Portfolio-Selektion und Tobin-Separation

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1 Portfolio-Selektkion und Tobin-Separation S. 2 Portfolio-Selektion und Tobin-Separation 10. Juni 2006 Übersicht über die Ergebnisse Für den Fall, dass die Basistitel alle riskant sind (und ihre Kovarianzmatrix regulär ist), erhält man in der µ--ebene eine hyperbelförmige Grenze effizienter Portfolios. Die damit gegebene Möglichkeit einer Risiko-Minimierung bei gleicher erwarteter Rendite, entsteht durch den Effekt der Risiko-Diversifikation, der dann besonders stark ist, wenn die Basistitel stark anti-korellieren. Wenn nun ein KM-Investor einen Teil seines Vermögens risikolos und den Rest in riskante Titel anlegen kann, dann stellt die Kapitalmarktgerade die Menge der effizienten Portfolios dar (entartete Hyperbel). Sie entsteht durch Mischung des risikolosen Titels mit einem ausgezeichneten effizienten Portfolio rein riskanter Titel, dem sog. Tangential-Portfolio. Die Möglichkeit dieser Mischung ist der Kern der Tobin-Separation (two-funds-theorem). Demnach halten alle KM-Investoren mit homogenen Erwartungen der Struktur nach das gleiche Portfolio riskanter Titel, nämlich das Tangentialportfolio. Die Struktur, d.h. die Gewichtung der riskanten Titel, der individuellen Tangentialportfolios überträgt sich in diesem Fall auf den Gesamtmarkt. Das so entstehende Marktportfolio ist mit dem individuellen Tangentialportfolio strukturell identisch. Individuelle Präferenzen schlagen sich lediglich in der Aufteilung des Vermögens V auf den risikolosen Titel und das Marktportfolio nieder. Portfolio-Selektkion und Tobin-Separation S. 1 Einleitung Dieser Abschnitt ist von seinen Voraussetzungen her sehr ähnlich zum letzten: Es gibt den objektiven arbitragefreien Kapitalmarkt im Hintergrund, der die Preise und damit die Renditen zustandsbedingter Auszahlungen festlegt. Die atomistischen KM-Investoren haben subjektive Erwartungen über das reale Eintreten morgiger Zustände. Der Schwerpunkt verlagert sich nun aber vollends auf die subjektive bzw. reale Komponente: Es geht nicht mehr (direkt) um die Preisfindung zustandsbedingter Auszahlungen, sondern um die optimale Portfolio-Selektion eines individuellen (atomistischen) KM-Investors angesichts der realen Wkts-Verteilung. Konkreter geht es hier um die Frage, mit welcher Rendite µ und welchem Risiko ein KM- Investor zu rechnen hat, wenn er sein gegebenes Vermögen V nicht in einen einzigen Basistitel, sondern in eine Mischung der am Kapitalmarkt gehandelten Titel investiert. Es wird also die achfragefunktion eines nutzenmaximierenden KM-Investors nachgezeichnet, dessen utzenfunktion allein von der erwarteten Rendite µ und der Streuung um den Erwartungswert,, abhängt. Portfolio-Selektkion und Tobin-Separation S. 3 Generelle Voraussetzungen Die Aussagen der Portfolio-Selektion (Markowitz) und Tobin-Separation zielen in ihrem Ansatz rein auf die individuelle Ebene ab. Sie zeichnen im Kern die optimale Investitionsentscheidung eines einzelnen KM-Investors nach, der nach dem µ--prinzip entscheidet. Dennoch zeigen wir zunächst, wie sich das Folgende in unser Basismodell des Kapitalmarkts einbettet. Die grundsätzlichen Voraussetzungen für die folgenden Überlegungen sind: Linearität des Kapitalmarkts Die Überlegungen finden nicht auf der Preis- sondern der Renditen-Ebene statt. Die Arbitragefreiheit wird dabei insofern vorausgesetzt als dass jeder der Basistitel (und Portfolios daraus!) einen eindeutigen Preis haben muss, damit überhaupt von Renditen geredet werden kann. Die Vollständigkeit des Kapitalmarkts spielt bei der hier gewählten Betrachtung auf Portfolio- Ebene überhaupt keine Rolle. Sämtliche Überlegungen können genausogut mit einem kontinuierlichen Wahrscheinlichkeitsraum statt einem diskreten durchgeführt werden.

2 Portfolio-Selektkion und Tobin-Separation S. 4 Einbettung in das Basismodell Wir betrachten einen (einperiodigen) Kapitalmarkt (p, Z) unter Unsicherheit mit Basistiteln. Der KM-Investor kennt die Eintrittswahrscheinlichkeiten der Zustände π s. Der Auszahlungsraum R S wird dadurch zu einem Wkts-Raum Ω (d.h. die Zufallselemente ω sind mit den Zuständen s zu identifizieren). Eine Auszahlung y R S kann dann als Zufallsvariable Y auf dem Wkts-Raum Ω = R S angesehen werden (Y (ω)=y ω,ω = s). Rendite des i-ten Finanztitels ist ebenfalls Zufallsvariable R i (Brutto) bzw. r i (etto); Formal: R i (s) = z s,i p i, r i (s) = z s,i p i p i, R i = 1 + r i. Der ganze Kapitalmarkt (p, Z) kann zusammengefasst werden in den Zufallsvektoren R =(R 1,...,R ) bzw. r =(r 1,...,r ) Im Folgenden betrachten wir ausschließlich etto-renditen r i = R i 1. Portfolio-Selektkion und Tobin-Separation S. 6 Illustration im Fall von zwei Basis-Titeln Wenn nur = 2 Titel vorliegen, wird die Situation beschrieben durch Die erwartete Rendite von Titel 1: µ 1 = E[r 1 ] Die erwartete Rendite von Titel 2: µ 2 = E[r 2 ] Die Varianz der Rendite von Titel 1: 2 1 = var(r 1 ) Die Varianz der Rendite von Titel 2: 2 2 = var(r 2 ) Die Kovarianz von Titel 1 zu Titel 2: s 1,2 = cov(r 1,r 2 ) Die Kovarianz von Titel 2 zu Titel 1: s 2,1 = cov(r 2,r 1 ) Die beiden letzten Größen sind identisch, und es gilt: s 1,2 = s 2,1 = ρ 1 2, ρ := Korrelation der beiden Titel. Insgesamt lässt sich die Situation also durch fünf Größen beschreiben: µ 1, µ 2, 1, 2 und ρ. Portfolio-Selektkion und Tobin-Separation S. 5 Wahrscheinlichkeitstheoretische Größen Folgende Wkts-theoretischen Größen spielen eine Rolle µ i = E[r i ] : Erwartete Rendite des i-ten Titels i 2 = var(r i ) : Varianz der Rendite des i-ten Titels s i, j = cov(r i,r j ) : Kovarianzen der Renditen der Titel Matrix-otation: Die erwarteten Renditen µ i = E[r i ] werden zum Erwartungsvektor e := E[r], die s i, j zur Kovarianzmatrix S zusammengefasst: e := E[r] =(E[r 1 ],...,E[r ]), S := COV(r,r) = ( cov(r i,r j ) ) R Die Kovarianzmatrix ist eine symmetrische, positiv semi-definite Matrix (wenn regulär, dann positiv definit). Die Kovarianzmatrix wird manchmal auch Varianz-Kovarianzmatrix oder Varianzmatrix genannt (in der Diagonalen stehen die Varianzen 2 i ). Anstatt COV(r, r) wird auch VAR(r) oder Var(r) geschrieben. Für die Kovarianzmatrix wird häufig das Symbol Σ verwendet; wir schreiben im folgenden stattdessen S. Portfolio-Selektkion und Tobin-Separation S. 7 Illustration im Fall von zwei Basis-Titeln (Forts.) In Matrix/Vektor-Schreibweise: Die Größen werden zusammengefasst zum 2-dim. Vektor der erwarteten Renditen: ( ) ( ) E[r1 ] µ1 e = E[r] = = E[r 2 ] und der 2 2-Matrix der Varianzen/Kovarianzen: S = COV(r,r) = ( ( ) 2 1 ρ s i, j = ρ umerisches Beispiel: Zustand s (Konjunktur) Wkt. π s r 1 (s) r 2 (s) sehr gut % 10% gut % 10% mäßig % 20% schlecht % 20% µ i = E[r i ] 20% 5% 2 i = var(r i ) i = std(r i ) 22.4% 15% cov(r 1,r 2 )= 0.03 ρ = 0.90 µ 2 ).

3 Portfolio-Selektkion und Tobin-Separation S. 8 Portfoliobildung Ein Investor verfüge über ein Vermögen V, das er komplett am KM investiert. Er fragt sich, wie sein optimales Portfolio aussieht. Anders als beim Arbitragefreiheitsmodell beschreiben wir ein Portfolio nun nicht über die mengenmäßigen Anteile x i, sondern über die wertmäßigen Anteile w i am Gesamtwert V des Portfolios. D.h. anstelle der Vektoren x betrachten wir nun Vektoren w R mit Formal gilt: w i = relativer Anteil des Werts des i-ten Titels am Wert des Portfolios. w i = p i x i V, wobei V = V 0[x] = Insbesondere gilt für die Portfolio-Gewichte: w i = 1. Die Auszahlung des Portfolios w ist die Zufallsvariable Y w mit Y w (s) = seine Rendite ist die Zufallsvariable R w := 1 V Y w = z s,i x i = z s,i p i p i x i = V p i x i. w i R i (s), w i R i = R w bzw. r w := 1 V (Y w V )= w i r i = r w. Portfolio-Selektkion und Tobin-Separation S. 10 Portfoliobildung: Illustration im Fall von zwei Basistiteln Besteht das Portfolio w nur aus = 2 Titeln, ergibt sich für die erwartete Rendite des Portfolios: µ w = E[r] w = µ 1 w 1 + µ 2 w 2 ; die Varianz des Portfolios: 2 w = w Sw = 2 1 w (ρ 1 2 ) w 1 w w 2 2. Mit der ebenbedingung w 1 +w 2 = 1 kann man w 2 eliminieren und dann w 1 durch µ w darstellen: w 1 =(µ w µ 2 )/(µ 1 µ 2 ). Das zeigt, dass die Varianz w 2 eine quadratische Funktion von µ w ist: Trägt man also 2 w über µ w auf, ergeben sich Parabeln. Trägt man w über µ w auf, ergeben sich Hyperbeln. Im Fall ρ = ±1 entarten die Hyperbeln zu Geraden. In diesem Fall ergibt sich nämlich mit der Binomischen Formel: 2 w = ( 1 w 1 ± 2 w 2 ) 2 w = 1 w 1 ± 2 w 2. Die beiden Abbildungen auf der nä. Folie zeigen diese Kurven im µ--diagramm (Hyperbeln) bzw. µ- 2 -Diagramm (Parabeln) für verschiedene Korrelationen ρ zweier Basistitel. Die fetten Kurven entsprechen Portfolios, bei denen beide Gewichte w i positiv sind (keine Leerverkäufe). Portfolio-Selektkion und Tobin-Separation S. 9 Portfoliobildung (Forts.) Portfolio-Selektkion und Tobin-Separation S. 11 Portfoliobildung: Illustration im Fall von zwei Basistiteln (Forts.) Anmerkungen: Die Formel r w = r w drückt die Linearität der Portfolio-Rendite in den Portfolio- Gewichten aus. Dieser Zusammenhang ist eine entscheidende Voraussetzung für die folgenden Überlegungen. mu mu-sigma-diagramm (Rendite vs. Risiko): rho = 1,00 rho = 0,50 rho = 0,00 rho = -0,50 rho = -1,00 Die Portfolio-Rendite r w ist eine Zufallsvariable (wie die r i ). 0.1 Für Erwartungswert und Varianz der Portfolio-Rendite ergeben sich folgende Formeln: Erwartete Rendite: µ w := E[r w ]= Varianz der Rendite: w 2 := var(r w ) = ( cov w i r i, = j=1 w i E[r i ]=E[r] w = e w, j=1 w j r j ) w i w j cov(r i,r j )=w COV(r,r)w = w Sw sigma µ--diagramme bei zwei Basistiteln (µ 1 = 20%, 1 = 22.4%, µ 2 = 5%, 2 = 15%). mu mu-sigma^2-diagramm: sigma^2 rho = 1,00 rho = 0,50 rho = 0,00 rho = -0,50 rho = -1,00 µ- 2 -Diagramme bei zwei Titeln (µ 1 = 20%, 2 1 = 0.005, µ 2 = 5%, 2 2 = 0.022).

4 Portfolio-Selektkion und Tobin-Separation S. 12 Die Diagramme zeigen: Portfoliobildung bei zwei Basistiteln: Folgerungen Diversifikationseffekt: Durch Portfoliobildung kann die Varianz (bzw. Std.-Abweichung) der Basistitel verkleinert werden (außer für ρ = 1). Dabei kann sogar eine höhere erwartete Rendite als beim Basistitel mit der kleineren Varianz erreicht werden. Wirkung der Korrelation: Der Diversifikationseffekt ist am stärksten, wenn die Basistitel perfekt anti-korreliert sind (ρ = 1) und am schwächsten, wenn sie perfekt korreliert sind (ρ = 1). Es gibt jeweils ein Portfolio minimaler Varianz (mvp = minimum-variance-portfolio) Die erwartete Rendite steigt mit der Varianz für die Portfolios auf dem Halbast der Parabel/Hyperbel oberhalb des mvp und fällt für diejenigen auf dem Halbast unterhalb des mvp. Ein KM-Investor mit einem Portfolio auf dem Ast unterhalb des mvp hätte daher einen Anreiz umzuschichten: Er kann die erw. Rendite erhöhen und das Risiko (die Varianz) verkleinern. Minimiert er nur das Risiko, landet er im mvp. Ist er bereit, eine erhöhte Renditeerwartung auf Kosten eines größeren Risikos zu substituieren, landet er auf einem Portfolio auf dem oberen Ast. In diesem Sinne sind die Portfolios auf dem Ast oberhalb des mvp effizient, diejenigen auf dem unteren Halbast ineffizient. Portfolio-Selektkion und Tobin-Separation S. 14 Portfoliogrenze (II) Wir identifizieren das Risiko eines Portfolios mit der Standardabweichung seiner Rendite: Risiko des Portfolios w = w (= var(r w )= w Sw) Definition: Ein Portfolio heißt Grenzportfolio, wenn es kein anderes Portfolio mit geringerem Risiko und gleicher erwarteter Rendite µ gibt. Die Menge aller Grenzportfolios heißt die Portfoliogrenze (des KM-Investors auf dem gegebenen Kapitalmarkt). Ein Grenzportfolio ist also Lösung des (von µ abhängigen) Optimierungsproblems MIRISK(µ) : min w R w Sw u. d. B E[r] w = µ, w i = 1. Definition: Ein Portfolio heißt effizient, wenn es kein anderes Portfolio mit größerer erwarteter Rendite µ bei gleichem Risiko gibt. Ein effizientes Portfolio ist also Lösung des (vom Risiko abhängigen) Optimierungsproblems MAXRETUR() : max w R E[r] w u. d. B w Sw = 2, w i = 1. Man beachte, dass diese Probleme vom subjektiven, realen Wkts-Maß P des KM-Investors abhängen. Außerdem wird dabei die Grundausstattung V festgehalten (geht aber ansonsten nicht ein). Portfolio-Selektkion und Tobin-Separation S. 13 Portfoliogrenze (I) Im Fall > 2 liegen die möglichen Portfolios im µ--diagramm nicht mehr auf einer Kurve, sondern sie können die schraffierte Fläche in der Abbildung unten ausfüllen. Man braucht jedoch nur den Rand der Fläche zu betrachten, denn: Ein KM-Investor, der nach dem µ--prinzip entscheidet und dessen marginale Substitutionsrate µ mit wächst, wird Indifferenzkurven wie die eingezeichneten haben. Rein geometrisch folgt daher, dass ein solcher Investor stets ein Portfolio auf dem Rand (auf der Portfoliogrenze), und zwar dem oberen Rand (der effizienten Grenze) wählen wird. µ µ U(µ,)= const effiziente Portfolios Portfolio-Selektkion und Tobin-Separation S. 15 Mathematische Klassifikation der Optimierungsprobleme Das Problem MIRISK(µ) ist ein Problem der quadratischen Optimierung (quadratische, positiv semidefinite Zielfunktion mit linearen ebenbedingungen). Diese Probleme stellen eine Standard-Problemklasse der Optimierung dar und sind sehr gut verstanden. Geometrisch ist offensichtlich (und wird gleich auch formal gezeigt), dass dieses Problem für jedes µ eine eindeutige Lösung hat. Dagegen lässt sich das Problem MAXRETUR() (lineare Zielfunktion mit quadrat. B) nicht unmittelbar einer Standard-Problemklasse der Optimierung zuordnen (obwohl es kein wirklich schweres Optimierungsproblem darstellt). Dieses Problem hat für kleine links vom mvp keine Lösung. Bei den Bedingungen erster Ordnung bekommt man auch die Lösung von MIRETUR(). Grenzportfolios mögliche Portfolios Der geometrisch offensichtliche Sachverhalt, dass jede Lösung von MAXRETUR() eine Lösung von MIRISK(µ) liefert (mit dem µ, das sich als optimaler Zielfunktionswert von MAXRETUR() ergibt), ist gar nicht so ganz einfach nachzuweisen (jedenfalls gelingt mir das nicht so ohne weiteres, KHS)

5 Portfolio-Selektkion und Tobin-Separation S. 16 Portfoliogrenze bei regulärer Kovarianzmatrix (= Ast einer Hyperbel) Wenn der risikolose Titel einer der Basistitel ist, dann ist die Kovarianzmatrix singulär, denn die Kovarianz jeder Zufallsvariable mit einer deterministischen Größe ist stets 0, so dass S in diesem Fall eine ullzeile (und ullspalte) enthält. Wir schließen (zunächst) den risikolosen Titel aus und betrachten nur Portfolios riskanter Titel, von denen wir zusätzlich annehmen, dass ihre Kovarianzmatrix regulär ist. Satz 1: [Portfoliogrenze bei regulärer Kovarianzmatrix im -µ-diagramm] Unter der Voraussetzung, dass die Kovarianzmatrix S regulär ist, gilt: Die Portfoliogrenze ist in der -µ-ebene durch den rechten Ast einer Hyperbel mit Brennpunkt auf der µ-achse gegeben. Genauer gilt folgende Beziehung zwischen Varianz 2 und erwarteter Rendite µ der Grenzportfolios: ( ) 2 = C D µ B 2 C + 1 C mit A := e S 1 e, B := e S 1 1, C := 1 S 1 1, D := AC B 2 (es ist A > 0, C > 0 und D > 0). Portfolio-Selektkion und Tobin-Separation S. 18 Graph der Portfoliogrenze in der 2 -µ-ebene Beim Auftragen über 2 (statt ) ergibt sich eine nach rechts offene Parabel als Portfoliogrenze: B/C mvp ineffiziente Portfolios 1/C effiziente Portfolios mögliche Portfolios (falls > 2) Basis-Titel (In dieser Darstellung wird das asymptotische Verhalten für nicht durch Geraden beschrieben.) 2 Portfolio-Selektkion und Tobin-Separation S. 17 Graph der Portfoliogrenze in der -µ-ebene Portfolio-Selektkion und Tobin-Separation S. 19 Graph der möglichen Portfolios ohne Leerverkäufe effiziente Portfolios mögliche Portfolios (falls > 2) Schließlich zeigen wir, wie das µ--diagramm aussieht, wenn keine Leerverkäufe (short selling) zugelassen sind (d.h. unter der zusätzlichen ebenbedingung: w i 0 i): Es ergibt sich eine Eierschale als Rand mit den Basistiteln in den Ecken. 1 B/C mvp effiziente Portfolios Basis-Titel ineffiziente Portfolios 1/C B/C mvp mögliche Portfolios (falls > 2) Wie im Satz beschrieben: Die Grenzportfolios liegen auf einer rechts offenen Hyperbel. Die gestrichelten Geraden sind die Asymptoten der Hyperbel. Sie laufen im Brennpunkt (bei = 0, µ = B/C) zusammen. Aus der Formel des Satzes folgt auch: Das mvp liegt bei = 1/C, µ = B/C. ineffiziente Portfolios 1/C 2 Die Abbildung zeigt die Eierschale als Ergebnis der Portfoliobildung ohne Leerverkäufe. 1 Dieses Ergebnis ist nicht durch den Satz abgedeckt und wird hier nur der Vollständigkeit halber angegeben.

6 Portfolio-Selektkion und Tobin-Separation S. 20 Beweis von Satz 1 Der Beweis ist angelehnt an Huang/Litzenberger, Abschnitt 3.6: Betrachte das Problem MIRISC(µ). Dessen Lagrange-Funktion ist L(w,λ 1,λ 2 )= 1 2 w Sw + λ 1 (µ e w)+λ 2 (1 1 w) Die Bedingung 1. Ordnung für die (unrestringierte) Maximierung von L ist: w = Sw λ 1 e λ 2 1 = 0 w = λ 1 S 1 e + λ 2 S 1 1 λ 1 = µ e w = 0 e w = µ λ 2 = 1 1 w = 0 1 w = 1 (Die erste Bedingung besagt einfach, dass der Gradient der Zielfunktion, Sw, eine Linearkombination der Gradienten der ebenbedingungen, e und 1, sein muss.) Skalarmultiplikation der Gradientenbedingung mit e und 1 führt auf µ = e w = λ 1 e S 1 e + λ 2 e S 1 1, 1 = 1 w = λ 1 1 S 1 e + λ 2 1 S 1 1. Portfolio-Selektkion und Tobin-Separation S. 22 Ausgangssituation für die Tobin Separation Die Aussagen zu den effizienten Portfolios des vorhergehenden Teils gelten nicht, wenn auf dem Kapitalmarkt ein risikoloser Titel gehandelt wird, da in diesem Fall die Kovarianzmatrix S = COV(r, r) der Basistitel singulär ist. Wir gehen nun von der Existenz eines risikolosen Titels mit Zinssatz r = r f aus, geben ihm aber eine Sonderstellung: Titel 0. Bezüglich der riskanten Titel (i = 1,...,) nehmen wir wieder an, dass deren Kovarianzmatrix S regulär ist. Es bezeichne α den relativen Anteil von V, der in die riskanten Titel investiert wird, w i (i = 1,...,) die wertmäßigen Anteile der riskanten Titel (wie vorher) Dann ist das Gesamt-Portfolio durch (1 α, α w) beschrieben. Wir leiten zunächst die Tobin-Separation graphisch her ( nä. zwei Folien), um sie dann auch formal-rechnerisch zu beschreiben. Portfolio-Selektkion und Tobin-Separation S. 21 Beweis von Satz 1 (Forts.) Das ist ein lineares Gleichungssystem in den Lagrange-Multiplikatoren λ 1 und λ 2 : ( )( ) ( ) ( ) A B λ1 µ λ1 = = 1 ( )( ) C B µ B C λ 2 1 λ 2 D B A 1 mit A := e S 1 e, B := e S 1 1, C := 1 S 1 1, D := AC B 2. Eine einfache Rechnung zeigt, dass (Ae B1) S 1 (Ae B1) = A (AC B } {{ } 2 ), } {{ } >0 =D so dass die Determinante D > 0 ist. Einsetzen von λ 1 und λ 2 in die Gradienten-Bedingung w = λ 1 S 1 e + λ 2 S 1 1 führt nun nach einigen Umformungen auf die angegebene Formel für 2 = var(r w )=w Sw. [] Anmerkung zum Beweis: Die Bedingungen 1. Ordnung sind hier nicht nur notwendig, sondern auch hinreichend für ein (sogar) globales Maximum: Wenn die Matrix S regulär ist, ist sie (strikt) positiv definit und damit ist die Zielfunktion (strikt) konvex. Ganz allgemein gilt, dass eine (strikt) konvexe Zielfunktion unter linearen Restriktionen ein eindeutig bestimmtes globales Minimum hat, das durch die Bedingungen erster Ordnung charakterisiert wird. Portfolio-Selektkion und Tobin-Separation S. 23 Graphische Herleitung der Tobin-Separation Die Mischung des risikolosen Titels mit einem (beliebigen, aber festen) Portfolio w riskanter Titel führt bei einer Aufteilung entsprechend (1 α, α w) zu folgender Rendite: r = (1 α)r f + αr w µ = E[r] =(1 α)r f + αe[r w ], var(r) = 2 = α 2 var(r w ) = std(r) = α std(r w ) Graphisch bedeutet dies, dass man sich bei Variation von α 0 in der µ--ebene auf einer Geraden bewegt. Spezialfälle: Siehe Abbildung auf der nä. Folie. α = 0 : nur der risikolose Titel wird gehalten α = 1 : nur das risikante Portfolio wird gehalten Erfolgt jetzt die Optimierung über w im Sinne der Effizienz (größtes µ bei gegebenem ), so ergibt sich offensichtlich dasjenige riskante Portfolio w, bei dem diese Gerade den effizienten Rand der risikobehafteten Portfolios gerade tangiert (das sog. Tangentialportfolio).

7 Portfolio-Selektkion und Tobin-Separation S. 24 Graphische Herleitung der Tobin-Separation (Forts.) Aus der Menge der ehemals effizienten riskanten Portfolios ist also nur noch dieses Tangentialportfolio w effizient. Die Menge aller möglichen Portfolios, die mit diesem Tangentialportfolio und dem risikolosen Titel durch Variation des Mischungsverhältnisses α gebildet werden können, beschreiben den neuen effizienten Rand. B/C r f Mvp effiziente Portfolios Tangentialportfolio Durch Mischung mit dem risikolosen Titel (Varianz = 0) entstehen Geraden Portfolio-Selektkion und Tobin-Separation S. 26 Formale Darstellung der Tobin-Separation (II) Satz 2: [Tobin-Separation] Unter der Voraussetzung, dass S (die Kovarianzmatrix der riskanten Titel) regulär ist, ergibt sich die Lösung des Problems MIRISK (µ) als w 1 = 1 b b mit b := S 1 (E[r] r f 1) α = µ r f µ mit µ := E[r w ] (= E[r] w ) r f (sofern 1 b 0). Mit den Bezeichn. von Satz 1 ist die Portfoliogrenze im µ--diagramm durch 2 (µ) = 1 (µ r f ) 2 D C B D( C r ) 2 = 1 (µ r f ) 2 f + 1 D 2 C 0 (r f ) gegeben, wobei 0 (µ) die hyperbelförmige Portfoliogrenze der riskanten Titel aus Satz 1 ist. Es gilt (µ )= 0 (µ ) und (µ )= 0 (µ ), d.h. (µ) und 0 (µ) berühren sich tangential in µ. Angelehnt an die letzte Aussage (bzw. die graphische Lösung des Problems) definiert man: 1/C Definition: [Tangentialportfolio] Das Portfolio riskanter Titel w des Satzes heißt Tangentialportfolio (des Kapitalmarkts mit der Wkts-Verteilung P des KM-Investors). Portfolio-Selektkion und Tobin-Separation S. 25 Formale Darstellung der Tobin-Separation (I) Die Tobin-Separation kann natürlich auch formal bewiesen werden. Dazu zunächst folgende Vorbereitungen: Die erwartete Rendite eines Gesamt-Portfolios (1 α, α w) ist durch,gegeben. Seine Varianz ist: E[r (1 α,αw) ]=αe[r] w +(1 α)r f var(r (1 α,αw) )=α 2 w Sw. Die Portfoliogrenze wird daher nun durch das folgende Problem beschrieben: MIRISK (µ): min α2 w Sw u.d.bd: αe[r] w +(1 α)r f = µ, α R,w R w i = 1. Die effizienten Portfolios lösen nun das folgende Problem: MAXRETUR (): max α R,w R αe[r] w +(1 α)r f u.d.bd: α 2 w Sw = 2, w i = 1. Portfolio-Selektkion und Tobin-Separation S. 27 Diskussion des Satzes zur Tobin-Separation Das Tangentialportfolio w hängt nur von den riskanten Titeln in Form von e = E[r] und S = COV(r,r) und r f ab, aber nicht von der geforderten Rendite µ bzw. vom Risiko : Unabhängig von seiner Ausstattung V und seinen µ--präferenzen wird ein KM- Investor immer das Tangentialportfolio w als sein Portfolio riskanter Titel wählen. Im µ--diagramm nimm die Portfoliogrenze nun eine (zu µ = r f symmetrische) Keil-Form an: (µ) = µ r f ( C mit 0 (µ) = B D D C 0 (r f ) µ) C Die effizienten Portfolios liegen im µ--diagramm auf der Geraden µ()=r f + D 0 (r f ). Sie entstehen durch Mischung des risikolosen Titels mit dem Tangentialportfolio: Die Wahl eines effizienten Portfolios bedeutet also, dass der KM-Investor seine Präferenzen ausschließlich über den Anteil α, den er risikolos investiert, anpasst. Definition: Die Gerade, die von den effizienten Portfolios in der -µ-ebene beschrieben wird, heißt Kapitalmarktgerade. Falls µ > r f, ist die Kapitalmarktgerade die Gerade durch die Punkte (0,r f ) und (,µ ): µ() =r f + µ r f. Siehe Diskussion auf den folgenden Folien, falls µ < r f.

8 Portfolio-Selektkion und Tobin-Separation S. 28 Graphische Veranschaulichung der Tobin-Separation (I) r f Tangentialportfolio Kapitalmarktgerade (effiz. Ges.Portfolios) effiziente riskante Portfolios <----- verleihen -----> < leihen > Tobin-Separation: Alle KM-Investoren, die nach dem µ--prinzip entscheiden, wählen ein Portfolio auf der Kapitalmarktgeraden. Alle (mit dem gleichen E[r] und COV(r,r)) halten das gleiche Portfolio w riskanter Titel. Individuelle Risiko-Präferenzen spiegeln sich nur im Anteil α des risikolosen Titels. Bei obiger Abbildung ist implizit die Annahme B/C > r f (Bezeichnungen des vorhergehe. Satzes) getroffen, wie die folgende Abbildung deutlich macht: Portfolio-Selektkion und Tobin-Separation S. 30 Beweis des Satzes über die Tobin-Separation Mit der Variablensubstitution w := α w ist das Problem MIRISC (µ) äquivalent zu min 1 2 w S w u.d.b. e w +(1 α)r f = µ, 1 w = α. Die Lagrange-Funktion dieses Problems ist: L( w,α,λ 1,λ 2 )= 1 2 w S w + λ 1 ( µ e w (1 α)r f ) + λ2 ( α 1 w ). Die Bedingungen 1. Ordnung für die (unrestringierte) Optimierung von L sind: w = S w λ 1 e λ 2 1 = 0 w = λ 1 S 1 e + λ 2 S 1 1 α = λ 1 r f + λ 2 = 0 λ 2 = λ 1 r f λ 1 = µ e w (1 α)r f = 0 e w +(1 α)r f = µ λ 2 = α 1 w = 0 1 w = α Einsetzen der zweiten Lagrange-Gleichung in die erste liefert: w = λ 1 S 1 (e r f 1)=λ 1 b mit b := S 1 (e r f 1), d.h. w (und damit das riskante Portfolio w) ist ein Vielfaches des von µ unabhängigen Vektors b. Portfolio-Selektkion und Tobin-Separation S. 29 Graphische Veranschaulichung der Tobin-Separation (II) B/C r f Asymptoten Kapitalmarktgerade Tangentialportfolio mvp (der risk. Portfolios) effiziente riskante Portfolios Der Fall B/C = r f ist ein Ausnahmefall, für den kein (endliches) Tangentialportfolio existiert (1 b = 0 im Satz; beachte dazu: 1 b = 1 S 1 (E[r] r f 1)=B r f C ). Wenn B/C < r f, landet das Tangentialportfolio auf dem unteren Ast der ineffizienten Portfolios! Die Forderung B/C > r f bedeutet, dass die riskanten Portfolios eine genügend hohe Rendite gegenüber dem risikolosen Zinssatz abwerfen. Der Fall B/C r f hat kaum ökonom. Relevanz. (Dennoch wird er durch den Satz korrekt erfasst, wenn man das Problem MIRISC (µ) statt MAXRETUR () betrachtet.) Portfolio-Selektkion und Tobin-Separation S. 31 Beweis des Satzes über die Tobin-Separation (Forts.) Der Koeffizient λ 1 bestimmt sich aus der ebenbedingung α = 1 w: α = 1 w = λ 1 1 b λ 1 = α. 1 b Da somit λ 1 ein konstantes Vielfaches von α ist, ergibt sich die behauptete Formel für das optimale Portfolio w = w riskanter Titel: w = 1 α w = λ 1 α b = 1 b. 1 b Schließlich ergibt sich das optimale α aus der B αe w +(1 α)r f = µ zu: α = µ r f. e w r f Die Formel zur Portfoliogrenze folgt aus: µ r f = e w r f = e b r f 1 b 1 b 2 = w Sw = b Sb, (1 b) 2 2 (µ) = α 2 w Sw = (µ r f ) 2 = (e r f 1) b 1 b = b Sb 1 b, (µ r f ) 2 2 = (µ r f ) 2 (1 b) 2 b Sb (b Sb) 2 (1 b) 2 = (µ r f )2 b Sb, 1 b = 1 S 1 (e r f 1)=B r f C (d.h. r f < B/C 1 b > 0 µ > r f ), b Sb = (e r f 1) S 1 (e r f 1)=A 2r f B + r 2 f C = C ( r f B C) 2 + D C.

9 Portfolio-Selektkion und Tobin-Separation S. 32 Two-Funds-Theorem Aus der Tobin-Separation folgt das Two-Funds-Theorem: Unter der Voraussetzung der Existenz eines risikolosen Titels (und einer regulären Kovarianzmatrix der riskanten Basistitel) lassen sich alle effizienten Portfolios durch zwei Fonds nämlich den risikolosen Titel und das Tangentialportfolio erzeugen. Wie im Abschnitt über das CAPM-Regressionsmodell gezeigt, können auch zwei beliebige andere effiziente Portfolios als Basis für den effizienten Rand gewählt werden. Die Tobin-Separation liefert jedoch zwei konkrete Titel (Fonds), die sich ökonomisch gut interpretieren lassen (anders als z.b. der pricing kernel). Dies gilt insbesondere auch deswegen, weil man unter zusätzlichen Annahmen das Tangentialportfolio als Marktportfolio interpretieren kann nä. Folie. Portfolio-Selektkion und Tobin-Separation S. 34 Beispiel zur Tobin-Separation Gegeben seien 2 Titel mit folgenden Daten ( ) ( ) E[r] =, S = COV(r,r) = (d.h. µ 1 = 0.2 = 20%, µ 2 = 0.1 = 10%, 1 = 0.22 = 22%, 2 = 0.15 = 15% und der Einfachheit halber ρ = 0) und zusätzlich die Möglichkeit zur risikolosen Geldanlage/-aufnahme zu r f = 5%. 1. Damit gilt: S 1 = ( ) ( ) Daraus bestimmt sich das b aus dem Satz zu: ( )(( ) ( )) ( ) b = S 1 (E[r] r f 1)= = und w = 1 1 b b = 1 ( ) ( ) = Das Tangentialportfolio besteht damit aus 57.7% des ersten und 42.3% des zweiten Titels. Portfolio-Selektkion und Tobin-Separation S. 33 Marktportfolio Portfolio-Selektkion und Tobin-Separation S. 35 Beispiel zur Tobin-Separation (Forts.) Schlussfolgerung für das Kapitalmarktgleichgewicht: Die Aussagen der Portfolio-Selektion (Markowitz) und Tobin-Separation zielen in ihrem Ansatz rein auf die individuelle Ebene ab. Sie zeichnen im Kern die optimale (im Sinne der µ-- Konstellation) Investitionsentscheidung eines einzelnen KM-Investors nach. 3. Erwartete Rendite und Standardabweichung des Tangentialportfolios sind damit: E(r )=E[r] w =(0.2, 0.1) ( ) = = = 15.77% Allerdings ist der Schritt zu einer Gleichgewichtsaussage des gesamten Kapitalmarktes mit den vorliegenden Ergebnissen einfach. Denn: und var(r )=w Sw = std(r ) 0.14 = 14%. Alle Marktteilnehmer (mit homogenen Erwartungen: gleiche Erwartungswerte, Cov-Matrix) halten, wenn sie nach dem µ--prinzip entscheiden, der Struktur nach das gleiche Portfolio riskanter Titel, nämlich das Tangentialportfolio. Die Struktur, d.h. die Gewichtung der riskanten Titel, der individuellen Tangentialportfolios überträgt sich in diesem Fall auf den Gesamtmarkt. Das so entstehende Marktportfolio ist mit dem individuellen Tangentialportfolio strukturell identisch. Individuelle Präferenzen schlagen sich lediglich in der Aufteilung des Vermögens V auf den risikolosen Titel und das Marktportfolio nieder. 20% r f =5% effiziente Portfolios Tangentialportfolio 10% 20% 30%

10 Portfolio-Selektkion und Tobin-Separation S. 36 Literaturhinweis: Huang/Litzenberger, Foundations for Financial Economics (1988) Kruschwitz, Finanzierung und Investition (2002) Kürsten, eoklassische Grundlagen moderner Finanzierungstheorie, Homo Oeconomicus Bd. XIV (1/2) (1997) Portfolio-Selektkion und Tobin-Separation S. 38 CAPM-Renditegleichung Bereits im Zusammenhang mit dem Regressionsmodell hatten wir die CAPM-Renditegleichung hergeleitet, wobei dort eine beliebige unsichere Grenzrendite als Regressor verwendet werden kann. Hier verwenden wir natürlich die Marktrendite (bzw. Rendite des Tangentialportfolios) als Grenzrendite und erhalten für ein beliebiges Portfolio w mit erw. Rendite µ = E[r w ] und Risiko = std(r w ): µ = r f + β(µ r f ), β = cov(r w,r w ) var(r w ) Wie gesagt: Das ist nichts eues, außer dass man jetzt die Größe µ r f als Marktrisikoprämie interpretieren kann und β jetzt die Sensitivität der Stochastik der Rendite gegenüber der Stochastik der Marktrendite misst. Dennoch werden wir die CAPM-Renditegleichung auf den folgenden beiden Folien noch einmal herleiten, um auch den eher traditionellen (auf Portfolio-Selektion und Tobin-Separation beruhenden) Beweis zu präsentieren. Portfolio-Selektkion und Tobin-Separation S. 37 Zusammenhang mit dem CAPM-Regressionsmodell Portfolio-Selektkion und Tobin-Separation S. 39 Traditionelle Herleitung der CAPM-Renditegleichung Der Zusammenhang mit dem CAPM-Regressionsmodell des vorhergehenden Abschnitts ist offensichtlich: Wir haben auf einem unabhängigen Weg die Renditengrenze des Kapitalmarkts gefunden und konkretisiert. Dort ergab sie sich abstrakt als Gerade durch zwei Renditen, die als Regressoren im Regressionsmodell zur Bewertungsirrelevanz des unsystematischen Anteils führen. Hier ergibt sie sich konkret als Gerade durch die risikolose Rendite und die Marktrendite/Rendite des Tangentialportfolios (Two-Funds-Theorem). Sämtliche Aussagen des Regressionsmodells lassen sich nun konkretisieren, indem man die Marktrendite als erklärende Variable verwendet. Die Regression zerlegt dann eine Rendite in einen marktbewerteten Anteil und einen nicht vom Markt bewerteten Anteil. Insbesondere: Systematisches Risiko eines Titels = bewertungsrelevantes Risiko = Markt-bewertetes Risiko ( sys = β Markt = ρ ges mit β = β(titel,markt) u. ρ = Korrelation mit Markt!) = icht-diversifizierbares Risiko Betrachte das Tangentialportfolio w und das (beliebige) Portfolio w als Basis-Titel ( Modell mit = 2 Titeln). Das µ--diagramm dieser beiden Titel liefert eine hyperbelförmige Kurve. Die Tangente dieser Hyperbel im Tangentialportfolio w muss mit der Kapitalmarktgeraden übereinstimmen. Die Steigung der Kapitalmarktgeraden ist: s 1 = µ r f. Für die Steigung der Tangente an die Hyperbel im Tangentialportfolio ergibt sich, wie auf der nächsten Folie gezeigt wird, folgende Formel: s 2 = µ µ (β 1). ( ) Durch Gleichsetzen von s 1 und s 2 folgt die CAPM-Renditegleichung: s 1 = s 2 µ µ =(β 1)(µ r f ) µ = r f + β(µ r f ).

11 Portfolio-Selektkion und Tobin-Separation S. 40 Herleitung der Gleichung für s 2 Es ist noch die Formel (*) für die Steigung der Hyperbel im Tangentialportfolio zu verifizieren. Beweis dazu: Die Hyperbel wird dargestellt durch (vgl. den Abschnitt zu 2 Basis-Titeln): µ(a) = (1 a)µ + aµ, (a) = a a(1 a)cov(r w,r w )+(1 a) 2 2, wenn a (der relative Anteil des Titels w an der Mischung) alle Zahlen durchläuft. Ableiten ergibt: µ (a) = µ µ, (a) = a2 +(1 2a)cov(r w,r w ) (1 a) 2 (a) Die Steigung der Tangente im Tangentialportfolio (a = 0) ergibt sich dann als s 2 = µ (0) (0) = µ µ = cov(r w,r w ) 2. µ µ (β 1). [] Portfolio-Selektkion und Tobin-Separation S. 42 Übungsaufgabe 9 Sie sind Kundenberater einer Bank im Bereich Fondsmanagement. Ein Kunde möchte einen Betrag von Euro in ein Portfolio aus zwei riskanten Kapitalmarkttiteln sowie dem risikolosen Titel anlegen. Er akzeptiert eine unsichere Rendite, wenn deren Standardabweichung nicht über 25% hinausgeht. atürlich strebt er eine möglichst hohe erwartete Rendite an. Der Kunde ist bereit, einen Teil seiner Kapitalmarktanlage durch (risikolosen) Kredit zu finanzieren. ( ) 10% Die zwei risikobehafteten Titel haben die erwarteten Renditen E[r] =. ( 25% Die 2 2-Matrix der Varianzen/Kovarianzen ist S = COV(r,r) = Die risikolose Geldanlage/-aufnahme hat einen Zinssatz von r f = 5%. a) Bestimmen Sie das Tangentialportfolio, dessen erwartete Rendite und Standardabweichung sowie die Gleichung µ = µ() des effizienten Randes der Anlagemöglichkeiten. b) Wie sollte der Kunde sein Vermögen auf die drei Titel aufteilen? c) Angenommen, der Kunde wäre nicht bereit, für die Investition in riskante Titel Kredit aufzunehmen. Bis zu welchem Risiko (Standardabweichung der Rendite) würde dies keine Einschränkung hinsichtlich der maximal erzielbaren erwarteten Rendite bedeuten? ). Portfolio-Selektkion und Tobin-Separation S. 41 β-additionstheorem Aus der Linearität der Kovarianz folgt das β-additionstheorem: w =(w 1,...,w ) β w = w i β i, wobei β i der Regressionskoeffizient des i-ten Basistitels bzgl. des Marktes ist (systematische Einflusstärke des Marktes auf den i-ten Titel). Diese Gleichung kann z.b. dazu benutzt werden, das β eines Investitionsprojekts zu bestimmen, wenn man die β i und die relativen Wertanteile w i an den Basistiteln kennt. Anmerkung: Diese Gl. drückt nur die Linearität des KM aus. Eine entsprechende Zerlegung des Regressionkoeffizienten β gilt auch bei mengenmäßiger Zerlegung der Auszahlung Y = Zx = x i Y i = α + βy + ε β = x i β i, wobei die β i nun die Einflüsse des Regressors auf die Auszahlung Y i des i-ten Titels messen. Portfolio-Selektkion und Tobin-Separation S. 43 Übungsaufgabe 10 Gegeben sei folgende Rendite-Gegenüberstellung für ein Unternehmen: Zustand Wkt. Marktrendite r M Unternehmensrendite r U 1 0,1-15% -30% 2 0,3 5% 0% 3 0,4 15% 20% 4 0,2 20% 50% Der risikolose Zins liege bei 6%. Bestimmen Sie folgende Größen: a) Erwartete Marktrendite; b) Varianz und Standardabweichung der Marktrendite; c) Gleichung der Kapitalmarktlinie und Wertpapierlinie; d) Die erwartete Rendite des Unternehmens; e) Die Kovarianz der Renditen und das β des Unternehmens (relativ zum Markt); f) Die (von KM-Investoren) geforderte Unternehmensrendite; Vergleichen Sie die geforderte mit der erwarteten Rendite des Unternehmens. Wieso gibt es anders als in Aufg. 8 eine Diskrepanz? (Hinweis: Wie entsteht die Rendite?) g) Gesamt-Risiko (Standardabweichung) und systematisches Risiko der Unternehmensrendite.