer Zahlen ohne Häufungspunkt. Wir dürfen annehmen, dass 0 < z z.... Sei m k Z, α k,l C und setze f k z = l=m k α k,l z z k l.. Wenn es ganze Funktionen g k gibt derart, dass { m } f k g k k= m N.0 kompakt konvergiert für m, dann ist F, definiert durch F z := f k g k z, k= eine meromorphe Funktion auf C mit der gewünschten Hauptteilverteilung.. Nimmt man für g k das Taylorpolynom zu f k in 0 mit hinreichend hohem Grad, dann ist.0 kompakt konvergent.

7 .3 Partialbruchentwicklung 5. Juni 05 Bemerkung... Weil {z k } k= keinen Häufungspunkt hat, kann man nach Größe des Betrags ordnen. Wir haben angenommen, dass 0 < z. Das darf man ohne Verlust der Allgemeinheit. Wenn z = 0, kann man um z z verschieben. Beweis. Nehmen wir an, dass.0 kompakt konvergiert. Es reicht, wenn wir zeigen, dass F auf jeder kompakten Menge K C die gewünschte Hauptteilverteilung hat. Aus der Annahme folgt, dass es k K gibt, so dass k=k K f k g k gleichmäßig konvergiert auf K. Weil die Funktionen f k holomorph sind auf K, ist auch k=k K f k g k holomorph auf K. Die Tatsache, dass eine konvergente Folge von holomorphen Funktionen zu einer holomorphen Funktion konvergiert, folgt mit Hilfe des Integralsatzes von Cauchy. Denn Korollar 5.7 zeigt, dass für h k holomorph auf B R z 0 mit R > r gilt h n k z = n! πi w z 0 =r h k w w z n+ dw. Dann folgt, dass wenn h k gleichmäßig konvergiert auf B R z 0, auch h n k konvergiert auf B r z 0. Dann kann man h := lim k h k als Potenzreihe schreiben auf B r z 0 und somit ist auch h holomorph. Die Hauptteilverteilung auf K ist nun endlich und enthält genau die gewünschten Hauptteile f k. Weil die Polstellen keinen Häufungspunkt haben, gibt es für jedes R R + höchstens endlich viele mit z k R. Setzt man r k = z k, dann folgt lim k r k =. Die Taylorreihe für f k konvergiert fur z < r k und man kann ein Taylorpolynom finden derart, dass f k z g k z < k für z B r k /0. Sei nun K eine kompakte Menge und sei k K derart, dass K B rkk /0. Für k k K ist f k g k holomorph auf K, und es gilt f k z g k z f k z g k z = für K. k k K+ k=k K k=k K k=k K So konvergiert k=k K f k g k gleichmäßig auf K. Wenn es zwei Lösungen einer Hauptteilverteilung gibt, sagen wir f und f, dann hat f f nur hebbare Singularitäten und das bedeutet, dass fz fz für z {z k } hz := lim fz fz. für z = z k z z k eine holomorphe Funktion ist. Theorem.3 Partialbruchzerlegung. Sei f eine meromorphe Funktion auf C mit Polstellen 0 = z 0 < z z... ohne Häufungsstelle und mit Hauptteilverteilung {f l } l=0.. Dann gibt es {l k } k=0 N derart, dass gz = f 0 z + f k z T lk z. k= kompakt konvergiert. Hier ist T lk z das Taylorpolynom zu f k in 0 vom Grad l k.

8 5. Juni 05 Woche, Funktionen und Polstellen. Wenn gz = f 0 z + fk z z.3 T lk kompakt konvergiert, dann gibt es eine ganze Funktion h derart, dass k= fz = hz + gz. Bemerkung.3.. Ohne Verlust der Allgemeinheit haben wir 0 als Polstelle genommen, denn man kann immer verschieben. Der Term f 0 enthält genau diesen Hauptteil. Beweis. Jede meromorphe Funktion f kann nur Polstellen ohne Häufungspunkte haben. In der Nähe einer Polstelle hat f ein eindeutiges Hauptteil. Also hat f eine eindeutige Hauptteilverteilung. Der Satz von Mittag-Leffler liefert eine meromorphe Funktion g wie in.. Jede Funktion g, wie in.3, hat die gleiche Hauptteilverteilung. Betrachtet man zwei meromorphe Funktionen f und f mit gleicher Hauptteilverteilung {f k } k=0, dann liefert. die ganze Funktion h. Wenn f eine meromorphe Funktion auf C ist, dann ist auch die Hauptteilverteilung {f k } k=0 festgelegt. Man kann nicht wie bei einer rationalen Funktion r sagen, dass es ein Polynom p gibt so, dass m r z = p z + f k z, denn für die Konvergenz muss man möglicherweise kompensieren durch Taylorpolynome von f l. Man findet jedoch, dass man eine meromorphe Funktion f wie folgt entwickeln kann. Es gibt eine holomorphe Funktion h so, dass f z = h z + k=0 f k z T lk z, k=0 mit T lk geschickt gewählte Polynome. Beispiel.4. Wenn wir als Hauptteilverteilung { } z n n Z fz = z + z n + n n Z\{0} haben wollen, dann ist eine passende meromorphe Funktion. Sei K B R 0. Dann gilt:. Für n n 0 := [R + ] ist z z n + n. für z K gilt n N mit n n 0 = n N mit n n 0 z n n + z n n z holomorph auf K; n N mit n n 0 m=n 0 4R m < z n + n = 4R n 0 <.

9 .4 Beispiele einiger Partialbruchentwicklungen 5. Juni 05 3 { Beispiel.5. Wenn z + z n+mi n,m Z n,m 0,0 } n,m Z die Hauptteilverteilung ist, dann ist z n + mi + n + mi + z n + im.4 kompakt konvergent und liefert also eine passende meromorphe Funktion. Man kann sich fragen, ob der Ausdruck z + z n + mi + n + mi n,m Z n,m 0,0.5 kompakt konvergent ist. Diese Frage ist nicht einfach zu beantworten. Absolut konvergent auf kompakten Mengen ist diese Reihe jedoch nicht. Die Frage, ob eine Reihe absolute konvergent ist, ist meistens einfacher. Für.4 berechnet man z n + m i + n + m i + z n + i m = z n + m i z n + m i. Für z in eine kompakte Menge gilt z n + m i z n + m i = O n + m i 3 für n + m i, und man kann die Summe mit einem Integral vergleichen: ˆ n + m i 3 3 dxdy = π x + iy n,m Z n,m 0,0 x,y > ˆ r= rdr <. r3 Man kann sich selber überlegen, was mit gemeint ist. Ähnlich kann man auch zeigen, dass.5 nicht absolut konvergent ist..4 Beispiele einiger Partialbruchentwicklungen Proposition.6. Für z C gilt: sin z = z nπ..6 Beweis. Weil die Funktion z / sin z Polstellen in nπ hat und weil in einer Umgebung von nπ gilt sin z = n z nπ + O z nπ, gilt auch sin z = z nπ + O z nπ = = z nπ + O z nπ

10 4 5. Juni 05 Woche, Funktionen und Polstellen und sin z = + O z nπ z nπ = Deshalb hat / sin z die Hauptteilverteilung { } z nπ. n Z z nπ + O. Sei K kompakt und n 0 N so gewählt, dass K B n0 π/0. Dann gilt für z K und n n 0, dass z nπ nπ z nπ n 0 π/ n π und Also ist Leffler, dass g mit z nπ z nπ n n 0 n π. n n 0 4 kompakt konvergent, und man findet mit dem Satz von Mittag- gz = z nπ eine meromorphe Funktion ist mit gleicher Hauptteilverteilung wie z / sin z. Der Satz zur Partialbruchzerlegung besagt, dass hz = sin z z nπ.7 eine ganze Funktion ist nach Fortsetzung durch die Grenzwerte an der Stellen nπ. Wir müssen noch zeigen, dass h gleich 0 ist und schauen uns h aus.7 genauer an. Weil beide Terme in der rechten Seite von.7 periodisch sind in der reellen Richtung, ist h periodisch: hz + kπ = h z für z C. Dann ist h auch beschränkt auf R + i [a, b]. Außerdem gilt, dass h gegen 0 konvergiert in den imaginären Richtungen. Für den ersten Term gilt: sin z = i e ix e y e ix e y = = n=n x+ 4 e ix e y e ix e y 4 e y e y 0 für y..8 Für die Abschätzung des zweiten Terms und für y π setzen wir n x = [x/π]. Es gilt z nπ z nπ = x nπ + y n n x π + y + n y + x n n x + π + y 3 y + ˆ π t + y dt = 3 y + y 0 für y..9

11 .4 Beispiele einiger Partialbruchentwicklungen 5. Juni 05 5 Dann gilt hx + iy sin z + z nπ 0 für y..0 Also h ist beschränkt und aus dem Satz von Liouville folgt, dass h konstant ist. Wegen der Abschätzung in.0 folgt sogar h = 0. Proposition.7. Für z C gilt: π = sin πz z n, n Z π = cos πz n Z z + n, π cot πz = z + n Z\{0} π tan πz = n Z π = sin πz z + π sin πz π cos πz π cos πz z n + n, z n + n + n Z\{0} n=, n z n + n = z + n z z n, = π + n z + n + n Z = π + n n + n=0 z n +, n +, + n + Der Beweis der ersten Formel folgt aus Proposition.6. Die übrigen Beweise werden dem Leser überlassen. Bemerkung.7.. Die zweite Formel aus Proposition.7 liefert für z = 0: π π = = cos 0 n = 4 n Die sechste Formel liefert für z = : n Z = π π = sin = + n π = + 4 n+ n= 4 n n + n n= = = n=..

12 6 5. Juni 05 Woche, Funktionen und Polstellen