Finanzmathematik. Zinsrechnung I 1.)

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1 Finanzmathematik Zinsrechnung I 1.) Ein Vater leiht seinem Sohn am 1.1. eines Jahres DM. Es wird vereinbart, dass der Sohn bei einfacher Verzinsung von 8% das Kapital einschließlich der Zinsen nach Ablauf von 3 Jahren zurückzahlt. Wie hoch ist der Rückzahlungsbetrag? geg.: Ko= 1000 DM, p= 8%, i= p/100 = 8/100= 0,08 n= 3 ges.: K3 1

2 Lsg.: Kn = Ko * (1 + n * i) K3 = 1000 DM * (1 + 3 * 0,08) K3 = 1240 DM 2.) Ein Vater zahlt bei der Geburt eines Sohnes einen bestimmten Geldbetrag bei einer Bank ein, die das Geld bei 6% einfachen Zinsen ansammelt. Der Sohn erhält nach Ablauf von 25 Lebensjahren DM ausgezahlt. Wie hoch war das seinerzeit angelegte Anfangskapital? geg.: K25= 1250 DM, p= 6%, i= p/100 = 6/100= 0,06 n= 25 ges.: Ko 2

3 Lsg.: Ko = Kn / (1 + n * i) Ko = 1250 DM / ( * 0,06) Ko = 500 DM 3.) Ein Kapital von DM war zu 7% bei einfacher Verzinsung angelegt und ist auf derzeit 2.912,50 DM angewachsen. Wieviele Jahre war das Kapital angelegt? geg.: Ko= 1250 DM, p= 7%, i= p/100 = 7/100= 0,07 Kn= 2912,50 DM ges.: n 3

4 Lsg.: Kn = Ko * (1 + n * i) 2912,50 DM = 1250 DM * (1 + n * 0,07) 2912,50 DM = 1250 DM + 87,50 DM * n /-1250 DM 1662,50 DM = 87,50 DM * n /: 87,50 DM n = 19 4.) Ein Kapital von DM war 12 Jahre lang bei einfacher Verzinsung angelegt und ist nach Ablauf von 12 Jahren einschließlich der gezahlten Zinsen auf DM angewachsen. Wie groß war der über den gesamten Zeitraum konstante Zinssatz p? geg.: Ko= 2500 DM, n= 12, K12= 4750 DM ges.: p 4

5 Lsg.: Kn = Ko * (1 + n * i) 4750 DM = 2500 DM * ( * i) 4750 DM = 2500 DM DM * i /-2500 DM 2250 DM = DM * i /: DM i = 0,075 p = i * 100 p = 0,075 * 100 = 7,5% 5.) Ein Kapital von DM wird zu 8% Zinseszinsen auf 12 Jahre festgelegt. Wie groß wird der Rückzahlungsbetrag sein? geg.: Ko= DM, p= 8%, i = p/100 = 8/100 = 0,08 n= 12 ges.: Kn 5

6 Lsg.: Kn = Ko * (1 + i) n Kn = DM * (1 + 0,08) 12 Kn = 25181,70 DM 6.) Ein Geschäftsmann verspricht, für die Überlassung einer Lizenz nach 5 Jahren Nutzung ein Entgeld von DM zu zahlen. Wie groß ist bei einem banküblichen Jahreszins von 6,5% der Barwert dieser Zahlung? geg.: K5= DM, p= 6,5%, i = p/100 = 0,065 n= 5 ges.: Ko 6

7 Lsg.: Ko = Kn / (1 + i) n Ko = DM / (1 + 0,065) 5 Ko = 72988,08 DM 7.) Welchen Barwert hat eine in genau 7 Jahren fällige Zahlung von DM bei 7% Zinseszins? geg.: K7= 7000 DM, p= 7%, i = p/100 = 0,07 n= 7 ges.: Ko 7

8 Lsg.: Ko = Kn / (1 + i) n Ko = 7000 DM / (1 + 0,07) 7 Ko = 4359,25 DM 8.) Ein Anfangskapital von DM ist nach 5 Jahren auf DM angewachsen. Wie hoch ist der durchschnittliche Jahreszinssatz für die gesamte Laufzeit? geg.: Ko = 1000 DM, n = 5, K5 = 2000 DM ges.: p 8

9 Lsg.: i = n Kn Ko 2000DM i = DM i = 0,14869 p = i*100 1 p = 14,87% 9.) Ein Kaufmann beteiligt sich am mit einem Betrag von DM an einer Firma. Er belässt alle seine Gewinnanteile in dem Unternehmen und liquidiert seine Beteilligung am Bei seinem Ausscheiden werden ihm Kapitalanteile in Höhe von DM ausgezahlt. a.) b.) Wie hoch ist die durchschnittliche Jahresverzinsung des eingesetzten Kapitals während der gesamten Laufzeit. Der Kaufmann hätte sein Kapital am auch zu 6,5% jährlichen Zinseszinsen bei einer Bank anlegen können. Wäre diese Anlageform im Vergleich zu der oben erwähnten Beteiligung lohnender gewesen? 9

10 9.) geg.: Ko = DM, n = 6, Kn = DM ges.: a.) p b.) geg.: Ko = DM, p = 6,5%, i = 0,065 ges.: Kn Lsg.: a.) i = n Kn Ko DM i = DM i = 0,06388 p = i*100 1 p = 6,39% 10

11 Lsg.: b.) Kn = Ko * (1 + i) n Kn = DM * (1 + 0,065) 6 Kn = ,23 DM 10.) Bei wieviel Prozent Jahreszins verdoppelt sich ein Kapital in vier Jahren? geg.: n = 4 ges.: p das K4 = Ko * 2 11

12 Lsg.: i = i = i = n 4 4 Kn Ko Ko*2 Ko 2 1 i = 0,1892 p = i*100 1 p = 18,92% 1 11.) In wieviel Jahren verdoppelt sich ein Kapital bei 5,5% Jahreszins? geg.: p = 5,5%, i = 0,055 ges.: n das Kn = Ko * 2 12

13 Lsg.: Ko = Kn / (1 + i) n Ko * (1 + i) n = Kn /* (1 + i) n /: Ko (1 + i) n = Kn / Ko n * log (1 + i) = log (Kn / Ko) / : log (1 + i) n = (log (Kn / Ko)) / (log (1 + i)) n = (log ((2 * Ko) / Ko)) / (log (1 + i) n = (log 2) / (log (1 + 0,055)) = 12, ) Für einen Schüler wurden seinerzeit DM bei 8,5% Jahreszins angelegt. Dieses Kapital ist heute auf 339,97 DM angewachsen. Wie lange war das Kapital angelegt? geg.: Ko = 100 DM, p = 0,085, Kn = 339,97 DM ges.: n 13

14 Lsg.: Ko = Kn / (1 + i) n Ko * (1 + i) n = Kn /* (1 + i) n /: Ko (1 + i) n = Kn / Ko n * log (1 + i) = log (Kn / Ko) n * log (1 + i) = log (Kn) (Ko) / : log (1 + i) n = (log (Kn ) log (Ko)) / (log (1 + i)) n = (log(339,97 DM) - log(100 DM)) / (log (1 + 0,085)) n = 14,99 13.) Ein Kapital von 500,- DM wird bei 2% Quartalszins zinseszinslich angelegt. a.) b.) Auf welchen Betrag ist das Kapital nach 8 Jahren angewachsen? Wie hoch ist der effektive Jahreszinssatz? geg.: Ko = 500 DM, i* = 0,02, m = 4 ges.: a.) K8 b.) p 14

15 Lsg.: a.) Kn = Ko * (1 + i*) m*n K8 = 500 DM * (1 + 0,02) 4*8 K8 = 942,27 DM Lsg.: b.) Ko * (1 + i*) m*n = Ko * (1 + j) n (1 + i*) m*n = (1 + j) n (1 + i*) m = (1 + j) j= (1 + i*) m -1 j= (1 + 0,02) 4 1 j= 0,082 p= 8,2% 15

16 14.) Es wird eine neue Bundesanleihe herausgegeben, die auf ein 100,- DM Wertpapier 8,5 % Zinsen einbringt. Welche effektiven Jahresverzinsungen hat diese Anleihe bei a.) jährlicher Zinszahlung, b.) halbjährlicher Zinszahlung, c.) vierteljährlicher Zinszahlung, wenn pro Zinsperiode mit dem relativen Zinssatz gerechnet wird und man unterstellt, dass die ausgeschütteten Zinsen in den jeweiligen Zeitabständen ebenfalls zu 8,5% angelegt werden. 14.) geg.: Ko = 100 DM ges.: a.) j bei p = 8,5% m = 1 b.) j bei i* = 0,085 m = 2 c.) j bei i* = 0,085 m = 4 16

17 Lsg.: a.) j= (1 + i*) m -1 j= (1 + 0,085) 1 1 j= 0,085 p= 8,5% Lsg.: b.) j= (1 + i*) m -1 j= (1 + 0,085) 2 1 j= 0,177 p= 17,7% 17

18 Lsg.: c.) j= (1 + i*) m -1 j= (1 + 0,085) 4 1 j= 0,3859 p= 38,6% 15.) Jemand legt 5000,- DM bei einer Teilzahlungsbank an, die ihm einen effektiven Jahreszins von 9% verspricht. Der Anleger vereinbart mit der Bank monatliche Auszahlung und Wiederanlage der Zinsen. a.) b.) c.) Wie hoch ist der konforme Monatszinssatz? Wie hoch ist das Kapital des Anlegers bei der angeführten monatlichen Verzinsung nach Ablauf von 5 Jahren? Wie hoch wäre das Endkapital bei 9% jährlicher Verzinsung nach Ablauf von 5 Jahren? 18

19 15.) geg.: Ko = 5000 DM, p* = 9%, m = 12 ges.: a.) k b.) K5 c.) K5 bei p = 9% Lsg.: a.) Ko * (1 + i) n = Ko * (1 + k) m*n (1 + i) n = (1 + k) m*n (1 + i) = (1 + k) m m (1 + i) = 1+ k k = m (1 + i) 1 k k = 12 (1 + 0,09) = 0,

20 Lsg.: b.) Kn = Ko * (1 + k) m*n K5 = 5000 DM * (1 + 0,0072) 12*5 K5 = 7689,76 DM Lsg.: c.) Kn = Ko * (1 + i) n K5 = 5000 DM * (1 + 0,09) 5 K5 = 7693,12 DM 20